Électrostatique. Chapitre 2

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1 Chapitre 2 Électrostatique L électrostatique est l étude des champs électriques stationnaires. On étudie des charges électriques qui ne bougent pas, et donc le champ électrique ne varie pas en fonction du temps. Dans ce cas-ci, il n y a pas de champ magnétique, ce qui simplifie l analyse des problèmes. Avant de procéder à fond dans la matière, il y a quelques définitions importantes à retenir : Charge : C est une propriété fondamentale de certaines particules ; on s intéresse ici au comportement de ces particules sous l effet d une force reliée à la charge. Une charge est représentée par la variable q. Les charges existent sous l une de deux forme : négative ou positive. La valeur d une charge est un multiple entier 1 d une constante fondamentale, la charge d un électron e = L unité de la charge est le Coulomb [C]. Champ : Un champ (électrique ou magnétique) est une distribution spatiale d un scalaire ou vecteur. C est une façon de caractériser l effet d une charge sur l espace environnant. Un autre point important : la loi de la conservation de charge. C est un postulat fondamental physique. Les charges ne sont pas crées ou détruites; elles sont simplement redistribuées. 1. En fait, on a démontré l existence de quarks, qui forment les particules élémentaires, dont la charge est un multiple de ±1/3e. 1

2 2.1 Loi de Coulomb Coulomb fut le premier à mettre sous forme d équation (en 1785) les observations effectuées par les scientifiques sur le phénomène de l électricité. Les scientifiques s étaient aperçus que des charges semblables se repoussent, tandis que des charges différentes s attirent. Après de nombreuses expériences très délicates, Coulomb formule ainsi sa loi d attraction et de répulsion des charges : F 12 = k q 1q 2 â 12 (2.1) où F 12 est la force exercée par q 1 sur q 2, R 12 est la distance entre q 1 et q 2, a 12 ˆ est un vecteur unitaire qui pointe de q 1 vers q 2, et k est une constante, qui dépend du milieu et du système d unités. Dans le système SI, la constante k est donnée par : R 2 12 k = 1 4πɛ (2.2) où ɛ est la constante diélectrique (ou permittivité) du milieu. La permittivité est une mesure de la capacité d une matière à concentrer un champ électrique. La permittivité d un milieu est donné par : ɛ = ɛ r ɛ 0 (2.3) où ɛ r est la permittivité relative (1 pour l air et le vide ; et plus grand pour les autres milieux) et ɛ 0 est la permittivité du vide, ɛ 0 = F/m. Selon l équation 2.1, si deux charges sont de même signe (positives ou négatives), la force sera alors positive, et il y a donc répulsion. Si les charges ne sont pas de même signe, alors la force est négative, et il y a attraction. Il y a une condition spéciale à observer pour que la loi de Coulomb soit valide : La dimension des corps où se retrouvent les charges doit être beaucoup plus petit que la distance qui sépare les charges. Dans le cadre de ce cours, on supposera que cette condition est toujours respectée. Exemple 1 Calculer la force sur la charge q 1 = 20µC, par une charge q 2 = 300µC, quand q 1 est à la position (0,1,2)m et q 2 est à la position (2,0,0)m. Selon la description du problème, on cherche F 21. Gabriel Cormier 2 GELE3222

3 Alors, R 21 = p 1 p 2 = 2 â x + â y + 2 â z est le vecteur qui pointe de q 2 vers q 1. On doit trouver son amplitude, et le vecteur unitaire. R 21 = ( 2) = 3 â 21 = R 12 R 12 = 0.66 â x â y â z Alors, la force de q 2 sur q 1 est : F 12 = q 1q 2 4πɛ 0 R 2 â 12 = ( )( ) 4π( )(3 2 ( 0.66 â x â y â z ) ) = 6( 0.66 â x â y â z ) N La force a une amplitude de 6N. Remarquer que la force de q 1 sur q 2 aura la même amplitude, mais sera de sens contraire. S il y a plus d une charge qui agit sur une charge quelconque, la force totale est la somme vectorielle des forces individuelles; on appelle ceci le principe de superposition. La force qui agit sur la charge q 1 est donnée par : F 1 = q 1q 2 4πɛR 2 â 21 + q 1q πɛR 2 â 31 + = q 1 4πɛ 31 n q k R 2 k=2 k1 â k1 (2.4) 2.2 Champ électrique Comme mentionné plus haut, le champ électrique est une mesure de l effet de la charge sur l espace environnant. Par définition, l intensité du champ électrique est la force par charge unitaire qu une petite charge stationnaire de test ressentira quand elle est placée dans une région où un champ électrique existe. F E = lim q 0 q (2.5) Si la charge test est suffisamment petite, l équation précédente se réduit à : q 1 E = 4πɛR 2 â 12 (2.6) 12 Gabriel Cormier 3 GELE3222

4 L unité du champ électrique est le Volt/mètre [V/m] ou son équivalent, le Newton/Coulomb [N/C]. Exemple 2 Calculer le champ électrique à un point (0,3,4) dû à une charge q = 0.5µC à l origine. Dans ce cas-ci, R = p p 0 = 3 â y + 4 â z R = = 5 â R = 0.6 â y â z Alors le champ électrique est : E 6 = 4π( )(5 2 ) (0.6 â y â z ) = 180(0.6 â y â z ) V/m 2.3 Distributions de charge On s intéresse ici à appliquer les équations du champ et de la force électrique lorsque la charge est distribuée dans un volume, une surface ou une ligne Charge volumique Quand une charge est distribuée dans un volume, chaque élément de charge contribue au champ électrique. Il faudra donc faire une sommation ou intégrale pour trouver le champ électrique total. La densité de charge est donnée par : ρ v = dq [C/m 3 ] (2.7) dv où Q est la charge totale du volume, et v est le volume. La contribution de chaque petit élément de charge au champ électrique total est : d E = dq 4πɛR 2 âr (2.8) Gabriel Cormier 4 GELE3222

5 au point d observation P. Le champ électrique total est obtenu en intégrant l équation précédente, ρ v â R E = dv (2.9) 4πɛR2 V Charge en surface La charge peut aussi être distribuée en surface (dans un plan). La densité de charge est donnée par : ρ s = dq [C/m 2 ] (2.10) ds où Q est la charge totale du volume, et s est la superficie (l aire). La contribution de chaque petit élément de charge au champ électrique total est : d E = dq 4πɛR 2 âr (2.11) au point d observation P. Le champ électrique total est obtenu en intégrant l équation précédente, ρ s â R E = ds (2.12) 4πɛR2 S Charge sur une ligne Dans certains cas, on peut supposer que la charge est distribuée sur un fil très mince. La densité de charge est donnée par : ρ l = dq dl où Q est la charge totale du volume, et l est la longueur. [C/m] (2.13) La contribution de chaque petit élément de charge au champ électrique total est : d E = dq 4πɛR 2 âr (2.14) au point d observation P. Le champ électrique total est obtenu en intégrant l équation précédente, ρ l â R E = dl (2.15) 4πɛR2 L Gabriel Cormier 5 GELE3222

6 Exemple 3 Calculer la force sur une charge ponctuelle de 50µC à (0,0,5) due à une charge de 500πµC distribuée uniformément sur un disque de rayon r < 5m, z = 0m (centré à l origine). Puisqu on parle d un disque très mince, il s agit d une distribution de charge sur une surface. La densité de charge est ρ s = Q A = 500π 10 6 π(5 2 ) = C/m 2 Alors, En coordonnées cylindriques, le vecteur R est : R = r â r + 5 â z R 2 = r a R = r â r + 5 â z r L élément différentiel de surface ds est donné par : ds = rdrdφ Donc l élément différentiel de force est : df = ( )(ρ s rdrdφ) 4π( )(r ) ( ) r âr + 5 â z r Pour trouver la force totale, il faut intégrer. En observant le problème, on remarque que les composantes radiales vont s annuler. F = 2π 5 = 90π ( )( )(5rdrdφ) 4π( )(r ) 3 2 rdr (r ) 3 2 â z = â z N â z On verra qu il y a une méthode plus simple pour résoudre des problèmes de distribution de charge : la Loi de Gauss. Avant de procéder à la loi de Gauss, il faut parler de flux électrique. Gabriel Cormier 6 GELE3222

7 2.4 Lignes de champ Les lignes de champ électrique sont une aide pour aider à visualiser la direction et l amplitude du champ électrique. Elles ne sont pas réelles (comme les lignes qui démarquent les provinces sur une map), mais sont un concept très utile. Les lignes de champ électrique suivent quelques règles très simples : Les lignes de champ commencent sur des charges positives et se terminent sur des charges négatives, ou à l infini. Les lignes de champ sont tracées de façon symétriques en entrant ou sortant d une charge. Le nombre de lignes qui entrent ou sortent d une charge est proportionnel à l amplitude de la charge. Les lignes de champ ne se croisent jamais. Un premier exemple de ligne de champ est donné à la figure 2.1. La charge est positive, alors les lignes commencent sur la charge (indiqué par la direction des flèches). Les lignes sont distribuées de façon symétrique. + Figure 2.1 Lignes de champ d une charge ponctuelle positive Un deuxième exemple de ligne de champ est donné à la figure 2.2. Il s agit de deux charges ponctuelles de même amplitude, mais de signe opposé. Les lignes de champ commencent sur la charge positive et se terminent sur la charge négative. Les lignes sont distribuées de façon symétrique. + Figure 2.2 Lignes de champ de deux charges ponctuelles de signe opposé Gabriel Cormier 7 GELE3222

8 2.5 Flux électrique Les lignes de champ électrique suggèrent (ou impliquent) qu il y a une sorte d écoulement des charges positives vers les charges négatives. On appelle ceci le flux électrique. En 1837, Michael Faraday fait l expérience suivante : Il prend une sphère conductrice, qu il charge avec +Q. Autour de la sphère, il ajoute un diélectrique, puis une deuxième sphère conductrice. Il branche la deuxième sphère à la masse, momentanément, puis enlève la connexion. Il mesure ensuite la charge sur la sphère externe : c est Q. Il répète plusieurs fois l expérience et constate que peu importe la dimension de la sphère ou le type de diélectrique, la charge sur la deuxième sphère est toujours égale en amplitude mais de signe opposé à la charge sur la sphère interne. Faraday conclut qu il y a une sorte de déplacement, de quelque chose, de la sphère intérieure vers la sphère extérieure. Le déplacement, ou flux, est égal en amplitude à la charge. Si on considère la sphère externe, la densité des lignes de flux qui passent au travers de la surface, D, est donné par : D = Ψ S = Ψ 4πR 2 âr [C/m 2 ] (2.16) où Ψ est le flux total. L équation 2.16 est très semblable à l équation du champ électrique : E = Q 4πɛR 2 âr (2.17) Puisque Ψ = Q, on obtient : D = ɛ 0 E (2.18) L avantage de l utilisation de D dans les calculs est qu il est indépendant du milieu. Le flux total est donné par : Ψ = D S = D d s = D S cosθ (2.19) où θ est l angle entre la surface et les lignes de champ. Gabriel Cormier 8 GELE3222

9 Exemple 4 Un disque mince de rayon 0.1m est orienté de sorte qu un vecteur normal à la surface forme un angle de 30 avec un champ électrique uniforme E d amplitude N/C. 1. Calculer le flux total à travers le disque. 2. Quel est le flux total si le disque est parallèle au champ électrique? 3. Quel est le flux total si le disque est perpendiculaire au champ électrique? 1. On doit premièrement calculer la surface du disque : S = πr 2 = m 2 Le flux est donc : Ψ = DS cosθ = ( )( )(0.0314)cos(30) = 0.48 nc 2. La seule chose qui change est l angle θ. Si le disque est parallèle au champ, l angle est 90. Alors le flux sera Ici, l angle formé par le disque et le champ électrique est 0. Le flux est donc : Ψ = DS cosθ = ( )( )(0.0314)cos(0) = 0.56 nc Le prochain exemple mènera à la loi de Gauss. Exemple 5 Une charge de 3µC est entourée d une sphère de rayon 0.2m centrée sur la charge. Calculer le flux électrique total qui passe à travers la sphère. On doit calculer D et S. Pour une sphère, le champ électrique à tout point sur la sphère est : D = 1 q = 5.97 µc/m2 4π R2 Le champ est constant sur la surface de la sphère. Puisque le champ est constant, l équation du flux devient alors : Ψ = D d s s Gabriel Cormier 9 GELE3222

10 Il faut donc calculer l intégrale de la surface. Pour une sphère, ds = 4πR 2 ds = m 2 s s Le flux total est : Ψ = ( )(0.502) = C Si on reprend cet exemple, mais qu on sauve les calculs pour la fin, on aurait alors : Ψ = D ds = 1 q s 4π R 2 4πR2 = q Cette dernière équation veut dire que le flux total est égal à la charge totale contenue à l intérieure de la surface. 2.6 Loi de Gauss La loi de Gauss permet de faire le lien entre la charge total contenue dans une surface fermée et le flux total qui traverse cette surface. On l exprime ainsi : D ds = Q (2.20) s où Q est la charge totale contenu à l intérieur de la surface. La surface s n a pas besoin d être une surface réelle ; c est une surface mathématique qu on choisit pour simplifier les calculs. On appelle souvent une telle surface une surface de Gauss. Les éléments clés d une surface de Gauss sont : 1. La surface est fermée. 2. À chaque point de la surface, le champ est parallèle ou perpendiculaire. 3. Le champ doit être constant lorsque le champ est perpendiculaire à la surface. Ces conditions simplifient énormément les intégrales. Exemple 6 Utiliser une surface Gaussienne pour calculer le champ électrique dû à une ligne infiniment longue de charge ρ l. Gabriel Cormier 10 GELE3222

11 Puisqu il s agit d une ligne infiniment longue, les lignes de champ seront dirigées que d une direction, selon la normale du fil. On suppose que la ligne est selon l axe z. Le champ sera donc seulement selon r. La surface gaussienne pour ce problème est un cylindre : le dessus et le dessous seront parallèle au champ, et le tour du cylindre sera perpendiculaire au champ, selon la figure suivante. z E Si on applique la loi de Gauss : Q = D ds + s 1 D ds + s 2 D ds s 3 où S 1 et S 3 sont le dessus et le dessous du cylindre, et S 2 est la paroi externe. Pour les surfaces 1 et 3, l intégrale est nulle, puisque ces surfaces sont parallèles au champ. Pour la surface 2, E et ds sont parallèles, et D est constant puisque le rayon est constant pour toute la surface. Donc, Q = D ds = D(2πrL) S 2 La charge totale contenue à l intérieur de la surface gaussienne est : Q = ρ l L et alors le champ électrique est E = D ɛ = ρ l 2πɛ 0 r Il faut noter que les surfaces gaussiennes ne s appliquent que si le problème comporte de la symétrie. Gabriel Cormier 11 GELE3222

12 2.7 Divergence Quand la divergence d un champ de vecteurs est non-nulle, la région contient une source ou un collecteur. Si la divergence est positive, la région contient une source; si la divergence est négative, la région contient un collecteur. Par définition, un flux positif est crée par une source. Rappel : définition de la divergence. A = lim v 0 Ad S v (2.21) Si on reprend la loi de Gauss (équation 2.20), et qu on divise chaque côté par v, on obtient l équation suivante : D ds S = Q (2.22) v v Si on prend la limite de chaque côté, lim v 0 S D ds v = D = lim v 0 Q v = ρ (2.23) Donc, D = ρ (2.24) E = ρ ɛ (2.25) Si ɛ est constant dans la région sous étude, on peut utiliser l équation Sinon, on utilise l équation L équation 2.24 est une équation fondamentale de l électromagnétisme Théorème de divergence La loi de Gauss dit que l intégrale de D ds est égale à la charge totale contenue dans la surface gaussienne. Si la densité de charge ρ est connue, la charge totale peut être obtenue en faisant l intégrale sur le volume. On a donc : D d s = ρdv = Q (2.26) Gabriel Cormier 12 GELE3222

13 Cependant, à l aide de la loi de Gauss, ρ = D. Alors, D d s = ( D)dv (2.27) C est le théorème de divergence. 2.8 Travail, énergie, potentiel On s intéresse ici au travail fait sur une charge, et on définit le potentiel électrique Travail sur une charge ponctuelle Une charge q subit une force F dans un champ électrique E. Pour maintenir la charge en équilibre, il faut appliquer une force opposée. Le travail, par définition, est une force qui agit sur une distance quelconque. Donc, un travail différentiel dw est effectué quand la force appliquée F produit un déplacement différentiel dl de la charge. dw = F d l = q E d l (2.28) Note : Quand q est positif et d l est dans la direction de E, dw est négatif, ce qui veut dire que le travail a été fait par le champ électrique. Les éléments de déplacement différentiel sont : d l = dx â x + dy â y + dz â z d l = dr â r + rdφ â φ + dz â z d l = dr â R + Rdθ â θ + Rsinθdφ â φ (cartésien) (cylindrique) (sphérique) Exemple 7 Un champ électrostatique est donné par E = (x/2 + 2y)â x + (2x)â y V/m. Calculer le travail effectué en déplaçant une charge de -20µC (a) de l origine au point (4,0,0)m, et (b) de (4,0,0)m à (4,2,0)m. Gabriel Cormier 13 GELE3222

14 a) Le premier parcours est selon l axe x, donc dl = dx â x. dw = q E d l = ( )(0.5x + 2y)dx Le travail total est obtenu en intégrant : W = ( ) 4 0 (0.5x + 2y)dx = 80 µj b) Le deuxième parcours est selon l axe y, donc dl = dy â y. 2 W = ( ) (2x)dy = 320 µj 0 Le travail est indépendant du parcours. Dans la figure 2.3, le travail effectué pour déplacer une charge du point A au point B est le même pour le parcours 1 ou 2. B 1 2 A Figure 2.3 Travail selon le parcours Donc, si on part du point A pour se rendre au point B, on effectue un certain travail W AB. Si on retourne au point A, on effectue un travail W BA = W AB. Au total, le travail effectué est nul. On peut donc dire que le travail effectué sur un parcours fermé est nul, ou : E d l = 0 (2.29) C est la loi des tensions de Kirchoff. Si on reprend l équation 2.29, à l aide du théorème de Stokes, on a la relation suivante : E d l = ( E) d s = 0 (2.30) ce qui implique : E = 0 (2.31) Gabriel Cormier 14 GELE3222

15 L équation 2.31 est une équation fondamentale de l électromagnétisme. Si le rotationnel d un champ de vecteurs est nul, le champ est dit conservateur. Le champ électrique est donc un champ conservateur Potentiel électrique Par définition, le potentiel électrique d un point A par rapport à un point B est définit comme étant le travail par unité qui serait effectué si on déplaçait une charge unitaire positive q u de B à A. V AB = W A = E d q l [J/C ou V] (2.32) u B En fait, V AB représente la différence de potentiel entre A et B. On calcule maintenant la différence de potentiel entre deux points due à une charge à l origine : b b V ba = E d Q l = a a 4πɛ 0 R 2 âr dr â R (2.33) ce qui donne : Q V ba = 4πɛ 0 R R=b = R=a Q ( 1 4πɛ 0 b 1 ) = V a b V a (2.34) Si la référence à l infinie est nulle, le potentiel à un rayon R de la charge est : V = Q 4πɛ 0 R (2.35) Si la charge est une distribution : V = dq 4πɛ 0 R (2.36) Si on prend la relation différentielle de l équation 2.32, on obtient : dv = E d l (2.37) ou E = dv d l (2.38) Gabriel Cormier 15 GELE3222

16 Mais, la dérivée d un scalaire par rapport à un vecteur est l opérateur. Donc : E = V (2.39) Cette dernière équation implique qu on peut calculer le champ électrique en calculant le gradient de V. Dans certains cas, il est plus facile de calculer V en premier, puis faire les dérivées pour obtenir E. Est-ce que l équation 2.39 fait du sens? Elle dit que le champ électrique est égal à moins le gradient de la tension. On a vu que le gradient est un vecteur qui pointe vers l augmentation maximale d une fonction. Donc, dans ce cas-ci, puisqu il y a un négatif devant le gradient, l équation 2.39 dit que le champ électrique pointe vers la tension minimale. Si on reprend la figure 2.2, on voit bien que c est le cas. C est une formulation mathématique de la convention que le champ électrique pointe du positif au négatif. Il y a un autre point à considérer pour le potentiel électrique : les lignes équipotentielles. Les lignes équipotentielles sont des lignes (imaginaires) où le potentiel est le même. Ces lignes sont normales au lignes de champ électrique. On peut en voir un exemple à la figure 2.4. Le champ électrique est représenté par les lignes noires, et pointe de la plaque supérieure (1V) à la plaque inférieure (0V). Trois lignes équipotentielles sont montrées : 0.75V, 0.5V et 0.25V. Ces lignes sont perpendiculaires aux lignes du champ électrique. V 1 = 1V 0.75V 0.5V V 2 = 0V 0.25V Figure 2.4 Exemple de lignes équipotentielles Énergie d un champ électrique L énergie d un champ électrique est reliée au travail. Pour déplacer une charge dans une champ électrique, il faut faire un certain travail ; ceci implique une énergie. On peut Gabriel Cormier 16 GELE3222

17 calculer l énergie de plusieurs façons : W = 1 2 = 1 2 = 1 2 ρv dv (2.40) D Edv (2.41) ɛe 2 dv (2.42) = 1 D 2 dv (2.43) 2 ɛ Gabriel Cormier 17 GELE3222