6 : Équations différentielles

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1 6 : Équations différentielles 1. Généralités sur les équations différentielles 1.1 Approche graphique Notation 1. Dans tout ce chapitre, la lettre K désigne le corps des réels R ou celui des complexes C. Définition 1. Une équation différentielle d ordre n est une égalité liant la variable réelle x, une fonction inconnue y, définie sur un intervalle I R, et ses dérivées successives y, y,..., y (n). L équation est dite scalaire lorsque y est à valeurs dans K, (c est la situation que nous étudierons ici) et vectorielle lorsque y est à valeurs dans K n (que nous rencontrerons dans un chapitre ultérieur). Exemple 1. Les équations qui suivent sont des équations différentielles scalaires. Toutes sont d ordre 1 sauf l équation 7, qui est d ordre 2 : 1 y 2 + yy + xy = 0 3 y = 2x 5 y = y 2 x 7 y + 5y + 6y = e 2x 2 y = ay (a R) 4 y = y x 6 y = y 2 e x Définition 2. Une solution maximale de l équation y = f(x ; y), est une fonction y satisfaisant l équation, et définie sur un intervalle I maximal (1). Résoudre (ou intégrer) une équation différentielle, c est trouver l ensemble de ses solutions maximales. On appelle courbe intégrale la courbe représentative d une fonction maximale. Exemple 2. On apprendra à résoudre certaines équations différentielles. Pour beaucoup d entre elles, on est incapable d exprimer les solutions à l aide de fonctions usuelles (c est le cas pour l équation 5 de l exemple 1). Pour connaître l allure des courbes intégrales d une équations différentielle du premier ordre résolue en y, on peut représenter des vecteurs du champ de vecteur associé. La courbe intégrale d une solution y, passant par (x 0 ; y 0 ), admet en ce point une tangente dirigée par u (x0 ;y 0 ) = (1 ; y (x 0 )) = (1 ; f(x 0 ; y 0 )). L application qui associe à un couple (x 0 ; y 0 ) du domaine de définition de f le vecteur u (x0 ;y 0 ) est le champ de vecteurs associé à l équation y = f(x ; y). On a représenté ci contre les vecteurs du champ associé à l équation 4 de l exemple 1 aux points de coordonnées demi-entières, ainsi que deux courbes intégrales Graphiquement, que peut-on dire des solutions de y = x y? 1.2 Problème de Cauchy Définition 3. Un problème de Cauchy est la donnée d une équation différentielle d ordre n, et de n conditions initiales sur les valeurs de la fonction y et de ses dérivées en un réel x 0, satisfaites par la solution cherchée : par exemple y(0) = 1. On peut observer sur l exemple 2 que les courbes intégrales remplissent le plan et ne se croisent pas. Il s agit d un résultat général, admis, que l on exprime ainsi : (1). ce qui signifie qu il n existe pas de solution égale à y sur I mais définie sur un intervalle strictement plus grand. [6 novembre 2015] ATS , 6 : Équations différentielles 1/6

2 Soient I et J deux intervalles et f une fonction continue (2) sur I J à valeurs dans K. Si f est dérivable par rapport à la deuxième variable et que cette dérivée est continue, le problème de Cauchy : admet une unique solution maximale. Théorème 1. de «Cauchy-Lipschitz» y = f(x ; y) et y(x 0 ) = y 0 avec (x 0 ; y 0 ) I J Remarque 1. Le théorème reste valable pour les équations différentielles vectorielles, pour y et f à valeurs dans K n et J un ensemble ouvert de K n (défini par des inégalités strictes, par exemple ]2 ; 3[ ]0 ; 1[ R 2 ). 1.3 Exemples d utilisation du théorème de Cauchy Exemple 3. l équation 2 de l exemple 1 : y = ay admet la fonction nulle sur R comme solution. Le théorème 1 assure que les autres solutions ne s annulent pas, donc vérifient y /y = a, c est-à-dire ln y = ax + c. Ainsi, y = e ax+c = Ke ax où K = e c est une constante strictement positive. Comme y ne s annule pas et qu elle est continue, elle ne change pas de signe, ainsi y = Ke ax ou y = Ke ax avec K > 0. En résumant les cas observés, les solutions maximales sont de la forme y : R R, x Ke ax où K R. Remarque 2. Lorsqu on cherche la solution d un problème de Cauchy, on résout l équation en générale et on utilise les conditions initiales pour obtenir les constantes. Exemple 4. Trouver a priori le sens de variation des solutions de l équation 6 y = y 2 e x. Résoudre cette équation puis le problème de Cauchy : «y = y 2 e x et y(0) = 1/2». 1.4 Équations différentielles linéaires Définition 4. Une équation différentielle d ordre n est dite linéaire lorsqu elle peut s écrire sous la forme (E) : a n y (n) + a n 1 y (n 1) + + a 1 y + a 0 y = f où a n,..., a 0 et f sont des fonctions continues sur un intervalle I. La fonction f est le second membre de l équation différentielle linéaire. Si f est la fonction nulle, l équation différentielle linéaire est dite sans second membre. Si les fonctions a n,..., a 0 sont des constantes (mais pas nécessairement le second membre f), l équation différentielle linéaire est à coefficients constants. Remarque 3. Sur un intervalle I où a n ne s annule pas, le problème de Cauchy : a n y (n) + a n 1 y n a 1 y + a 0 y = f, y(x 0 ) = y 0, y (x 0 ) = y 1,..., y (n 1) (x 0 ) = y (n 1), où x 0 ; y 0... y n 1 ) K n admet une unique solution. C est une conséquence du théorème de Cauchy (on peut interpréter les équations scalaires d ordre n comme des équations vectorielles d ordre 1). Théorème 2. Structure des solutions Soit (E) une équation différentielle linéaire d ordre n et (E 0 ) l équation sans second membre associée : (E) : a n y (n) + a n 1 y (n 1) + + a 1 y + a 0 y = f (E 0 ) : a n y (n) + a n 1 y (n 1) + + a 1 y + a 0 y = 0, où a n,..., a 0, f sont des fonctions continues sur un intervalle I, à valeurs dans K, et où a n ne s annule pas. Si y 1 est une solution particulière de (E), les solutions de (E) sont de la forme y = y 1 + y 0 où y 0 parcourt l ensemble des solutions de l équation sans second membre (E 0 ) (2). f est continue en (x 0 ; y 0 ) ]a ; b[ ]c ; d[ si f(x ; y) f(x 0 ; y 0 ) (x 0 x;y 0 y) [6 novembre 2015] ATS , 6 : Équations différentielles 2/6

3 Démonstration. On considère une solution φ de (E) et on prouve que y 0 = φ y est solution de (E 0 ). On en déduit que φ = y + y 0. On vérifie réciproquement que y + y 0 est solution de (E). Remarque 4. La difficulté est de trouver une solution particulière de (E). On verra des méthodes systématiques, le plus rapide étant toujours de deviner une solution (ou la forme d une solution) simple. Exemple 5. Trouver les solutions à valeurs réelles de y 2y = e x. Soit l équation différentielle linéaire d ordre n Proposition 3. Principe de superposition (E) : a n y (n) + a n 1 y (n 1) + + a 1 y + a 0 y = f 1 + f 2, où a n,..., a 0, f 1, f 2 sont des fonctions continues sur un intervalle I, à valeurs dans K, et où a n ne s annule pas. Si les fonctions y 1 et y 2 vérifient alors une solution particulière de (E) est y = y 1 + y 2. a n y (n) 1 + a n 1 y (n 1) a 1 y 1 + a 0y 1 = f 1 a n y (n) 2 + a n 1 y (n 1) a 1 y 2 + a, 0y 2 = f 2 Démonstration. On injecte y 1 + y 2 dans (E) en tenant compte des hypothèses sur y 1 et y 2. Remarque 5. ce «principe» (il s agit en fait d une proposition) permet de réduire la recherche d une solution particulière d une équation de second membre compliqué à des recherches de solutions particulières d équations de seconds membres plus simples. Exemple 6. Résoudre y 2y = ch(x). 2. Équations différentielles scalaires linéaires d ordre Cas particulier des recherches de primitives Proposition 4. L équation y = f(x) (dite incomplète en y), où f est une fonction continue sur un intervalle I, a pour solutions, à valeurs dans K, les fonctions y = F + c où F est une primitive de f sur I et c une constante dans K. Démonstration. On a une équation scalaire linéaire d ordre 1. Le théorème 2 de structure assure que les solutions sont de la forme F + y 0 (F = f est solution particulière) où y 0 vérifie l équation homogène y = 0. Or une fonction de dérivée nulle sur un intervalle est constante sur cet intervalle : y 0 = c K. Proposition 5 (Primitives à connaître). Dans ce qui suit u est dérivable sur l intervalle I, et on donne une expression sur I de f et de ses primitives F (qui dépendent d une constante K réelle). 1 f(x) = x n, I = R, F(x) = 1 n + 1 xn+1 + K (n 1). 2 f = u u n, F = 1 n + 1 un+1 + K 3 f = u, I un intervalle où u ne s annule pas, F = ln u + K. u 4 f = u, F = arctan(u) + K. 1 + u2 5 f = u, I un intervalle où u > 0, F = 2 u + K. u 6 f(x) = u(ax), F(x) = 1 u(ax) + K. (a 0) a 7 toutes les primitives des dérivées classiques! [6 novembre 2015] ATS , 6 : Équations différentielles 3/6

4 Remarque 6. le quotient, le produit de deux fonctions n a pas pour primitive le quotient, le produit de leurs primitives. Il faut reconnaître des composées qui apparaissent dans les formules ci-dessus. Exemple 7. Résoudre les équations différentielles suivantes : 1 y = x x cos(x)y = sin(x) sur ] π 2 ; π 2 [ 3 y = ch(x) 1 + sh 2 (x) 2.2 Équations différentielles scalaires linéaires sans second membre d ordre 1 : y + ay = 0 Définition 5. Une équation différentielle scalaire linéaire d ordre 1 est de la forme αy + βy = γ où α, β et γ sont des fonctions continues sur un intervalle I et α ne s annule pas sur I. Lorsque γ est la fonction nulle (second membre nul), l équation est dite sans second membre. Quitte à diviser par α, ces équations sont équivalentes à des équations de la forme y + ay = b où a et b sont continues sur I. Théorème 6. ÉDL1SSM L équation y + ay = 0, où a est une fonction continue sur un intervalle I, admet comme solutions les y : I R, x Ce A(x) où A est une primitive de a sur I et K R est constante Démonstration. Soit y une solution de y + ay = 0. Définissons la fonction z = ye A où A est une primitive de a sur I. On a z = y e A + y A e A = (y + ay)e A = 0 donc z = C R est constante. Ainsi, y = Ce A. Réciproquement, si y = Ce A, y = ace A = ay donc y + ay = 0 : y est bien solution de l équation. Remarque 7. attention au signe moins et à la nécessité de calculer une primitive A dans la formule. Exemple 8. Résoudre : 1 y = 2y et 2 (1 + x 2 )y y = Équations différentielles scalaires linéaires d ordre 1 : y + ay = b Remarque 8. D après le théorème 2 de structure des solutions d équations différentielles linéaires, si y est une solution particulière de l équation (E) : y + ay = b, où a et b sont des fonctions continues sur un intervalle I, les solutions de (E) sont de la forme y + y 0 avec y 0 solution de l équation homogène (sans second membre) y + ay = 0. Exemple 9. Résoudre l équation 4 de l exemple 1 : y = x y. Résoudre xy + y = 1 sur ]0 ; + [ 2.4 Recherche de solutions particulières Méthode 1. Variation de la constante Pour trouver une solution particulière de y +ay = b (après avoir vérifié qu il n y en avait pas d évidente), on pose y = ky 0 où k est une fonction définie sur I et y 0 est une solution de l équation homogène y + ay = 0. On trouve k y 0 + ky 0 + aky 0 = b k y 0 = b et on en déduit k par une recherche de primitives. Exemple 10. Résoudre (e x + 1)y e x y = 2x(e x + 1) 2 Remarque 9. Le principe de superposition (proposition 3) s applique aux équations (E) : y + ay = b 1 + b 2 : si y 1 vérifie y + ay = b 1 et y 2 vérifie y + ay = b 2, y 1 + y 2 est une solution particulière de (E). [6 novembre 2015] ATS , 6 : Équations différentielles 4/6

5 3. Équations différentielles linéaires d ordre 2 à coefficients constants 3.1 Cas des équations sans second membre Définition 6. Une équation différentielle scalaire linéaire d ordre 2 à coefficients constants est une équation de la forme ay + by + cy = 0 avec a, b, c dans K = R ou C, et a 0. L équation caractéristique de ay + by + cy = 0 est l équation de degré deux ar 2 + br + c = 0. Proposition 7 (solutions à valeurs complexes). On considère l équation (E) : ay + by + cy = 0 avec a, b, c R ou C et a 0. On note le discriminant de l équation caractéristique de (E). Les solutions définies sur R et à valeurs complexes sont si 0, x Ae αx + Be βx où α et β sont les racines distinctes de l équation caractéristiques. si = 0, y : R C, x (Ax + B)e αx où α est la racine double de l équation caractéristique. avec A, B des constantes complexes. Démonstration. Soit α une racine de l équation caractéristique. On cherche les solutions de (E) sous la forme y : x φ(x)e αx où φ est une fonction deux fois dérivable. En abrégé y = φ e αx + φαe αx et y = φ e αx + 2φ αe αx + φ α 2 e αx. D où 0 = ay + by + y = ((aα 2 + bα + c)φ + (2aα + b)φ + aφ )e αx. Comme α vérifie l équation caractéristique, cela équivaut à 0 = (2aα + b)φ + aφ, ou encore φ + (2α + b a )φ = 0 qui est une équation différentielle d ordre 1 d inconnue φ. Si = 0, on a α = b 2a, donc l équation se réduit à φ = 0 d où φ = A et φ : x Ax + B. Si 0, on a : α + β = b a, donc 2α + b a = α β. Ainsi, l équation devient φ + (α β)φ = 0. Les solutions de cette équation du premier ordre sont les φ : x Ke (β α)x (K constante) d où φ : x K β α e(β α)x + A. En posant B = K β α, on trouve y : x (A + Be(β α)x )e αx = Ae αx + Be βx. Théorème 8. Solutions à valeurs réelles On considère l équation (E) : ay + by + cy = 0 avec a, b, c R et a 0. On note le discriminant de l équation caractéristique de (E). Les solutions définies sur R et à valeurs réelles de (E) sont : si > 0, x Ae αx + Be βx où α et β sont les racines distinctes de l équation caractéristiques. si = 0, x (Ax + B)e αx où α est la racine double de l équation caractéristique. si < 0, x (A cos(ωx) + B sin(ωx))e kx où k ± iω sont racines de l équation caractéristique. avec A, B des constantes réelles. Démonstration. Si 0, les solutions à valeurs complexes sont les z : x Ce αx + De βx où C, D C. Or une solution y est à valeurs réelles lorsque ȳ = y, ou encore Ce αx + De βx = Ceᾱx + De βx. Si > 0, alors α et β sont réels, d où C = C et D = D : on trouve la forme attendue avec A = C et B = D réels. Le cas = 0 est semblable. Si < 0, en notant α = k + iω (k, ω R), on obtient : (Ce iωx + De iωx )e kx = ( Ce iωx + De iωx )e kx. On en déduit D = C, et on trouve la forme attendue en définissant les réels A et B par D = A+iB 2, et en appliquant les formules d Euler. Exemple 11. Solutions à valeurs réelles de 1 y 2y 3y = 0 2 y + ω 2 y = 0 3 y + 2y + y = Cas des équations avec second membre Proposition 9. On considère une solution y de (E) : ay +by +cy = f où a, b, c sont des constantes, a 0 et f une fonction continue définie sur un intervalle I. Les solutions de (E) sont les y + y 0 où y 0 est solution de l équation sans second membre (E 0 ) : ay + by + cy = 0 [6 novembre 2015] ATS , 6 : Équations différentielles 5/6

6 Méthode 2. Cas où le second membre est une exponentielle-polynôme Si le second membre est une fonction «exponentielle polynôme» : de la forme f(x) = P(x)e γx, où P est un polynôme de degré n, on recherche une solution de la forme : Q(x)e γx si γ n est pas solution de l équation caractéristique, xq(x)e γx si γ est solution simple ( 0) de l équation caractéristique, x 2 Q(x)e γx si γ est solution double ( = 0) de l équation caractéristique, où Q(x) = (a 0 + a 1 x + + a n x n ) est un polynôme de degré n, de coefficients inconnus a 0,..., a n. Cette méthode inclut les cas où le second membre est un polynôme (γ = 0) ou une exponentielle (deg P = 0). Exemple 12. Déterminer les solutions à valeurs réelles de 1 y + y = x y 4y + 4y = e 2x 3 y + 5y + 6y = e 2x + 5e x Remarque 10. Le principe de superposition (proposition 3) des solutions s applique : si y 1 est solution particulière de ay + by + cy = f 1 et y 2 est solution particulière de ay + by + cy = f 2, alors y 1 + y 2 est solution particulière de ay + by + cy = f 1 + f 2. Remarque 11. La même méthode s applique pour les équations d ordre 1 à coefficients constants. Remarque 12. Lorsque le second membre fait intervenir des fonctions trigonométriques, on pourra utiliser les relations cos(t) = Re(e it ), sin(t) = Im(e it ) et obtenir une solution particulière à valeurs réelles comme partie réelle ou imaginaire d une solution particulière à valeurs complexes. Exemple 13. Résoudre y + y = cos(x). 4. Autres types d équations différentielles On peut exprimer les solutions de certaines équations non linéaires, la recherche de solutions passe par un changement de fonctions, méthode que l on a pu mettre en œuvre dans la démonstration des théorèmes 6 et 8. Le changement opportun sera indiqué lors des exercices, les méthodes ne sont pas à connaître par cœur. 4.1 Équations de Bernoulli : exemple d équations différentielles non linéaires Méthode 3. Équations de Bernoulli On considère l équation, dite de Bernoulli, y (x) = a(x)y + b(x)y α avec α 0, 1, a et b continues sur un intervalle I (contenu dans R + si α / Z). Soit α N, et y = 0 est solution, dans ce cas aucune autre solution ne s annule, soit α / N, et y ne s annule pas (car y α ne serait pas définie). On cherche une solution qui ne s annule pas, on divise les deux membres par y α. L équation équivaut à y y α = a(x)y 1 α + b(x) dans laquelle on pose z = y 1 α. Exemple 14. Résoudre xy + xy + y 2 e x = Exemple d équation différentielle linéaire d ordre deux à coefficients non constants Remarque 13. Lorsqu on connaît une solution y 0 définie sur I d un équation linéaire d ordre deux à coefficients non constants, ay + by + cy = 0, on peut résout l équation en cherchant une solution de la forme y(t) = C(t)y 0 (t). (variation de la constante) Exemple 15. Résoudre sur ]0 ; + [ l équation 2t 2 y + 3ty y = 0 sachant que y 0 définie par y 0 (t) = 1/t est solution. [6 novembre 2015] ATS , 6 : Équations différentielles 6/6

7 TD du 6 Exercice 1. Équation linéaire d ordre 1 Résoudre l équation différentielle : xy 2y = x 2 ln(x). Exercice 2. Équation linéaire d ordre 1 ATS 2010 Résoudre l équation différentielle : x 2 y xy = x 4 1. Exercice 3. Équations linéaires d ordre 1 à coefficients constants Résoudre l équation différentielle : 1 y + y = e x 2 y + y = cos(2t) 3 y y = te t. 4 y y = te t 5 y y = 2tch(t) Exercice 4. Équation linéaire d ordre 1 Résoudre l équation différentielle : 1 (1 + x 2 )y 2xy = (1 + x 2 ) 2 2 xy + y = e x sur ]0; + [ 3 y + tan(x)y = cos 3 (x) sur ] π 2 ; π 2 [. Exercice 5. Problème de Cauchy du premier ordre Résoudre 1 cos(x)y + sin(x)y = 1 sur ] π 2 ; π 2 [ avec y(0) = 2. 2 (1 x)y (1 + 2x)y = 1 + 2x sur ] 1 ; 1[ avec y(0) = 0 Exercice 6. Équation linéaire d ordre 2 à second membre trigonométrique ATS 2013 Résoudre l équation différentielle : y + 4y = sin(x) + sin(3x). Exercice 7. Équations différentielles linéaires à coefficients constants d ordre 2 Résoudre l équation différentielle : 1 y 2y + y = t 2 + e 2t 2 y + 2y + y = y 2y + 5y = x y + 3y = x 1 Exercice 8. Problème de Cauchy du second ordre Résoudre l équation différentielle : y 3y +2y = sh(2x) avec y(0) = 1 et y (0) = 1 Exercice 9. Équation différentielle autonome On considère l équation différentielle (E) : y = y 2. 1 Trouver une solution simple y 0 définie sur R de (E). 2 Sans résoudre, à l aide du théorème de Cauchy-Lipschitz, démontrer que les autres solutions maximales sont de signe constant, et strictement croissantes. 3 Résoudre (E). Exercice 10. Équation homogène On souhaite obtenir l allure des courbes intégrales de l équation différentielle (y x)y + y = 0 sur R +. 1 On considère la fonction t : x y(x) x. Exprimer y puis y en fonction de t, puis donner une équation différentielle vérifiée par t. 2 On reconnaît une équation à variables séparées : résoudre l équation en exprimant x en fonction de t. En déduire y en fonction de t. 3 Pour C strictement positif fixé, étudier la courbe paramétrée par (x(t) ; y(t)) Représenter les trajectoires qui correspondent à plusieurs valeurs de C. [6 novembre 2015] ATS , TD du 6 1/2

8 Exercice 11. Équations d Euler Soient (a ; b) R 2, I un intervalle de R + et h une fonction continue sur I à valeurs réelles. On considère l équation différentielle (E) : x 2 y + axy + by = h. 1 Par le changement de variable t = ln(x), montrer que résoudre l équation (E) revient à résoudre une équation différentielle linéaire d ordre 2 à coefficients constants. 2 Déterminer les solutions sur R + de (E ) : x 2 y + 3xy + 2y = 1 + x 2. 3 Que doit-on changer pour obtenir les solutions de (E) sur R? Résoudre l équation (E ) sur R. 4 L équation (E ) admet-elle des solutions définies sur R? Exercice 12. Loi de refroidissement de Newton La loi de refroidissement de Newton s énonce ainsi : la vitesse de refroidissement d un corps inerte est proportionnelle à la différence de température entre ce corps et le milieu ambiant à tout instant. À l instant t = 0, un professeur entre dans une salle de classe à 20 o C son gobelet de café chaud, à 80 o C. On note θ(t) la température du café à l instant t. On rappelle que ln(2) 0,7 et ln(3) 1,1. 1 Expliquer pourquoi il existe une constante positive k telle que θ (t) = k(20 θ(t)) pour tout t 0. 2 Exprimer θ(t) en fonction de t et k. 3 Après deux minutes, le café est à une température de 60 o C. Donner une valeur approchée de k à 0,1. 4 À quel moment le professeur boira-t-il son café, qu il aime consommer à une température de 40 o C? Exercice 13. Oscillateurs Soient ω 0 (pulsation propre) et Q (facteur qualité) deux réels strictement positifs. On considère les équations différentielles : (P 0 ) : y + ω 2 0 y = 0 et (A 0) : y + ω 0 Q y + ω 2 0 y = 0 avec conditions initiales y(0) = y 0 et y (0) = 0. 1 Oscillateur harmonique (facteur qualité infini). Résoudre (P 0 ). Que dire des solutions? 2 Oscillateur faiblement amorti. On suppose Q > 1 2 et on note τ = Q ω 0 (temps de relaxation) et ω = ω Q 2 (pseudo-fréquence). Résoudre (A 0 ). 3 Oscillateur fortement amorti. On suppose Q < 1 2. Résoudre (A 0). 4 Relaxation critique. On suppose Q = 1 2. Résoudre (A 0). 5 Application mécanique : on considère un objet de masse m fixé à l extrémité d un ressort (en position verticale) de raideur k, que l on étire d une certaine longueur et que l on lâche. On repèrela position de la masse par son abscisse x(t) repérée sur un axe vertical orienté vers le bas, d origine le point d attache du ressort. On note l la longueur à vide du ressort et g la constante gravitationnelle. À l instant t = 0 l objet se situe à une hauteur x 0 et sa vitesse est nulle. S il n y a pas de frottements, montrer que x vérifie l équation différentielle m k x + x = mg k + l. Déterminer la pulsation propre et le facteur qualité en fonction de m, k, g et l et une expression de x(t). Si la masse est plongée dans un liquide qui provoque une force de frottement opposée au mouvement et proportionnelle à la vitesse, de norme αx. (α est le coefficient de frottement), obtenir une équation différentielle satisfaite par x et décrire le type de mouvement en fonction de α, m, k, g, l. 6 Application électrique : un condensateur de capacité électrique C, initialement chargé d une charge q 0, commence à se décharger dans une bobine d inductance L. On note q la charge électrique du condensateur en fonction du temps. résistance du circuit négligeable : montrer que q vérifie q + ω 2 q(t) = 0 avec ω 0 = 1 LC. Obtenir une expression de la charge q en fonction du temps. résistance du circuit R : montrer que la charge vérifie Lq + Rq + q C = 0. En déduire le type de régime en fonction de R, L et C. 7 Déterminer une solution de l équation y + ω 0 Q y + ω 2 0 x = ω2 0 Aeiωt vec A > 0 et ω > 0. [6 novembre 2015] ATS , TD du 6 2/2

9 Bilan du 6 On abrège : «équation différentielle linéaire d ordre 1» par EDL1 «équation différentielle linéaire d ordre 2 à coefficients constants» par EDL2 «équation différentielle non linéaire» par EDNL Prérequis 1 3 : Complexes : trigonométrie (formules d Euler, et antilinéarisation) : Fonctions usuelles : tout (et surtout : exponentielle, cosinus, sinus)! Objectifs prioritaires 1 EDL (a) savoir trouver des primitives simples (2.1) (b) savoir résoudre une EDL1 sans second membre (c) forme générale des solutions d une EDL1 avec second membre : 2.2 et exemple (d) savoir trouver une solution particulière d une EDL1 avec second membre : i. en trouvant une solution particulière simple : exemple ii. en utilisant la méthode de la variation de la constante (méthode 1 et exemple 10) iii. en utilisant le principe de superposition (proposition 3) (e) savoir refaire les exercices 3, EDL (a) résolution d EDL2 sans second membre si K = R (théorème 8) (b) résolution d EDL2 sans second membre si K = C (proposition 7) (c) connaître la forme générale des solutions d une EDL2 avec second membre (d) solution particulière d EDL2 avec second membre exponentielle-polynôme (méthode 2) (e) savoir refaire l exercice savoir résoudre un problème de Cauchy (trouver les constantes) : exemple (a) savoir refaire l exercice Objectifs secondaires 1 savoir effectuer un changement de fonction indiqué pour résoudre une EDNL (a) exercice connaître le théorème de Cauchy (théorème 1) savoir résoudre une équation différentielle à variables séparées (1.3 et exercice 9) savoir représenter des courbes intégrales d une équation différentielle Approfondissement 1 Connaître les méthodes pour les EDLN de Bernoulli ou homogènes : paragraphe savoir représenter le champ de vecteurs d une équation différentielle résolue en y : [6 novembre 2015] ATS , Bilan du 6 1/1