Chapitre 9 : Fonction CARRE

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1 Chapitre 9 : Fonction CARRE Author Name January 23, 2018

2 Dans ce chapitre 1) Quelques rappels 2) La fonction carré 3) Variations 4) Egalité de deux carrés 5) Antécédents et racine carré 6) Résolution graphique d équations (et inéquations)

3 1) Quelques rappels Plan du cours 1) Quelques rappels 2) La fonction carré 3) Variations 4) Egalité de deux carrés 5) Antécédents et racine carré 6) Résolution graphique d équations (et inéquations)

4 1) Quelques rappels 1.1) Rappel élémentaire Le carré d un nombre est égal à ce nombre multiplié par lui même Donc... a 2 = a a Attention au parenthèses : 3 2 = et ( 3) 2 = 2b 2 = et (2b) 2 = 4 2 ( ) = et = 3

5 1) Quelques rappels 1.2) Carré d une somme, d un produit, d un quotient produit (a b) 2 = a 2 b 2 quotient ( a b ) 2 = a2 b 2 somme (a + b) 2 a 2 + b 2 (identité remarquable!!!) différence (a b) 2 a 2 b 2 (identité remarquable!!!)

6 2) La fonction carré Plan du cours 1) Quelques rappels 2) La fonction carré 3) Variations 4) Egalité de deux carrés 5) Antécédents et racine carré 6) Résolution graphique d équations (et inéquations)

7 2) La fonction carré Définition La fonction carré est définie sur R par l expression : f (x) = x 2 On a donc D f = R

8 2) La fonction carré Courbe représentative Construire un tableau de valeurs sur l intervalle [-5;5] avec un pas égal à 0,5...

9 2) La fonction carré Courbe représentative

10 2) La fonction carré Remarques La courbe C f est appelée parabole. Le point O (origine du repère) est le sommet de la parabole Pour tout x, f (x) = x 2 est positif ou nul C f est située au dessus de l axe des abscisses Pour tout x: f ( x) = f (x) ( x) 2 = x 2 Deux nombres opposés ont le même carré L axe des ordonnées est donc un axe de symétrie pour C f

11 3) Variations Plan du cours 1) Quelques rappels 2) La fonction carré 3) Variations 4) Egalité de deux carrés 5) Antécédents et racine carré 6) Résolution graphique d équations (et inéquations)

12 3) Variations Variations D après la courbe représentative, la fonction carré semble : décroissante sur l intervalle ] ; 0] croissante sur l intervalle [0; + [ x 0 + f (x) = x 2 0

13 3) Variations Démonstration

14 3) Variations A retenir Si a et b sont deux nombres réels négatifs tels que a < b < 0 Alors a 2 > b 2 (ordre modifié) Si a et b sont deux nombres réels positifs tels que 0 < a < b Alors a 2 < b 2 (ordre conservé)

15 3) Variations Un exemple si x vérifie 2 < x < 5 Alors 4 < x 2 < 25 (ordre conservé) si x vérifie 4 < x < 3 Alors 16 > x 2 > 9 (ordre modifié) Et si x vérifie 2 < x < 4?

16 4) Egalité de deux carrés Plan du cours 1) Quelques rappels 2) La fonction carré 3) Variations 4) Egalité de deux carrés 5) Antécédents et racine carré 6) Résolution graphique d équations (et inéquations)

17 4) Egalité de deux carrés On suppose que a et b sont deux nombres ou deux expressions tels que a 2 = b 2 Les égalités suivantes sont équivalentes :

18 4) Egalité de deux carrés On suppose que a et b sont deux nombres ou deux expressions tels que a 2 = b 2 Les égalités suivantes sont équivalentes : a 2 = b 2 a 2 b 2 = 0 (a b) (a + b) = 0 (identité remarquable) a b = 0 ou a + b = 0 a = b ou a = b (produit nul)

19 4) Egalité de deux carrés A retenir Deux nombres ou deux expressions dont les carrés sont égaux sont soit égaux soit opposés L égalité a 2 = b 2 se transforme en deux égalités : a = b ou a = b

20 4) Egalité de deux carrés Application : résolution d équations (1) (2x + 1) 2 = 4 (2) (x + 3) 2 = (2x + 1) 2 (3) 4(x + 5) 2 = ( x + 1) 2 (4) (2x + 3) 2 = (2x + 1) 2

21 5) Antécédents et racine carré Plan du cours 1) Quelques rappels 2) La fonction carré 3) Variations 4) Egalité de deux carrés 5) Antécédents et racine carré 6) Résolution graphique d équations (et inéquations)

22 5) Antécédents et racine carré Rappel Définition Si a est un nombre réel positif (ou nul), a est l unique nombre positif dont le carré est égal au nombre a. Si a est un nombre réel strictement négatif, a n existe pas. ( a) 2 = a a = a

23 5) Antécédents et racine carré Rappel Définition Si a est un nombre réel positif (ou nul), a est l unique nombre positif dont le carré est égal au nombre a. Si a est un nombre réel strictement négatif, a n existe pas. ( a) 2 = a a = a Exemple On sait que 2 2 = 4 et ( 2) 2 = 4 Le nombre 2 est négatif, donc 4 n est pas égal à 2. Par contre 4 = 2

24 5) Antécédents et racine carré Equation de la forme x 2 = a et antécédents Soit a un nombre donné. Chercher les antécédents de a par la fonction carré est équivalent à résoudre l équation f (x) = a avec f la fonction carré. Ce qui est équivalent à résoudre l équation x 2 = a où x est l inconnue et a est un nombre donné

25 5) Antécédents et racine carré Exemple Les antécédents du nombre 4 par la fonction carré sont les solutions de l équation x 2 = 4 Il y a ici deux solutions : 2 et 2

26 5) Antécédents et racine carré Cas général avec a > 0 Le nombre a (dont on cherche les antécédents) se lit sur l axe des ordonnées. Les antécédents se lisent sur l axe des abscisses Lorsque le nombre a est strictement positif, l équation x 2 = a admet deux solutions : x = a ou x = a

27 5) Antécédents et racine carré Si a = 0 L équation x 2 = 0 admet une seule solution : x = 0

28 5) Antécédents et racine carré Si a < 0 Lorsque le nombre a est strictement négatif, l équation x 2 = a n admet aucune solution. Les nombres strictement négatifs n ont pas d antécédent par la fonction carré.

29 6) Résolution graphique d équations (et inéquations) Plan du cours 1) Quelques rappels 2) La fonction carré 3) Variations 4) Egalité de deux carrés 5) Antécédents et racine carré 6) Résolution graphique d équations (et inéquations)

30 6) Résolution graphique d équations (et inéquations) Présentation Les équations sont souvent difficiles (voire impossible) à résoudre algébriquement. Dans ce cas, on peut chercher une valeur approchée des solutions avec des méthodes numériques (en utilisant un programme sur une calculatrice ou un ordinateur) On peut également utiliser la courbe représentative de fonctions de référence pour obtenir graphiquement une valeur approchée des solutions.

31 6) Résolution graphique d équations (et inéquations) Exemple Equation x 2 = x + 3 On utilise la fonction f d expression f (x) = x 2 et la fonction g d expression g(x) = x + 3 L équation s écrit donc f (x) = g(x) Les deux courbes C f et C g sont tracées dans un même repère (orthogonal mais pas forcément orthonormé). Les solutions de l équation sont les abscisses des points d intersection des deux courbes.

32 6) Résolution graphique d équations (et inéquations) Exemple (suite) L équation x 2 = x + 3 admet deux solutions : x 1, 3 ou x 2, 3

33 6) Résolution graphique d équations (et inéquations) Remarques On pourrait utiliser la calculatrice (ou un logiciel comme GeoGebra) pour tracer les courbes En utilisant le zoom de la calculatrice, on peut obtenir une meilleure précision de la solution Quelles sont les solutions de l inéquation x 2 x + 3?