Plasticité et Rupture

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1 Plasticité et Rupture Jean-Jacques Marigo 1

2 Mécanique de la rupture but modéliser l évolution de la fissuration des objets depuis l initiation jusqu à la rupture sous l effet de chargements thermo-mécaniques classification : rupture fragile : élasticité + fissures (béton, roche, céramiques,...) rupture ductile : élasto-plasticité + fissures (métaux) fatigue : chargement cyclique + fissures (tous matériaux) 2

3 Les bases de la rupture fragile La modélisation des fissures Les singularités en pointe de fissure La ténacité 3

4 description géométrique des fissures Fissure = coupure dans la configuration de référence on enlève des points matériels sur une surface (en 3D) ou sur une courbe (en 2D) Orientation des fissures objet sain D + D \ r objet fissuré n x + - choix d une normale - définition du côté + et du côté - - saut de déplacement [[ ]] = + 4

5 conditions aux limites sur les lèvres des fissures condition cinématique de non interpénétration + n [[ ]] n - normale à la configuration de référence - saut normal de déplacement non négatif 1. Fissure ouverte : [ ] n > 0 2. Fissure fermée ou en contact : [ ] n =0 fissure fermée lisse condition sur les contraintes - en l absence de frottement, pas de cisaillement n = nn n n - contrainte normale non positive [[ ]] 1. Fissure ouverte : nn = 0 2. Fissure fermée ou en contact : nn apple 0 fissure ouverte libre 5

6 Exemples fissure comprimée : σ<0 fissure fermée et invisible (x) = e 2 e 2 (x) = E ( x 1e 1 + x 2 e 2 x 3 e 3 ) fissure en traction : σ>0 fissure ouverte et visible (pas de solution analytique) fissure bien orientée fissure invisible (x) = e 2 e 2 (x) = E ( x 1e 1 + x 2 e 2 x 3 e 3 ) 6

7 fissure en traction calcul par éléments finis - maillage par symétrie : uniquement 1/4 d éprouvette 2000 triangles, 8000 ddl raffinement du fond de fissure (singularité) - conditions aux limites lèvres de la fissure libre pas de condition de contact unilatéral déplacement normal nul sur les axes de symétrie (sauf fissure) - vérification a posteriori déplacement normal positif (pas d interpénétration) 7

8 résultat d essai de traction sur du béton résultat d essai de compression sur du béton 8

9 Les singularités en élasticité points anguleux et singularités cas des fissures en élasticité antiplane, en élasticité plane et en 3D Facteurs d Intensité des Contraintes 9

10 conséquences sur l amorçage de fissures concentration des contraintes au voisinage d une cavité (site possible d amorçage) singularité des contraintes en fond d entaille (site probable Un Un V V est est ilil plus plus dangerereux dangerereux qu un qu un U U?? d amorçage) Plasticité et Rupture Amphi

11 forme des singularités en élasticité plane ou anti-plane forme des déplacements = N K i r i U i ( )+ libre libre r i=1 N : nombre de singularités i : puissance de la i-ème singularité U i : fonction angulaire de la i-ème singularité K i : facteur d intensité de la i-ème singularité forme des contraintes libre A = N i=1 K i r i 1 S i ( )+ B fixé restrictions sur la puissance de la singularité - contraintes non bornées : - énergie élastique finie : i < 1 i > : dv r i 1 r i 1 r dr d r 2 i 1 dr d 0 < i < 1 11

12 singularités en fond d entaille en élasticité anti-plane Coin avec bords libres libre libre (x) = 0 r 0 0 z (r, ) r 1 C A - élasticité linéaire isotrope - forces volumiques régulières 2 < z = K r 2 sin 2 + Fissure avec bords libres - élasticité linéaire isotrope - forces volumiques régulières = z = K r sin 2 + Remarques : - la constante multiplicative K (le facteur d intensité de l a s i n g u l a r i t é ) r e s t e indéterminée à ce stade - le facteur d intensité est une quantité globale qui dépend de l ensemble des données (géométrie, élasticité, chargement) - les forces volumiques ne jouent pas de rôle dans la mesure où elles ne sont pas (trop) singulières. (Elles interviennent dans les termes réguliers et dans la valeur de K). - on obtient le même résultat si les bords de l entaille sont soumis à des forces surfaciques pas (trop) singulières Remarque : la fissure correspond à la puissance la plus faible (donc à la singularité la plus forte) 12

13 singularité en fond de fissure en DP n le cadre fissure à bords libres déformation plane, élasticité linéaire t n P P r t matériau isotrope la méthode de calcul utilisation d une fonction d Airy pour vérifier automatiquement l équilibre 13

14 fonction d Airy et compatibilité en DP (rappels) équilibre 11 x x 2 =0 21 x x 2 =0 localement 11 = 2 x = 2 x = 2 x 1 x 2 E 11 = (1 2 ),22 (1 + ),11 comportement E 22 = (1 2 ),11 (1 + ),22 33 = E 12 = (1 + ),12 compatibilité 2 11 x x 2 1 = x 1 x 2 2 =0 14

15 singularité en fond de fissure en DP (suite) r la méthode de calcul les contraintes en termes de la fonction d Airy en cylindrique rr = 1 r r r, r = r = r 1 r, = 2 r 2 la partie singulière de la fonction d Airy est cherchée sous la forme les fonctions angulaires et la puissance de la singularité sont fournies par l équation de compatibilité et les conditions aux limites 2 =0, (r, )= 2 r 2 N i=1 =± K i r i +1 F i ( )+ 0 < i < 1 =0, r 1 r =± =0 15

16 quelques étapes du calcul biharmonicité = F (4) +((1+ ) 2 +(1 ) 2 )F +(1+ ) 2 (1 ) 2 F =0 = F () =A cos(1 + ) + B sin(1 + ) + C cos(1 ) + D sin(1 ) conditions aux limites = F (± ) =F 0 (± ) =0 et cos( ) cos( ) (1 + ) sin( ) (1 ) sin( ) sin( ) sin( ) (1 + ) cos( ) (1 ) cos( ) = sin(2 ) =0 = = 1 2 et 3A = C, B = D A C B D = 0 0 = 0 0 finalement après normalisation des fonctions angulaires, la fonction d Airy peut s écrire (r, )= K I 3 2 r 3 2 cos cos 2 K II r 3 2 sin sin 2 dont on déduit la partie singulière des contraintes, puis celle des déplacements 16

17 finalement après normalisation des fonctions angulaires, la fonction d Airy peut s écrire (r, )= K I 3 2 r 3 2 cos cos 2 K II r 3 2 sin sin 2 dont on déduit la partie singulière des contraintes, puis celle des déplacements partie singulière des déplacements et des contraintes rr = r = = r = K I r 4µ 2 = K I 4 2r K I 4 2r K I 4 2r K I r 4µ 2 sin 3 2 cos cos + 2 sin sin + 2 cos cos 2 cos 3 2 +(5 8) cos 2 (7 8) sin 2 K II 4 2r K II 4 2r K II 4 2r 3 sin K II r 4µ 2 3 sin K II r 4µ 2 3 cos sin cos cos sin sin + 2 (5 8) sin 2 + (7 8) cos

18 contraintes et déplacements singuliers En déformations planes rr = r = = r = K I r 4µ 2 = K I 4 2r K I 4 2r K I 4 2r K I r 4µ 2 sin 3 2 cos cos + 2 sin sin + 2 cos cos 2 cos 3 2 +(5 8) cos 2 (7 8) sin 2 En déformations anti-planes K II 4 2r K II 4 2r K II 4 2r 3 sin K II r 4µ 2 3 sin K II r 4µ 2 3 cos sin cos cos sin sin + 2 (5 8) sin 2 + (7 8) cos 2 + rz = z = K III 2 r sin 2 + K III 2 r cos 2 + z = 2K III µ r 2 sin 2 + unités des FIC : MPa m 18

19 les 3 modes singuliers en fond de fissure mode I ou mode d ouverture - discontinuité normale, - pas de discontinuité tangentielle [[]] n = 8(1 2 ) K I E r 2 n - condition de non interpénétration K I 0 t mode II ou mode de glissement e z - pas de discontinuité normale, - discontinuité tangentielle plane [[]] t = 8(1 2 ) K II E r 2 mode III ou mode de déchirure - pas de discontinuité normale, - discontinuité tangentielle antiplane [[ ]] e z = 4K III µ r 2 19

20 n r en 3D géométrie du front de fissure vecteur tangent au front : e plan normal au front : (t,n) plan tangent à la fissure : (e,t) e t coordonnées curvilignes : (r,, ) coordonnées polaires dans le plan normal : (r, ) abscisse curviligne du front : singularités (x) = iii K i ( ) r U i r()e r + U i ()e + U i ()e + i=i - les modes I et II sont le mêmes qu en déformation plane dans le plan normal au front - le mode III est le même qu en déformation antiplane dans la direction tangente au front - les facteurs d intensité des contraintes varient le long du front 20

21 Exemples de FIC 21

22 Fissure rectiligne en milieu 2D infini 2` Traction à l infini mode mixte (sauf si α = 0 ou π/2) K I = cos 2 K II = cos sin Compression à l infini Contact entre les lèvres Mode II pur (sauf si α = 0, auquel cas fissure invisible) K I =0 K II = cos sin Fissure parallèle à la direction de traction - Fissure invisible en traction et en compression 2 K I = K II =0 22

23 Fissure transversale dans une bande infinie 2D 2` Traction - par symétrie, mode I pur - on retrouve le résultat précédent quand L tend vers l infini - le FIC tend vers l infini quand la fissure se rapproche du bord 2L K I = cos 2L K II =0 Compression - contact entre les lèvres - fissure invisible K I p L K I = K II =0 /L 23

24 Fissure plane circulaire en milieu infini Traction à l infini fissure ouverte K I ( ) = 2 cos2 e 3 K II ( ) = 2 2 sin 2 cos K III ( ) = Compression à l infini 2(1 ) 2 sin 2 sin fissure fermée K I ( ) = 0 e 2 Orientations particulières e 1 t - ϴ=π/2 : fissure invisible K I ( )=K II ( )=K III ( )=0 - ϴ=0 : mode I pur en traction K I ( ) =2 K II ( ) =K III ( ) =0 fissure invisible en compression 24

25 La ténacité et le critère d Irwin 25

26 La ténacité Facteur d intensité des contraintes critique (en mode I) Caractéristique du matériau en pointe de fissure À mesurer expérimentalement Le critère d Irwin Exclusivement pour une fissure en mode I pur dans un matériau isotrope K I K Ic, si K I < K Ic, si K I = K Ic, pas de propagation propagation possible 26

27 Q Mesure de la ténacité - Essais sur des éprouvettes normalisées Eprouvette CT ou Essai de flexion 3 points Préfissuration de l éprouvette (par fatigue) fissure de fatigue Chargement monotone et mesure de la charge de démarrage de la fissure Eprouvette CT Q fissure de fatigue Essai de flexion 3 points 27

28 Mesure de la ténacité Q - Essais sur des éprouvettes normalisées Eprouvette CT ou Essai de flexion 3 points Préfissuration de l éprouvette (par fatigue) fissure de fatigue Chargement monotone et mesure de la charge de démarrage de la fissure Essai de flexion 3 points - Calcul du Facteur d Intensité des contraintes Calcul par éléments finis du KI dans des conditions de déformations planes en élasticité Par linéarité KI est proportionnel à la charge Q - Les sources d erreur Calculs 2D en DP alors que l essai est 3D La valeur de KI n est pas constante le long du front Les phénomènes anélastiques (plasticité) viennent accroître les effets 3D 28

29 La ténacité de quelques matériaux KIc (MPa m) T ( C) dépendance à la température de la ténacité d un acier Matériau E K Ic G c (GPa) (MPa p m) (J /m 2 ) Diamant Verre (Silice) Mica Composites à fibres de carbone Pâte de ciment Béton Acier Influence de la température - Les métaux sont ductiles à haute température avec une ténacité élevée, mais fragiles à basse température avec une ténacité faible - Transition fragile-ductile - Source d accidents spectaculaires (Liberty-ships, Pont de Sully sur Loire) G c = 1 2 E K Ic 2 29

30 Application : rupture d un pylône 30

31 Géométrie simplifiée A calculs en DP dans une bande avec chargement uniaxial Concentration de contrainte en A =) Risque de fissuration en ce point 31

32 Calcul de la concentration des contraintes en A A 2H 2R B A A B - En milieu infini au bord de la cavité =) (R, ) =(1 2 cos 2 ) 8 >< >: (A) = 3 (B) = - Dans une bande de largeur H (A) =f R H R/H 0 1/3 1 f

33 Risque de ruine plastique A Réponse élastique Concentration de contrainte en A H xx(a) =k R H R R/H 0 1/3 1 k Charge de première plastification e = c k Charge limite (plasticité) p > c k c = 390 MPa 33

34 Evaluation du risque de rupture A Plus grandes fissures observées : Situation la plus défavorable = fissure en A a =0.5mm R = 35 mm Approximation d une fissure débouchante en milieu semi-infini k a k K I = k p a Charge de rupture r = K Ic k p a Température ( C) Ténacité (MPa p m) Charge de première plastification (MPa) quand k = Charge de rupture (MPa) quand k = Conclusion : à 0 C, Risque de rupture > Risque de ruine plastique 34