Équations différentielles

Transcription

1 Équations différentielles

2 De l importance de savoir résoudre une équation différentielle : Apollo 13.

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4 2 f x f y f z 2 = 1 c 2 2 f t 2 Équation de vibration

5 2 f x f y f z 2 = λ f Équation de vibration

6 Notations du chapitre Dans tout ce chapitre n est un entier naturel non nul et I est un intervalle de non vide et non réduit à un point.

7 Généralités

8 Définition 1.1 Équation différentielle On appelle équation différentielle d ordre n (en abrégé é.d.) une équation de la forme F(y (n) (t), y (n 1) (t),..., y (t), y(t), t) = 0 ( ) où F est une fonction définie de n+1 I à valeurs dans et y une fonction inconnue définie sur I, à valeurs dans et n fois dérivable.

9 Définition 1.1 Équation différentielle On appelle équation différentielle d ordre n (en abrégé é.d.) une équation de la forme F(y (n) (t), y (n 1) (t),..., y (t), y(t), t) = 0 ( ) où F est une fonction définie de n+1 I à valeurs dans et y une fonction inconnue définie sur I, à valeurs dans et n fois dérivable. On appelle solution de l équation différentielle toute fonction y de classe n fois dérivable sur I vérifiant l équation différentielle.

10 Définition 1.2 Conditions initiales Soit ( ) une é.d. d ordre n. On appelle conditions initiales la donnée en un point t 0 de I des valeurs de y(t 0 ), y (t 0 ),... y (n 1) (t 0 ). On parle aussi dans ce cas de conditions de Cauchy.

11 Définition 1.2 Conditions initiales Soit ( ) une é.d. d ordre n. On appelle conditions initiales la donnée en un point t 0 de I des valeurs de y(t 0 ), y (t 0 ),... y (n 1) (t 0 ). On parle aussi dans ce cas de conditions de Cauchy. Résoudre le problème de Cauchy c est trouver une solution de l é.d. ( ) qui vérifie les conditions.

12 Définition 1.2 Conditions initiales Soit ( ) une é.d. d ordre n. On appelle conditions au bord la donnée, en n points t 0, t 1,..., t n 1 de I, de la valeur de la fonction y(t 0 ), y(t 1 ),... y(t n 1 ). On parle alors de conditions de Dirichlet.

13 Définition 1.3 Équation différentielle linéaire On appelle équation différentielle linéaire d ordre n un équation de la forme y (n) + a n 1 (t) y (n 1) + + a 1 (t) y + a 0 (t) y = b(t) ( ) où a 0, a 1,..., a n 1 et b sont n + 1 fonctions de I dans.

14 Définition 1.3 Équation différentielle linéaire On appelle équation différentielle linéaire d ordre n un équation de la forme y (n) + a n 1 (t) y (n 1) + + a 1 (t) y + a 0 (t) y = b(t) ( ) où a 0, a 1,..., a n 1 et b sont n + 1 fonctions de I dans. On dit que l équation ( ) est homogène si le second membre est nul.

15 Définition 1.3 Équation différentielle linéaire On appelle équation différentielle linéaire d ordre n un équation de la forme y (n) + a n 1 (t) y (n 1) + + a 1 (t) y + a 0 (t) y = b(t) ( ) où a 0, a 1,..., a n 1 et b sont n + 1 fonctions de I dans. On dit que l équation ( ) est homogène si le second membre est nul. On appelle équation homogène associée à ( ) l équation y (n) + a n 1 (t)y (n 1) + + a 1 (t)y + a 0 (t)y = 0 ( 0 )

16 Théorème 1.4 Structure de l ensemble des solutions d une é.d. homogène Soit ( 0 ) une é.d. linéaire homogène d ordre n. Son ensemble de solution S 0 est un sous-espace vectoriel de D n (I, ).

17 Théorème 1.5 Structure de l ensemble des solutions d une équation différentielle Soit ( ) une é.d. linéaire d ordre n. Son ensemble de solution S est de la forme S = {z + y 0 avec y S 0 } où z est une solution de ( ) et S 0 est l ensemble des solutions de l équation homogène associée.

18 É.d. linéaires du premier ordre

19 Définition 2.1 Équation différentielle du premier ordre On appelle équation différentielle linéaire du premier ordre toute é.d. du type (E) : y + a(x)y = b(x) où a et b sont deux fonctions continues de I dans.

20 Théorème 2.2 Solutions d une é.d. linéaire homogène du premier ordre L ensemble des solutions de l équation différentielle linéaire homogène du premier ordre y + a(x)y = 0 est I S 0 = f : x C exp ( A(x)) où C est une constante réelle et A une primitive de a sur l intervalle I.

21 Théorème 2.3 Problème de Cauchy I Le problème de Cauchy associé à une équation linéaire du premier ordre admet une unique solution.

22 É.d. linéaires du second ordre à coefficients constants

23 Définition 3.1 Équation différentielle du second ordre On appelle équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants toute é.d. de la forme ( ) : ay + by + cy = f(x) où a, b et c sont trois réels fixés, avec a 0, et f est une fonction de I dans.

24 y O x

25 Théorème 3.2 Résolution d une équation différentielle linéaire du second ordre L équation différentielle linéaire ( 0 ) : ay + by + cy = 0 admet sur un ensemble de solutions S 0 qui dépend de deux paramètres réels. Soit ax 2 + bx + c = 0 l équation caractéristique de 0, et = b 2 4ac son discriminant.

26 Théorème 3.2 Résolution d une équation différentielle linéaire du second ordre Si > 0 alors l ensemble de solution de 0 s écrit S 0 = x C 1 e λ1x + C 2 e λ2x avec C 1 et C 2 où λ 1 et λ 2 sont les racines de l équation caractéristique.

27 Théorème 3.2 Résolution d une équation différentielle linéaire du second ordre Si = 0 alors S 0 = x C 1 xe λx + C 2 e λx avec C 1 et C 2 où λ est l unique racine de l équation caractéristique.

28 Théorème 3.2 Résolution d une équation différentielle linéaire du second ordre Si < 0 et si λ 1 = λ + iω et λ 2 = λ iω sont les deux racines complexes conjuguées de l équation caractéristique alors S 0 = x (C 1 cos ωx + C 2 sin ωx)e λx avec C 1 et C 2 = x A cos(ωx + φ )e λx avec A et φ