Moments Cinétiques. Introduction à la physique nucléaire Master MREE, Printemps Pr. Mohammed Benjelloun. Pr. M. Benjelloun

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1 Pr. M. Benjelloun Moments Cinétiques Introduction à la physique nucléaire Master MREE, Printemps 2017 Pr. Mohammed Benjelloun Pr. M. Benjelloun UCD FSJ

2 Moment cinétique orbital Rappelons que dans la mécanique classique le moment angulaire est définie comme le produit vectoriel des vecteurs position et impulsion: Notez que le moment angulaire est lui-même un «vecteur». Les trois composantes cartésiennes du moment angulaire sont: 8/03/2017 Pr. M. Benjelloun UCD FSJ 2

3 Opérateur Moment cinétique Pour un système quantique le moment angulaire est une observable, nous pouvons mesurer le moment angulaire d'une particule dans un état quantique donné. Selon les postulats, nous avons besoin d'associer à chaque observable un opérateur hermitique. La mécanique quantique substituts l'opérateur pour la quantité de mouvement, afin que l'opérateur moment cinétique devient: 8/03/2017 Pr. M. Benjelloun UCD FSJ 3

4 Fonctions propres et Valeurs propres A partir de là, nous pourrons construire l opérateur représentant le carre du moment cinétique. les opérateurs satisfont aux relations de commutation les fonctions propres communes à 8/03/2017 Pr. M. Benjelloun UCD FSJ 4

5 Harmoniques sphériques 8/03/2017 Pr. M. Benjelloun UCD FSJ 5

6 Parité Cette opération correspond à un changement de signe de toutes les coordonnées de chaque point appartenant à l'espace euclidien. En d'autres termes, la parité est la symétrie d'espace par rapport à l'origine O des axes. ψ ( r) = ψ( r, θ, φ) ψ ( r) = R ( r) Y ( θφ, ) nl l, m 8/03/2017 Pr. M. Benjelloun UCD FSJ 6

7 Exercice 8/03/2017 Pr. M. Benjelloun UCD FSJ 7

8 Parité- Potentiel central Equation de Schrödinger En coordonnées sphériques, l'opération de parité revient à appliquer sur la fonction d'onde d'espace la transformation suivante 8/03/2017 Pr. M. Benjelloun UCD FSJ 8

9 Définition du moment cinétique On appelle moment cinétique J tout ensemble de trois observables telles que les trois opérateurs J x,j y et J z associés à ses composantes, satisfont aux relations: Au lieu d'utiliser les composantes J x, J y du moment cinétique J, il est plus commode d'introduire les combinaisons linéaires suivantes 8/03/2017 Pr. M. Benjelloun UCD FSJ 9

10 Valeurs propres de J 2 et J z Soit une fonction d onde propre de J 2 et J z. Les seules valeurs possibles pour j sont des nombres entiers ou demi-entier positifs ou nuls, c'est-à-dire : 0, 1/2, 1, 3/2, 2, Pour une valeur fixée de j, ilya(2j + 1) valeurs possibles pour m allant de -j, -j+1,..., j-1,j. Par conséquent m est entier si j est entier, et demi-entier si j est demi-entier. 8/03/2017 Pr. M. Benjelloun UCD FSJ 10

11 Moment cinétique intrinsèque Pour expliquer la structure fine dans le spectre de l atome d hydrogène, Uhlenbeck et Goudsmit (1925) ont été amenés à postuler l existence d un moment angulaire /2 pour le spin de l électron, Une particule peut posséder un moment cinétique intrinsèque, ou "spin". Une image simple du spin se traduit par une rotation de la particule sur elle-même (ce n'est qu'une image). Le spin est une propriété quantique intrinsèque associée à chaque particule. C est une caractéristique de la nature de la particule, tout comme sa masse et sa charge électrique. Une particule telle qu un noyau ou un électron possède un moment cinétique intrinsèque S en plus de son moment cinétique orbital L. Le spin ne possède pas d équivalent classique, comme dans le cas du moment cinétique orbital. 8/03/2017 Pr. M. Benjelloun UCD FSJ 11

12 Spin S=1/2 Le moment cinétique de spin S doit alors satisfaire aux relations Sont les vecteurs propres de Pour le neutron et le proton qui sont des particules de spin S=1/2,le moment cinétique intrinsèque est quantifié dans l'espace et peut prendre deux orientations possibles: Expression des opérateurs et les deux vecteurs de base l algèbre des moments angulaires 8/03/2017 Pr. M. Benjelloun UCD FSJ 12

13 Composition de moment cinétiques Considérons un système physique formé par la réunion de deux sous-systèmes. Soit une base standard dans l'espace des états E 1 du sous-système (1), et soit une base standard dans l'espace des états E 2,du sous-système (2), alors l'espace des états du système global est le produit tensoriel de E 1 et E 2 Le sous-espace E(k 1,k 2 ; j 1,j 2 ) a pour dimension ; il est globalement invariant sous l'action d'une fonction quelconque de J 1 et J 2. 8/03/2017 Pr. M. Benjelloun UCD FSJ 13

14 Coefficients de Clebsch-Gordan Un vecteur propre des observables de la base est simultanément état avec les valeurs propres respectives La base du sous-espace E(k 1, k 2 ; j 1, j 2 )de E est globalement invariant sous l'action de tout opérateur. Dans chaque sous espace E(j 1,j 2 ) les vecteurs propres de J 2 et J z sont des combinaisons linéaires des vecteurs de la base initiale { }: coefficients de Clebsch-Gordan M = m 1 + m 2 et j 1 -j 2 J j 1 + j 2 8/03/2017 Pr. M. Benjelloun UCD FSJ 14

15 Coefficients de Clebsch-Gordan coefficients de Clebsch-Gordan M = m 1 + m 2 et j 1 -j 2 J j 1 + j 2 Exemple j1 = 1 j2 = 2 2,2 >=? J = j1+ j2 J = 1, 2, 3 2,2 >= C 2,1;1,1 > + C 2,1;2,0 > ,2 >= 2,1;1,1 > + C02 2,1;2,0 > ,2 >= 2,1;1,1 > + 2,1;2,0 > 3 3 8/03/2017 Pr. M. Benjelloun UCD FSJ 15

16 Coefficients de Clebsch-Gordan 8/03/2017 Pr. M. Benjelloun UCD FSJ 16

17 Facteur de phase Lorsqu'on couple deux moments cinétiques, l'ordre dans lequel se fait le couplage n'est pas quelconque: Si on choisi de coupler j 1 à j 2 (dans ce sens) il faut conserver cet ordre tout au long des calculs sous peine d'introduire des facteurs de phases (signe négatifs). Exemple < 1, 2;0, 2 2, 2 >=? < 1, 2;0, 2 2, 2 >= ( ) < 2,1;2,0 2, 2 > < 1, 2;0, 2 2, 2 >= < 2,1;2,0 2, 2 > < 1, 2;0, 2 2, 2 >= ( ) < 2,1;2,0 2, 2 > 1 < 1, 2;0, 2 2, 2 >= < 2,1;2,0 2, 2 >= 3 8/03/2017 Pr. M. Benjelloun UCD FSJ 17

18 Composition de moment cinétiques Exercice 1: 8/03/2017 Pr. M. Benjelloun UCD FSJ 18

19 Moment cinétique total Le moment cinétique total J est la somme des moments cinétiques orbital L et de spin S L'action des opérateurs J 2 et J z sur un état propre Désignons par E (k,j) l'espace vectoriel engendré par l'ensemble des vecteurs de la base standard { } qui correspondent à des valeurs fixées de k et j. E(k,j) est de dimension (2j+1) E(k,j) est globalement invariant sous l'action de J 2,J z,j + et J - A l'intérieur d'un sous-espacee(k,j), les éléments de matrice d'une fonction quelconque F(J) sont indépendants de k. Les sous-espaces E(k,j) orthogonaux deux à deux 8/03/2017 Pr. M. Benjelloun UCD FSJ 19

20 Couplage spin-orbite La manière avec laquelle les valeurs de et s des particules individuelles s ajoutent pour donner le moment cinétique total J dépend du type d interaction ou «couplage» qu on suppose exister entre les particules. Comme le moment cinétique totale du système considéré ( par exemple celui d un noyau) est: Faible couplage Fort couplage Couplage (L.S) de Russel-Saunders Couplage j.j 8/03/2017 Pr. M. Benjelloun UCD FSJ 20

21 Couplage de Russel-Saunders (L.S) les moment angulaires et s d un nucléon individuel, le couplage est faible. Les sont supposés fortement couplés les uns aux autres les vecteurs de spin s sont fortement couplés Dans le couplage L.S, la nomenclature des niveaux nucléaires est celle utilisée en spectroscopie: Ainsi, les niveaux L=0, 1, 2, sont définis par S,P,D,F, Par ailleurs pour chaque valeur de L, correspond (2S+1) valeurs de J différentes. Supposons qu on désire coupler un nucléon s avec un nucléon p. 8/03/2017 Pr. M. Benjelloun UCD FSJ 21

22 Couplage j.j Exemple On suppose dans ce cas, que l interaction dominante se fait entre les vecteurs orbitaux et de spin d un même nucléon. Ils se combinent pour donner un nombre quantique : moment cinétique total d un nucléon. Les niveaux sont notés: Supposons qu on désire coupler un nucléon s avec un nucléon p. nucléon s nucléon p 8/03/2017 Pr. M. Benjelloun UCD FSJ 22

23 Couplages j.j et LS Le type de couplage que l on attribut à la configuration du système ne modifie ni le nombre total de niveaux, ni les moments cinétiques de ces niveaux. Cependant, le type de couplage modifie profondément l écart énergétique entre les niveaux. Dans l exemple on obtient 4 niveaux. j.j L.S 8/03/2017 Pr. M. Benjelloun UCD FSJ 23

24 Couplage de deux spins ½ dans état =1 Exercice 2: On considère deux nucléons dans un état =1. Trouver le nombre d'états possibles et donnez leur notation spectroscopique en considérant le couplage j.j puis le couplage L.S. 8/03/2017 Pr. M. Benjelloun UCD FSJ 24

25 Couplage de deux spins 1/2 8/03/2017 Pr. M. Benjelloun UCD FSJ 25

26 Couplage de deux spins 1/2 8/03/2017 Pr. M. Benjelloun UCD FSJ 26