Les calculatrices sont interdites **** N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision

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Maxence Martineau
il y a 5 ans
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1 Les calculatrices snt interdites **** NB : Le candidat attachera la plus grande imprtance à la clarté, à la précisin et à la cncisin de la rédactin Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d énncé, il la signalera sur sa cpie et devra pursuivre sa cmpsitin en expliquant les raisns des initiatives qu il a été amené à prendre **** Objectifs, ntatins et définitins Les bjectifs de ce prblème snt les suivants : - étendre la ntin d expnentielle à une matrice sans faire appel aux séries, mais par analgie avec l intrductin de la fnctin réelle de variable réelle : cmme slutin du prblème de auchy : - établir quelques prpriétés de cette expnentielle - résudre dans une équatin différentielle du type que l n rencntre en particulier en mécanique du slide Sit l ensemble des entiers naturels, et pur dans,!!! Si est un entier supérieur u égal à 1, n nte "# $ le $ -espace vectriel des matrices carrées d rdre à cefficients dans $ et " %& $ le $ -espace vectriel des matrices clnnes à lignes à cefficients dans $ ' est la matrice identité dnt les cefficients snt dnnés par le symble de Krnecker défini par ( + )* si, - si, - Pur/00 1 )* && 22 *) 22 appartenant à "# $, 3/ désigne la matrice transpsée de /, / )* désigne le cfacteur de l élément 1 )* ème et n appelle cmatrice de / la matrice dnt le cefficient de la, ligne et de la- ème clnne est / )* ette matrice sera ntée 4 5 6/ Turnez la page SVP

2 z ~ I L J j : J 7 : W J ]\ 7 I s s 2 Lrsque les cefficients 7 89 de : snt des fnctins de ; définies sur un intervalle < de =, n rappelle que: est dérivable sur< si et seulement si tutes les fnctins7 89 > snt dérivables sur < et qu alrs : ; D < E : F G ; H IG 7 F89 G ; H H JJ KK 98 KK LL N On purra utiliser sans le redémntrer que le prduit de deux applicatins : et M de < dans L G A H, dérivables sur <, est dérivable sur < et que : ; D < E G : M H FG ; H I: FG ; H M G ; H O : G ; H M F G ; H PARTIE I I1 Sit la matrice P dnnée par : P I QRTSVVW? XT? YZ?? X? [ a) alculer^ _ ` P b) alculer la matrice prduit PZa b c d ep c) Déterminer le plynôme caractéristique f g de P d) alculer G < h OPH G i < h?ph, puis la matricef g G PH I2 Sit:IG 7 89 H D N L G A H, G j J E j k E l l l E j L H D A L et M la matrice déduite de: en remplaçant lam ème clnne de: par la clnne frmée des cefficientsj J E j k E l l l E j L a) Mntrer que^ _ ` M0I n p 9 b) En déduire les égalités : G q E m H D r k L L E n p s 9 IG ^ _ ` : H t 9 c) Mntrer de même les égalités : G q E u H D r k L E n pl s : 8 IG ^ _ ` : H t 8 d) En déduire les frmules : :0a v b c d e: w IG ^ _ ` : H < L et v b c d e: w a :0IG ^ _ ` : H < L I3 a) Sit G x 89 H JJ KK 98KK L une famille de L y k plynômes à cefficients cmplexes, tus de degré inférieur u égal à Y Pur zda, n nte x G z H N la matrice de L G A H de terme général x 89 G z H Mntrer par récurrence sur l rdre de la matrice qu il existe un plynôme{ à cefficients cmplexes, de degré inférieur u égal à y tel que pur tutz appartenant àa, ^ _ ` x G z H I{ G z H b) Sit D}r et ~ E ~ J E l l l E ~ N des matrices de L G A H telles que pur tut z0d}a, n p Mntrer que pur tut dans E Y E l l l E ƒ, ~

3 ««««««ª ³ «««««ª ³ º I4 Pur tut, n pse ˆ Œ Ž ˆ et n nte ˆ ž ž ž a) Mntrer qu il existe š matrices Ÿ dans ˆ telles que : Ÿ ˆ caractéristique de b) En utilisant les questins I2 et I3, établir les égalités matricielles suivantes : Ÿ Ÿ 3 Ÿ le plynôme c) En déduire que le plynôme caractéristique de la matrice est un plynôme annulateur de intrduit les matrices suivantes : PARTIE II ž ž ž Sit 0 } ˆ, ses valeurs prpres dans nn nécessairement distinctes On ž ž žbž ž ž ± ² ± ² ²²²²² ²²²² ž ž ž ž ž ž Ÿ et µ š ¹º ˆ II1 a) Mntrer que cmmute avec chaque matrice b) Mntrer que ˆ II2 On rappelle que le prblème» de auchy ½ ¾ ˆ ¼ ˆ ¼ ˆ # À ˆ ¼ Á ˆ ¼ On ntera ˆ Â Ã ˆ ¼ Ä Ã Ä les cmp- ˆ ¼ admet une unique slutin santes de Turnez la page SVP

4 Þ Þ Ò à à Þ 4 On cnsidère alrs le nuveau prblème de auchy suivant : Å Æ Ç ÈÉ Ê Ë Ì Æ Í ÎÏ Ê Ì Æ Í et Ê Ì Ð Í ÎÑ Ò Ê ù la fnctin incnnue Ê Ö ÈØ Ù È est une applicatin dérivable de dansô Ò Ì Õ Í a) Sit Ô Ò Ì Õ Í É Æ ÚØ Ù Û Ý Þ ß Ì Æ Í à Mntrer que : Ò á Å Æ Ç ÈÉ Ê ÖË Ì Æ Í Î Û Ý Þ ß ä å Þ æ ä Ì Æ Í âã ß Ò Ì Æ Í ã Ò à Ò Ì Ó Í En déduire que Ê Ö est slutin du prblème Ì Ó Í b) Mntrer que Ê Ö est aussi slutin du prblème Ì ç Í ci-dessus : Å Æ Ç ÈÉ Ê Ë Ì Æ Í ÎÊ Ì Æ Í Ï et Ê Ì Ð Í ÎÑ Ò Ì ç Í Ñ c) Ò Sitè ÈØ Ù Ô Ò Ì Õ Í É Æ Æ Ç ÚØ È Ù Ê Ê Ö Ö Ì Ì Æ Æ Í Í Ê Ö Ì Ø Æ Í Mntrer que la fnctinè est cnstante égale Æ à En déduire que pur tut, est inversible et dnner sn inverse d) Sit é Ì Ó Í une slutin du prblème et ê È la fnctin de dans Ô Ò Ì Õ Í définie pur tut réel Ì par Ó Í ê Ì Æ Í Ê Î0Ê Ö Ö Ì Ø Æ Í é Ì Æ Í Mntrer que la fnctin ê est cnstante et en déduire que le prblème admet Ê pur Ö unique slutin e) Mntrer que est aussi Æ l unique Ê Ö Ì Æ Ì ç Í slutin Í Îë ì Ö du prblème Ê Ö Ì Ó Í Îë Ö Désrmais, n nte pur tut réel : La matrice est appelée expnen- Ï tielle de la matrice ette ntatin et cette définitin sernt justifiées par les diverses prpriétés étudiées dans la suite du prblème II3 A l aide de l algrithme décrit dans les questins précédentes, déterminer explicitement les ë ì í cefficients de, ù î est la matrice dnnée à la questin I1 II4 Sit le prblème de auchy dans Ô Ò ï Ì Õ Í dnné par : Å Æ Ç ÈÉ ð Ë Ì Æ Í ÎÏ ð Ì Æ Í ð Ì Ð Í Îð ñ É ð ñ Ç et Ô Ò ï Mntrer que sa slutin est dnnée par ð Ì Æ Í Îë ì Ö ð ñ PARTIE III est un plynôme en Ï III1 Mntrer Ï Æ ë ì Ö que pur tut réel, la matrice III2 Sit et ò deux matrices Æ deô Ò Ì Õ Í Ï telles que ò Î ò Ï a) Mntrer que pur tut Æ Ï ë ì ó réel, ë ì Öet ë ì ó cmmutent b) Mntrer que pur tut réel, et cmmutent Ì Õ Í

5 ! 5 c) Mntrer que les fnctins ô0õ ö øbù#ú û ü ý þ ÿ ø et õ ö ø#ù#ú û ü ý þ ÿ ø vérifient une même équatin différentielle et en déduire III3 On cnsidère les matrices et alculer,, et Quelle cnclusin en tirez-vus? III4 Sit dansù#ú û ü ý a) Mntrer que si est une matrice inversible deù ú û ü ý, n a pur tutÿ réel : b) Mntrer que pur tutÿ réel : PARTIE IV On se place désrmais dans l espace vectriel euclidien rientéö muni de sn prduit scalaire cannique û þ! þ ý est la base cannique deö et" û # þ $ þ % ý est un vecteur unitaire deö Sit& ' un vecteur deö et& l applicatin deö dansö slutin du prblème de auchy : ( ÿ ) öþ * & * ÿ " + & et & û ý & ' û, ý IV1 Siû ÿ ý et - ' snt les matrices clnnes respectives des crdnnées de& û ÿ ý et& ' dans la base, mntrer que le prblèmeû, ý s écrit encre : ( ÿ ) öþ * - * ÿ - et - û ý - ' û ý ù est une matrice que l n précisera IV2 Déterminer le plynôme caractéristique de et mntrer que IV3 Mntrer que 0/ 1 û ÿ ý 1 û ÿ ý et dnner l expressin de la slutin du prblèmeû ý IV4 On nte 7 et 8 respectivement les endmrphismes de ö canniquement assciés aux matrices et a) Mntrer qu il existe une base rthnrmale ' telle que la matrice de 7 dans cette base sit : ;; 9: ; <= b) Déterminer l image par 8 de la base ', puis caractériser gémétriquement l endmrphisme8 c) alculer Fin de l énncé

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