CONCOURS TA A EPREUVES COMMUNES Mathématiques 1. PARTIE I : Formules de projection orthogonale

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1 CONCOURS TA A EPREUVES COMMUNES Mahémaiques PARTIE I : Formules de projecion orhogonale ) Le poin couran M() de l hélice (H) vérifian OM() = R cos i + R sin j + h k, le projeé orhogonal p(m) de M sur xoy es défini par : Op(M)() = R cos i +R sin j ; auremen di, un paramérage de la courbe (C) = R cos es ( R) ; (C) es le cercle de cenre O e de rayon R du plan xoy. Y = R sin ) (P) n es pas le plan xoy si, e seulemen si, n k, c es-à-dire si, e seulemen si, (a, b)(0,0). On peu remarquer que, dans ces condiions, on a égalemen : 0c < (car = a + b > 0). 3) Soi p la projecion orhogonale sur la droie ( ) de repère (O, n ). Le plan vecoriel direceur de (P) e la droie vecorielle de base ( n ) éan supplémenaires, on a : OM = Op (M) + Op(M) avec Op (M) = k n. Comme ( ) (P), ( OM ) ( n = k n ) ( n + Op(M) n ) = k n + 0 = k ; on en dédui : Op(M) = OM k n = OM ( OM ) n n = OM (ax + by + c) n, ce qui donne : = ( a )x aby ac p(m) y = abx + ( b )y bc = acx bcy + ( ) ou bien Un poin de la droie perpendiculaire à (P) e conenan M(x,y, ) a pour coordonnées (x+ λa,y + λb, + λc). Ce poin es dans le plan (P) : ax + by + c = 0 si, e seulemen si, a(x + λa) + b(y + λb) + c( + λc) = 0, ce ax + by + c qui donne λ = n = ax + by + c. = x (ax + by + c) = ( a )x aby ac Le repor de λ donne : y = y (ax + by + c) c es-à-dire p(m) y = abx + ( b )y bc = (ax + by + c) = acx bcy + ( ) 4) a) En prenan (x,y, ) = (0, 0, ) dans le résula précéden, on obien les coordonnées de OK : ( ac, bc, ) d où OK = c (a + b + c ) + = (> 0 car 0c < ). On en dédui les coordonnées de I = OK OK : 4) b) Les coordonnées de J = I n dans ( i, j, ( k ) son ( ac, b, bc, ) a, 0 ). dans ( i, j, k ). Par consrucion (ou calcul immédia), on a I n e i = n = ; donc ( I, n, I n ) = ( I, n, J ) es une base orhonormale direce de E e ( I, J, n ) es une base orhonormale indirece de E. 5) Avec λ = a + b =, les coordonnées dans ( i, j, k ) du veceur ( I son λac, λbc, ) λ e celles de J son ( λb,λa,0). λac λb a On en dédui la marice de passage P = λbc λa b de la base ( i, j, k ) à la base ( I, J, n ). λ 0 c 6) Soien (,Y,Z) les coordonnées du poin M dans le repère (O, I, J, n ). Comme OM = I + Y J + Z n, on aura bien Op(M) = ON = I + Y J.

2 L écriure maricielle de changemen de repères es : marice de changemen de bases orhonormales ; λac λbc λ x on a donc Y = λb λay 0 y = Z a b c Y Z = P x y = P λacx λbcy + λ λbx + λay d où ax + by + c x y PARTIE II : Éude des projecions orhogonales de l hélice puisque P es une = λacx λbcy + λ Y = λbx + λay. ) Soi n le projeé orhogonal de n sur le plan P = vec i, j }. 0 représene une mesure de l angle ( i, n ) modulo π. ) Daprès ce qui précède, une représenaion paramérique de la courbe (C) dans le repère (O, I, J ) es : = λacr cos λbcr sin + h λ. Si l on pose d = a + b, on obien : Y = λbr cos + λar sin = λrdc( a d cos b d sin) + h λ. Or d = λ, d où : Y = λbr cos + λar sin une représenaion paramérique de (C) es : = dh cr cos( 0 ) Y = R sin( 0 ) 3) (P) conien O signifie que n es orhogonal à k, soi c = 0. = dh Une représenaion paramérique de (C) es, soi encore Y = R sin( 0 ) = dh Y = R sin( dh. Lorsque décri R, en fai auan, donc (C) es une sinusoïde, image de la courbe 0) d équaion y = sin x par la ranslaion de veceur 0 I, puis par l affinié orhogonale d axe O, de rappor R, e enfin par l affinié orhogonale d axe OY e de rappor h.. 4) Soi c dans R. On remarque qu alors d es indépendan de n. Soien donc n e n deux direcions de projecion de coe ( c, correspondan aux angles ) e e aux courbes (C) e (C ). Un poin M de (C ) a pour coordonnées = dh crcos( ) Y = R sin(. Posons = ) +. Lorsque décri R, décri égalemen R. M a alors ( ) ( ) = dh crcos( ) ( pour coordonnées : + )dh, ce qui prouve que : Y = R sin( ) 0 (C ) es l image de (C) par la ranslaion de veceur ( )dh I. = dh crcos 5) a) La courbe es donc définie par :. Remarquons que cee courbe es de classe C Y = R sin. De plus = dh + crsin cos = 0. Le poin de paramère es saionnaire si e seulemen si : Y = R cos dh + crsin = 0, soi = (k + ) π k R. Or d, R e h son sricemen posiifs, c es posiif, donc le sysème équivau à : dh + cr( ) k = 0 = (k + ) π k impair. Donc, comme a = d, dh = cr (C) possède des poins saionnaires si, e seulemen si : ah = dr. 5) b) La angene au poin M de paramère de l hélice es dirigée par le veceur R sin T de composanes R cos, h celui-ci éan non nul car h es sricemen posiif. n sera colinéaire à T si, e seulemen si : n T = 0, soi

3 crcos crsin + ah = cos = 0 0, soi encore : ah + crsin = 0. Donc n sera colinéaire à T si, e seulemen si, M() ar cos es saionnaire. (C) possède des poins saionnaires si, e seulemen si, n es parallèle à une des angenes à l hélice. a = 5) c) Sachan que a, h, c e R son posiifs, ah = cr e a + b = enraîne : c = R R + h h. R + h = ah( cos ) 5) d) La courbe (C) es définie par :. Le changemen de en + π change en +πah e laisse Y = R sin Y invarian. M( + π) es l image de M() par la ranslaion de veceur u = πah I. Il suffi donc d éudier (C) sur un inervalle de longueur π, par exemple [ π ; 3π ], de racer la courbe correspondane, e de compléer le racé obenu par les ranslaions de veceurs muliples eniers de u. Le changemen de en π change en + ahπ e laisse Y invarian. M(π ) es l image de M() par la réflexion d axe (O, J ), puis par la ranslaion de veceur πah I, ou par la réflexion d axe δ : = ahπ. Il suffi donc d éudier (C) sur [ π ; π ], de racer la courbe correspondane, e de compléer le racé obenu par la réflexion précédene, puis la ranslaion de veceur 4π I, pour obenir la parie de (C) désirée. En conclusion, l inervalle d éude peu êre [ π ; 3π ]. Comme R = 3 e h = 4, ah = 5. La courbe es de classe C, = 5 ( + sin) e Y = 3 cos. L éude des signes es immédia, d où le ableau de variaions conjoines : π π () 0 + E () πe πe Y () R R Y () où E = Rh R + h On a égalemen : = 5 cos e Y = 3 sin, donc la angene au poin saionnaire M( π ) es dirigée par le veceur de composanes (0; 3), soi par J. Les syméries de la courbe permeen de prouver que le poin saionnaire es un rebroussemen de première espèce. 5)e) Le racé ne pose pas de problème. 6) a = c =,h = e R = = cos. La courbe (C) es donnée par : Y =. Le changemen de en + π sin change en + 4π, e laisse Y invarian. (C) es donc invariane par les ranslaions de veceurs muliples eniers de 4π I. Le changemen de en π ransforme en π e laisse Y invarian. La courbe es donc symérique par rappor à la droie D : = π. Il suffi donc d éudier (C) sur [ π, π ] e de compléer la parie de courbe obenue par la réflexion, puis la ranslaion de veceur 4π I, pour obenir la parie de (C) désirée. La courbe es de classe C, e = + sin Y =. D où le ableau des variaions conjoines suivan : cos π π () + 3 () π π Y () Y () Le racé ne pose pas de problème. = cos Y =. Le changemen de en + π sin change en + π, e laisse Y invarian. (C) es donc invariane par les ranslaions de veceurs muliples eniers de π I. Le changemen de en π ransforme en π e laisse Y invarian. La courbe es donc 7) a = c =, h = e R =. La courbe (C) es donnée par : 3

4 symérique par rappor à la droie D : = π. Il suffi donc d éudier (C) sur [ π, π ] e de compléer la parie de courbe obenue par la réflexion, puis la ranslaion de veceur π I, pour obenir la parie de (C) désirée. La courbe es de classe C, e = + sin Y =. D où le ableau des variaions conjoines suivan : cos π π π 3 () 0 + () π π 3 3 π Y () Y () Le racé ne pose pas de problème. PARTIE III : Éude des projecions coniques de l hélice = u + λ(x u) ) On remarque que 0. La droie (SM) a pour représenaion paramérique : Y = v + λ(y v). L inersecion Z = λ = u + d (x u) avec le plan (P ) impose la condiion Z = d, e cee inersecion es caracérisée par : Y = v + d (y v), λ = d donc les coordonnées (,Y ) de N dans le repère (O, I, = u + d (x u) J ) son : Y = v + d. (y v) ) Soi 0, alors 0. Le poin N, projeé du poin M() de l hélice a pour coordonnées dans le repère (O, I, J ) : = u + d (R cos u) h Y = v + d, e en posan k = dr h (R sin v) h, une représenaion paraméique de (C = k cos ( k ) es : R )u. Y = k sin ( k R )v = k cos 3)a) Lorsque S es en O, on a u = v = 0 e donc (C ) a pour représenaion paramérique : Y = k sin, e donc O N = k u (), où u () es dans le plan vecoriel engendré par I e J, e el que ( I, u ()) =. Une équaion polaire de (C ) es : ρ = k. 3)b) ρ ne présene pas de périodicié, e le changemen de en ransforme ρ en ρ. La courbe es donc symérique par rappor à la droie (O Y ). Il suffi de faire l éude pour dans ]0, + [ e de compléer par la réflexion considérée. ρ es sricemen décroissan. lim ρ() = +, e lim ρ()sin = k. La droie d équaion Y = k es donc asympoe à la courbe, quand end vers 0 +. Le racé ne pose pas de problème. 4)a) Lorsque u = R e v = 0, (C ) a pour représenaion paramérique : = R + k cos Y = k sin. Les formules de changemen d origine son : = R + Y. = Y Une représenaion paramérique de (C ) es donc : 4

5 = k cos Y = k sin. Posons =. Lorsque décri R, décri lui aussi R. Une aure représenaion = k cos = k cos cos paramérique de (C ) es donc :, ou encore : Y = k sin Y = k cos. Comme précédemmen, on en sin dédui que : une équaion polaire de (C ) es : ρ = k cos. 4) b) ρ ne présene pas de périodicié, e le changemen de en ransforme ρ en ρ. La courbe es donc symérique par rappor à la droie (O Y ). Il suffi de faire l éude pour dans ]0,+ [ e de compléer la courbe obenue par la réflexion considérée. La courbe es de classe C, e : ρ sin cos () = k qui es du signe de son numéraeur. Soi u la foncion définie par : u() = sin + cos. u es de classe C sur R, e u () = cos qui s annule pour = (p + ) π. L éude du signe de u ne pose pas de problème, d où le ableau de variaion : π π 3π 3π 4 u () u() π 8 π 0 3π 0 5π ρ () k π (π + 4) ρ() k π 0 k sin 0 k sin 0 Un calcul aproché donne : =, 8 e = 6, à 0, près. Le racé ne pose pas de problème. 5) Lorsque u = R e v = 0, (C ) a pour représenaion paramérique dans le repère (O, I, J ) : = R + k (cos ) Y = k sin = R k ( sin ) Posons, comme dans le 4)a), =, une aure représenaion paramérique de (C ) es donc sin cos Y = k = R k (sin )( sin ) ou encore : Y = k sin. Soi O le poin de coordonnées (R, 0) dans le repère (O, I, J ), e cos posons I = J, e J = I. Dans (O, I, J ), (C ) a pour équaion paramérique : ρ = k sin. FIN du corrigé D. MAILLARD ière année TSI G. MEYER Spé TA Sain-Naaire 5