Gestion de Portefeuille. Projet M1 MMD Allocation d Actifs M. Bernard. Cécile GSELL. Marie-Pierre GIROUX. Florian MOSQUET

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1 Projet M1 MMD Allocation d Actifs M. Bernard Cécile GSELL Marie-Pierre GIROUX Florian MOSQUET Université Paris Dauphine 15 Juin 2008

2 Sommaire Introduction Réalisation de l échantillon Statistiques descriptives... 6 a) Tableau des Statistiques calculées... 8 b) Interprétations... 9 c) Normalité des rendements Modèle de marché (Sharpe) a) Interprétations b) Paramètres du modèle de marché c) Graphiques d Evolution du risque Optimisation du Portefeuille Sources

3 Introduction Le rôle des marchés financiers est de confronter l offre de capitaux et la demande de capitaux. La demande provient des entreprises, de l Etat et des collectivités locales. L offre vient, quant à elle, des ménages et des investisseurs institutionnels. Un agent en besoin de financement émet des titres et, en échange de l argent qu il reçoit des acquéreurs de ces titres, il doit assurer à ces derniers des bénéfices futurs sous certaines conditions. Pour gérer des portefeuilles de titres financiers, il faut considérer les données relatives à ces titres. Les données accessibles sont les prix actuels ou les historiques des prix. Face à l incertitude des niveaux futurs des prix, l outil statistique nous aide à comprendre à travers l analyse des données historiques le comportement des prix, mais également à proposer un modèle pour l évaluation des prix aidant à la prévision et à la quantification du risque. Par la suite, cela permet de déterminer le portefeuille optimal. Ce projet a donc pour objectif de réaliser une optimisation de portefeuille à partir d un échantillon de titres (19 titres risqués, 1 indice de marché, 1 actif certain) couvrant une période de 15 ans en données mensuelles. Nous calculerons, dans un premier temps, les statistiques associés à notre échantillon (i.e. rendements, volatilités, auto corrélations, Kurtosis, Skewness). Ensuite, nous étudierons le modèle de marché de Sharpe et l évolution des risques systématique et spécifique au cours du temps et en fonction des différents titres risqués. Enfin nous essaierons de construire un portefeuille optimal sous des contraintes d investissement uniformes. Ce projet sera réalisé à l aide des procédures et des fonctions VBA. 3

4 1. Réalisation de l échantillon Notre échantillon est composé de : o 19 titres risqués du secteur informatique Nord-Américain APPL : Apple. Ce titre appartient au S&P 100, S&P 500 et au Nasdaq. AMSWA : American Software. ASMI : ASM International. ASYS : Amtech Systems Inc. CDNS : Cadence Design Systems Inc. Ce titre appartient au S&P400, au S&P 1500 et au Nasdaq. CNVR : Convera Corp. DELL : Dell Inc. Ce titre appartient au S&P100, au S&P500, au S&P1500 et au Nasdaq. DIOD : Diodes Incorporated. Ce titre appartient au S&P600 et au S&P1600. EFII : Electronics for Imaging. GTSI : GTSI Corp. ICAD : ICAD Inc. JAVA : Sun Microsystems Inc. Ce titre appartient au S&P500, au S&P1500, au Nasdaq et à Amex Internet. MENT : Mentor Graphics Corp. Ce titre appartient au S&P400 et au S&P1500. ORCL : Oracle Corp. Ce titre appartient au S&P100, au S&P500, au S&P1500 et au Nasdaq. PLAB : Photronics Inc. Ce titre appartient au S&P600 et au S&P1500. TECD : Tech Data CP. Ce titre appartient au S&P400 et au S&P1400. TDSC : 3D Systems Corp. WEDC : White Electr Design. ZIXI : Zix Corp. 4

5 o 1 Actif certain, Le T-Bill à 13 semaines. Un T Bill ou Treasury bill (Bon du trésor) est une obligation émise par le gouvernement américain. A l image des obligations zéro-coupons, ils ne versent pas d'intérêts avant l'échéance. Ils sont à la place vendus avec une décote par rapport à leur valeur faciale ; cela permet au souscripteur d'obtenir un bénéfice à l'échéance. Les T Bills constituent les bons du trésor les moins risqués aux États-Unis par les investisseurs. Ils sont cotés à l'achat et à la vente sur le marché secondaire sur une base annuelle du rendement à échéance. Les principaux acquéreurs de ces titres sont les banques et les institutions financières. o 1 Indice de marché, le S&P500 comme indice représentatif du marché Nord-Américain. C est un indice boursier basé sur 500 grandes sociétés cotées sur les bourses américaines. L indice est possédé et géré par Standard & Poor s, l une des trois principales sociétés de notation financière. Il a été crée en 1920 et a détrôné le Dow Jones Industrial Average comme l indice le plus représentatif du marché boursier américain. En effet, le S&P 500 est composé d'un plus grand nombre de compagnies et sa valeur tient compte de la capitalisation boursière des compagnies contenues dans l'indice. Pour chaque titre est considéré les quotes mensuelles sur les 15 précédentes années (d avril 1993 à avril 2008). Nous avons regroupé toutes les données nécessaires à la réalisation de ce projet dans un même fichier Excel. 5

6 2. Statistiques descriptives Nous avons ensuite calculé les statistiques descriptives correspondant à notre échantillon. La rentabilité mesure l'appréciation relative de la valeur d'un actif financier entre deux instants successifs. La volatilité d'un portefeuille est définie comme étant l'écart-type des rendements de ce portefeuille. L'écart-type est l'outil statistique le plus connu pour mesurer la dispersion par rapport à une moyenne. Ainsi, un portefeuille bien diversifié, comportant un certain nombre de fonds et aux performances homogènes donnera un écart-type plus petit. Le Kurtosis ou coefficient d'aplatissement, correspond à une mesure de l'aplatissement de la distribution d'une variable aléatoire réelle. Ce coefficient prend des valeurs comprises entre 0 et l'infini. Le Kurtosis d une loi normale est de 3 et se calcule via la formule suivante : On distingue 3 cas : Coefficient > 3: on parle de distribution leptokurtique (Distribution pointue) coefficient < 3: on parle de distribution platikurtique (Distribution plate, à queue épaisse) Coefficient =3: on parle de distribution mésokurtique (Distribution proche d une normale) Le Skewness mesure l'asymétrie d'une distribution. Une valeur positive du coefficient d asymétrie révèle une distribution plus étendue vers les valeurs positives, alors qu une valeur négative met en évidence une distribution plus étendue vers les valeurs négatives. Pour un investissement, le Skewness permet de relever les extrêmes d une distribution des rendements : elle permet soit de désigner des cas de pertes extrêmes (Skewness négative élevée), soit des cas de gains extrêmes (Skewness positive élevée.) Le Skewness d une loi normale est 0 et se calcule via la formule suivante : La notion d auto corrélation s apparente à la façon avec laquelle une observation dépend des réalisations passées. Ainsi, plus la structure de dépendance est complexe, plus le traitement statistique est difficile. 6

7 Formellement, l hypothèse de marche aléatoire, ou marche au hasard, peut être représentée de la manière suivante : R it = M i + E it Où «R it» représente le taux de rentabilité aléatoire futur du titre i pendant une période t, «M i» représente un terme constant. Enfin, «E it» représente une variable aléatoire de moyenne nulle, de variance finie et dont le coefficient d auto corrélation est nul pour tout retard. Pour tester l hypothèse de marche aléatoire des cours boursiers, un des deux tests effectués est le test d auto corrélation des rentabilités à court terme. Invariablement, les coefficients d auto corrélation entre les changements de cours successifs est très faible. Soulignons le fait qu un coefficient d auto corrélation d une série de prix est nul si les variations sont aléatoires. 7

8 a) Tableau des Statistiques calculées 8

9 b) Interprétations Nous constatons tout d'abord que l'asymétrie est négative et l'aplatissement est strictement inférieur à trois (0.90) pour les rendements du S&P 500. Il semble alors difficile de pour assimiler cette distribution à une loi Normale. De plus, le coefficient d'aplatissement de 10 des 19 titres est strictement inférieur à 3, cependant il en existe un très proche de 3. Il s'agit d EFII, dont le coefficient est légèrement supérieur à Les titres ayant un coefficient d'aplatissement strictement inférieur à 3 sont platikurtique, c'est-à-dire que la queue de la distribution est plus épaisse que celle d une loi normale. Ceci implique qu'il existe une probabilité non nulle de rencontrer des valeurs extrêmes (que ce soit extrêmement élevée ou bien extrêmement basse). Dans notre portefeuille, nous avons donc 9 titres leptokurtiques (présentant des queues de distributions épaisses). Le coefficient d'aplatissement pour 9 des 19 titres est strictement supérieur à 3 (on se place dans le cas de distributions leptokurtiques). Dans ce c as là, il y une probabilité quasi nulle de rencontrer des rendements très positifs ou très négatifs. Un titre admet un Kurtosis élevé (ASYS : 69.87) donc nous ne pouvons pas considérer que les rendements de ce titre et des 8 autres suivent une loi normale. Etudions maintenant les valeurs du coefficient d asymétrie pour les 19 titres étudiés. 3 titres seulement ont des Skewness négatifs (AAPL, CDNS, JAVA), le biais vers les valeurs négatives implique que les pertes sévères ne sont pas aussi rares que pour une loi gaussienne. Tous les autres actifs possèdent un Skewness positifs. EFII possède les coefficients d asymétrie le plus proche de 0, c est le titre dont le rendement est le plus proche de la loi normale. Quand les rentabilités sont imprévisibles et exhibent une très faible auto corrélation, ceci confère aux rentabilités un aspect de marche aléatoire. Les exemples d AAPL qui a une autocorrélation très proche de 0 (0,00895) ou encore d ORCL (0,00940) illustrent bien ce phénomène. Enfin nous remarquons que les données statistiques pour le T BILL sont quelque peu aberrantes, en effet les rendements de ce titre ne sont pas aléatoire, c est l actif certain. La VaR 5% et VaR 95% correspondent respectivement au 5 ème percentile et au 95 ème percentile. Ayant connaissance de ces percentiles pour une loi normale (resp. -1,64 et 1,64) nous pouvons alors comparer ceux calculés à ceux d une loi normale. S ils sont proches il est alors possible que la distribution des rendements du titre soit assimilable à une loi normale. Comme nous pouvons le constater dans le tableau ci-dessous, les VaR 5% et 95% sont dans certain cas proche de -1,64 et 1,64. Certaine distribution semble alors se rapprocher d une distribution gaussienne. 9

10 c) Normalité des rendements Afin de tester la normalité des rendements des titres risqués (ainsi que l indice de marché), nous avons tracé suivant la distribution suivante, le nombre de rendements compris dans chaque intervalle : Voici les histogrammes pour les valeurs AAPL, DELL, EFII, ORCL ainsi que l indice de marché, le S&P

11 Graphiquement, le S&P 500 est le titre qui se rapproche le plus à une loi normale. Nous pouvons qualifier les distributions des rendements des autres titres de platikurtique. Dans le cas d EFII, le graphique montre que ses rendements ne sont pas proches d une loi normale, bien que le Kurtosis soit très proche de 3 et le Skewness proche de 0. 11

12 3. Modèle de marché (Sharpe) Le modèle de marché permet de diviser le risque en deux composantes : une composante systématique reliée au marché et une composante résiduelle. L hypothèse forte de ce modèle est de considérer que le seul facteur commun à toutes les actions est le facteur de marché. Le rendement de chaque action s'écrit : R r e t m, t t Ce modèle suppose deux types d'influence sur les actions : Les macro-évènements qui affectent toutes les firmes: inflation, croissance, taux d'intérêt... Les micro-évènements qui concernent une firme particulière: nouveaux produits, grèves... Leur influence sur le rendement est prise en compte par les résidus (la loi des grands nombres fait qu'ils n'affectent pas les rendements du portefeuille de marché). Les hypothèses classiques de la régression linéaire simple s'interprète financièrement: Cov(ei,rM)=0 : Il y a indépendance entre les facteurs spécifiques et les facteurs généraux d'explication des rendements. E(ei x ej)=0 : Les facteurs spécifiques de la firme i ne sont pas corrélés avec ceux de la firme j. C'est la simplification essentielle du modèle: les corrélations entre les firmes ne peuvent avoir lieux qu'à travers les mouvements généraux de l'économie. Le bêta correspond à la sensibilité du rendement de l'actif j par rapport au rendement du marché. Cov( r, rm) j j 2 m Le bêta d un portefeuille est en général positif ou nul (sauf dans des circonstances exceptionnelles) suivant la valeur que prend la covariance du rendement de l actif risqué avec le rendement du marché. Nous distinguons ici trois cas : Cov(r j,r m ) > 0 => r j > r 0 12

13 Si nous supposons que le rendement attendu des titres de marché est supérieur au rendement de l actif sans risque (dans notre projet, le rendement du T-Bill à 13 semaines) : E(r m )>r 0, alors les rendements moyens des titres risqués seront supérieurs au rendement sans risques si et seulement si ces titres sont exposés au risque de marché. Acheter un tel titre accroît donc l exposition au risque de marché. Pour que les agents acceptent d investir dans ce titre, il est donc nécessaire que le rendement espéré compense le risque supplémentaire qu il induit. Cov(r j,r m ) < 0 => r j < r 0 Cela nous indique que l actif risqué j évolue en sens contraire du marché. Celui-ci constitue donc un actif permettant de se protéger contre les fluctuations du marché. Les agents accepteront donc de le détenir même si son rendement espéré est inférieur au rendement sans risque. Cov(r j,r m ) = 0 => r j = r 0 Cela signifie que l actif j n est pas du tout corrélé aux fluctuations du marché. Son rendement espéré est alors égal au rendement sans risque. Effectivement même s il est risqué, son risque est indépendant du risque du marché. L alpha constitue l intersection de la droite de régression avec l axe des ordonnées. Il représente ainsi la rentabilité qui aurait pu être obtenue sur l action si la rentabilité de marché avait été nulle. Le alpha peut être positif, négatif ou nul. Il n y a donc pas stabilité de l alpha d une période à l autre. Il est donc d une importance mineure dans le cadre du modèle de marché. L epsilon est une variable résiduelle. Son écart type constitue une mesure du risque spécifique. Le coefficient de détermination, le R², est un outil qui permet de déterminer dans quelle mesure les observations divergent de la droite de régression. Il s agit du coefficient de corrélation entre l action j et le marché, il peut prendre n importe quelle valeur entre 0 et 1. Il indique dans quelle mesure les variations des actions sont expliquées par les variations du marché. De plus, un coefficient de détermination de 100% veut dire que toutes les observations sont sur la droite de régression (les variations de l action sont intégralement expliquées par les variations du marché). Le risque est générateur de rentabilité. Mais ce n'est pas le cas de toutes les formes de risque. En effet, le risque total d'un portefeuille se décompose en deux parties, le risque spécifique et le risque systématique. Le risque spécifique est propre au portefeuille. Effectivement, nous savons que tous les portefeuilles ayant 13

14 une même espérance de rentabilité possèdent un même bêta donc un même risque systématique. Ils n'ont cependant pas le même risque spécifique, et donc pas le même risque agrégé. a) Interprétations Pour effectuer nos interprétations, nous utilisons le tableau en b) Paramètres du modèle de marché. Pour commencer, nous remarquons tout d abord que tous nos bêtas sont supérieurs à zéro, nous n avons donc pas à faire une seule fois à des cas particuliers. Cela signifie donc que Cov (r j,r m )>0 (avec r j le rendement d un de nos 19 titres et r m le rendement du marché américain). Nous en déduisons donc que les rendements de nos titres sont exposés au risque de marché, ainsi que r j >r 0. De plus, nous remarquons que nos alphas sont relativement faibles. En effet, ils sont en effet compris entre 0,00306 (MENT) et 0,03629 (ASMI). Nous en déduisons donc que la rentabilité qui aurait pu être obtenue sur le titre j si la rentabilité du S&P500 avait été nulle est plutôt faible. Enfin, nous remarquons que les coefficients de détermination (R 2 ) sur la période complète sont relativement faibles. En effet, ils sont tous compris entre 0, (GTSI) et 0,3475 (JAVA). Nous avons vu précédemment que les valeurs devaient être comprises entre 0 et 1. Nous en déduisons donc que nos titres sont assez éloignés de la droite de régression et donc que les variations de l action ne sont pas du tout intégralement expliquées par les variations du marché. D où les rendements de ceux-ci sont peu corrélés avec les rendements du marché américain dans son ensemble (représenté par le S&P 500). Cette faible corrélation entre les rendements de nos 19 titres et les rendements du marché américain se reflète dans les valeurs plutôt faibles mesurées par les Student. Effectivement nous remarquons que les t constantes de nos 19 titres varient entre 0,0556 (CNVR) et 1,8502 (ASMI) et que les t beta sont compris entre 1,2171 (GTSI) et 7,9538 (PLAB). 14

15 b) Paramètres du modèle de marché 15

16 c) Graphiques d Evolution du risque Nous avons représenté ci-dessous les graphiques d évolution des risques systématiques et spécifiques pour les titres AAPL, DELL, ainsi que ORCL. Apple Dell 16

17 Oracle Globalement, le risque systématique est 2 fois moins élevé que le risque spécifique. Néanmoins une grande partie du risque de chaque titre est originaire de leur corrélation avec le marché. 17

18 4. Optimisation du Portefeuille Cette partie consiste à déterminer le portefeuille optimal en se basant sur les données historiques de 1993 à Nous avons instauré des contraintes d investissement minimal et maximal pour chaque titre (ces contraintes sont uniformes). Nous avons choisi de limiter l investissement dans un titre à 20% et d obliger le portefeuille optimal à posséder 1% de chaque titre au moins, de plus les calculs ont été effectué pour un coefficient d aversion de 5 (Tous ces paramètres peuvent-être modifié sur la feuille «Pilotage» de notre classeur Excel. Le résultat de cette optimisation est représenté sur la Figure 1 Ensuite, nous avons réitéré cette optimisation de balayant l historique par sous-périodes glissantes de 4 ans divisées en 2 périodes : L In-sample, les 3 premières années sur lesquelles on évalue les paramètres d optimisation L Out-of-sample, la dernière année sur laquelle on évalue les résultats de l investissement Enfin, nous avons évalué l écart entre les résultats prévus et les résultats effectifs. En fait on compare les rendements moyens réalisés sur la période Out-of-sample aux rendements espérés calculés à l aide de l optimisation sur la période In-sample. Ces performances sont représentées sur la Figure 2. Les rendements moyens de l Out-of-sample sont décalés par rapport aux rendements moyens de l Insample. On remarque que le portefeuille équipondéré a des rendements souvent supérieurs au portefeuille optimisé. 18

19 Figure 1 19

20 Figure 2 20

21 5. Sources Livres Gestion d'actifs, jean Mathis (Economica), Mondher Bellalah, 2004 Allocation d'actifs, théorie et pratique, sous la direction de Pierre Hervé (Economica) Marchés Financiers, gestion de portefeuille et des risques (Dunod 2007) Internet