Corrigé de l épreuve Math 1 de CCP, PSI 2012 Luc Verschueren, Lycée Daudet à Nîmes.

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1 Corrigé de l épreuve Mah de CCP, PSI 22 Luc Verschueren, Lycée Daude à Nîmes. Parie I Cas d une marice à coefficiens consans. Quesion I.. La foncion X définie par X : e V es dérivable surre X e V (coefficien par coefficien). Ainsi X es soluion de E surrsi e seulemen si e V Ae V e AV surr, ce qui équivau à AV V donc à V (non nul) es un veceur propre de A associé à la valeur propre. Quesion I. 2.. Pour la marice A e x C, la foncion polynôme caracérisique vau alors : P A x dea x I 4 x 2 x x x 2 x x x x 2 x x en développan selon la deuxième ligne les deux fois, d où P A x 2 x xx 2 le specre de A dansces Sp C A, 2, i,i x x A es donc diagonalisable dansc, puisqu elle adme 4 valeurs propres disinces, ce qui es une condiion suffisane de diagonalisabilié pour une marice 4 4, de plus les sous-espaces propres son des droies. Par résoluions des sysèmes AX X, on rouve : Rappel : les calcularices son auorisées. E Vecv où v,,,, E 2 Vecv 2 où v 2,,,, E i Vecv 3 où v 3,,,i, e E i Vecv 4 où v 4,,, i. On a donc une famille de 4 foncions de SolE qui es de dimension 4, consiuée des foncions : X : e, X 2 : e 2, X 3 : e i i, X 4 : e i La marice wronskienne de cee famille a pour déerminan dew e 3 i i i puisqu on a une famille de veceurs propres associés à des valeurs propres deux à deux disinces. Donc la famille X j j4 es libre, e c es un sysème fondamenal de soluions de E. C es donc une famille générarice : oue soluion es une combinaison linéaire de ces soluions, la soluion générale de E sur I R es X : k j X j où k j j4 K 4. j4. qui es non nul, Quesion I E : X AX B s écri x x 2 x 3 x 4 e x 2 2x 2 e x 3 x 2 x 3 x 4 x x 2 x 3 e 2 es une EDL à coefficien consan e second membre e, la soluion générale de l équaion homogène associée es x k e 2 e une soluion pariculière de la forme p e fourni e. x 2 k 2 e 2 e surrsoluion générale de 2. On repore cee soluion dans3 e on résoud selon les mêmes méhodes, on rouve : Alors x 3 k 3 e k 2 e 2 e surrsoluion générale de 3 4 x x 4 k 3 e x 4 x k 3 e x 4 x k 3 2 e x x 2 e 2 3 4

2 En iran x 4 de la ère équaion e en reporan dans la 2 de. Cee dernière EDL2 à coefficiens consans a pour soluion générale homogène x k cos k 4 sin e on rouve une soluion pariculière en x q e avec q 2q q q 2, on prend donc q de degré 2 en, e q convien. D où x k cos k 4 sin e x 4 k sin k 4 cos k 3 e soluion de 4 surr Ainsi k cos k 4 sin e cos sin k 2 e 2 e e 2 X k 3 e k 2 e 2 e e 2 e k sin k 4 cos k 3 e sin e cos es la soluion générale à valeurs réelles surrde E, avec k j j4 R 4 quelconque e fixé. k k 2 k 3 k 4 e e e e On cherche k j j4 pour rouver la soluion elle que : X k k 2 k 3 k 2 k 4 k 3 d où k k 2 k 3 k 4 e X e e e e Parie II Marice résolvane. Quesion II.. es linéaire e bijecive avec le Thm de Cauchy, c es bien un isomorphisme, e es l applicaion qui à un veceur V dem n, K associe la soluion de E : X dans S elle que X V. Alors V X Quesion II. 2.. Ayan choisi ces bases, la marice se rempli en colonnes : la jème colonne es consiuée des composanes de l image X j du jème veceur de la base X j jn dans la base de l espace d arrivée. C es donc la colonne représenan X j dans la base canonique dem n, K e on rerouve bien : W X X n. Quesion II La marice R, es la marice de dem n, K dansm n, K, muni de sa base canonique. Sa jème colonne es R, C j qui es la valeur en de la soluion de E elle que X C j qui es unique, e indépendane de la famille X j jn qu on a choisie comme base de S. Quesion II. 3.. R, W W es dérivable comme produi sur I, e R, W W. Mais W se dérive composane par composane, donc colonne par colonne : W X X n sur I. E pour chaque colonne : X j A X j sur I, donc mariciellemen : W AX X n sur I. Ainsi W A W donc R, A W W A R, pour, dans I Alors si X : R, V on a X R, V A R, V A X sur I, donc X es une soluion de E sur I, e X R, V V. (Car il es clair que R, W W I n. C es donc la soluion de E vérifian cee condiion iniiale. Quesion II Pour ou,, 2 I 3 : R 2, R, W 2 W W W. Donc R 2, R, W 2 W par associaivié, e R 2, R, R 2,. Appliqué à 2 on obien R, R, R, I n donc R, es inversible e R, R, Quesion II. 4.. Si on considére X : R, V, elle es dérivable sur I par produi. E X R, V R, V A R, V R, V A X R, V sur I. Ainsi : X de cee forme es une soluion de E sur I R, V B sur I

3 Quesion II Ce qui équivau encore à V R, B sur I e on a une foncion coninue sur I. Donc une inégrale foncion de la borne supérieure es une foncion V qui convien : V : R, u Bu du fourni une soluion Y : R, R, u Bu du de E Quesion II Pour cee foncion Y : R, R, u Bu du, on peu dans le calcul de l inégrale par rappor à u, renrer le erme R, dans l inégrale (on considére comme fixé pour ce calcul de Y, en admean, par linéarié, que M Hu du M Hu du pour une marice carrée M e une colonne H. Ainsi Y : R, u Bu du défini une soluion pariculière de E sur I Remarque : elle es nulle en. La soluion de E vérifian X V es associée à la foncion définie sur I par : X : R, V Parie III R, u Bu du. Une applicaion de la résolvane. Quesion III... Puisque e es linéaire sans second membre, l ensemble de ses soluions es un espace vecoriel, donc on peu chercher un polynôme normalisé soluion, avec a m : y m a. Si y es un polynôme, alors y 3y 6y es aussi un polynôme. Considérons les ermes de plus hau degré : 3y es de degré m, alors que y e 6y on des ermes de degré m, donc le erme de plus hau degré du polynôme y 3y 6y es mm 6 m. Si ce polynôme es nul, il es nécessaire que m 2 m6 donc que m3m2. Si y es un polynôme soluion de e alors y es de degré 3. Cherchons y a 3 b 2 c d soluion de e : alors y 3a 2 2b c e y 6a 2b surr. E alors y 3y 6y 2 6a 2b 33a 2 2b c 6a 3 b 2 c d 3a 4b 2 4b 6c 3c 6d polynôme nul si e seulemen si 3a 4b 4b 6c 3c 6d b 3 4 a c 2 3 b a 2 d c 2 a 4 donc y k où k R, es la soluion générale polynôme de e. Le polynôme P el que P dirige cee droie de soluions polynômes surr. Quesion III.. 2. La foncion Q es C sur, e Q 2, 3 Q 6. 4 Ainsi sur, : Q 3 Q Q 4 La foncion Q es une soluion de e sur, e sur, aussi d ailleurs. Quesion III On suppose R e y a k k de rayon de convergence R. On peu dériver erme à k erme, y es de classe C sur R, R, e y 3y 6y égale la somme d une série enière E. Sur R, R, E 2 k2 k kk a k k2 kk a k k2 3ka k k kk a k k k k2 kk a k k k k 3k a k k k changemen d indice p k p k p k p k Ainsi E p p 2 p 6a p p p p p 3a p p p k 6a k k 6a k k p 3p 2a p p p 3a p p

4 Par le hm d unicié des coefficiens d une série enière, cee série es consane nulle sur R, R si e seulemen si : p N, p 3p 2a p p p 3a p a k k 2 k a p si k 3 Ce qui équivau à : a 2a, a a 3a, a a 4a e par récurrence, pour k 4, a k k a 4 On peu donc choisir a e a 4 dansr, e alors y a a 4 k k k4 Si a 4 alors R car on a une soluion polynôme. Si a 4, alors les a k son non nuls pour k 4 e a k a k donc R. En effe si x, e si on pose u k a k x k on a u k u k a k a k x x e on a donc absolue convergence si x e divergence grossière si x, avec le crière de d Alember e R es le rayon de convergence. Quesion III On sai que par dérivaion sur,. Ainsi k4 p k k k p sur, donc Q 2 p k k Q P. La soluion générale développable en série enière es donc y a a 4 P a 4 Q p p k k k où a e a 4 son des réels quelconques e fixés. Si a 4, on a une soluion surr, si a 4 sur,. Quesion III. 2.. E y a y b y e en posan z y : y E X soluion de z y z donc E E : X A X B sur I z a zb y sur I. avec A b a e B coninues sur I. Quesion III On sai, sous nos hypohèses (forme normalisée, avec des coefficiens a e b coninus sur I inervalle), que le Thm de Cauchy perme d assurer que SolE es un plan vecoriel en bijecion aveck 2. Si f, g forme une base de l espace des foncions associées aux soluions SolE, c es une famille libre e f f, g g Avec les noaions : W es aussi libre, donc sysème fondamenal de E. f g f g e donc W g g f g f g f f avec M dem ComM, avec f g f g, car f, g base. R, W W f g f g f g f g f g f g f g f g f g f g Quesion III. 3.. On a, sur I,, l écriure normalisée de e qui es : E : y 3 y 6 23 y d où A 6 3 e B 23

5 Quesion III dewu Ainsi Pu Qu P u Q u dewu 2u 3 u 3 4 u 3 3 u 2 2 u u 2 4 u 3 3 u 2 2 u u 2 u 2 6 u 2 2 u 3 2 u 2 6 u 2 2 u 3 avec 2u 3 24 u 3 3 u 2 2 u u2 u 2 6 u 2. Par ailleurs : QPu PQu 4 u3 3 u 2 2 u u u 2 e 4 u 3 3 u 2 2 u u 2 4u u 4 donc : QPu PQu 4u u u 2 sur I 2 Quesion III On applique II.4.3., avec Y R, u Bu du don on ne garde que la première composane car Y y, e R, ubu y dewu f g u f u g en prenan u à la place de. Cee première composane vau : dewu u3 c es à dire : 2 u 3 2u 3 u f u g f g u f g u f u g f u g f g u 2 u3 u 2 3 QPu PQu 4u u u u u 4 2 (Calculs sur, 2 ), La foncion y : u u 4 du définie une soluion pariculière de e sur, 4 4 4u u 4 du es bien définie, e vau Alors 4 4 4u u 4 du Or donc 4 4 P e 4 4 P Q 2 2 Ainsi 4 4 4u u 4 du 2 P Q Q es une combinaison linéaire de P e Q, donc une soluion de l équaion homogène e. En l ajouan à la soluion pariculière de e, on obien une aure soluion pariculière définie par y 4 4 4u u 4 du sur,. 2 3 Ce qu on peu calculer en y 6 4 sur,. Cee foncion es la resricion à, d une fracion 2 raionnelle de classe C sur,, il en es de même pour P e Q. Les foncions y y k P k 2 Q décriven les soluions de e sur, pourk, k 2 K 2 Ce son celles don on peu assurer l exisence e l unicié pour des condiions iniiales données en,, par le Thm de Cauchy. Si,, y es une soluion sur,, alors sa resricion à, es une soluion de la forme précédene. Réciproquemen une soluion sur, de la forme précédene se prolonge en de façon C (fracion raionnelle) avec y k k 2 e y 2k 2k 2 car y (il y a un en faceur), P 2 e Q 2. D ailleurs elles se prolongen sur,. Les soluions qui vérifien y y son les foncions : y y k P Q k P Q où k K es quelconque e fixé. Il y a donc une droie affine de soluions vérifian ces condiions iniiales.

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