La continuité des fonctions (1) Notions générales Approche graphique

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1 TS La contnuté des fonctons (1) Notons générales Approche graphque II. Exemples 1 ) Exemple 1 La foncton «carré» est contnue sur. Dans ce chaptre, on va s ntéresser à une nouvelle famlle de fonctons, très mportante en analyse, dont l ntérêt n apparaîtra que dans le chaptre suvant. y x 2 I. Noton ntutve de contnuté La noton est explctée dans le cadre graphque. 1 ) «Défnton» n dt qu une foncton défne sur un ntervalle I est contnue sur I s sa courbe représentatve ne présente aucune rupture (on peut tracer la courbe sans lever le crayon de la feulle). Une défnton plus mathématque sera donnée dans l ensegnement supéreur. Le programme demande de se lmter à une approche ntutve et «naïve». Cette année, on se contentera donc de cette «défnton». Du coup, toutes les proprétés des fonctons contnues seront admses sans démonstraton. 2 ) Illustraton graphque permettant de comprendre l dée de contnuté 2 ) Exemple 2 La foncton «nverse» est contnue sur ; 0 et sur 0 ;. Sa courbe représentatve est consttuée de deux morceaux (on parle de «branches») ; chacun d eux peut être tracé sans lever le crayon ; l y a pour cela deux tracés séparés. C f 1 y x La courbe est tracée sans lever le crayon sur tout l ntervalle. En gros, l n y a pas d arrêt n de redémarrage. n dra que la courbe est contnue ou que le tracé est «contnu». Le terme de contnu sera cependant réservé aux fonctons. 1 2

2 3 ) Exemple 3 La courbe C c-dessous est la représentaton graphque d une foncton f défne sur l ntervalle C 3 ; 2. 2 ) Commentares La proprété précédente exprme que la dérvablté entraîne la contnuté. En revanche, la récproque de cette proprété est fausse : la contnuté n entraîne pas la dérvablté (s une foncton est contnue sur un ntervalle, elle n est pas forcément dérvable sur cet ntervalle). Par exemple : - la foncton «valeur absolue» est contnue sur mas n est pas dérvable en 0. - la foncton «racne carrée» est contnue sur 0 ; mas n est pas dérvable en 0. La contraposée de la proprété est vrae c est-à-dre que la non-contnuté entraîne la non-dérvablté (s une foncton n est pas contnue sur un ntervalle, alors elle n est pas dérvable sur cet ntervalle). 3 ) Corollare Les fonctons polynômes sont contnues sur. n a un pont de non-contnuté (rupture). La courbe présente une rupture au nveau du pont d abscsse 1. La foncton f n est pas contnue sur l ntervalle 3 ; 2 (elle présente une dscontnuté en 1). III. Contnuté des fonctons de référence 1 ) Proprété (admse sans démonstraton) Les fonctons affnes, «carré», «nverse», «racne carrée», «cube», «valeur absolue», «cosnus», «snus» sont contnues sur tout ntervalle nclus dans leur ensemble de défnton. 2 ) Autres fonctons La foncton x x n ( n ) est contnue sur. La foncton x 1 n x * ( n ) est contnue sur ; 0 et sur 0 ;. IV. Len entre contnuté et dérvablté 1 ) Proprété (admse sans démonstraton) Une foncton dérvable sur un ntervalle I est contnue sur I. Les fonctons ratonnelles sont contnues sur leur ensemble de défnton. V. pératons sur les fonctons contnues 1 ) Proprété 1 (admse sans démonstraton) La somme de deux fonctons contnues sur I est contnue sur I. Le produt de deux fonctons contnues sur I est contnu sur I. Le quotent d une foncton contnue sur I par une foncton contnue sur I, qu ne s annule pas sur I, est contnu sur I. 2 ) Proprété 2 (admse sans démonstraton) La composée de deux fonctons contnues est contnue. 3 ) Pont-méthode : comment ustfer la contnuté d une foncton sur un ntervalle n regarde s f est une foncton polynôme. n regarde s f est une foncton ratonnelle. n applque les règles d opératons. 3 4

3 VI. Un exemple de foncton non contnue : la foncton parte entère 1 ) Défnton de la parte entère d un réel Pour tout réel x, l exste un unque enter relatf n tel que l on at n x n 1. large strct Cet enter relatf n est appelé la parte entère de x. E x. n le note n a donc : x x x 2 ) Exemples E 5,7 5 E 3,6 4 E 2 2 E 3 E n n E E 1. car 5 5,7 6 (la parte entère d un réel postf correspond à sa troncature * à l unté) car 4 3,6 3 car car 3 4 pour n car n n n 1 ** * La troncature d un décmal consste à couper les décmales du nombre à partr d un rang donné ; la troncature à l unté consste à lasser tomber tous les chffres après la vrgule. Il faut ben noter que l expresson «parte entère» est employée en 6 e pour un nombre décmal postf pour désgner le nombre formé par les chffres avant la vrgule (parte avant la vrgule). n emploe également à cette occason l expresson «parte décmale». Le sens coïncde avec évdemment avec celu donné dans ce cours (mas unquement pour les nombres décmaux postfs). ** Il faut ben se souvenr de la sgnfcaton pas évdente quand on le vot pour la premère fos du symbole («nféreur ou égal»). Par exemple, on peut ben écrre 2 3 (même s 2 n est pas égal à 3). Autre formulaton : La parte entère d un réel x est le plus grand enter relatf nféreur ou égal à x. 3 ) Caractérsaton de la parte entère d un réel 4 ) Sur la calculatrce Sur calculatrce TI : Appuyer sur la touche math, sélectonner NUM pus chosr 5 : Int( enter en anglas] ou partent( [abrévaton de parte entère]. [«Int» pour «nteger» qu veut dre Attenton, la commande Part que l on obtent en chosssant 3 ne donne pas la parte entère mas la troncature à l unté du nombre ; autrement dt : Part( nt (par exemple, avec 3,5 : Part 3,5 3 alors que la parte entère de 3,5 est égale à 4). La troncature à l unté est égale à la parte entère unquement dans le cas où le nombre est postf ou s c est un enter négatf. En revanche, elle n est pas égale à la parte entère pour un réel négatf non décmal. TI-83 Premum CE Aller dans math, sélectonner NBRE pus chosr 5 : partent Attenton, le chox 3 : ent( correspond à la troncature à l unté). n ne l utlse pas. Sur calculatrce CASI : PTN pus NUM (la touche F5 ) pus Intg (la touche F5 ). 5 ) Proprété mportante Énoncé x Démonstraton Hypothèses H 1 : x H 2 : n H 3 : p E n E x n E x n x E x C 1 : n n sgnfe C 2 : n x n 1 But : démontrer que E x n p n. H 3 donne p x p 1 1 p n x n p n + n Le nombre p n vérfe les deux condtons : C 1 : p n est un enter relatf (car p et n ) C 2 : p n x n p n 1 D après la caractérsaton de la parte entère, on en dédut que E x n p n. 5 6

4 Donc E E x n x n. E 1, 2 3,9 E 5,1 5 E 1, 2 E 3, Il faut que n. Par exemple, E x 4,5 ne peut être smplfé. 6 ) La foncton «parte entère» Défnton n appelle foncton «parte entère» la foncton E : x E x La foncton «parte entère» est à valeurs dans. Représentaton graphque x 0 ;1 x 1; 2 E x 0 E x 1 Pour enlever les petts «murs» - Pour les calculatrces TI Appuyer sur la touche mode, pus modfer «Connected» en «Dot» (qu sgnfe «pont» en anglas) ou «Relé» en «Non relé». - Pour les calculatrces CASI Dans le menu GRAPH, 2de Set up D-Type : Plot Dans ce cas, la calculatrce ne place que les ponts qu elle a «calculés», comme on s en rend compte en lu demandant de tracer la courbe représentatve de la foncton «carré». La foncton «parte entère» est un exemple mportant de foncton non contnue. D autres exemples de fonctons non contnues (en partculer ssues de stuatons concrètes) seront donnés en exercces. - Sur Geogebra La parte entère est notée floor( ). VI. Un autre exemple de foncton non contnue : la foncton de répartton d une varable aléatore dscrète Sot X une varable aléatore qu prend un nombre fn de valeurs. n note F X sa foncton de répartton. Il s agt d une foncton constante par ntervalles. Sa représentaton graphque est consttuée de deux dem-drotes et de segments. Il n y a donc pas de mons d arrêt «en» et «en +». La représentaton graphque est consttuée de segments de drotes (sem-fermés à gauche, sem-ouverts à drote). n observera les ponts d arrêt. f est une foncton constante par ntervalles ou foncton en escaler. Attenton, la représentaton graphque de la foncton «parte entère» observée à l écran d une calculatrce graphque présente des segments vertcaux : la calculatrce rele, à tort, les ponts de la représentaton graphque où la foncton «parte entère» présente une dscontnuté. 7 8

5 Hstorque : Les fonctons contnues consttuent une classe de fonctons, très mportante en analyse. Hstorquement, la noton de foncton contnue est apparue au début du XIX e sècle (on croyat alors que toutes les fonctons étaent contnues). La noton a été dégagée par Lous-Augustn Cauchy, mathématcen franças, entre autre professeur à l École Polytechnque et auteur d un lvre d analyse (Cours d analyse). Il faut cter également le nom du mathématcen BLZAN qu a trouvé et démontré le théorème des valeurs ntermédares qu sera étudé dans le chaptre suvant. 9

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