Dimensionnement d un bâtiment de 6 étages en béton armé avec murs de contreventements ductiles Préparé par Cécile Haremza, Ingénieur de Recherche ULg.

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1 19-1 Dimensionnement un bâtiment e 6 étages en béton armé avec murs e contreventements uctiles Préparé par Cécile Haremza, Ingénieur e Recherche ULg. 1. Introuction Caractéristiques es matériaux Béton Armatures en acier S500, classe B Chargement STATIQUE f ck = 30 N/mm² γ c = 1.5 f fck 30 c =α 0.85 cc = = 17N/mm² γ 1.5 c E = N/mm² g conc = 2400 kg/m³ f yk = 500 N/mm² γ = 1.15 s fyk 500 fy = = = 434.8N/mm² γc 1.15 E s = N/mm² Chargement SISMIQUE f ck = 30 N/mm² γ c = 1.3 fck 30 fc = = = 23.1N/mm² γc 1.3 E = E/2 = N/mm² g conc = 2400 kg/m³ f yk = 500 N/mm² γ = 1.0 s fyk 500 fy = = = 500N/mm² γc 1.0 E s = N/mm² Dimensions u bâtiment Nombre e niveaux : 6 Hauteur u rez-e-chaussée : h rez = 3.5m Hauteur es niveaux supérieurs : h etage = 3m Hauteur u bâtiment : H w = 18.5m Longueur totale u bâtiment irection X : L x = 20m Longueur totale u bâtiment irection Y : L y = 15m Longueur une poutre selon la irection X : l x = 5m Longueur une poutre selon la irection Y : l y = 5m Longueur es murs : l w = 2.5m Epaisseur e la alle : h alle = 0.15m 1

2 19-2 Plan XZ Plan YZ Charges appliquées Charges permanentes (en plus u pois propre) : G = 1 kn/m² Charges variables : Q = 3 kn/m² Neige : N = 0.4 kn/m² Vent : V = 1.4 kn/m² Coefficient e comportement q = q 0 k w q 0 = 3 (DCM cl ) 1+ α0 k w = avec 0.5 k w 1 et 3 k w = 1 q = 3 h wi 18.5m 3.7 α = 0 l = 5m = wi 2

3 Dimensionnement statique es poutres et colonnes Combinaisons es charges 1.35 (pois propre + G) Q (0.7 N) 1.35 (pois propre + G) N (0.7 Q) Poutres L analyse est réalisée par le software SAP2000, en 3 imensions. Poutre la plus sollicitée en travée : portique plan yz, en x = 0, 2eme niveau, 3eme travée M + = 31.23kNm E,max Poutre la plus sollicitée à l appui : portique plan yz, en x = 0, 6eme niveau, 3eme travée M E,min = kNm V E,max = 50.28kN Caractéristiques e la section e béton armé : h poutre = 350mm b poutre = 250mm enrobage = 25mm φ etrier = 8mm s = 200mm A s,sup = 2 φ 16 = 402mm² A s,inf = 2 φ 14 = 308mm² Résistances : M R (2 φ 16) knm M + R (2 φ 14) 39.3 knm V R 58 kn Les moments résistants sont calculés par une feuille Excel, ne tenant compte que es armatures tenues e la section, et avec ε cu 2 = : - Moment résistant négatif : = knm M R Avec x = 50.82mm, position e l axe neutre, mesurée epuis la fibre comprimée extrême = h poutre enrobage φ etrier φ /2 s,sup centre e force es armatures, mesuré epuis la fibre comprimée extrême z = 287.9mm, bras e levier = /2 = 309mm, 3

4 Moment résistant positif : M + R = 39.3 knm Avec x = 38.9mm, position e l axe neutre, mesurée epuis la fibre comprimée extrême = h poutre enrobage φ etrier φ /2 s,inf = 310mm, centre e force es armatures, mesuré epuis la fibre comprimée extrême z = 293.8mm, bras e levier L effort tranchant résistant est calculé selon les formules e l Eurocoe 2. La résistance à l effort tranchant est la plus petite es valeurs suivantes : Asw - Résistance es étriers : VR,s = zfyw cotgθ s αcw bw0 zν1fc - Résistance es bielles comprimées e béton : VR,max = cotgθ + tgθ avec θ : inclinaison es bielles comprimées e béton. On prens θ = 45 s = 200mm α cw = 1.0 ν 1 = 0.6 f yw = σ s = min(e s ε cu, f y ) = min( x 0.002, 434.8) = min(400,434.8) = 400 N/mm² ε cu = A sw = 2 x π x 8² / 4 = 100.5mm² αcwν1 fc bw s A sw,max = = = 637.5mm² 2 fyw A sw = min(a sw ; A sw,max ) = 100.5mm² z = 287.9mm V R,s = 58kN V R,max = 367kN V R = min (V R,s ; V R,max ) = 58kN > V E,max = 50.3kN OK Vérifications e l Eurocoe 2 [EN : 2004] Ductilité e la section (ans le cas une analyse plastique) [cl ]: (x/) sup = 0.16 < 0.25 OK (x/) inf = 0.13 < 0.25 OK M max Mmin OK 31 4

5 19-5 Section minimale armatures longituinales tenues [ ]: f ctm A s, min =max 0.26 b, b f yk f ctm = 2.9 N/mm² f yk = 500 N/mm² b = 250mm sup = 409mm inf = 410mm A s, min,sup = mm² < A s,sup = 402mm² OK A s, min,inf = mm² < A s,inf = 308mm² OK Section maximale armatures longituinales tenues ou comprimées [ ]: A s, max =0.04A c = 3500 mm² > A s,sup = 402mm² OK > A s,inf = 308mm² OK Taux minimum armatures effort tranchant [9.2.2 (5)] : ρ = 0.08 f / f ( ) w,min ck yk ρ w = A sw /(s b sin α ) A sw = 100.5mm² α = 90 (étriers roits) ρ = OK ρ w = > w,min Espacement longituinal maximum entre les armatures effort tranchant [9.2.2 (6)] : s max = 0.75 = min(0.75 sup ; 0.75 inf ) = 307mm > s = 200mm OK Colonnes L analyse est réalisée par le software SAP2000, en 3 imensions. Caractéristiques e la section e BA: h col = 300mm b col = 300mm Enrobage = 25mm φ stirrup,col = 6mm s = 150 mm A s,tot = 4 φ 16 = 804mm² Colonne extérieure la plus fléchie : Dernier niveau, côté extérieur u portique central : N E = 78.1kN M E,2 = 47.8kNm M E,3 = 0.016kNm V E,3 = 29.2kN V E,2 = 0.01kN 5

6 19-6 Résistances : Les moments résistants sont calculés par une feuille Excel, tenant compte e toutes les armatures, comprimées et tenues, et e l effort normal sollicitant, avec ε cu 2 = : M R = 62.5 knm > M E,max = 47.8kNm OK L effort tranchant résistant est calculé selon les formules e l Eurocoe 2. La résistance à l effort tranchant est la plus petite es valeurs suivantes : Asw - Résistance es étriers : VR,s = zfyw cotgθ s αcw bw0 zν1fc - Résistance es bielles comprimées e béton : VR,max = cotgθ + tgθ avec θ : inclinaison es bielles comprimées e béton. On prens θ = 45 s = 150mm α cw = 1.0 ν 1 = 0.6 f yw = σ s = min(e s ε cu, f y ) = min( x 0.002, 434.8) = min(400,434.8) = 400 N/mm² ε cu = A sw = 2 x π x 6² / 4 = 56.5mm² αcwν1 fc bw s A sw,max = = = 478mm² 2 fyw A sw = min(a sw ; A sw,max ) = 56.5mm² z = 241mm V R,s = 36.4kN V R,max = 369kN V R = min (V R,s ; V R,max ) = 36.4kN > V E,max = 29.2kN OK Résistance à l effort normal : ε cu = σ c = f c = 17 N/mm² σ s = min(e s ε cu, f y ) = min( x 0.002, 434.8) = min(400,434.8) = 400 N/mm² N R,c = (A c A sv ) x σ c + A sv x σ s = 1838 kn > N E = 78kN OK Colonne intérieure la plus chargée : Rez-e-chaussée, colonne au centre u portique central : N E = kN M E,2 = 0.13kNm M E,3 = 0.0kNm V E,3 = 0.11kN V E,2 = 0.0kN 6

7 19-7 Vérification e la résistance à l effort normal : N R,c = (A c A sv ) x σ c + A sv x σ s = 1838 kn > N E = kN OK Vérifications e l Eurocoe 2 [EN : 2004] : Diamètre minimal es barres longituinales [9.5.2 (1)] : φ L,min = 8mm > φ L = 16mm OK Section minimale armatures longituinales [9.5.2 (2)]: N 3 E As, min = max 0.1, A c = max f 0.1, y = 404.6mm² < A s,tot = 804mm² OK Section maximale armatures longituinales [9.5.2 (2)]: A = 0.04A = 3600 mm² > A s,tot = 804mm² OK s, max c Diamètre minimum armatures effort tranchant [9.5.3 (1)] : φ = max 6mm; φ / 4 = 6mm OK pour un étrier e 6mm e iamètre w,min ( ) L Espacement maximal es armatures effort tranchant [9.5.3 (3)] : s = min 20 φ ;b;h;400mm = 300mm > s = 150mm OK max ( ) Sections critiques [9.5.3 (4)] : h crit = max(b ; h) = 300mm s crit = 0.6 s = 90mm L 7

8 Dimensionnement es murs e contreventement uctiles sous charges sismiques par une analyse ynamique Caractéristiques u séisme, masse sismique Caractéristiques u séisme, selon l Eurocoe 8 : - Une accélération e calcul au sol a gr = 0.4g, avec un coefficient importance e structure γ I = 1 (bâtiment courant), où a g = γ I a gr = 0.4g - Un sol e type B - Un spectre e réponse élastique e type 1 Valeurs es paramètres écrivant le spectre e réponse élastique e type 1 (sol e type B) Définitions Symbole Valeur Unité Paramètre u sol S 1.2 Limite inférieure es périoes corresponant au palier accélération spectrale constante T B 0.15 s Limite supérieure es périoes corresponant au palier accélération spectrale constante T C 0.5 s Valeur éfinissant le ébut e la branche à éplacement spectral constant T D 2 s Combinaison sismique pour la vérification locale es éléments e la structure : 1(pois propre + charge permanente G) + ψ 2i Q + E, avec ψ 2i = 0.3 onné ans l Eurocoe 0 E = effets e l action sismique, calculés pour une structure ont la masse est m, «masse sismique». Calcul e la «masse sismique» m : Localement : m J = (pois propre + charge permanente G) + ψei Q = Gkj + ψei Qki ψ E,i : ψ Ei = ψ 2i = 0.8 onné ans l Eurocoe 8 (bâtiment avec occupations corrélées) ψ Ei = ψ 2i = 0,8 0,3 = 0, 24 m = 1376 tonnes 8

9 19-9 Dimensions es voiles Largeur et hauteur es voiles : l w = 2500mm H w = 18500mm Les voiles sont consiérés comme étant es murs uctiles. Epaisseur choisie : b w = b w0 = 250mm (épaisseur constante) Où b w est l épaisseur es extrémités u mur, ou éléments e rive b w0 est l épaisseur e l âme u mur. La clause e l Eurocoe 8 impose une épaisseur minimale e l âme u mur uctile : b w0,min,rez = max(0.15 ; h s /20) = 175mm b w0,min,etages = max(0.15 ; h s /20) = 150mm b w0 = 250mm > b w0,min,rez > b w0,min,etages OK Les règles e l Eurocoe 2 à propos es voiles sont applicables. Par éfinition, un mur ou voiles respectent l inégalité : lw 4bw 2.5m > 1m OK Périoe u bâtiment et forces internes Périoes u bâtiment onnées par le programme e calcul SAP2000 : T X = 0.82s T Y = 0.77s Le mur imensionné est situé selon la irection X. Par comparaison, T estimé par la relation e l Eurocoe 8 [EN : 2004 cl ] : Estimation e la périoe u bâtiment par une formule approchée: 3/4 T= Ct H Coefficient C t : Ct = Ac A c est l aire effective totale es sections es murs e contreventement au premier niveau u bâtiment, en m² : 2 A = (A (0.2+ l /H) ) c i wi 9

10 19-10 l wi = 2.5m, longueur u mur e contreventement i au premier niveau ans la irection parallèle aux forces appliquées, en m, sous la conition que l wi / H ne épasse pas 0,9 H = 18.5m l wi /H = 0.14 < 0.9 ok A i = b w x l w = 0.625m², aire effective e la section transversale u mur e contreventement ans la irection consiérée i au premier niveau u bâtiment, en m² C T = 1.3 s t A c = 4x ( )² = 0.28m² = = 0.14 A c Estimation es efforts internes, pour une approche sans analyse 3D : Fb = m S (T) λ m = 1376 tons = kg λ = 0.85 (le bâtiment a plus que 2 étages) 2.5 TC S(T)= ag S q T = 0.4 x 9.81 x 1.2 x 2.5/3 x 0.5/0.82 = 2.4 m/s² F = kg x 2.4 x 0.85 = 2808 kn b Effets e la torsion: * F= b F b x δ = 3651 kn x δ= = 1.3, avec x = 7.5m et L e = 15m [ EC8] L e Efforts ans un mur: VE = F /4= 912.8kN M = F /4 2/3 H= kNm E * b * b N E = kn (û à la escente e charge verticale sous la masse sismique) Dans un mur sismique primaire, selon l Eurocoe 8 section (2), la valeur e l effort normal réuit υ ne oit pas épasser 0.4 : NE Effort normal réuit: υ = Acfc Avec N E = kN A c = 0.625m² υ = = 0.08 < 0.4 OK

11 19-11 Selon l Eurocoe 8 section (1), les résistances à la flexion et à l effort tranchant sont calculées selon les règles e l Eurocoe 2 en utilisant l effort normal résultant e l analyse ans la situation sismique e calcul. Armatures verticales D après l Eurocoe 8, ans les zones critiques es murs, es armatures e confinement sont imposées aux extrémités e la section transversale. Les armatures verticales placées à ces extrémités permettent au mur e reprenre le moment sollicitant M E. Un calcul simple permet estimer la quantité armatures nécessaires ans les 2 zones extrémités : On estime que ces zones extrémités ont une longueur l c égale au minimum requis par l Eurocoe 8, clause (6) : l c = l c,min = min(0.15 l w ; 1.5 b w ) = 375mm Le mur est supposé être en flexion pure avec les armatures verticales pour la flexion, vu la valeur e υ qui est inférieure à 10% : υ = 8% < 10% flexion pure Le bras e levier z es forces représentant le moment est estimé égal à : z = l w l c = = 2125mm Force e traction F t : F t = M E /z = kN Résistance e calcul es armatures : f y = 500N/mm² A s1,2, estimé = F t /f y = 10595mm² ( 12 φ 36 = 12215mm²) Remarque : Estimation es sections armatures verticales pour un mur en flexion composée ( υ > 10%) : NE σ N = bwlw 6ME σ M = 2 bwlw F t = ( σm - σ N ) x /2 x b w σm σn = lw 2σM A s1,2,estimé = F t /f y Cette section armatures A s1,2,estimé est vérifiée par un calcul u moment résistant e la section. Le calcul montre que 10 φ 36 = 10179mm² est suffisant. Zones extrémités : Diamètre es armatures ans les 2 zones extrémités : φ s1 =φ s2 = 36mm Section es armatures ans les 2 zones extrémités : A s1 = A s2 = 10 φ 36 = 10179mm² Espacement es armatures : s1 = s2 = 100mm 11

12 19-12 Avec ces 10 φ 36 espacées e 100mm, on a une longueur e zone e confinement égale à : l c,reelle = s1,2 x 4 + φ s1,2 + φ st = 100 x = 446mm Ame u mur (treillis soués e 150 x 150) : Diamètre es armatures âme : φ sv = 10mm Section es armatures : A sv = 19 φ 10 = 1414mm² Espacement : sv = 150mm Section totale es armatures verticales : A sv,tot = A sv + A s1 + A s2 = 21771mm² Moment résistant, tenant compte es hypothèses suivantes : Effort normal sollicitant : N E = kN, ε cu 2 = , Section réuite sans l épaisseur e l enrobage corresponant au béton comprimé non confiné : l 0 = l w 2x enrobage 2x φ sh φ st = x 30 2x = 2410mm b 0 = b w 2x enrobage 2x φ sh φ st = 250 2x 30 2x = 160mm M R = 12903kNm > M E = 11257kNm Avec : Position e l axe neutre : x u = 785mm Bras e levier : z = 1882mm Allongement es armatures côté tenu : l0 xu ε s =ε cu2 = = = 0.7% xu 785 et est inférieur à ε su, = 0.9 x 5% = = 4.5% (armatures classe B) Vérifications es règles e l Eurocoe 2, clause : A sv,min = A c = 1250mm² < A sv,tot = 21771mm² OK A sv,max = 0.04 A c = 25000mm² > A sv,tot = 21771mm² OK sv,max = min(3b w0 ; 400mm) = 400mm > sv = 150mm OK > s1, s2 = 100mm OK 12

13 19-13 Armatures horizontales Ces armatures sont imensionnées pour que le mur puisse reprenre l effort tranchant sollicitant V E. Effort tranchant résistant e calcul e l élément en l absence armatures effort tranchant : ( ) 1/3 VR,c = CR,c k 100ρ fck k l + 1 σcp bw0 [EN : 2004, 6.2.2] V = v + k σ b Avec une valeur minimum : ( ) Expressions qui se calculent avec : 0.18 C = = 0.12 γ R,c c R,c,min min 1 cp w k = avec en mm k = min(1.2 ;2) = 1.2 = 2128mm, centre e force es armatures (fichier Excel) Asv,tenues ρ l = 0.02 on impose ρ l = 0.02 bw0 σ cp = N E /A c < 0,2 f c [MPa] σ cp = 1.84 < 0,2 f c = 4 k 1 = 0.15, valeur recommanée b w0 = 250mm 3/2 1/2 v = k f = 0.29 min D où : V R,c,min = 299kN V R,c = 524kN ck Or V E = 913kN, et selon la clause (7) e l Eurocoe 8, cet effort tranchant obtenus e l analyse oit être augmenté e 50% afin e tenir compte une augmentation possible es efforts tranchants après plastification en flexion à la base u mur sismique, et ce en raison e l écrouissage es armatures e flexion : V E, = V E x 1.5 = 1369kN V R,c = 524kN < V E = 1369kN les armatures sont nécessaires Effort tranchant pouvant être repris par les armatures effort tranchant horizontales: Diamètre une barre : φ sh = 10mm Espacement es armatures : sh = 80mm A sh = 36187mm² La résistance à l effort tranchant est la plus petite es valeurs suivantes : Asw - Résistance es étriers : VR,s = zfyw cotgθ s 13

14 19-14 αcw bw0 zν1fc - Résistance es bielles comprimées e béton : VR,max = cotgθ + tgθ avec θ : inclinaison es bielles comprimées e béton. On prens θ = 45 s = sh = 80mm α cw = 1.0 ν 1 = 0.6 f yw = σ s = min(e s ε cu, f y ) = min( x 0.002, 500) = min(400,500) = 400 N/mm² A sw = 2 x π x 10² / 4 = 157mm² αcwν1 fc bw s A sw,max = = = 300mm² 2 fyw A sw = min(a sw ; A sw,max ) = 157mm² ε cu = z = 1882mm V R,s = 1848kN V R,max = 3257kNm V R = min (V R,s ; V R,max ) = 1848kN > V E = 1369kN OK Règles e l Eurocoe 2 concernant les armatures horizontales es voiles [9.6.3]: A sh,min = max(25% A sv,tot ; A c ) = 5443mm² < A sh = 36187mm² max,h = 400mm > sh = 80mm OK Note : l espacement vertical es armatures horizontales sh = 80mm correspon à l espacement vertical maximal es armatures transversales, éterminées après. Vérification u glissement : Conformément à l Eurocoe 2 clause 6.2.5, l état limite ultime par rapport à l effort tranchant vis-à-vis u glissement est vérifié au niveau es reprises e bétonnage horizontales : VEi VRi β VE Valeur e calcul e la contrainte e cisaillement à l interface : VEi = z bi Avec : β = 1 (hypothèse) ; β est le rapport e l effort normal (longituinal) ans le béton e reprise à l effort longituinal total ans la zone comprimée ou ans la zone tenue, calculé, à chaque fois, pour la section consiérée VE est l effort tranchant transversal ; on fait la vérification pour le V E en base u mur : V E = 1369kN z = 1882mm b i = b w = 250mm, largeur e l interface Valeur e calcul e la contrainte e cisaillement à l interface : 14

15 19-15 ( ) V = c f +µ σ +ρ f µ sin α+ cosα 0.5 ν f Ri ct n y c Avec : f c = 23.1N/mm² c = 0.35, coefficient e cohésion µ = 0.6, coefficient e friction (surface naturelle rugueuse sans traitement) fctk, f ct = = = 1.54N/mm² γc 1.3 N E σ n = min ;0.6 fc = min ; = min ( 1.84;13.9) = 1.84 Ac Contrainte engenrée par la force normale externe minimale à l interface susceptible agir en même temps que l effort e cisaillement ; elle est positive en compression, avec σ n <0.6 f c, et négative en traction. Lorsque σ n est une contrainte e traction, il convient e prenre c f ct = 0. ρ = A sv,tot /A i = 21771mm²/625000mm² = 0.035, avec A i = A c, aire u joint α = 90 f ck ν= = 0.5, coefficient e réuction e la résistance u béton 250 fissuré à l effort tranchant (6.2.2 EC2) V β V = 2.9N/mm² z b E Ei = = i ( ) VRi = min c fct +µ σ n +ρ fy ( µ sin α+ cos α) ;0.5 ν fc = min ( ( ); ) = min ( 12.2;6.1 ) = 6.1N/mm² V Ri = 6.1N/mm² > V Ei = 2.9N/mm² OK Armatures transversales (barres es cares, étriers, épingles qui traversent l épaisseur u mur) Les prescriptions e l Eurocoe 8, section concernant le imensionnement es armatures transversales (cares, étriers) sont appliquées. [Note : l Eurocoe 8 clause (12) permet e faire un calcul Eurocoe 2, puisque NE υ = = 0.08 < 1.15] A f c c Les armatures transversales sont nécessaires ans les zones e confinement, ou éléments e rive, sur toute la hauteur critique u mur : Hauteur e la zone critique au-essus e la base u mur [ (1)]: h cr = max(l w, H w /6) < min(2l w ; h g ) 15

16 19-16 l w = 2.5m H w = 18.5m h g = 3.5m (hauteur u rez-e-chaussée) h cr = 3.08m Dans le cas e murs e section rectangulaire, la conition suivante oit être vérifiée ans les éléments e rive (b w = 250mm) : bw αωw 30 µ ( υ + ωv ) εsy, [ (4)] b0 Où ω w est le rapport mécanique en volume es armatures e confinement requises ans les éléments e rive. Les termes u membre e roite peuvent être calculés, avec : Coefficient e uctilité en courbure µ requis : ME si T T c : µ = 2q0 1 MR M E Tc si T < T c : µ = 1+ 2 q0 1 MR T Ici T = 0.82s > T c = 0.5s ME µ = 2q0 1 = 2x 3x 11257/ = 4.2 MR Cepenant, après la clause (4) e l Eurocoe 8, ans les zones critiques composées éléments sismiques primaires avec es armatures longituinales en acier e classe B, le coefficient e uctilité en courbure oit au moins être égal à 1.5 fois la valeur onnée par les expressions précéentes : µ ' = 1.5µ = 6.4 Rapport mécanique es armatures verticales âme : Asv fy ω v =ρ vf y /fc = = b l f w w c = 0.05 Valeur e calcul e la éformation e l acier en traction à la limite fy 500 élasticité: ε sy, = = = 0.25% = Es NE υ = = 0.08 A f c c b w = 250mm b 0 = b w 2enrobages 2 sh φ st φ = 250 2x 30 2x = 160mm 16

17 19-17 Si l on impose l égalité ans la formule [ (4)], on trouve : αω = 0.06 w,min Le raccourcissement à la rupture u béton confiné ε cu 2,c est estimée selon l Eurocoe 2 par la formule suivante : ε cu2,c = αω w,min = avec comme éformation e compression à laquelle l éclatement est attenu en l absence armature e confinement : ε = cu 2 On peut en éuire une longueur e zone confinée en compression. Avce les onnées suivantes : b 0 = b w 2enrobages 2 φ sh φ st = 160mm l 0 = l w 2enrobages 2 φ sh φ st = 2410mm ε cu 2,c = N E = kN On obtient : x u = 562mm L élément e rive confiné s éten sur une longueur limitée qui peut être calculée à partir e x u : l c,calcul = x u (1- ε cu 2 / ε cu 2,c ) = 377mm < l c,réelle utilisée ès le épart, égale à 446mm on gare 446mm Allongement es armatures côté tenu : lw,re xu ε s =ε cu2,c = = 0.03 = 3.0% x 593 ε su, = 0.9 x 5% = = 4.5% ε s = 3.0 % < ε su, = 4.5% OK u Le coefficient efficacité u confinement α peut être calculé : α =α α = 0.7 n s α = 1 b /6b h 2 n i 0 0 n b 0 = b w 2enrobages 2 φ sh h 0 = l 0 = l w 2enrobages 2 φ sh φ st = 160mm φ st = 2410mm n = n s1,2 = 10 φ 36, nombre total e barres longituinales latéralement maintenues par es armatures e confinement ou es épingles b i : istance entre les barres maintenues consécutives : s1,2 = 100mm α n = 1- (10 x 100²)/(6 x 160 x 2410) =

18 19-18 ( 1 s /2b )( 1 s /2l ) α = s t 0 t 0 s t = 80mm, avec un espacement maximum amissible par l EC8 égal à : s t,max = min(b 0 /2 ; 175 ; 8 φ sv ) [ (9)] = min(160/2 ; 175 ; 8 x 36) = 80mm α = (1-80/(2 x 160)) x (1-80/(2 x 2410)) = 0.74 s D où le rapport mécanique en volume es armatures e confinement : b w ω w,min = 30 µ ( υ +ωv) εsy, / α = b w,0 Si on recalcule ω w avec la formule suivante, en fonction es armatures transversales réellement prévues : volume es armatures e confinement fy ω w = volume u noyau en béton fc Avec f y = 500N/mm² f c = 23.1N/mm² Volume es armatures e confinement : Il y a 10 armatures à confiner. Pour cela, on utilise un care qui entoure les 10 barres, et 3 épingles. Diamètre es cares et épingles : φ st = 10mm A st = 78.54mm² Longueur «transversale» es cares et épingles : l care,épingle = b 0 = 160mm Longueur u care : L care,rive = l c = 446mm Nombre armatures transversales sur la hauteur critique : n st = h cr /s t = 3.08m/0.08m = 38 volume es armatures e confinement : V st = n st x A st (2 L care,rive +5l care,épingle ) = 38 x 78.5 x (2x x 160) = mm³ Volume u noyau en béton : V nc = l c x b 0 x h crit = 446 x 160 x 3083 = mm³ 18

19 19-19 V f ω = = = 0.5 > ω w,min = > 0.08 OK V f st y w 8 nc c Le 0.08 provient e la clause (9) e l Eurocoe 8 qui impose que égal à ω w soit au moins Vérifications es règles e l Eurocoe 2 concernant les armatures transversales : Ces armatures ne sont pas requises si la conition suivante est respectée : A sv,tot < 0.02 A c [9.6.4 (1)] Or A sv,tot = 21771mm² > 0.02 A c = 12500mm² Ajouter es barres transversales selon les prescriptions imposées aux colonnes [9.5.3] : Diamètre minimum : φ st,min = max(6mm ; φ sv1,2 /4) = max(6 ; 36/4) = 9mm > φ st = 10mm OK Espacement maximum : s t,max = min(20 φ sv1,2 ; b w0 ; 400mm) = min(20 x 36; 250; 400) = 250mm > s t = 80mm OK Espacement maximum sur la hauteur critique : s max,crit = s max x 0.6 = 250 x 0.6 = 150mm > s t = 80mm OK Vérifications aitionnelles La conition [ (9)] impose également une istance maximale entre armatures verticales maintenues par es armatures e confinement e 200mm sv = 100mm < 200mm OK La conition [ (8)] impose que le pourcentage es armatures longituinales ans les éléments e rive ne soit pas inférieur à : As1, ρ sv1,2 = = = 0.14 > OK lc b Note : les éléments e rive ne contiennent que les armatures e 36mm e iamètre même si la zone confinée s étens au-elà e cette partie e mur. Vérification e la conition (10), connaissant la longueur e confinement l c : - bw 200mm, avec b w = 250mm OK - Si lc > max(2b w;0.2l w), alors b w h s /10 Si l c < max(2b w ;0.2l w ), alors b w h s /15 or l c = 446mm < max(2b w;0.2l w) = 1m et on a b w = 250mm > h s /15 = 233mm OK 19

20 Les effets P-Delta D après la clause (2) e l Eurocoe 8, il n est pas nécessaire e prenre en compte les effets e secon orre si la conition suivante est satisfaite à tous les niveaux : Ptot r θ= 0.10 Vtot h Avec θ coefficient e sensibilité au éplacement relatif entre étages ; P tot charge gravitaire totale ue à tous les étages situés au-essus e l étage consiéré, y compris celui-ci, ans la situation sismique e calcul ; r éplacement relatif e calcul entre étages, pris comme la ifférence e éplacement latéral moyen entre le haut et le bas u niveau consiéré ( s = q e ) ; e éplacement éterminé par une analyse linéaire basée sur le spectre e réponse e calcul ( ) ; V tot effort tranchant sismique total au niveau consiéré ; h hauteur u niveau, entre étages. Dans les cas où 0,1 < θ 0,2, les effets u secon orre peuvent être pris en compte approximativement en majorant les effets e l action sismique par un facteur égal à 1/(1 - θ). Direction X Direction Y F b 2808kN 2985kN éplacement horizontal éterminé par une analyse linéaire basée sur le spectre e réponse e calcul e1x = 5.3mm e2x = 14.7mm e3x = 26.3mm e4x = 38.5mm e5x = 50.3mm e6x = 61.4mm e1y = 5.4mm e2y = 15.1mm e3y = 27.4mm e4y = 40.6mm e5y = 53.5mm e6y = 65.8mm coefficient e sensibilité au éplacement relatif entre étage et coefficient corresponant 1/(1 - θ) à chaque étage θ 1X = θ 2X = θ 3X = θ 4X = θ 5X = coef 1X = 1 coef 2X = 1 coef 3X = 1 coef 4X = 1 coef 5X = 1 θ 1Y = θ 2Y = θ 3Y = θ 4Y = θ 5Y = 0.04 coef 1Y = 1 coef 2Y = 1 coef 3Y = 1 coef 4Y = 1 coef 5Y = 1 θ 6X = 0.03 coef 6X = 1 θ 6Y = coef 6Y = 1 20

21 Eléments primaires et éléments seconaires Les murs e contreventements sont les éléments primaires e la structure, et les portiques, les éléments seconaires. Afin e vérifier que les poutres et colonnes sont capables e suivre les murs e contreventements, 2 vérifications oivent être réalisées : - La clause (4) e l Eurocoe 8 impose que la contribution e tous les éléments seconaires à la raieur latérale ne épasse pas e plus e 15% celle e tous les éléments sismiques primaires, ce qu on peut trauire par la conition suivante : δw KMR = 15% δ K Avec MR δ MR, le éplacement u somment u bâtiment sans les murs e contreventement, soumis à une force horizontale unitaire ; δ w, le éplacement u somment u bâtiment avec les murs e contreventement et la même force horizontale unitaire ; K MR, la raieur e la structure en portique, sans les murs ; K w, la raieur e la structure avec les murs e contreventement. Les contributions es éléments seconaires à la raieur latérale sont : e 13% ans la irection X < 15% OK (avec δ w = 65.8mm et δ MR = 497.2mm sous l effet es charges horizontales F i éterminées à partir e F b, utilisée pour la vérification es effets P-Delta) e 11.7% ans la irection Y < 15% OK (avec δ w = 61.4mm et δ MR = 525.4mm sous l effet es charges horizontales F i éterminées à partir e F b, utilisée pour la vérification es effets P-Delta) w - Lorsque la rotule est formée à la base u mur, la structure seconaire oit pouvoir suivre les murs e contreventements, avec un éplacement horizontal e q x e. Les poutres et les colonnes oivent alors pouvoir résister aux sollicitations suivantes : M E = M E,G + q x M E,E N E = N E,G + q x N E,E V E = V E,G + q x V E,E Avec q = 3, coefficient e comportement u bâtiment. Si les poutres et les colonnes ne sont pas suffisamment résistantes, il faut vérifier que la uctilité en courbure µ est suffisante. La valeur e la uctilité minimale en ME courbure est onnée par : µ,emane = M R 21

22 19-22 COLONNES La plus chargée : M E,E = 32.9kNm N E,E = 63.4kN V E,E = 16.5kN M E,G = 0kNm N E,G = 856.9kN V E,G = 0kN M E = M E,G + q x M E,E = 42.8kNm < M R = kNm OK N E = N E,G + q x N E,E = 939.3kN < N R = 2380kN OK V E = V E,G + q x V E,E = 21.5kN < V R = 29.5kN OK La plus fléchie : M E,E = 129.3kNm N E,E = 12.4kN V E,E = 81.3kN M E,G = 12kNm N E,G = 50.5kN V E,G = 16kN M E = M E,G + q x M E,E = 180.1kNm > M R = 66.7kNm NON ME Vérifier la uctilité en courbure : µ,emane,m = = = 2.7 M 66.7 N E = N E,G + q x N E,E = 66.6kN < N R = 2380kN OK V E = V E,G + q x V E,E = 121.6kN > V R = 36kN NON Calcul e la uctilité en courbure e la section à l aie une formule approchée pour le calcul e la courbure élastique e la section : Courbure ultime, établie par la feuille e calcul Excel sur base e ε cu 2 = , avec N E = 66.6kN : χ u = m -1 εsy Courbure élastique : χ y = 2.12 = 2.12 = m -1 hc 3.5m χu Ductilité offerte par la section : µ = = 52 > µ,emane,m = 2.7 OK χ,offre y R 22

23 19-23 POUTRES Sollicitation aux appuis, là où les moments positifs ou négatifs us aux charges sismiques sont les plus grans : M E,E = ± 196.8kNm V E,E = 156.2kN M E,G = -2.6kNm V E,G = 18.1kN Moment positif : M + E Vérifier la uctilité en courbure : Moment négatif : M E = M E,G + 3 x M E,E = x = 253.2kNm > M + R = 45.6kNm NON + ME µ,emane,m+ = = = MR 45.6 = M E,G + 3 x M E,E = x = kNm < M R = -58.5kNm NON ME µ,emane,m = = = 4.4 M 58.5 Vérifier la uctilité en courbure : R Effort tranchant : V E = V E,G + 3 x V E,E = x = 486.7kN > V R = 59kN NON Ductilité en courbure e la section, selon l Eurocoe 8, cl (4) : f ρ=ρ+ ' µε f sy, c y µ = ρ ρ ε ( ') sy, f f c y avec ρ pourcentage armatures e la zone tenue et ρ pourcentage armatures e la zone comprimée, tous eux normalisés par b, où b est la largeur e la membrure comprimée e la poutre. f 500 y ε sy, = = = Es f = 23.1N/mm² f c y = 500N/mm² A s,sup ρ sup = = = Ac A 308 s,inf ρ inf = = = Ac

24 c µ = = 30.2 ρ f sup ρ inf ε sy, y ( ) f En ne consiérant que les armatures tenues : fc Moment positif : µ = = = 9.5 ρ ε f inf sy, y fc Moment négatif : µ = = = 7.2 ρ ε f sup sy, y On peut aussi calculer la uctilité en courbure calculée par une formule approchée pour le calcul e la courbure élastique : Pour un moment sollicitant positif : Courbure ultime, établie par la feuille Excel en comptant ρ =0 : χ u = m -1 εsy Courbure élastique : χ y = 1.7 = 1.7 = m m χu Ductilité offerte par la section : µ = = 7.7 χ,offre,m+ Pour un moment sollicitant négatif : Courbure ultime, établie par la feuille Excel en comptant ρ =0 : χ u = m -1 εsy Courbure élastique : χ y = 1.7 = 1.7 = m m χu Ductilité offerte par la section : µ = = 5.9 χ,offre,m Vérification es uctilités : + ME µ,emane,m+ = = = 5.6 < µ +,offre,m+ = 7.7 OK MR 46.6 ME µ,emane,m = = = 4.4 < µ,offre,m = 5.9 OK M 58.5 R fc Si l on compare avec la formule e l Eurocoe 8, µ = : ρε sy, fy + ME µ,emane,m+ = = = 5.6 < µ +,offre,m+ = 9.5 OK MR 46.6 ME µ,emane,m = = = 4.4 < µ,offre,m = 7.2 OK M 58.5 R y y 24

25 19-25 On vérifie aussi que la résistance à l effort tranchant est suffisante ans les poutres ans la situation sismique e calcul : MR,i Sollicitation : V =γ R + VE,G (V E,G comprens le pois mort et ψ2i Q) l V = = 39 kn < V R = 58kN OK 25