EC 6 Oscillateurs linéaires en RSF, RLC série, résonance

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1 EC 6 PCSI Ce chapitre est présenté en élecrocinétique, mais nous avons vu que les équations de la mécanique sont les MÊMES! Donc tout ce qui est présenté en électronique ici est aussi valide pour un oscillateur mécanique (masse accrochée à un ressort dont l autre etrémité oscille de façon sinusoïdale par eemple). I Lois et Théorèmes de l électrocinétique en SF Les lois vues en continue sont généralisable au circuits LINEAIES en SF : loi des nœuds, loi des mailles etc... On peut les appliquer directement au amplitudes complees (correspond à diviser partout par e jωt ) En particulier, les ponts diviseurs de tensions et de courant vont beaucoup beaucoup nous servir. Définition : On parle de phénomène de résonance en régime sinusoïdal forcé lorsque l amplitude d une grandeur présente un maimum pour une fréquence d ecitation. emarque : les fréquences de résonance sont généralement proches des fréquences propres du système (c est-à-dire les fréquences auquel le système oscille en l absence de forçage sinusoïdal), bien qu il n y ait pas nécessairement égalité. II Circuit LC en régime sinusoïdal forcé, résonances.. Caractéristiques du circuit Impédance complee du circuit : Z. u (t) u L (t) e(t) i(t) L q(t) C ¹ u C (t) U,m U L,m m I Z L = jlω Z C = ¹ j U C,m Les composants étant montés en série, Z = Z + Z L + Z C soit [ ] Z = + jlω + = + j Lω j On a donc : Z = Z = 2 + (Lω )2 ϕ = arg Z avec cos ϕ = 0 donc π ϕ + π et Z 2 2 ϕ = arctan Lω jlω j Z ϕ > 0 j(lω ) Dans le plan des cpl

2 EC 6 Caractère inductif ou capacitif du circuit : Pour ω = ω 0 telle que Lω 0 0 = 0 ω 0 = pulsation propre du circuit telle qu elle LC avait été définie au chapitre précédent, Z =, l impédance est purement résistive. Si ω < ω 0, Lω Si ω > ω 0, Lω < 0, ϕ < 0, la tension est en retard sur l intensité et le circuit est capacitif. > 0, ϕ > 0, la tension est en avance sur l intensité et le circuit est inductif. 2. ésonance en intensité 2.a. Position du problème Le circuit est alimenté par la source e(t) sinusoïdale et on cherche les caractéristiques de i(t), elle même sinusoïdale en régime sinusoïdal forcé. On pose e(t) = cos(ωt + 0) = cos ωt : la phase à l origine de la source e(t) est la référence des phases. En régime sinusoïdal forcé, i(t) = I m cos(ωt + ϕ i ), où I m et ϕ i sont l amplitude et la phase à l origine de i(t). Elles dépendent de la pulsation ω = 2πf imposée par la source. Comportement asymptotique : c est à dire si ω prend des valeurs etrêmes. si ω 0, la bobine se comporte comme un interrupteur fermé (Z L = Lω 0) et le condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert (Z C = ). si ω, la bobine se comporte comme un interrupteur ouvert (ZL = Lω ) et le condensateur se comporte comme un interrupteur fermé (Z C = 0). Basses fréquences e(t)= U U L I= 0 C ¹ U C e(t) u L ¹ On remarque que i(t) sera nulle en basses fréquences et hautes fréquences. Hautes fréquences u L i= 0 u C 2.b. Amplitude complee de l intensité du courant. La phase à l origine de e(t) est la référence des phases d où e(t) = cos(ωt + 0) e(t) = e j(ωt+0) =.e jωt = l amplitude complee de e(t). Pour l intensité du courant, on a posé i(t) = I m cos(ωt + ϕ i ) i(t) = I m e j(ωt+ϕi) = I m e jωt avec I m = I m e jϕ i Pour déterminer totalement i(t), il reste à déterminer ϕ i et I m, c est à dire I m, fonction de ω. PCSI Page 2/7

3 EC 6 e(t) u (t) u L (t) i(t) L C ¹ u C (t) La loi de de Pouillet en notation complee, donne directement : I m = + Z L + Z C = Z = U,m U L,m m I Z L Z C ¹ + j(lω ) En faisant apparaitre des grandeurs pertinentes et sans dimension : L C le facteur de qualité, sans dimension et Q = Lω 0 = 0 = = ω ω 0 la pulsation réduite, sans dimension. L = Q ω 0 et C = Qω 0 I m = + j(q ω ω 0 Q ω 0 ω ) = / + jq( ) U C,m Comportement asymptotique : I m = / + jq( ) BF : ω ω 0 = ω = ω 0 HF : ω ω 0 = 0 I m Em/ jq( ) j Q j Em Q I m = Em I m Em/ +jq jq Em = j Q I m = I m 0 et ϕ i = arg I m π 2 I m = Em et ϕ i = 0 I m 0 et ϕ i = π 2 2.c. Variation de I m en fonction de ω : I m (ω) I m (ω) = I m (jω) = / + Q2 ( )2 En travaillant sur la fonction I m (ω) précédente et en utilisant les epressions approchées de I m (jω) (comportement asymptotique), on a I m Q = 5 Q = Q = 0.5 = = ω ω 0 PCSI Page 3/7

4 EC 6 Pour = ω = ω 0 Z = on a I m = Em maimale, on dit qu il y a résonance en intensité. L acuité de la résonance dépend de la valeur du facteur de qualité Q : résonance aiguë si Q est grand et floue si Q est faible. Il y a toujours résonance en intensité dans le circuit LC série. 2.d. Variation de ϕ i en fonction de ω : ϕ i (ω) On calcule ϕ i = arg(i m ) = arg [ ] + jq( ) = arg + jq( ) ϕ i = arg() arg[ + jq( ))] = 0 arg( + jq( ) soit tan ϕ i = Q( ) et cos ϕ i a le signe de (Cf. EC 5 ) et donc π ϕ 2 i < π et finalement, ϕ 2 i = arctan Q( ). En travaillant sur la fonction ϕ i (ω) précédente et en utilisant les epressions approchées de I m (jω) (comportement asymptotique), on a π 2 ϕ i Q = 0.5 Q = = = ω ω 0 π 2 Lorsque =, I m Em Q = 5 ϕ i = 0, e(t) et i(t) sont en phase (Z = réelle). 3. ésonance en tension au bornes du condensateur? 3.a. Position du problème et hypothèses Soit u C (t) la tension au bornes du condensateur lorsque e(t) =. cos(ωt). En régime sinusoïdal forcé, u C (t) = U Cm cos(ωt + ϕ C ) e(t) u (t) où U Cm et ϕ C sont l amplitude et le déphasage de u C par rapport à e(t) (dont la phase à l origine est la référence des phases). u L (t) i(t) L C ¹ On cherche à déterminer les variations des caractéristiques U Cm et ϕ C de u C (t) quand ω varie. u C (t) PCSI Page 4/7

5 EC 6 Comportement asymptotique Basses fréquences U = 0 e(t)= U L = 0 I= 0 C ¹ U C = e(t) u = 0 L ¹ Hautes fréquences u L = e(t) i= 0 u C = 0 On remarque que u C (t) tend vers e(t) en basses fréquences et devient nulle en hautes fréquences. 3.b. Amplitude complee de la tension au bornes du condensateur Après passage en notation complee, u (t) u L (t) e(t) i(t) L C ¹ u C (t) U,m U L,m m I Z L Z C ¹ U C,m la formule des diviseurs de tension donne directement : U Cm = Z C Z + Z L + Z C = Y C Z + Y C Z L + = L 2 + j = 2 + j Q avec ω 2 0 = LC, = ω ω 0 et Q = Lω 0 = 0. Comportement asymptotique : U Cm = 2 + j Q Basses fréquences : = ω = ω 0 Hautes fréquences : 2 + j Q 2 + j = j 2 + j Q Q Q 2 U Cm U Cm jq U Cm = Em 2 U Cm et ϕ C 0 U Cm = Q et ϕ C π U 2 Cm 0 et ϕ C ±π 3.c. Variation de U Cm en fonction de ω : U Cm (ω) De U Cm, en déduit U Cm = U Cm = ( 2 ) Q 2 Il y a résonance en tension au bornes du condensateur si U Cm admet un maimum pour 0 < <. PCSI Page 5/7

6 EC 6 L epression au numérateur de U Cm étant constante, U Cm est maimale quand son dénominateur est minimum c est à dire si ( 2 ) admet un minimum. Q 2 Il faut donc que la dérivée de cette epression par rapport à s annule : d d [ ( 2 ) Q 2 ] = 0 4 [ 2 + ( 2Q 2 ) soit = 0 (tangente à l origine horizontale), mais aussi 2 =, or, = ω 2Q 2 ω 0 étant un réel positif, cette valeur n est possible que si 0 soit 2Q 2 Si Q < 2, on a pas de résonance en tension au bornes du condensateur. Si Q 2, on a une résonance en tension au bornes de C et à la résonance pour ω = ω r = ω 0 2Q 2 < ω 0 U Cm (ma) = ] = 0 Q 4Q 2 U Cm Q = 3 Q = 2 Q = 2 Q = 0,5 = Si Q est grand, ω r ω 0 et U Cm (ma) Q, Q est appelé facteur de surtension. = ω ω 0 3.d. Variation de ϕ C en fonction de ω : ϕ C (ω) Il s agit de l argument de U Cm = U Cm = j j( 2 ) j 2 Q Em 2 + j Q dont la partie réelle change de signe... ϕ C = π 2 arg[ Q j( 2 )] ϕ C = π 2 arctan[q( )] On trace son allure pour différentes valeurs de Q et en utilisant les valeurs asymptotique et en =. ϕ C = Q = 0,5 = ω ω 0 π 2 π Q = 5 PCSI Page 6/7

7 EC 6 emarques : ϕ C est toujours négatif : la tension u C (t) est toujours en retard sur e(t). On peut donner l epression de ϕ C en utilisant : U Cm = Z C.I m ϕ C = arg(z C ) + arg(i m ) = π + ϕ 2 i : décalage de π. Ou, cf EC05, 2 si < 2 > 0 ϕ C = arctan Q( 2 ) si > 2 < 0 ϕ C = π arctan Q( 2 ) III Oscillateur harmonique mécanique soumis à une ecitation sinusoïdale. Eemple de mise en équation Considérons un point matériel M de masse m accroché à un ressort et à un système ecitateur : roue en rotation et système de bielle qui assure à A l etrémité gauche du ressort un mouvement rectiligne sinusoïdal : A = A cos ωt. N = = p Système {M} Système à l équilibre éférentiel lié au sol galiléen. Forces appliquées : Le poids p et la réaction normale du support, mais = p car pas de déplacement vertical. La force de rappel du ressort F = k(l l 0 ) e avec l = l 0 A +. Frottement fluide linéaire f = αẋ e. Application du PFD : Système en fonctionnement A l 0 M A A F l = l 0 A + p M e f p mẍ = k(l 0 A + l 0 ) αẋ ẍ+ α k mẋ+ m = k A m ẍ + ω 0 Q ẋ + ω2 0 = ω2 0A cos ωt (E) en posant ω 0 = qualité. k, la pulsation propre de l oscillateur et ω 0 m Q = α m avec Q son facteur de On peut poser k A = ka cos ωt = F 0. cos ωt l epression de la force etérieure ecitatrice F e. PCSI Page 7/7

8 EC 6 Table des matières I Lois et Théorèmes de l électrocinétique en SF II Circuit LC en régime sinusoïdal forcé, résonances.. Caractéristiques du circuit 2. ésonance en intensité 2.a. Position du problème 2.b. Amplitude complee de l intensité du courant. 2.c. Variation de I m en fonction de ω : I m (ω) 2.d. Variation de ϕ i en fonction de ω : ϕ i (ω) 3. ésonance en tension au bornes du condensateur? 3.a. Position du problème et hypothèses 3.b. Amplitude complee de la tension au bornes du condensateur 3.c. Variation de U Cm en fonction de ω : U Cm (ω) 3.d. Variation de ϕ C en fonction de ω : ϕ C (ω) III Oscillateur harmonique mécanique soumis à une ecitation sinusoïdale. Eemple de mise en équation Manip : résonance au bornes d un LC ésonance mécanique avec une masse accrochée à un ressort. PCSI Lycée Poincaré