Mathématiques - ECS1. Formules de Taylor et développements limités. 30 avenue de Paris Versailles

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1 Mathématiques - ECS 4 Formules de Taylor et développements limités Lycée La Bruyère 30 avenue de Paris Versailles c 06, Polycopié du cours de mathématiques de première année.

2 4. Objectifs du chapitre Fonction négligeable au voisinage de 0. Notation f = (g. Fonctions équivalentes au voisinage de 0. Notation f 0 g. f 0 g f = g + (g. Etension au cas 0 = ±. Compatibilité de l équivalence avec le produit, le quotient et l élévation à une puissance. Comparaison des fonctions eponentielles, puissances et logarithmes au voisinage de l infini, des fonctions puissances et logarithmes en 0. Formule de Taylor avec reste intégral. Inégalité de Taylor-Lagrange. On présentera à nouveau les croissances comparées rappelées au premier semestre. Ces formules seront données à l ordre n pour une fonction de classe C n+. Définition d un développement limité. On fera le lien entre un développement limité à l ordre et la valeur de la dérivée. On pourra introduire et manipuler la notation n ε( avant l utilisation éventuelle de la notation o( n. Somme et produit de développements limités. Formule de Taylor-Young à l ordre n pour une fonction de classe C n. Application de la formule de Taylor-Young au développement limité de fonctions usuelles (eponentielle, logarithme, (+ α, sinus et cosinus. Résultat admis. 4. Comparaison locale des fonctions Dans cette section, I désigne un intervalle de R ou une réunion d intervalles de R. Si 0 est un point de I ou une etrémité finie de I, on appelle de voisinage de 0 toute partie de la forme ] 0 η, 0 + η[ I où η est un réel strictement positif. On appelle de voisinage de + toute partie de la forme [A, + [ I où A est un réel. On appelle de voisinage de toute partie de la forme ], B] I où B est un réel. 4.. Prépondérance (négligeabilité Définition. Soit f, g : I R et 0 un élément de I ou une etrémité finie de I. On dit que f est négligeable devant g (ou que g est prépondérante par rapport à f au voisinage de 0 si : il eiste η > 0 et une fonction ε : I ] 0 η, 0 + η[\{ 0 } R avec lim 0 ε( = 0 tels que I ] 0 η, 0 + η[\{ 0 }, f ( = ε(g(. On note alors f = o (g ou f ( = o (g(. (0 ( 0

3 4. Comparaison locale des fonctions 3 Définition. Soit f, g : I R avec I de la forme a, + [. On dit que f est négligeable devant g (ou que g est prépondérante par rapport à f au voisinage de + si : il eiste α > 0 et une fonction ε : I ]α, + [ R avec lim + ε( = 0 tels que I ]α, + [, f ( = ε(g(. On note alors f = o (g ou f ( = o (g( (+ (+ La définition de la négligeabilité en est analogue. Conséquence : en pratique, si g ne s annule pas sur I\{ 0 } lorsque 0 I alors f ( f = o (g ssi lim (0 0 g( = 0 Eemple. On considère les fonctions f, g, h définies sur R par Pour tout R, g( = f ( et lim 0 f ( =, g( =, h( = 4. De même, pour tout R, h( = g( et lim 0 = 0 donc g = o ( f. ln Eemple. On a lim = 0 donc ln = o + ( (+ f ( g( = e = 3 = 0 donc h = o (g. Eemple 3. On pose pour > 0, f ( = e et g( = 3. Pour > 0, ( 3 e et lim 0 ( 3 e = lim y + y3 e y = 0 donc f = o (g. Eercice. Comparer les fonctions suivantes pour la relation de négligeabilité, au voisinage de 0, puis au voisinage de + : f ( =, g( = 3, h( = ln Eercice. Comparer les fonctions suivantes pour la relation de négligeabilité, au voisinage de + : f ( = e, g( = e, h( = ( + e Proposition. Soit f, g : I R et 0 un élément de I ou une etrémité de I éventuellement infinie.

4 4 ( si f = o (g et g = o (h alors f = o (h (0 ( 0 ( 0 ( si f = o (g (0 et f = o (g (0 alors f f = o (g (0 g (3 si f = o (h et g = o (h alors pour tout λ R, λ f + g = o (h (0 ( 0 ( 0 Théorème des croissances comparées. Comparaison des fonctions de référence au voisinage de 0 et +. ( si α < β alors β = o ( α et α = o (+ (β ( si r > 0, p > 0 alors (a (ln r = o (+ (p (b r = o (+ (ep ( (c (ln p = o r Eercice 3. Comparer les fonctions suivantes au voisinage de + : f ( = (ln, g( = ln(ln 4.. Equivalence Définition 3. Soit f, g : I R et 0 un élément de I ou une etrémité de I éventuellement infinie. On dit que f est équivalente à g au voisinage de 0 si au voisinage de 0, on a f = g + o (g. (0 On note alors f g ou f ( g( (0 ( 0 Traduction : f est équivalente à g au voisinage de 0 si et seulement si il eiste η > 0 et une fonction ε : I ] 0 η, 0 + η[\{ 0 } R avec lim 0 ε( = 0 tel que I ] 0 η, 0 + η[\{ 0 }, f ( = ( + ε(g( La traduction est analogue dans le cas 0 = ±. Conséquence : si g ne s annule pas sur I\{ 0 } lorsque 0 I alors f ( f g ssi lim (0 0 g( = sin Eemple 4. On a lim = donc sin Eemple 5. De même, lim = donc (+

5 4. Comparaison locale des fonctions 5 Eemple 6. On a lim 0 cos = donc cos. Eercice 4. Déterminer un équivalent de ln ln au voisinage de +. Proposition. Soit f, g : I R et 0 un élément de I ou une etrémité finie de I. Si f (0 g alors g ( 0 f. Equivalents classiques à connaitre Proposition 3. Si 0 I et si f est dérivable en 0 avec f ( 0 0 alors f ( f ( 0 (0 f ( 0 ( 0 Proposition 4. Equivalents classiques. ( sin, tan, cos ( ln( +, e (3 Pour tout α > 0, ( + α α. (4 Arctan Eercice 5. Soit f une fonction telle lim f ( =. Montrer que ln( f ( f (. 0 (0 Eercice 6. Déterminer un équivalent de ln ( + au voisinage de 0. Eercice 7. Soit f une fonction telle f (. Déterminer un équivalent de cos f ( au voisinage de 0. Propriétés de la relation d équivalence Soit f, g : I R et 0 un élément de I ou une etrémité de I éventuellement infinie. Proposition 5. Si f possède une limite finie l non nulle en 0 alors f ( (0 l.

6 6 Proposition 6. Si f g et si lim g( = l R {+, } alors lim f ( = l (0 0 0 Proposition 7. On suppose que f (0 g. ( Si g ne s annule pas au voisinage de 0 alors il en va de même pour f au voisinage de 0. ( Si g est positive au voisinage de 0 alors il en va de même pour f au voisinage de 0. Opérations sur les équivalents Toutes les fonctions considérées sont définies sur I et 0 un élément de I ou une etrémité de I éventuellement infinie. Proposition 8. Opérations sur les équivalents. ( Si f g et g h alors f h. (0 ( 0 ( 0 ( Si f g et f g alors f f g (0 (0 (0 g. (3 Soit n N. Si f g alors f n (0 (0 gn. (4 Si f g et si au voisinage de (0 0, g ne peut s annuler qu en 0 alors au voisinage de 0, f ne peut s annuler qu en 0 et f ( 0 g. Eemple 7. Pour tout R, on pose f ( = Alors f ( (+ 5. Eemple 8. cos = cos cos π cos ( π π ( π π et au voisinage de π, π ne s annule qu en π donc. Remarque. Il n y a pas de compatibilité avec la somme! Par eemple, + + et (+ mais (++( = n est pas équivalent au voisinage de + à (++( =. (+ Remarque. Attention au passage à l eponentielle! Il n est pas toujours vrai que f implique e f (0 eg. Par eemple, + mais e + n est pas équivalent au voisinage de (+ + à e. On a le résultat suivant : e f (0 eg ssi f g = o (. (0 (0 g Eercice 8. En utilisant les équivalents, déterminer la limite lim 0 cos cos tan Eercice 9. En utilisant les équivalents, déterminer la limite + lim 4 + ln + +

7 4.3 Formule de Taylor avec reste intégral Formule de Taylor avec reste intégral Soit I un intervalle de R non vide. On rappelle que f est de classe C n sur I si f est n fois dérivable et si f (n est continue sur I Formule de Taylor avec reste intégral Formule de Taylor avec reste intégral. Si f est de classe C n+ sur l intervalle I alors pour tout a I, b I f (b = f (a + (b a f (a + f (a! b (b t n + f (n+ (tdt a n! ou encore f (b = (b a f (n (a (b a n n! f (k (a b (b a k (b t n + f (n+ (tdt k! a n! 4.3. Inégalité de Taylor-Lagrange Inégalité de Taylor-Lagrange. Si f est de classe C n+ sur l intervalle [a, b] alors en posant M = ma f (n+ (, on a [a,b] ( f (b ou encore f (a + (b a f (a + f (a! f (b (b a f (n (a (b a n b a n+ M n! (n +! f (k (a (b a k b a n+ M k! (n +! Remarque 3. Appliquée avec n = 0, on obtient l inégalité des accroissements finis : Inégalité des accroissements finis : si f est de classe C sur [a, b] alors en posant M = ma [a,b] f (, on a f (b f (a M b a Eemple 9. La fonction cos est de classe C sur R : on peut donc appliquer l inégalité de Taylor-Lagrange à tout ordre n N. De plus pour tout n N cos (n = ( n cos, cos (n+ = ( n sin de sorte que pour tout n N, pour tout R, cos (n (. Donc pour tout R, et tout N N N cos ( k k N+ (k! (N +!

8 8 Eemple 0. La fonction ep est de classe C sur R : on peut donc appliquer l inégalité de Taylor-Lagrange à tout ordre n N. De plus pour tout n N ep (n = ep et pour tout R, e e. Donc pour tout R, et tout N N N e k e N+ k! (N +! 4.4 Notion de développement limité 4.4. Définition Soit I un intervalle d intérieur non vide et 0 un élément de I ou une borne finie de I, n un entier naturel et f : I R une application. Définition 4. On dit que f admet un développement limité au voisinage de 0 à l ordre n si ( il eiste un polynôme P = a 0 + a X +... a n X n de degré inférieur ou égal à n : ( il eiste η > 0 et une fonction ε : I ] 0 η, 0 + η[ R telle que lim 0 ε( = 0 et pour tout I ] 0 η, 0 + η[ f ( = P( 0 + ( 0 n ε( = a 0 + a ( a n ( 0 n + ( 0 n ε( = a k ( 0 k + ( 0 n ε( La partie polynômiale P( 0 s appelle partie régulière du développement limité de f à l ordre n en 0. La quantité f ( P( 0 s appelle le reste du développement limité de f à l ordre n en 0. Remarque 4. La translation h 0 + h permet de rammener l étude de f au voisinage de 0 à celle de la fonction g définie par g(h = f ( 0 + h au voisinage de 0 En effet, écrire f ( = a k ( 0 k + ( 0 n ε( lorsque est au vois. de 0 avec lim 0 ε( = 0 revient au même que d écrire f ( 0 + h = a k h k + h n ε(h lorsque h est au vois. de 0 avec lim h 0 ε(h = 0. Pratiquement, on a posé = 0 + h et ε(h = ε( 0 + h. Si f admet un développement limité au voisinage de 0 à l ordre n alors f ( a k ( 0 k lim 0 ( 0 n = lim ε( = 0 0

9 4.4 Notion de développement limité 9 c est à dire que le reste f ( de 0. a k ( 0 k est négligeable devant ( 0 n au voisinage Le développement limité de f au voisinage de 0 se note donc aussi f ( = a k ( 0 k + o (( (0 0 n ou encore f ( 0 + h = a k h k + o (h n. Dans la suite, on se ramènera toujours à des développements limités au voisinage de 0 et on écrira f dl n ( 0 pour écrire que f admet un développement limité au voisinage de 0 à l ordre n. Eemple. On pose pour 0, f ( = 3 sin et f = 0. Pour tout 0, f ( = ε( avec ε( = sin. Pour tout 0, ε( donc lim ε( = 0. Donc f dl 0 et f ( = 0 + o (. Eemple. On pose f ( = ( + 5 pour R. On a d après la formule du binôme : pour tout R 5 ( 5 f ( = k k k= = ε( où on a posé ε( = l ordre en 0 est : 5 k= ( 5 k. Comme lim ε( = 0, le développement limité de f à k 0 f ( = o ( Eemple 3. On pose pour <, f ( =. Avec l identité : on a pour tout < pour tout, n N, n+ = n f ( = n + n ε( où on a posé ε( =. Comme lim ε( = 0, la fonction f admet un développement 0 limité à l ordre n au voisinage de 0 qui est f ( = n + o ( n Eemple 4. On pose pour >, f ( =. D après l eemple précédent, f admet + un développement limité à l ordre n au voisinage de 0 qui est f ( = ( n n + o ( n = ( k k + o ( n

10 Formule de Taylor-Young La proposition suivante donne une condition suffisante d eistence d un développement limité. Formule de Taylor-Young. Soit I un intervalle d intérieur non vide, 0 I et f une fonction de classe C n sur I. Alors f admet un développement limité à l ordre n au voisinage de 0 qui est : f ( = f (k ( 0 ( 0 k + o k! (( (0 0 n Eercice 0. Soit 0 R tel que 0 < 0 < π. Donner le dl 3 ( 0 de la fonction définie par f ( = ln(sin. En déduire le dl 3 ( π de f. Application au fonctions usuelles. Les fonction usuelles sont de classe C au voisinage de 0 donc admettent un développement limité à tout ordre au voisinage de 0 : e = +! +! + + n n! + o (n n cos =! + 4 4! + + ( n. (n! + o n+ (n+ sin = 3 3! + 5 5! + + ( n. (n +! + o tan = o ( 8 (n+ ( + α = + α + α(α + +! + = ( n n + o ( n α(α (α n + n + o ( n n! + = ( n (n 3. n n + o ( n n! = ( n (n. n n + o ( n n! ln ( + = ( n. n n + o (n Arctan = ( n. n+ n + + o (n+

11 4.4 Notion de développement limité Eercice. Donner le dl 3 de la fonction définie par f ( = ln( +. Eercice. Donner le dl 5 de la fonction définie par f ( = e Propriétés des développements limités a Unicité, troncature, parité Soit I un intervalle d intérieur non vide, 0 un élément de I ou une etrémité finie de I et f une fonction définie sur I. Proposition 9. La partie régulière du développement limité quand il eiste est unique : si f dl n ( 0 avec f ( = P( 0 + o ( (0 0 n = Q( 0 + o ( (0 0 n alors P = Q. Proposition 0. Soit n N. Si f dl n ( 0 alors pour tout entier naturel k n, f dl k ( 0 et la partie régulière du dl de f à l ordre k s obtient en tronquant à l ordre k la partie régulière du dl de f à l ordre n. Proposition. On suppose I centré en 0 et f dl n avec f ( = P( + o ( n ( si f est paire alors P est pair ( si f est impaire alors P est impair b Continuité et dérivabilité Proposition. Soit I un intervalle d intérieur non vide, 0 I et f une fonction définie sur I. ( f est continue en 0 ssi f dl 0 ( 0 ( f est dérivable en 0 ssi f dl ( 0 Remarque 5. Cette propriété ne se généralise pas au dérivées d ordre supérieur ou égal à comme le montre l étude de la fonction f ( = 3 sin prolongé en 0 par 0. c "Primitivation" La proposition suivante est très utile pour obtenir un développement limité lorsque l on connaît celui de la dérivée. Elle dit essentiellement que si f dl n ( 0 et si F est une primitive de f alors F dl n+ ( 0 et le développement limité de F s obtient en primitivant celui de f.

12 Proposition 3. Soit f une fonction continue sur l intervalle I, 0 un élément de I et F la primitive de f qui s annule en 0 : pour tout I, F( = Si alors F( = 0 f (tdt. f ( = a 0 + a ( a n ( 0 n + o (0 (( 0 n 0 f (tdt = a 0 ( 0 + a ( n + a n( 0 n+ + o (0 (( 0 n+ Eemple 5. Au voisinage de 0, + = + + o (. Par conséquent, au voisinage de 0, ln( + = o ( 3 Remarque 6. Attention, on peut "primitiver" un développement limité mais on n a pas le droit en général de dériver un développement limité. (voir la remarque Règles de calcul 4.5. Linéarité Soient f, g : I R, 0 un élément de I ou une etrémité finie de I et n N. Proposition 4. Si f dl n ( 0 de partie régulière P( 0 et g dl n ( 0 de partie régulière Q alors pour tout λ R λ f + g dl n ( 0 de partie régulière λp( 0 + Q( 0 Eemple 6. Pour tout R, on pose ch = e + e. Au voisinage de 0, on a ( (n! n + ( + ( + ( (n! ( n 4.5. Produit ch = = + + 4! (n! n + o ( n + o ( n Proposition 5. Si f dl n ( 0 de partie régulière P et g dl n ( 0 de partie régulière Q alors f g dl n ( 0 et la partie régulière est obtenue en formant le produit PQ et en ne retenant que les termes de degré inférieur ou égal à n. Eemple 7. dl 3 de e +. Au voisinage de 0, e = o ( 3, + = ( + = o ( 3

13 4.6 Applications des développements limités. 3 donc e + = ( o ( 3 ( o ( 3 = + + ( ( o ( 3 = o ( 3 Eercice 3. dl 5 de sin cos( Eercice 4. dl 5 de tan Eercice 5. dl 4 de cos ln( + Eercice 6. dl 3 de ( + 3 ( + cos tan Eercice 7. Déterminer lim. 0 sin tan 4.6 Applications des développements limités Etude de limites ( + e Eemple 8. Etudier la limite lim. 0 On a ( + = e ln(+ et au voisinage de 0, donc ln( + = + o ln( + ( donc = + o ( ( + e = e(e + o ( Au voisinage de 0, on a e u = u + o (u donc par substitution, ( + e = e( + o ( ce qui conduit à ( + e = e + o (

14 4 et donc ( + e lim = e 0 ( ( Eemple 9. Etude de la limite de u n = e + n n + n + n Eercice 8. Etude de la limite de u n = ( ( cos nπ 3n + ( + sin nπ 6n + n Eercice 9. Etude de la limite de u n = ( 3 n n 3 n 4.6. Etude d une fonction à une borne eclue de son domaine de définition Soit f : I R, 0 une borne de I n appartenant pas à I et C la courbe représentative de f dans un repère (O, i, j Règle : si f dl ( 0 : f ( = a 0 + a ( 0 + o (0 ( 0 alors f se prolonge par continuité en 0 en posant f ( 0 = a 0. La fonction ainsi prolongée est alors dérivable en 0 et f ( 0 = a. La courbe C admet une tangente en ( 0, f ( 0 dont l équation est y = a 0 + a ( 0. ln ln Eemple 0. Etude de f : au voisinage de. La fonction f : est définie, continue et dérivable sur ]0, [ ], + [. Etudions f au voisinage de. Posons = + h : lorsque h 0, ( + h ln( + h f ( + h = h = h ( + h(h h + h3 3 + o (h3 = ( + h( h + h 3 + o (h = + h h 6 + o (h donc au voisinage de, f ( = + ( 6 ( + o ((. La fonction f se prolonge donc en une fonction continue et dérivable en en posant f ( =. Règle : si f dl n ( 0 avec n : f ( = a 0 + a ( 0 + a p ( 0 p a n ( 0 n + o (0 ( 0 où p = min{k, n, a k 0} alors localement la position de la courbe C par rapport à sa tangente en ( 0, a 0 est donnée par le signe de a p ( 0 p. Eemple. Dans l eemple précédent, la tangente à la courbe de f en (, a pour équation y = + ( et elle est au dessus de la courbe de f au voisinage du point (,.

15 4.6 Applications des développements limités. 5 Eemple. Etudions f : ln(tan au voisinage de π. La fonction f : ln(tan 4 est continue et dérivable sur ]0, π [. Posons = π + h : lorsque h 0, 4 tan( π + tan h + h = 4 tan h = tan h = h h3 3 + o (h3 = ( + h + h3 3 + h + h 3 + o (h 3 = + h + h + 8h3 3 + o (h3 ln(tan( π 4 + h = (h + h + 8h3 3 (4h + 8h (8h3 + o (h 3 donc au voisinage de π 4, = h + 4h3 3 + o (h3 ln(tan = ( π ( π o (( π 4 3 La tangente à la courbe de f en ( π 4, 0 a pour équation y = ( π 4 et elle est au dessous de la courbe de f à gauche du point ( π 4, 0 et au dessus à droite. La courbe traverse donc sa tangente en ce point : c est un point d infleion. Règle 3 : on suppose 0 = + (ou 0 =. Si f admet un développement limité généralisé de la forme f ( = a + b + a ( p p + o (+ p avec a p 0 alors la droite d équation y = a + b est dite asymptote à la courbe C en +. La position de C par rapport à l asymptote est alors donnée par le signe de a p p. ( Eemple 3. Etude de f ( = Arctan sur R\{}. On a lim f ( = π et lim + f ( = π donc f ne se prolonge pas en. Quand +, f ( π et de même en. 4 Cherchons un développement généralisé de f en +. Quand 0, f ( = ( Arctan Comme et qu au voisinage de 0 ( d d Arctan = + + = ( + ( + ( + o ( = o ( on a par "primitivation" ( Arctan = π o (3

16 6 donc donc au voisinage de + f ( = π o ( f (y = π 4 y + + 4y + y + o (+ ( y La droite d équation y = π 4 + est donc asymptote à la courbe de f en + et en et la courbe de f est au dessus de cette asymptote au voisinage de + et au dessous au voisinage de. Eercice 0. Complétez l étude locale de f en. 4.7 Eercices Comparaison locale Eercice. Trouver une suite simple équivalente à (a u n = n n n 3 (b u n = 4 n (c u n = ln(n + ln n (d u n = (e u n = + où > n ( k k k=n+ k= (f u n = ( n k pour k fie. (g u n = n (ln(n + ln n n + (n + ln(n + (h u n = n3 n + (i u n = (j u n = k= k k k= Eercice. Trouver un équivalent simple pour les fonctions suivantes au voisinage du point 0 indiqué : (a e e pour 0 = 0 (b + pour 0 = 0 (c ln( sin pour 0 = π 6 cos( (d ln( + sin pour 0 = 0 (e pour 0 = 3 (f ( + 3 e pour 0 = + (g pour 0 = 0 (h e e pour 0 = + (i ln( + sin pour 0 = 0 (j + ln pour 0 = 0

17 4.7 Eercices 7 3 pos- Eercice 3. Montrer que la n-eme racine positive n de l équation tan = sède le développement (généralisé suivant : n = nπ + π nπ + ( n π + o n Eercice 4. Utiliser les équivalents pour calculer les limites suivantes (a lim ( + n n (f lim n + ln (b lim ( n n ln(tan n + (g lim π n ( cos( n (c lim Arctan( n 4 sin cos ln( n + tan (h lim n 4 (d (e lim n + lim n + n n n + n + ( n n n + (i lim ( + + (e cos e (j lim π 3 e sin(3 cos Eercice 5. Montrer que k= ln n. k Formules de Taylor Eercice 6. Démontrer en utilisant une formule de Taylor avec reste intégral, les inégalités suivantes : (a R, (b 0, e ln( +. Eercice 7. Montrer que pour tout réel positif, ln( + En déduire que la série k ( k= ( k converge et donner sa somme. k k k n+ k n +. Eercice 8. Soit f : R R une fonction de classe C. Montrer que, pour tout 0 R f ( 0 + h + f ( 0 h f ( 0 lim = f ( h 0 h 0.

18 8 Eercice 9. Soit f C (R, R telle que f = 0 et (u n n N une suite de réels telle que les séries u n et u n convergent. n 0 n 0 Montrer que la série f (u n converge. n 0 Eercice 30. Soit f une application de classe C de R dans R. On suppose que f et f sont bornées sur R et on note M 0 = sup f(, M = sup f (. R R ( Montrer que pour tout réel et pour tout h > 0, on a : f ( + h f ( h f ( M h et f ( h f ( + h f ( M h. En déduire que pour tout réel et pour tout h > 0 : f ( M 0 h + M h ( Montrer que f est bornée sur R et que : sup f ( M 0 M R Développements limités Eercice 3. Développement limité à l ordre 4 en 0 des fonctions suivantes e, ln( +, tan + Eercice 3. En utilisant les développements limités, déterminer un équivalent des epressions suivantes au voisinage de 0 : (a (b (c (d sin ln( + pour 3 0 = 0 + ln( pour 3 0 = 0 sin( 3 e + e pour 0 = pour 0 = + + ln( (e pour 0 = 0 e e (f ln + cos( π pour 0 = tan (g cos( pour 0 = π (h ln( + pour 0 = + (i e + cos pour 0 = 0 Eercice 33. Etudier la limite de la fonction (a ln( + en 0 = 0 (b tan en 0 = (c en 0 = 3 + (d ln(cos en 0 = 0 sin( sin (e en 3 ln( 0 = 0 3 (f tan sin en 0 = π 4 (g sin( + cos + sin + cos en 0 = π e + e (h en 0 = e ln

19 4.7 Eercices 9 Eercice 34. En utilisant un développement ( limité de ln( + en 0, étudier la convergence de la série de terme général u n = n. n Eercice 35. En utilisant un développement limité de + en 0, étudier la convergence de la série de terme général u n = n 4 + n n 4 + an où a est un paramètre réel. Eercice 36. Déterminer des réels a et b pour que ( + lim 0 + a b = 0 ( e Eercice 37. La fonction définie sur R par f ( = ln pour 0 et f = 0 est-elle dérivable en 0? Applications diverses. Eercice 38. On pose, pour tout entier n supérieur ou égal à : v n = v n ln(n. (a Montrer que pour tout n N, w n w n+ 0. k= k et w n = (b Déterminer le développement limité à l ordre, au voisinage de 0, de ln( + + (c En déduire que, au voisinage de + : w n w n+ = ( n + o n (d Montrer que la série de terme général w n w n+ est convergente. (e En déduire que la suite (w n converge.. Eercice 39. Soit f la fonction définie sur [0, ] par f ( = e. (a Montrer que f est indéfiniment dérivable sur [0, ]. (b Justifier l eistence d un développement limité pour f et f au voisinage de à tout ordre. En utilisant les développements limités, déterminer un équivalent de f ( et f ( au voisinage de. (c Montrer que f réalise une bijection de [0, ] sur lui-même. (d Montrer que f (y est équivalent à ( y au voisinage de.

20 0 Eercice 40. Soit f une fonction de classe C sur l intervalle [, ]. On suppose que f = 0 et qu il eiste A > 0 tel que [, ], f ( A. On définit une suite (u n par la formule u n = f k= ( k n ( A l aide de l inégalité de Taylor-Lagrange, montrer qu il eiste M > 0 tel que [, ], f ( f M. ( Pour tout n N, on pose s n = u n f k n. Montrer que s n = u n f n + n. (3 (a Montrer que pour tout n N, s n k= f k= ( k n f k n. (b Montrer que pour tout n N (n + (n +, s n M 6n 3 (4 Montrer que la suite (u n converge et déterminer sa limite. Eercice 4 (Règle de Raabe-Duhamel. On considère une suite (u n n N strictement positive telle que pour tout n N u n+ u n = α n + β n où α, β sont deu réels. Pour tout n, on pose a n = n α u n et γ n = a n+. a n n ( Montrer que pour tout n N, a n = a ( + γ k. k= ( (a Montrer que la série ln( + γ k converge. k (b En déduire que la suite (ln(a n n converge. (c En déduire qu il eiste L > 0 tel que u n L n α (3 Conclure quant à la nature de la série u n. n Eercice 4. Soit (u n n N la suite définie par u = et la relation de récurrence u n+ = un + ( u n n ( Montrer que : n N, u n = n sin ( π n. ( Déterminer la limite de la suite (u n. (3 Montrer que pour tout n N, on a : π u n π3 6 4 n.

21 4.7 Eercices (4 Soit p N fié. Montrer que lorsque n tend vers +, u n admet le développement suivant : u n = π π3 6 4 n + + π p+ ( p + o( (p +! 4pn 4 pn (5 On définit une nouvelle suite (v n par : n N, v n = 3 ( u n + 4u n+. Montrer que la suite (v n converge vers π et qu au voisinage de +, on a : (v n π = o(u n π. (6 Donner un équivalent de (v n π lorsque n tend vers +. Eercice 43 (Etude asymptotique des solutions de l équation sin ln( =.. Soit f la fonction définie sur ]0, + [ par f ( = sin ln. On note E l équation : (E sin ln( =. ( Montrer que] pour tout n, il eiste une unique solution n à l équation E dans l intervalle nπ, nπ + π [ ( Etude de l équation dans l intervalle ]nπ + π [, (n + π pour n N. (a Montrer que pour tout ]nπ + π [, (n + π, f ( = cos ( ln + tan (b Soit g la fonction définie sur ]nπ + π [, (n + π par g( = ln +tan. En étudiant les variations de g, établir le signe de f. (c En déduire les variations de f sur ]nπ + π [, (n + π et montrer qu il eiste une unique solution y n à l équation E dans l intervalle ]nπ + π, (n + π [. (3 Déterminer des équivalents simples de n et y n. Montrer que ln n ln n. (4 (a Pour tout n N, on pose u n = n nπ. Montrer que u n 0 puis que u n ln n. (b En déduire alors que n = nπ + ln n + o( ln n. (c Montrer que y n = nπ + π ln n + o( ln n.