KOLLAK BR Premières semaines. 3. Propagation d une impulsion sur une ligne électrique.

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1 1. Programme Equation aux dimensions, homogénéité, unités * notion sur le signal périodique : valeur crête à crête, valeur moyenne, valeur efficace, notions sur la décomposition en série de Fourier * l'oscillateur harmonique, exemple d'une masse accrochée à un ressort horizontal, équation du mouvement unidimensionnel, solution sinusoïdale, approche énergétique, conservation de l'énergie mécanique. * onde plane progressive, u(x, = f(x-c ou f(x+c, double périodicité, cas de l'onde sinusoïdale, savoir calculer un déphasage entre deux points. Exercices 2. Equation aux dimensions, unités 1. Donner la dimension de R, constante des gaz parfaits. 2. Donner la dimension de k constante diélectrique version Lycée, partir de la force d interaction q. q' électrique. f ( r) = k 2 Trouver de même la dimension de la constante µ par la force de LAPLACE. F r = i. l r B r k 3. Montrer que le rapport µ a la dimension d une vitesse. 4. Montrer que le produit pv (pression.volume) a la dimension d une énergie. 5. Donner l unité décomposée d une force, r r 6. Donner l unité décomposée d une force, d un moment cinétique de formuleσ = OM mv ur ur 7. Donner une équation aux dimensions d un champ électrique défini par la relation F = q. E ou ur ur F est la force électrique, E le champ électrique, et q la charge soumise à la force. 8. En utilisant le fait qu une puissance en W est le produit d une tension par une intensité, retrouver que le champ E peut s exprimer comme une tension divisée par une distance. 9. Donner une équation de dimension de la constante ε diélectrique définie par la formule Q E. S = (où E est un champ électrique voir question précédente Q une charge ε électrique, S une surface) 3. Propagation d une impulsion sur une ligne électrique. Une ligne électrique est constituée de deux conducteurs, elle transporte l information comme la voie pour le téléphone, ou le signal adsl pour internet. On observe ici les tensions en entrée et en sortie de la ligne. Voici le l oscillogramme des tensions d entrée et de sortie de la ligne, la longueur de la ligne est 3 m, 1. Quelle est la valeur du retard de propagation? 2. Quelle est la vitesse de propagation de l impulsion. 3. En admettant la formule c et 1 v = _ u n ité _ m. s ε sachant que c=3.1 8 m.s -1 retrouver la valeur de epsilon. 4. A votre avis, pourquoi n observe-t-on pas d onde réfléchie? r

2 4. Onde en régime sinusoïdal Une ligne électrique est constituée de deux conducteurs, elle transporte l information comme la voie pour le téléphone, ou le signal adsl pour internet. On observe ici les tensions en entrée et en sortie de la ligne. 1. Donne la définition de la longueur d onde. 2. Pour le schéma précédent, les deux extrémités de la ligne sont-elles en phase? 3. Expliquer l absence de signal en sortie au début. 4. Déterminer la période, déduire la fréquence. 5. Calculer la longueur d onde de l onde sinusoïdale. 6. Combien de longueurs d onde sur la ligne complète? 7. De quelle longueur rallonger la ligne pour que les deux signaux soient en phase. 1. Découverte de l équation d onde d² f ( x, dt² d² f ( x, c² dx² = Cette équation différentielle, du second ordre, ouf, est dite de d Alembert, elle est au cœur de toute étude des ondes, en acoustique par exemple. 1. Donner l unité du coefficient c, donner sa signification. 1. Donner la signification et le nom des deux constates Lambda et T dans la solution suivante. 2π 2π + T λ 2. Essayer une fonction de type f ( x, = U cos( t x) dans l équation. 3. En déduire une relation entre T lambda et c. On l appelle relation de dispersion, demander pourquoi. 4. Résoudre l équation de dispersion. 5. Quelle signification peut avoir un lambda négatif? 6. Définir les adjectifs progressif, et rétrograde. 7. On dit cette équation linéaire, cela veut dire quoi? 8. Montrer que si f et g sont solutions alors f+a.g est solution si a est réel. 5. Série de Fourier, décomposition des fonctions 2. Cite l idée de M. FOURIER 3. Quelles sont les fonctions du temps qui admettent une décomposition en une série de Fourier. 4. Donner la décomposition d une fonction du temps f(. 5. Que signifie le terme constant a? 6. Montre qu une fonction impaire ne peut avoir de terme constant.

3 7. Montre qu une fonction impaire ne contient que des sinus. 8. Montre qu une fonction paire ne contient que des cosinus. 9. Pourquoi une fonction qui n est pas C a-t-elle un nombre infini de termes dans sa série de Fourier? Autre version de la question, pourquoi faut-il une infinité de fonctions «douces», pour imiter une fonction «dure» (avec des coins)? 1. Calculer les b n de la fonction créneau impaire, définie comme suit sur sa période: pourx [ π, ]; f ( = 1; pourx [, π ]; f ( = Fourier, pour passer de f( à la distribution spectrale F(f)(ω) 1. Quelle est la série de Fourier d une source sinusoïdale pure? 2. Sur quel intervalle est définie la fonction f(=u o cos(ω 3. Représenter le spectre de cette source, on pourra penser au spectre d un laser monochromatique. 4. On appelle «bruit blanc» un son très bref, genre détonation, qui contient toutes les fréquences, comme la lumière blanche contient toutes les couleurs. 5. Représenter le spectre de ce bruit blanc. 6. Représente le signal temporel que peut capter un micro placé à proximité de la détonation. 7. Comparer «l encombrement» relatif d une fonction et de sa série de Fourier. Expliquer les phrases : «Quand c est petit dans l espace temporel, c est grand dans l espace fréquentiel» «Quand c est grand dans l espace temporel, c est petit dans l espace fréquentiel». 7. Série de Fourier d un signal triangulaire. -T/2 +E -T/2 -E On considère le signal triangulaire e(, périodique de période T de graphe ci-contre sur une période. 8. Montrer que l expression analytique est 9. Déterminer a. 1. Montrer que e( est paire. E + a. t; t < ( = E a. t; t > e. 11. Montrer que e( admet la symétrie de glissement c'est-à-dire e( t + ) = e(. 12. Rappeler, ou demander l expression des a n coefficients des termes en cosinus de la série de Fourier. 13. Montrer que la série ne peut contenir de termes b n en sinus, partie impaire. 14. Montrer en calculant les an que seuls les a n de rang impairs sont non nuls. 15. Calculer les an, montrer 8. Oscillogramme E = (2k + 1)² π ² a n. T 2 Sur l oscillogramme suivant : 16. Donner amplitude et période de chaque courbe. 17. Quelle est la courbe en avance sur l autre? 18. Estimer le retard en µs. 19. En déduire le déphasage.*

4 9. Saut à l élastik On laisse tomber une masse de,5 kg attachée à un élastique découpé dans de la chambre à air. Un capteur de force à déformation, (voir cours de SI) donne une tension proportionnelle à la force exercée par l élastique sur le capteur. La force exercée par l élastique sur la masse est égale en norme et de sens opposé. (loi de NEWTON 3). Grandes oscillations. Courbe f( (capteur de force) et modèle U1 / V t/ s On enregistre cette force en fonction du temps : courbe large. A. Etude de la courbe 2. Expliquer l allure de la courbe. 21. De quel type de régime s agit-il? 22. Donner un ordre de grandeur de la période d après le graphe. 23. Montrer par analyse dimensionnelle que k/m est homogène à une pulsation au carré. t / τ 2π f ( = F e.cos(. (Courbe fine) T 24. Dans l expression, quel nombre rend compte de l amortissement. 25. Dans l expression, où se trouve la période de l oscillateur? 26. La période de l oscillateur dépend-elle de l amortissement? U1(=a+b*cos(2* *t/t+ )*exp(-t/τ) Résultat de la modélisation Ecart relatif sur U1(=1.1 % a=1.35 ±.4 b=3.84 ±.28 Période en ms=755 ±2 1ª³ =6.34 ±.4 =939 ±39 1ª³ Masse suspendue =5g, 27. Donner l expression de la pulsation en fonction de la période 28. Calculer la période d après le résultat de la modélisation. 29. En déduire la raideur du ressort que constitue l élastique. 3. Quelle serait l allure du portrait de phase de cet oscillateur? La courbe est modélisée par une fonction de type

5 Mots clés fourre tout. Etude d un signal périodique, calcul de maths, période, fréquence valeur crête, valeur moyenne, exercice graphique. Décomposition en série de Fourier point de vue spectral. Cas du carré. OH jusqu aux énergies, énergie moyenne d un OH. Onde : équation d onde, dimension, caractère linéaire, superposition, forme des solutions, progressive ou rétrograde, double périodicité. Définition longueur d onde et période. Relation de dispersion, lien entre la période spatiale et la période temporelle. Déphasage, graphique et calculatoire. Essai des solutions, autre solution la solution stationnaire, exemples numériques,