1. Dans cette question, on effectue les tirages avec remise jusqu à ce que l on obtienne pour la première fois une paire.
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- Gérard Cormier
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1 Corrgé HEC 2005 par Perre Veullez Dans tout le problème, n désgne un enter naturel non nul. On consdère une urne blanche contenant n boules blanches numérotées de 1 à n et une urne nore contenant n boules nores numérotées de 1 à n, dans lesquelles on effectue des sutes de trages. À chaque trage, on tre smultanément et au hasard une boule de chaque urne. On obtent ans à chaque trage, deux boules, une blanche et une nore. On dra qu on a obtenu une pare lors d un trage, s la boule blanche et la boule nore trées portent le même numéro. Parte I. Trages avec remse 1. Dans cette queston, on effectue les trages avec remse usqu à ce que l on obtenne pour la premère fos une pare. a Pour chaque trage, l espace probablsé Ω, A, P qu modélse cette expérence est formé de l unvers formé par les couples de numéros de 1 à n, la trbut est la partton de l unvers muns de la probablté équprobables. b On note Y la varable aléatore égale au nombre de trages de deux boules effectués. La probablté d obtenr une pare est n 1 à chaque trage. n 2 n Donc Y a la même lo que le rang de la premère pare dans une sute le fat d arrêter les trage à la premère pare ne change pas le rang de cette premère pare de trage ndépendants et de même probablté 1. n Donc Y G 1 n E Y n et V Y n 2 1 n 1 n n 1 2. Écrre en Pascal une foncton dont l en-tête est pgrml n : nteger: nteger qu modélse l expérence précédente. functon pgrml n : nteger: nteger; var :nteger; :0;randomze; repeat +1; untl randomnrandomn; pgrml:; end; Dans cette queston, on suppose que n 2. On effectue des trages avec remse usqu à ce que l on obtenne pour la premère fos la boule blanche numérotée 1. On note U la varable aléatore égale au nombre de trages effectués, et Z la varable aléatore égale au nombre de pares obtenues à l ssue de ces trages. a En notant A pour obtenr la boule blanche numéro 1 au -ème trage, U A 1 A 1 A Les trage ne sont pas ndépendants car ls s arrêtent dès que l on a le 1 blanc. Vd026-c Page 1/ 10
2 P U P A 1... PA1 A 2 A 1 PA1 A 1 A le condtonnement s nterprétant par la contnuaton des trages. Concluson : pour tout N : P U N.B. On pouvat auss dre que U état sans mémore, pusque, tant que l on a pas la Blanche 1, la probablté de l obtenr reste la même : 1. Donc U G Mas on n avat plus alors à reconnaître la lo de U. Ne amas obtenr la boule blanche est l événement contrare de l obtenr au mons une fos donc de + 1 U Sa probablté est : la sére converge et + P U P U Concluson : la probablté que l on n obtenne amas la boule blanche numéro 1 est nulle Et on reconnaît une lo géométrque de rason 1 2 b On a U Ω N et Z Ω N Soent N et N On remarque que le nombre de pares est touours nféreur ou égal au nombre de trages doubles donc S > alors P U Z 0 S alors P U Z P U P U Z Quand U, lors des 1 premers trages, on n a pas obtenu de 1 blanc mas unquement des 2 blanc et une 1 blanche au derner. A chaque trage, on a donc une probablté 1 que la boule nore forme une pare. 2 Le nombre Z de pares obtenues en tragesdes boules nores, la probablté de chacun de donner une pare étant de 1, sut une lo bnomale de paramètres, et pour : P U Z 1 2 et fnalement P U Z { 0 s > En concluson : P U Z 1 s c La lo de Z est la lo margnale du couple donc la sére converge et P Z P U l Z + l1 l1 l le découpage de la somme est valde pour 1 1 P U l Z P U l Z l l 1 l Vd026-c Page 2/ 10
3 Le résultat reste exact pour 1 où l n y a pas beson de découper la somme l l 1 Concluson : pour tout de N, P Z d On a donc l P Z 1 l1 l0 l l 1 1 l 1 l car 1 < 1 Et comme précédemment, en revenant à la lo margnale, P Z 0 l1 P U l Z l1 l0 l 1 l 0 l e On réécrt l +1 donc l 1 + l 1 +1 l+1 P Z + 1 l+1 [ l l l l ] l l dont on calcule la somme partelle pour étuder la convergence de chaque parte prse Vd026-c Page 3/ 10
4 séparément : M [... ] l M l l l M 1 M 1 l M l l 1 1 réndexé l M M converge et quand M P Z + 1 P Z + 1 Concluson : P Z P Z P Z pour tout N Pour 0, P Z 0 donc la formule précédente n est plus vrae. f On a donc pour tout 1 : 3P Z P Z et donc P Z P Z 3 Sute géométrque de rason 1 et de premer terme P Z Concluson : donc pour tout 1 : P Z et pour 0 : P Z Parte II. Trages sans remse. Dans cette parte, les trages se font sans remse dans les deux urnes, usqu à ce que les urnes soent vdes. On note X n le nombre de pares obtenues à l ssue des n trages. A. Étude de cas partculers. 1. Pour n 1, l n y a qu une boule et elle porte le numéro 1 dans chaque urne On est donc sur d avor la pare de 1 au premer trage et X 1 est la varable certane égale à On suppose dans cette queston que n 2. Ic, on effectue deux trages. On peut donc obtenr en codant 12 1 pour blanche 1 et nore 2 au premer trage 0 pare : X pare est mpossble car s l on n a pas de pare au premer trage, c est que l on a 12 1 ou 21 1 et l reste des numéros dstncts dans les deux urnes. 2 pares : X On a alors P X 2 0 P P ncompatbles P 12 1 P P 21 1 P car lorsque l on a obtenu 1 dans l urne blanche l n y reste que le 2 de même pour l urne nore Concluson : X 2 Ω {0, 2} et P X et P X Vd026-c Page / 10
5 B. Étude du cas général. On se place dans le cas où n est un enter naturel non nul. 1. a Ω est l ensemble des couples de n-permutatons la premère pour les résultats de l urne blanche et l autre pour ceux de l urne nore b On a donc le cardnal de Ω qu est : Ω n! 2 c En n trages on aura au maxmum n pares donc X n Ω [[0, n]]. Quel est exactement X n Ω??? On ne peut pas, comme précédemment avor X n n 1, car s on a n 1 pares, l reste deux numéros dentque pour le trage où l ne dot pas y avor de pare...? Pour tout enter naturel, on note a n, le cardnal de {ω Ω X n ω }. Par conventon, a 0, a On a n a n, Ω n! 2 pour n 1 et également vrae pour n 0 0 b Une sute de trages ne comportant que des pares est détermnée par les trage dans l urne blanche donc l y en a autant que de permutatons de n éléments. Concluson : a n, n n! Comme dt précédemment, s on a déà n 1 pare, l reste deux numéros dentques, et donc on obtent n pares. On ne peut donc pas avor n 1 pares Concluson : a n, n a Les événements élémentares comprenant pares sont détermnés par : l ensemble des trage où sont obtenues ses pares, l y en a n la lste sans répétton des numéros des pares dans leur ordre de sorte l y en a n! n! la lste des n trage restants qu sont sans pares parm les les n numéros restants l y en a a n, 0 Donc a n, n n! a n, 0 n! et donc pour tout enter tel que 0 n, l égalté suvante : a n, n! n a n, 0 n! Comme n n n et que n 0 a n, n!2 n 0 n! n 0 a n, n! n n a n, 0 n! 0 n a n, 0 n n! Vd026-c Page 5/ 10
6 que l on réndexe par n qu est bectve de [[0, n]] dans [[0, n]] pour obtenr n n a, 0 n!! 0 et dans cette somme on sole a n, 0 : et donc n 1 n! 0 n a, 0 +! 0 n a n, 0 n n! n 1 n a, 0 a n, 0 n! n!! b Sot un enter comprs entre 1 et n et un enter comprs entre 0 et 1. Pour 0 et donc 0 on a les écrture en factorelles :!!!!!!!!!! et d où l égalté, On a alors 1!!!!! +!!!!! 1 1 réndexé l 1 l+ l l0 1 1 l l l car N Et fnalement d où Vd026-c Page 6/ 10
7 . a Sot un enter tel que 1 n. On suppose que, pour tout enter comprs entre 0 et 1, on a les égaltés : a, 0! 0 0 1! a, 0 On a vu que a, 0!! et par hypothèse a, 0!! pour tout de 0 à 1 donc [ 1 a, 0!!!! 0 0 [!! 0 0 [!! 0 0 ] 1! ] 1! ] 1! on nverse alors les deux pour fare réapparaître la somme du 3b et donc a, 0!! 0 [ [!!! 1 0!! 0 ] 1! 1 ] [! avec 1 1 on a alors [ ] a, 0!! + 1! 0 ] et comme 1!!, on récupère le terme manquant pour et donc a, 0! 0 1! 0 1! b On a alors par récurrence : Pour 0 on a a 0, 0 1 et 0! ! ! 1 d où l égalté. Sot tel que pour tout : a, 0! On a également a + 1, 0 + 1! +1 0 précédente. et donc pour tout + 1 l égalté est vérfée. 0 1! alors 1 +1! d après la queston Vd026-c Page 7/ 10 +1
8 Donc, par récurrence, pour tout enter on a a, 0! Concluson : Pour tout enter : a, 0! 0 1! c Les valeurs de X n sont comprses dans [[0, n]] On a vu que la valeur n 1 n état pas possble. La valeur n est obtenue pour nn n par exemple Pour tout de [[0... n 2]], la valeur est obtenue avec , n 1, n n 1 n, + 1 n Donc les valeurs possbles de X n sont X n Ω [[0, n]] \ {n 1} et pour tout de X n Ω P X n an, n! 2 n! n! avec a n, n a n, 0 n! n 0 a n, 0 et 1 n! donc n P X n ce qu défnt la lo de X n. n! 1! n! n! n n 1 n! n 0 0 n 0 1 n! n!! n! 1n! 1n! n 0 1 n! 1! Parte III. Trages mxtes Dans cette parte, les trages se font sans remse dans l urne blanche et avec remse dans l urne nore, usqu à ce que l urne blanche sot vde. On note X n, le nombre de pares obtenues à l ssue des n trages. 1. a On effectue c n trages. La probablté que l urne nore donne le même résultat que l urne blanche est de 1 car n tous les numéros de [[1, n]] sont équprobables à chaque trage dans m urne nore, pusqu on remet les numéros Donc X n est le nombre de pares obtenues en n trages ndépendants dans l urne nore ceux dans l urne blanche sont hautement dépendants qu ont tous la probablté 1 de n donner une pare. Concluson : X n B n, 1 n b Et on a E X n n 1 1 et V X n n n 1 n l espérance et la varance de X n. 1 1 n On désre modélser cette expérence. On suppose que n est une constante fxée. 2. type tabarray[1..n]of nteger;var blanc,nor:tab; n 1Donner, sans démonstraton, n Vd026-c Page 8/ 10
9 3. a Sot s un tableau de type tab. Écrre une procédure dont l en-tête est ECHANGEVar s : tab ;, : nteger qu échange les éléments s[] et s[] du tableau s. Procedure ECHANGEVar s : tab ;, : nteger; var c:nteger; begn c:s[];s[]:s[];s[]:c; end; b On consdère les lgnes de programme suvantes utlsant la procédure ECHANGE. Begn For :1 to n do blanc[] :; For :1 to n-1 do Begn :RANDOMn+l-+ ; ECHANGEblanc,, ; end ; wrteln; For :1 to n do wrteblanc[], end. Explquer le fonctonnement de ce programme et son résultat. For :1 to n do blanc[] :; ntalse chaque case du tableau à son ndex. For :1 to n-1 do pour chaque case sauf la dernère :RANDOMn+l-+ chost au hasard une case entre la et la n à partr de la ème ECHANGEblanc,, ; pus met dans la case le chffre alors contenu dans la case et rend dsponble dans la case l ancen contenu de la case. Cette séquence smule le trage sans remse. Les numéros non encore trés sont repoussés à chaque fos dans les cases restantes. A la sorte, le tableau blanc content la lste des chffres choss. c Construre une procédure qu s appellera INITIALISE permettant de smuler le trage sans remse et au hasard des n boules numérotées, en mettant dans la varable s[] le numéro de la -ème boule trée. Procedure INITIALISEvar s:tab; var,:nteger; egn For :1 to n do s[] :; For :1 to n-1 do Begn :RANDOMn+l-+ ; ECHANGEs,, ; end ; end. Vd026-c Page 9/ 10
10 . Écrre un programme complet permettant de smuler l expérence de cette parte III lorsque n 20, pus de donner la valeur de X n Il n est pas nécessare c de recoper les procédures ECHANGE et INITIALISE. program smule; const n20; type tabarray[1..n]of nteger; var blanc,nor:tab;compte,:nteger; procedure echange...; procedure ntalse...; begn end. ntalseblanc; compte:0; for :1 to 20 do f randomn+1blanc[] then compte:compte+1; wrtlen on a obtenu,compte, pares ; Vd026-c Page 10/ 10
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