Inégalités en analyse et en probabilités

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1 Universié d Orléans Préparaion à l agrégaion de Mahémaiques 1 Inégaliés en analyse e en proailiés Corrigé pariel des exercices Exercice 6 (Covariance e corrélaion). 1. On vérifie facilemen que X, Y cov(x, Y ) défini un forme ilinéaire symérique posiive sur l espace vecoriel des variales aléaoires X : Ω R. Touefois, on a X, X E ([X ] ) c R : P {X c} 1. La covariance n es donc pas une forme définie en général. Touefois X, Y cov(x, Y ) es un produi scalaire si l on se resrein aux variales aléaoires cenrées (d espérance nulle), e que l on idenifie à oues les variales aléaoires valan avec proailié 1.. La preuve de l inégalié de Cauchy Schwarz donnée dans l exercice 1 n uilise en fai pas le caracère défini du produi scalaire (celui-ci n inervien que dans la caracérisaion de l égalié). On peu donc conclure que cov(x, Y ) cov(x, X) cov(y, Y ) Var(X) Var(Y ). 3. Par définiion du coefficien de corrélaion e l inégalié ci-dessus, on a ρ X,Y [ 1, 1]. 4. On a ρ X,Y 1 si e seulemen si X e Y son liés dans le sens qu il exise a,, c R els que P {ax + Y c} 1. C es encore une fois une conséquence de la preuve de l exercice 1: l égalié cov(x, Y ) Var(X) Var(Y ) a lieu si e seulemen s il exise a, R els que Var(aX + Y ), ce qui équivau à la condiion ci-dessus. Exercice 7 (Inégalié de Bienaymé Tcheychev). 1. Une première méhode consise à oserver que E (X ) < en veru de l inégalié de Jensen, appliquée à la foncion convexe ϕ(). Une seconde possiilié consise à appliquer l inégalié de Cauchy Schwarz à la forme ilinéaire symérique X, Y E (XY ) pour conclure que E (X 1) E (X )E (1) E (X ) <, où 1 désigne la variale aléaoire consane égale à 1.. Il suffi d appliquer l inégalié de Markov pour oenir P { X > a } P { (X ) > a } 1 a E ( (X ) ) 1 a Var(X).

2 Universié d Orléans Préparaion à l agrégaion de Mahémaiques Exercice 8 (La loi faile des grands nomres). 1. Par linéarié de l espérance, on a E (S n ) nµ. De plus, comme la variance d une somme de variales aléaoires indépendanes es égale à la somme de leurs variances, on a Var(S n ) nσ.. L inégalié de Bienaymé Tcheychev implique { } S n P n µ > ε P { S n E (S n ) > nε } 1 n ε Var(S n) σ nε. Lorsque ε > es fixé, σ /(nε ) end ien vers lorsque n. Exercice 9 (Equivalence enre inégaliés de Cauchy Schwarz e de Bessel*). 1. L inégalié de Bessel pour n 1 s écri x, e 1 x, x pour ou veceur e 1 el que e 1, e 1 1. Si y, l inégalié appliquée au veceur e 1 y/ y, y implique l inégalié de Cauchy Schwarz. Si y, l inégalié es clairemen saisfaie. De plus, on a égalié si e seulemen si x es colinéaire à e 1, ce qui es vrai si e seulemen si x es colinéaire à y.. En supposan vraie l inégalié de Cauchy Schwarz, on a x, e i x, e i e j e j, e i j i x, x x, e j e j, e i j i x x, e j e j, x x, e k e k e i, e i j i k i 1 [ x, x x, e j x, e k + ] x, e j x, e k e j, e k j i k i j,k i δ jk n x, x x, e j j i n x, x (n 1) x, e i. En ajouan (n 1) n x, e i des deux côés e en divisan par n, on oien l inégalié de Bessel.

3 Universié d Orléans Préparaion à l agrégaion de Mahémaiques 3 De plus, on a égalié si e seulemen si x j i x, e j e j es colinéaire à e i pour ou i. Dans ce cas il exise des scalaires α i els que x α i e i + j i e j, x e j pour ou i. En prenan le produi scalaire avec e i, on voi que α i e i, x. Par conséquen, on a ien égalié si e seulemen si x e i, x e i. Exercice 1 (Inégraion par paries*). 1. Considérons ou d aord le cas où X adme une densié f. Noons R(x) P {X > x} x f() d. On a R (x) f(x) e lim x R(x). Par conséquen, une inégraion par paries nous fourni [ ] E (ϕ(x)) lim ϕ(x)f(x) dx lim ϕ(x)r(x) + lim ϕ (x)r(x) dx. Le erme de ord ϕ()r() es nul par hypohèse. Par ailleurs, pour ou >, nous avons ϕ()r() ϕ()f(x) dx ϕ(x)f(x) dx E (ϕ(x)) <. Par conséquen, le erme de ord lim ϕ()r() es égalemen nul, e le résula sui. Dans le cas général, on peu uiliser la héorème de Fuini jusifian l échange des ordres d inégraion pour écrire E (ϕ(x)) ϕ(x(ω)) dp (ω) Ω X(ω) Ω Ω Ω ϕ () d dp (ω) 1 {<X(ω)} ϕ () d dp (ω) 1 {X(ω)>} ϕ () dp (ω) d P {X > }ϕ () d.. En découpan l inégrale en puis en uilisan l inégalié de Markov, on a E (ϕ(x)) ϕ ()P {X > } d + ϕ () d + ϕ() + ϕ () 1 d ϕ () d. ϕ ()P {X > } d

4 Universié d Orléans Préparaion à l agrégaion de Mahémaiques 4 3. Pour ϕ() p on oien E (X p ) p + p p d. L inégrale converge si e seulemen si p < 1, e dans ce cas on oien E (X p ) p 1 p. Si < p < 1, la foncion p es concave, e l inégalié de Jensen nous fourni E (X p ) p. L inégalié de Jensen es donc plus précise dans ce cas. Touefois la majoraion oenue ci-dessus par l inégalié de Markov ne requier pas la concavié, elle es donc plus générale. Exercice 11 (Inégalié de ype Chernoff Cramér pour la loi inomiale*). 1. La somme S n sui une loi inomiale d espérance n e de variance n 4.. On a 1 E (Z i ) P {X i n}z i (n) 1 e λ/ + 1 ( ) λ eλ/ cosh. 3. On a n E ( e λ[sn E (Sn)]) ( n ) ( ) λ n E Z i cosh. 4. On peu uiliser l inégalié de Markov en écrivan où nous avons posé 5. Comme la dérivée P { S n E (S n ) > n } P { e λ[sn E (Sn)] > e λn} λ[sn E (Sn)]) e λn E ( e ( ) λ n e λn cosh e nf(λ), ( ( )) λ f (λ) λ log cosh. f (λ) 1 anh ( λ es posiive pour λ e négaive pour λ en ne changean de signe qu une seule fois, la foncion λ f (λ) adme un unique maximum, en λ soluion de ( ) λ anh. On en dédui e ( ) 1 + λ log 1 ( ) 1 + I() f (λ ) log log 1 ( ) 1 + log(1 + ) + ) 1 (1 )(1 + ) ( ) 1 log(1 ).

5 Universié d Orléans Préparaion à l agrégaion de Mahémaiques 5 La foncion I() es définie sur l inervalle [ 1, 1 ], paire, e adme le développemen limié en I() + O( 4 ). De plus, on vérifie qu elle es croissane sur [, 1 ] e adme une angene vericale en 1. I() La proailié cherchée es.5 P {S 1 > 6} P {S 1 5 >.1 1} e 1 I(.1) On rouve I(.1).1 e par conséquen P {S 1 > 6} e L inégalié de Bienaymé Tcheychev fourni l esimaion eaucoup moins onne { S 1 P {S 1 > 6 ou S 1 < 4} P 1 1 } >.1 1 ( ).1 Var S