DÉRIVATION. ku ku. u nu u

Transcription

1 DÉRIVATION I Calculs de dérivées Eercice : u et v désignent des fonctions dérivables, k est un réel et n un entier naturel non nul u v u v ku ku uv = u v + uv ( + ) = + ( ) = ( ) u u v uv = v v n n ( ) = u nu u Pour calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes, on doit utiliser l une des formules cidessus Choisir la bonne formule en précisant qui est u, v ou k (On ne demande pas le calcul de f ( ) ) a) f ( ) d) f ( ) = + b) f() = 7 c) f ( ) = 5( + 5) 5( + ) = e) f ( ) ( ) = + f) = + h) f ( ) 4 g) f ( ) ( ) f ( ) = + = + + i) f ( ) = ( + 5) Eercice : Calculer la dérivée de la fonction f sur l intervalle proposé a) sur ] 0 ;+ [, f ( ) ( ) f ( ) = + 5 c) sur R, f ( ) ( ) = + 5 = + + b) sur R, ( )( ) Eercice : Calculer la dérivée de la fonction f sur l intervalle proposé a) sur ] ;+ [, f ( ) = b) sur ] ;+ [, f ( ) = + c) sur R, f ( ) = d) sur ] 0 ;+ [, f ( ) = + + e) sur ] 5 ;+ [, f ( ) = f) sur ] 0 ;+ [, f ( ) = ( + ) + 5

2 II Étude du signe de la dérivée Eercice 4 : Soit g la fonction définie sur R par g( ) = + Calculer g ( ), étudier le signe de g ( ) et faire le tableau de variation de g sur R Eercice 5 : Soit f la fonction définie sur R par f ( ) = Calculer f ( ) et étudier le signe de f ( ) En déduire la variation de f Eercice 6 : Soit f la fonction définie et dérivable, de dérivée f sur 5 On donne f ( ) = Étudier le signe de ( ) + f r \ Eercice 7 : On sait que f ( ) = Étudier le signe de f ( ) selon les valeurs de Eercice 8 : Soit f la fonction dérivable sur D = ] ; [ ] ; + [, définie par Calculer f ( ) et étudier le signe de f ( ) sur D f ( ) = ( + )

3 III Tangentes Écrire l équation d une tangente Eercice 9 : Soit f la fonction définie sur ; + par f ( ) = + Déterminer une équation de la tangente à la courbe C au point d abscisse 5 Eercice 0 : Soit f la fonction définie sur ; par f ( ) = Déterminer une équation de la tangente à la courbe C au point d abscisse Étudier la position d une courbe par rapport à sa tangente Eercice : Soit f la fonction définie sur ] 0 ; + [ par f ( ) = + Déterminer une équation de la tangente T à la courbe C au point d abscisse, puis étudier la position de la courbe C par rapport à T Eercice : Soit f la fonction définie sur R par f ( ) = Déterminer une équation de la tangente T à la courbe C au point d abscisse 0, puis étudier la position de la courbe C par rapport à T 4 + Eercice : Soit f la fonction définie sur ] ; [ par f ( ) = Déterminer une équation de la tangente T à la courbe C au point d abscisse, puis étudier la position de la courbe C par rapport à T Déterminer une tangente parallèle à une droite donnée Eercice 4 : Soit f la fonction définie sur R par f ( ) = Soit D la droite d équation y = 6 + Déterminer l abscisse du (ou des) point(s) de C en lesquels la tangente est parallèle à D Eercice 5 : Soit f la fonction définie sur R \ {} par f ( ) = + Soit D la droite d équation y = 5 + Déterminer l abscisse du (ou des) point(s) de C en lesquels la tangente est parallèle à D Déterminer une tangente passant par l origine du repère

4 Eercice 6 : Soit f la fonction définie sur R par f ( ) = + Eiste-t-il des tangentes à C passant par l origine du repère? Eercice 7 : Soit f la fonction définie sur R par f ( ) = ( ) Eiste-t-il des tangentes à C passant par l origine du repère? 4

5 IV Lectures graphiques Eercice 8 : Soit une fonction f définie sur [ ;] dont la courbe représentative est donnée ci-dessous Lire graphiquement f ( ), f (0), f, f et f () Eercice 9 : Soit une fonction f définie sur [ 6;8] dont la courbe représentative est donnée ci-dessous Construire le tableau de signe de la fonction dérivée de f 5

6 Eercice 0 Soit une fonction f dont on donne la courbe représentative ci-dessous ) Dans chacun des cas suivants, dire si la fonction est continue en α (justifier la réponse) a) α = b) α = c) α = 0 d) α = e) α = f) α = 4 ) De même, dire pour chaque cas si la fonction est dérivable en α Eercice : Soit une fonction f dont on donne la courbe représentative ci-dessous ) Dans chacun des cas suivants, dire si la fonction est continue en α (justifier la réponse) a) α = 5 b) α = c) α = d) α = e) α =,5 f) α =,5 ) De même, dire pour chaque cas si la fonction est dérivable en α 6

7 V Théorème des valeurs intermédiaires Eercice : On considère f la fonction définie sur R par f ( ) = On admet que f est strictement décroissante sur [ ;0 ] Montrer que l équation ( ) = f admet une unique solution dans [ ;0 ] Eercice : On considère la fonction f définie sur R par f ( ) = + + On connaît le tableau de variation de la fonction f donné ci-dessous f () + + Montrer que l équation f ( ) = 0 admet une unique solution dans R Eercice 4 : Soit f la fonction définie sur R \ { 4 } dont on donne le tableau de variation ci-dessous f () 5 En utilisant le tableau de variation, déterminer le nombre de solutions de l équation a) f ( ) = 0 b) f ( ) = 4 c) f ( ) = 7 Eercice 5 : Soit f la fonction définie sur R par f ( ) = + + ) Montrer que l équation f ( ) = 0 admet une unique solution dans R ) En déduire le signe de f () suivant les valeurs de 7

8 VI Algorithmes f = + + Eercice 6 : On considère la fonction f définie par ( ) Ecrire un algorithme qui demande les valeurs de a, b et qui détermine si le point de coordonnées a; b appartient ou non à la courbe représentant f L implémenter ensuite sur votre calculatrice et ( ) le tester avec ( 5 ;, ) Eercice 7 : On considère la fonction f définie par f ( ) = a + b + c avec ) Ecrire un algorithme qui demande les valeurs de a, b, c et qui calcule et affiche les coordonnées du sommet de la parabole représentant f ) Qu affiche cet algorithme lorsque a =, b = 5 et c = Eercice 8 : Résolution approchée d une équation du type ( ) balayage f = k par f = + On considère la fonction f définie sur R par ( ) On admet que cette fonction est continue et strictement croissante sur [,] et que l équation f ( ) = 0 admet une unique solution a dans [,] ) Que fait l algorithme ci-contre? ) Quelle valeur de a affiche-t-il lorsque n =? Variables : n est un entier naturel a est un nombre réel Début de l'algorithme : Saisir n Affecter à a la valeur + < Tant que a a 0 Affecter à a la valeur a + 0 n Fin du tant que Afficher a Fin de l'algorithme Eercice 9 : Résolution approchée d une équation du type f ( ) = k par dichotomie On considère l équation f ( ) = 0 avec f ( ) = qui admet une unique solution s dans [0,] et l algorithme suivant : ) Pour obtenir un encadrement de s à 0 -, que doit-on saisir pour a, b et e? ) Compléter le tableau suivant Numéro de passage a b b a > 0 m Signe de f ( a) f ( m ) 0 oui 0,5 négatif Variables : a, b, e, m sont des nombres réels Début de l'algorithme : Saisir a et b les bornes de l'intervalle Saisir e l'amplitude de l'encadrement Tant que b a > 0 Affecter à m la valeur ( ) f ( m) Si f a > 0 Affecter à Sinon Affecter à Fin du si Fin du tant que Afficher a, b Fin de l'algorithme a + b a la valeur m b la valeur m 8