Module : réponse d un système linéaire

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1 BSEL - Physique aliquée Module : réonse d un système linéaire Diaoramas () : diagrammes de Bode, réonse Résumé de cours - Caractérisation d un système hysique - Calcul de la réonse our une entrée donnée 3- Stabilité d un système linéaire 4- Systèmes asse-bas 5- Réonse d un asse-bas du er ordre 6- Réonse d un asse-bas du ème ordre 7- Les «ôles dominants» d un système Annexe : influence de m sur le tems de réonse et le déassement Exercices Caractérisation d un système Pôles et zéros d une transmittance Stabilité d un système linéaire Réonse d un système du remier ordre Réonse d un système du second ordre Pôles dominants Réonse d un système d ordre élevé Modélisation d un moteur à courant continu Questionnaire : la réonse d un système linéaire en questions jean-hilie muller version janvier 008

2 Réonse d un système linéaire ) Caractérisation d un système hysique : Un système hysique quelconque ( électronique, électromécanique, neumatique ) roduit une sortie s(t) lorsqu il est excité ar un signal d entrée e(t). entrée e(t) système hysique sortie s(t) On se limite dans ce cours aux systèmes linéaires, les systèmes étudiés ne comortent donc aucune non-linéarité comme : saturation des amlificateurs, disositif à seuil (trigger, relais ), seuil de démarrage our les moteurs Il y a lusieurs façon des caractériser un système hysique linéaire et de décrire sa réonse : ar sa réonse s(t) à une entrée e(t) de forme donnée ( imulsion, échelon, rame ) ar son diagramme de Bode ou sa transmittance comlexe : S( jω) T ( jω) E( jω) ar l équation différentielle qui relie les grandeurs d entrée et de sortie : s ( t) K. e( t) + K e'( t) + K e''( t) Ls'( t) + Ls''( t) +... ar sa transmittance de Lalace S( T ( E( ar la rerésentation des ôles et des zéros de T( dans le lan comlexe (diagramme des ôles et zéros) Remarque : assage de l équation différentielle à T( et T(jω) On asse facilement de l un à l autre en se souvenant qu une dérivation ar raort au tems se traduit ar une multilication ar jω en comlexe et ar en Lalace : v (t) v(t) V(jω) V( dv ( t) dt jω.v(jω).v( Remarque : ôles et zéros Le numérateur et le dénominateur de T( euvent se factoriser : Les racines z i du numérateur : ( z)( z T ( K ( )( sont réelles ou comlexes conjuguées s aellent des zéros Les racines i du dénominateur : sont réelles ou comlexes conjuguées s aellent des ôles )...( zn ) )...( ) La transmittance du système est entièrement déterminée ar la constante K, les zéros z i et les ôles i. m

3 Réonse d un système linéaire ) Calcul de la réonse our une entrée donnée : our une entrée sinusoïdale Le module et l argument de la transmittance comlexe ermettent de caractériser la sortie : si e ( t ) E cos( ω t 0 ) alors s ( t ) TE cos( ω ) 0t + ϕ avec T : module de T jω ) ( o ϕ : argument de T jω ) ( o our une entrée de forme quelconque ( échelon, rame etc ) L exression de la sortie s(t) our une entrée e(t) se trouve de la manière suivante : calculer la transformée de Lalace E( du signal d entrée e(t) calculer S( E(.T( en aliquant la transformée de Lalace inverse, calculer s(t) à artir de S( F( f ( t). e dt 0 Par définition, la transformée de Lalace F( d'une fonction f(t) s écrit : t Proriétés de la transformée de Lalace linéarité a.f (t)+b.f (t) a.f (+b.f ( dérivation intégration t 0 df ( t) dt f ( t) dt translation dans le tems ( t a) F ( F ( f e a F( translation en f at ( t) e F ( + a) Transformée de signaux simles échelon f ( t) U ( t) imulsion de Dirac f ( t) δ ( t) rame exonentielle f t) at a + a ( f ( t) e at théorème de la valeur finale : lim f ( t) lim 0 F( t t f ( t) théorème de la valeur initiale : lim 0 lim F( Remarque : on travaille toujours avec des signaux d'entrée nuls avant t 0, et avec un système initialement au reos.

4 Réonse d un système linéaire 3) Stabilité d un système linéaire Pour voir si le système linéaire défini ar T( est stable, on lui alique une erturbation (imulsion ar exemle) et on observe l évolution de s(t) : si s(t) retourne à la valeur 0, on dira que le système est stable si s(t) augmente indéfiniment, le système est instable Dans ce cas, la transformée de Lalace de la tension de sortie s écrit, uisque E( : S ( T ( E( T ( Sachant que la transmittance T( a : des ôles réels,, 3 des ôles comlexes conjugués m ± jn, m ± jn on montre que la sortie s'écrit : ) t t mt s t K e + K e L e cos( n t) +... ( Pour que la sortie revienne à 0, il faut donc que tous les termes exonentiels soient décroissant, soit : et et 3 et m et m < 0 Critère de stabilité : Un système est stable si sa transmittance T( n a que des ôles à artie réelle négative, c est-à-dire situés dans la moitié gauche du lan comlexe. systèmes stables systèmes instables Remarque : suffit d un ôle à artie réelle ositive our rendre un système instable Conséquence : our révoir à l avance la stabilité ou l instabilité d un système, il suffit de regarder où se trouvent ses ôles dans le lan comlexe.

5 Réonse d un système linéaire 4) Systèmes asse-bas : En dehors des filtres asse-haut, la luart des systèmes rencontrés dans la ratique ne «suivent» lus aux fréquences élevées, our des raisons simles à comrendre : les comosants actifs (transistor, AO ont toujours une fréquence maximale de fonctionnement l inertie des ièces en mouvement emêche les systèmes mécaniques, électromécaniques ou neumatiques de suivre aux fréquences élevées L étude des systèmes asse-bas a donc une grande imortance, arce qu ils sont les lus courants. la réonse indicielle (échelon) montre une amlification en continu Si on alique à leur entrée un échelon, la sortie se stabilise à un niveau différent de 0 une fois que le régime transitoire est terminé. our ce système, une entrée E donne une sortie S 5, soit une amlification en continu : A 0 S/E 5 la réonse indicielle montre un régime transitoire La montée vers la valeur finale est lus ou moins raide selon le système, et la durée du régime transitoire est en général caractérisée ar le tems de réonse à 5%. tr 5% d un système tems que met la réonse indicielle our entrer dans la bande des ± 5% et ne lus en ressortir les diagrammes de Bode et de Nyquist montrent une chute du gain aux fréquences élevées T db0log(iti) 0log(A 0) Im(T) f Re(T) ϕ arg(t) ϕ T f Diagramme de Bode d un asse-bas Diagramme de Nyquist d un asse-bas

6 Réonse d un système linéaire 5) Réonse d un asse-bas du er ordre : La transmittance de Lalace d un tel système se met sous la forme «standard» : A0 T ( +τ avec une amlification statique A 0 une constante de tems τ un seul ôle réel négatif 0 -/τ la réonse à un échelon d amlitude E s écrit : s t) A E( e t ) ( 0 τ la tangente à l origine coue la valeur finale à tτ à tτ, la courbe est à 63% de la valeur finale le tems de réonse à 5% vaut 3τ la transmittance comlexe s écrit facilement sous une forme standard classique : T( jω) A 0 + j ω ω avec une ulsation de couure 0 ω 0 τ le diagramme de Bode a l allure classique suivante : gain statique G 0 0log(A 0) cassure à la ulsation ω 0 ente de 0dB/dec arès la cassure déhasage nul aux basses-fréquences rotation de hase de 90 à la ulsation ω 0

7 Réonse d un système linéaire 6) Réonse d un asse-bas du ème ordre : La transmittance de Lalace d un tel système se met sous la forme «standard» : T ( A 0 avec + m ω 0 + ω 0 une amlification statique A 0 un amortissement m une ulsation rore ω 0 Le seul calcul à faire est la mise de la transmittance sous la forme standard our trouver A 0, m et ω 0. Suivant la valeur de l amortissement m, on distingue 3 cas : m >, la transmittance a deux ôles réels et T ( ( P A 0 )( ) réonse à un échelon lente et sans déassement t si m>> alors 3mTo t r 5 % π A0 T ( ( P m, la transmittance a un ôle double 0 0 ) réonse à un échelon lus raide, toujours as de déassement t tems de réonse t r 0,75. To 5 % m <, la transmittance a deux ôles comlexes conjugués et La transmittance ne eut as se factoriser, le diagramme de Bode résente une cassure double à ω 0. T réonse à un échelon raide, avec déassement t amlitudes des déassements et tems de réonse donnés ar les abaques seudo-ériode T To m Deux valeurs de m très utiles : si m 0,7 on a D 4%, le tems de réonse est minimal et vaut t r 0,45. To si m 0,43 on a D 0%, le tems de réonse vaut t r 0,85. To 5 % 5 % C est le cas le lus intéressant en ratique, car il corresond à des réonses satisfaisantes.

8 Réonse d un système linéaire 7) Les «ôles dominants» d un système : Un système du n ème ordre a n ôles et sa réonse à une imulsion ou à un échelon comrend donc un certain nombre de termes corresondants aux ôles réels et aux aires de ôles comlexes conjugués. Exemle : le système de transmittance T ( ( + ( + )( + ) 6 a 3 ôles réels négatifs : -, -6 et 3 -, et une amlification statique A 0. Sa réonse S( à un échelon E( / s écrit : S ( ( + ( + )( 6 + ),57 0, ,07 + ce qui corresond à un signal de sortie : s( t),57e t + 0,75e 6t 0,07e t Lorsque le tems s écoule, ces termes s éteignent les uns arès les autres, les ôles les lus etits corresondant aux termes qui durent le lus longtems. Ces ôles sont les ôles dominants. On eut vérifier que le système du 3 ème ordre récédent a un comortement transitoire très voisin d un système du er ordre qui n aurait qu un seul ôle dominant -et le même A 0 : s( t). e t La forme de la réonse d un système déend donc essentiellement des ôles dominants qui sont les ôles les lus roches de 0. Remarques : un système d ordre élevé a, la luart du tems, un ou deux ôles dominants et se comorte donc comme un système du er ou du ème ordre on eut simlifier la transmittance d un système d ordre élevé en ne conservant que le ou les ôles dominants ( en veillant à conserver le gain statique du système! ) un ôle eut être négliger dès qu il est 3 ou 4 fois suérieur au récédent négliger les ôles éloignés de l origine revient, sur le diagramme de Bode, à négliger les fréquences de couure élevées

9 Réonse d un système linéaire Annexe : influence de m sur le tems de réonse et le déassement Pour une valeur d amortissement m, lire le tems de réonse réduit τ r.ω 0 et diviser cette valeur ar la ulsation rore our obtenir le tems de réonse à 5% du système. L abaque «déassements» ermet de lire directement l amlitude relative des différents maxima du régime transitoire. D D D3 D4

10 BSEL - Physique aliquée Exercices d alication jean-hilie muller version janvier 008

11 REP0- Caractérisation d un système Réonse d un système Savoir naviguer entre les différentes exressions mathématiques décrivant les roriétés d un système linéaire Un système est caractérisé ar la transmittance : T( jω ) + 40 jω ) Quelle est l équation différentielle liant l entrée e(t) et la sortie s(t)? ) Quelle est l exression de la réonse s(t) à un signal d entrée sinusoïdal e(t) sin(0t)? 3) Etablir l exression de sa réonse à un échelon d amlitude 0, tracer la réonse et donner le tems de réonse à 5% du système. t 4) Tracer le diagramme de Bode de T(jω).

12 REP0- Pôles et zéros d une transmittance Réonse d un système Comrendre la relation entre ôles/zéros et transmittance Un système de transmittance H( est caractérisé ar les ôles et zéros suivants : x ôle o zéro P 3 z P 4 P ) Déterminer grahiquement les valeurs numériques des ôles et du zéro. 3 4 z ) A artir de la réonse à un échelon, déterminer la transmittance statique du système H o 3) En déduire l exression mathématique de la transmittance T(. 4) Estimer le tems de réonse à 5% du système : tr 5% 5) Quel est l ordre de ce système?

13 REP03- Stabilité d un système linéaire Réonse d un système Savoir révoir la stabilité d un système linéaire A- Etudier la stabilité des systèmes suivants : T( + 5 T( 5 0 T 3( 0 ( + 3)( ) T 4( 4+ 4 T 5( + B- Un système est défini ar sa transmittance H( dont les ôles et les zéros ont été calculés ar un logiciel adaté : ) Quel est l ordre de ce système? ) Les ôles et zéro sont : z 3) Ce système est il stable ou instable? ourquoi?

14 REP04- Réonse d un système du remier ordre Réonse d un système Savoir caractériser avec le minimum de calculs la réonse d un système Un système H( est caractérisé ar la courbe de gain asymtotique suivante : ) Déterminer l ordre du système, sa transmittance en continu H 0 et comléter la courbe de hase. ) En déduire l exression de la transmittance de Lalace du système H( 3) Que vaut la constante de tems τ de ce système? 4) Donner l exression mathématique de la réonse du système à un échelon d amlitude E 0 et tracer son allure. t 5) Quel est le tems de réonse à 5 % de ce système? le tems de réonse de 0 à 90 %?

15 REP05- Réonse d un système du second ordre Réonse d un système Savoir caractériser avec le minimum de calculs la réonse d un système On étudie un système du second ordre dont la transmittance s écrit : H( ) Déterminer les valeur de la transmittance en continu H 0, de la ulsation rore et de l amortissement. ) Tracer avec le minimum de calculs l allure de sa réonse indicielle et évaluer son tems de réonse à 5%. t 3) Dessiner l allure de son diagramme de Bode

16 REP06- Pôles dominants Réonse d un système Comrendre l influence réondérante des ôles dominants Un système T ( du quatrième ordre est caractérisé ar : 4 ôles tems de montée 0-90% : 4 amlitude du remier déassement D tems de réonse à % : La transmittance T ( est lourde à écrire, et la réonse du système à un échelon imossible à obtenir sans calculs lourds. Le système T ( du second ordre est caractérisé ar : ôles tems de montée 0-90% : amlitude du remier déassement D tems de réonse à % : P La transmittance T ( est simle, et la réonse du système à un échelon facile à tracer. Quels sont les ôles dominants de T (?

17 REP07- Réonse indicielle d un système d ordre élevé Réonse d un système Savoir caractériser avec le minimum de calculs la réonse d un système On étudie un système du second ordre dont la transmittance s écrit : H( ,64 + 0,05 3 0, ) Calculer le valeur de la transmittance en continu H 0. ) A l aide du logiciel de calcul des ôles et zéros ( diao 3), déterminer les valeurs des ôles (dans les valeurs numériques, la virgule doit être remlacée ar un oint!) 3) En conservant uniquement le ou les ôles dominants, donner une exression simlifiée de la transmittance. 4) Calculer la ulsation rore et l amortissement de ce système simlifié. 5) Tracer avec le minimum de calculs l allure de sa réonse indicielle et évaluer son tems de réonse à 5%. t

18 REP08- Modélisation d un moteur à courant continu Réonse d un système Savoir écrire les équations du moteur et déterminer sa transmittance On étudie un moteur à courant continu dont on néglige les frottements et les ertes autres que les ertes ar effet Joule. Le cham magnétique suosé constant est créé ar un aimant ermanent. La artie tournante a un moment d inertie J, son induit a une résistance R et une inductance L. Alimenté ar la tension u(t), il est alors arcouru ar un courant i(t). E fem fem E K.Ω coule moteur C K.I ) En aliquant la loi d Ohm à l induit, exrimer la tension d alimentation u(t) en fonction de la vitesse de rotation Ω(t), du courant i(t) et de sa dérivée. ) En renant la transformée de Lalace de l équation récédente, en déduire une relation entre U(, I( et Ω(. 3) Sachant que our les moteurs habituellement utilisés dans les asservissements l influence de l inductance est négligeable, simlifier la relation récédente. dω( t) J dt 4) La loi de la mécanique our un solide en rotation s écrit : Cmoteur Crésistant Si on néglige tous les coules résistants, établir la relation liant la dérivée de la vitesse instantanée Ω(t) et le courant i(t). 5) En déduire une relation entre les transformées de Lalace de la vitesse et du courant Ω( et I(. 6) A artir des équations établies en 3) et en 5), écrire la relation entre la tension d alimentation U( et la vitesse de rotation du moteur Ω(.

19 Réonse d un système 7) En déduire la transmittance T( Ω( U( de ce moteur. 8) Alication numérique : R Ω, L 0, K 0, Vsrad - et J 0,005 kgm. Donner l exression numérique de la transmittance du moteur et commenter. 9) On alique sur l induit du moteur une tension continue de U V. Quelle est en régime ermanent la vitesse de rotation Ω du moteur? quelle est sa vitesse n en tours/minute? 0) Tracer le diagramme de Bode de ce moteur. Comment ourrait-on relever exérimentalement ce diagramme? ω 0 00 ω ) Tracer la courbe de démarrage Ω f(t) du moteur lorsqu on l alimente sous une tension U 0V.Quel sera le tems de démarrage à 5% de ce moteur? Ω t

20 Réonse d un système - Réonses Exercice REP0 : ) 40.e(t).s(t) + s (t) ) s(t) S.sin(0t + ϕ) avec S E.ITI7,8 et ϕ -arctg(0/) -79 t 3) s( t) 00( e τ ) avec τ 0,5s 4) Diagramme de Bode d un asse-bas du remier ordre démarrant à 6 db et hase nulle aux basses-fréquences et une cassure du remier ordre vers le bas à la ulsation ω. Exercice REP0 : ) -+j,5 --j,5 3-5+j,5 3-5-j,5 z -3 ) H 0 car en régime ermanent la sortie tend vers 3) + 3 T K 65,85 ( + j,5)( + + j,5)( + 5+ j,5)( + 5 j,5) ( ,5)( + 0 ( + 7,5) 4) le tems de réonse à 5% mesuré est de l ordre de 3 s 5) le système est du quatrième ordre, mais se comorte ratiquement comme un deuxième ordre ( ôles dominants) Exercice REP03 : A- T ( a ôle à -0,4 le système est stable T ( a ôle à 0,5 le système est instable T 3( a ôles à -3 et le système est instable T 4( a ôle double à le système est instable T 5( a ôles à +j et -j le système est instable B- Le système est du 5 ème ordre, les ôles sont :,5-0,83 ± j0,36 et 0,5 ± j0,6 Le système est instable arce qu il a 3 ôles à artie réelle ositive. Exercice REP04 : ) ) 3) 3,6 3,6 3,6 H( + 0, π0 6,8 soit H 0 3,6 0 db et τ 0,06 s t 4) s( t) 3,6( e τ ) t r5% 3τ 0,048 s de 0 à 90 % t m,τ 0,035 s Exercice REP05 : ) H( ( ) 0 0 soit H 0 ω 0 0 et m0,5 ) La réonse indicielle finit à S, la réonse est oscillante avec D 5% et D,5% 3) Le diagramme de Bode : démarre en BF avec une ente nulle : gain de 6 db et hase nulle résente une cassure du second ordre vers le bas à 0 rads/s à cette ulsation, la courbe de gain asse ar 6dB, il y a un léger ic avant la cassure

21 Réonse d un système - Réonses Exercice REP06 : Le système T ( du quatrième ordre est caractérisé ar : -0,4+j3-0,4-j3 3-5,7+j,8 4-5,7+-,8 tems de montée 0-90% : 0,5 s amlitude du remier déassement D 5% tems de réonse à % : 8,5 s Le système T ( du second ordre est caractérisé ar : -0,4+j3-0,4-j3 tems de montée 0-90% : 0,4 s amlitude du remier déassement D 63% tems de réonse à % : 8,5 s Les ôles dominants de T ( sont et et T se comorte ratiquement comme T. Exercice REP07 : ) H 0 0 ) -5+j76-5-j ) On garde les ôles dominants -5+j76 et -5-j76, ainsi que la même transmittance statique H 0. H( K ( + 5 j76)( + 5+ j76) ,6 + ( ) ) ulsation rore ω 0 80 et amortissement m0,3 5) La réons est oscillante et tend vers S 0 avec D 37%, D 5% et D 3 5%. Le tems de réonse à 5% est donné ar l abaque : t r 8/80 0,s Exercice REP08 : ) ( ) ( ) K ( t) u t ri t + L dt di + Ω ) U( ri( + LI( + KΩ( 3) U( ri( + KΩ( dω( t) dt 4) J Ki( t) 6) U Ω( [ K+ rj ] ( 7) K 8) AN : T 0 0 et τ 0,5 s 5) J Ω ( KI( K T T K rj 0 ( ) + +τ 9) En régime ermanent : Ω 0 T 0.U 0 rads/s 9 trs/mn 0) Le diagramme de Bode : démarre en BF avec une ente nulle : gain de 0 db et hase nulle résente une cassure du remier ordre vers le bas à rads/s On eut tracer ce diagramme en aliquant sur le moteur une tension sinusoïdale de très basse fréquence et en relevant la vitesse avec une génératrice tachymétrique. ) Alimenté sous 0V le moteur démarre selon une réonse du remier ordre, la vitesse se stabilise à 00 rads/s et le tems de réonse à 5% vaut : t r5% 3τ,5 s

22 BSEL - Physique aliquée Questionnaire jean-hilie muller version janvier 008

23 Réonse d un système linéaire Questions On alique un signal sinusoïdal e(t) sin(0t) à l entrée d un système caractérisé ar la transmittance : T( jω) 3 + 5jω a) l amlification en continu vaut 3 b) l amlification aux hautes fréquences vaut 3/5 c) le système est un asse-bas du remier ordre d) l équation différentielle corresondant au système s écrit : s(t) + 5s (t) e(t) e) l équation différentielle s écrit : s(t) + 5s (t) 3e(t) f) la sortie s écrit s(t)0,sin(0t-,53) g) le tems de réonse à 5% à un échelon vaut 7,5 secondes Vrai Faux On a tracé la courbe de gain et la réonse indicielle de différents systèmes : T jω ) 30 ( 3 + jω T jω ) + 0 ( jω T jω 0 3 ( ) + 3jω a) le système est un asse-bas du remier ordre b) la fréquence de couure vaut environ,5 Hz c) la courbe de gain corresond à la transmittance d) la courbe de gain corresond à la transmittance e) la réonse indicielle corresond à la transmittance f) la réonse indicielle corresond à la transmittance 3 Vrai Faux jean-hilie muller

24 Réonse d un système linéaire 3 On s intéresse à la stabilité des systèmes dont les transmittances sont les suivantes : T( + 3 T 4( 6 T ( 5 T 5( + + T 3( 0 ( + )( ) a) T est stable b) T est stable c) T 3 est stable d) T 4 est stable e) T 5 est stable Vrai Faux 4 On donne le montage suivant et sa transmittance de Lalace : H + RC ( + RC a) la transmittance en continu vaut Ho b) l amlification aux fréquences élevées vaut 0 db c) le diagramme de Bode comorte une seule cassure d) le diagramme de Bode a une cassure vers le haut, uis une seconde vers le bas Vrai Faux 5 Un système du troisième ordre a des ôles à, -8+j et 8-j et est caractérisé ar la transmittance : T ( 60 ( + )( ) a) le ôle à est le ôle dominant b) l amlification en continu vaut c) le tems de réonse à 5% du système vaut environ,5 s d) le système simlifié corresond à la transmittance T e) le système simlifié corresond à la transmittance T Vrai Faux T ( + T ( 60 + jean-hilie muller

25 Réonse d un système linéaire 6 Un système du second ordre a la transmittance : T( a) sa transmittance en continu vaut 00 b) sa ulsation rore vaut ω 0 0 rad/s c) son amortissement est égal à m d) il est ossible de simlifier l exression de T( e) le tems de réonse à 5% vaut environ 4,7 s Vrai Faux 7 Le système dont la réonse indicielle est la suivante corresond-il à la transmittance H(? H( + 0,+ 0,0 On raelle la relation entre ulsation rore et la seudo ulsation : ω 0 ω m a) l enregistrement montre que le système a une amortissement de m 0,43 b) l enregistrement montre que le système a une amlification en continu H 0 c) la seudo-ulsation vaut ω 0 rad/s d) la ulsation rore du système a our valeur ω 0 0 rad/s e) le système étudié a bien our transmittance de Lalace la fonction H( donnée Vrai Faux 8 Un système asse-bas du second ordre a deux ôles -,5 et -770 et l enregistrement de sa réonse indicielle a donné le résultat suivant : a) ce système se comorte comme un remier ordre b) le ôle est très élevé et eut rendre le système instable c) sa constante de tems vaut environ τ 0,08 s d) cette constante de tems corresond au ôle dominant Vrai Faux jean-hilie muller

26 Réonse d un système linéaire 9 Un système linéaire a une transmittance de 5 en continu et le diagramme des ôles ci-dessous : H 5 ( (+ (+ 0, H( 5 +,+ 0, H3( a) le système est stable b) le système admet comme transmittance la fonction H ( c) le système admet comme transmittance la fonction H ( d) le système admet comme transmittance la fonction H 3 ( Vrai Faux 0 Le tracé du diagramme de Bode de la transmittance H(jf) d un système est le suivant : a) il y a moyens de vérifier sur la courbe qu il s agit d un système du second ordre b) l amlification en continu vaut H 0 4 c) la cassure sur la courbe de gain se trouve à 00 Hz d) la fréquence rore vaut f 0 80 Hz et se mesure à IHI 0 db e) l amortissement vaut m 0, f) la transmittance H( ci-dessous corresond aux courbes tracées Vrai Faux H( ,+ jean-hilie muller

27 Réonse d un système linéaire Réonses N Réonses justes Commentaires c, e, f, g a) To,5 b) en HF T 0 a, d, f b) la fréquence de couure est mesurée à 7db (0-3) et vaut 0,6 Hz 3 a, e 4 a, d 5 a,b, c 6 b, c, d 7 b, d, e 8 a, c b) ôle à +5 donc instable c) ôles à 0, - et + donc instable d) ôles à et +3 donc instable b) aux hautes fréquences H 6 db c) cette transmittance a une cassure au numérateur et une au dénominateur d) e) le système simlifié a un ôle à et une amlification en continu de et s écrit donc T ( 4 + a) en continu 0 et To b) avec m et ω 0 0, l abaque donne un tems de réonse de 0,47 s a) our un déassement de 0%, l abaque donne un amortissement m 0,6 c) la seudo ulsation vaut : ω π/t P 8 rad/s b) un ôle négatif ne rend jamais un système instable d) le ôle dominant est celui qui est le lus roche de l origine, soit et la constante de tems est directement liée à ce ôle uisque / 0,08s τ 9 a, b, c, d 0 a, c, f a) our un second ordre, la ente de la courbe de gain aux fréquences élevées est de 40 db/de cet la hase descend à 80 degrés b) en BF, le gain vaut 6dB soit H 0 d) la fréquence rore est la fréquence de la cassure, soit f 0 00 Hz e) à la cassure, la transmittance s écrit H H 0/m 4 db 5 on en déduit la valeur de l amortissement m 0, jean-hilie muller

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