E - COURANTS ET TENSIONS VARIABLES

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1 E - COURANTS ET TENSIONS VARIABLES E DIFFERENCE ENTRE TENSION CONTINUE ET TENSION VARIABLE Une fois qu'un circuit électrique est monté, une tension (ou un courant ) est continue si sa valeur ne varie pas tant que l'on ne modifie pas le circuit. Il est usuel dans ce cas de représenter par des majuscules U ces tensions continues (ou I pour les intensités de courant). Les piles et les batteries sont des exemples de générateurs de tensions continues. Au contraire, une tension variable a une valeur qui change dans le temps sans pour autant que le circuit soit modifié. Et si la tension varie dans le temps; alors l'intensité du courant varie aussi. Dans ce cas, l'habitude veut que l'on représente ces tensions et ces intensités par des minuscules u(t) et i(t) qui spécifient bien leur variation dans le temps. Cette variation dans le temps signifie aussi bien que leur valeur change mais éventuellement aussi que le signe d'une telle tension peut changer et qu'en conséquence le sens de passage du courant peut changer, mais ceci ne modifie pas leur définition : u AB (t) = v A (t) - v B (t) et i(t) = Exemple : Aux bornes A et B d'un générateur on observe une tension u AB (t) qui varie dans le temps comme le représente le graphique ci-dessous : Q t u AB (t) (V) Pour 0 < t < 3 ms u AB = V > 0 v A > v B le courant sort par la borne A du générateur Pour 3 < t < ms u AB = - 3 V < 0 v A < v B le courant sort par la borne B du générateur Pour < t < 7 ms u AB = V > 0 v A > v B le courant sort par la borne A du générateur etc. 1

2 E - II - TENSION PERIODIQUE Lorsque à intervalle de temps régulier et quel que soit l'instant initial, la tension reprend toujours la même valeur, la tension variable est dite périodique et la période T correspond à cette durée d'intervalle de temps. Évidemment cette période se mesure en secondes. Exemple : La tension variable u AB (t) représentée précédemment est une tension périodique de période T = ms. instant initial t 1 valeur initiale u 1 instant final t = t 1 +T valeur finale u = u 1 etc. 0,5 ms V,5 ms V 1,5 ms V 5,5 ms V,5 ms V 6,5 ms V 3,5 ms - 3 V 7,5 ms - 3 V On définit aussi la fréquence f comme l'inverse de la période. 1 f = T La fréquence se mesure en hertz (symbole : Hz) et représente le nombre de périodes en une seconde Exemple : la fréquence de l'exemple précédent est : f = T 1 = 50 Hz E - III - TENSION ALTERNATIVE Une tension variable est dite alternative si sa valeur moyenne sur une période est égale à zéro. EXEMPLE : pour faire le calcul de cette moyenne dans le cas de l'exemple précédent on observe que sur une période de millisecondes, la tension vaut V pendant 3 millisecondes puis - 3 V pendant 1 milliseconde : u moyen = =,5 V La tension u AB (t) de cet exemple n'est donc pas alternative.

3 E - IV - TENSION SINUSOÏDALE Une tension sinusoïdale est une tension variable périodique et alternative dont la variation peut s'exprimer par une fonction mathématique sinus ou cosinus (cela dépend de la valeur de la tension à l'origine des dates): u AB (t) = U M sin(ωt) ou u AB (t) = U M cos(ωt) Les alternateurs sont des générateurs de tensions sinusoïdales Exemple : ci-dessous est représentée une tension sinusoïdale u AB (t) = sin( t) 0,008 Cette tension est bien périodique : elle retrouve toujours la même valeur au bout de 8 ms. Cette tension est bien alternative : sa valeur moyenne sur une période est nulle. Cette tension est bien représentée par une fonction sinus : elle s'annule lorsque t = 0 alors que ce n'est pas le cas d'une fonction cosinus. u AB (t) (V) U M est la valeur maximale d'une telle tension parce qu'un sinus ou un cosinus est au maximum égal à 1. Exemple : dans l'exemple ci-dessus, la valeur maximale U M est égale à volts. ω est sa pulsation. Elle se mesure en radian par seconde (symbole : rad.s - 1 ) pour que le produit (ωt) soit un angle en radian si t est une date en seconde. Exemple : dans l'exemple ci-dessus, la pulsation vaut : ω = = 785, rad.s - 1 0,008 3

4 Pourquoi l'écriture de la pulsation se présente-t-elle souvent sous forme d'une fraction de π plutôt que sous forme d'un nombre? Pour mettre en évidence la périodicité des fonctions sinus et cosinus. En effet les mathématiques enseignent que : sin (α) = sin (α+ π) et cos (α) = cos (α+ π) donc, dans l'expression mathématique de u AB, chaque fois que ωt augmente de π, le sinus ou le cosinus reprend la même valeur. Ce qui correspond, comme le montre le graphique, à une augmentation du temps t de la période T. sin(ωt) = sin(ωt + π) = sin(ω(t + T)) ω(t + T) = ωt + ωt = ωt + π Ce qui permet d'établir une relation entre pulsation, période et fréquence. La pulsation ω, la période T et la fréquence f sont reliées par les relations : ωt = π ou ω = T π = π f Exemple : la lecture sur le graphe précédent de la période T donne 8 ms et l'expression de ω correspond bien à la relation ci dessus lorsque la période est évidemment exprimée en seconde. T = 8 ms = 0,008 s et ω = π = rad.s -1 T 0,008 Exercice d'application E - 1 Retrouver l'expression mathématique des deux tensions dont on connaît la représentation graphique de leur variation dans le temps : a) u AB (t) (mv)

5 b) u AB (t) (V) - 0,5 1 1,5 - a) Équation correspondant au premier graphique 1) La fonction mathématique peut être un sinus puisque à la date t = 0, la tension est nulle. ) La valeur maximale est de 15 mv : U M = 15 mv = 0,15 V 3) La période est de 0 ms : T = 0 ms = 0,0 s ) La pulsation s'en déduit : ω = 5) L'équation s'écrit donc : u AB (t) = 0,15 sin(10 π t) 0, 0 π = 10 π rad.s - 1 b) Équation correspondant au second graphique 1) La fonction mathématique peut être un cosinus puisque à la date t = 0, la tension est maximale. ) La valeur maximale est de 3 V: U M = 3 V 3) La période est de 1 ms : T = 1 ms = 10-3 s ) La pulsation s'en déduit : π ω = 3 10 =.10 3 π rad. s - 1 5) L'équation s'écrit donc : u AB (t) = 3 cos(.10 3 π t) Les relations trigonométriques reliant les fonctions sinus et cosinus permettent de transformer les équations des tensions sinusoïdales. Parmi ces relations, on peut en considérer deux particulièrement utiles : sin(α) = cos(α - π ) et cos(α) = - sin(α - π ) Exemple : dans l'exercice d'application E - 1, cela peut permettre d'obtenir une écriture différente des équations représentant les tensions observées. Pour la tension a) : u AB (t) = 0,15 sin(10 π t) = 0,15 cos (10 π t - π ) Pour la tension b) : u AB (t) = 3 cos(.10 3 π t) = - 3 sin (.10 3 π t - π ) 5

6 Vous pouvez faire l'application directe n 7 que vous trouverez dans le document «I - Les exercices et les corrigés» à la rubrique : Ex-E-I-E 6