Fonctions vectorielles, courbes.

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1 Foncions vecorielles, courbes Chap 5 : noes de cours Dérivabilié des foncions de variable réelle à valeurs vecorielles Définiion, e héorème : dérivabilié en un poin d une foncion de variable réelle à valeurs vecorielles, à droie, à gauche, lien enre ces noions Soi f une foncion d un inervalle I de dans p e soi a un réel élémen de I f a + h) f On di que f es dérivable en a si e seulemen si lim exise dans p x a h Cee limie es alors noée f ' De même, e lorsque ces limies peuven s éudier, on di que f es dérivable à droie en a si e f a + h) f seulemen si lim exise dans p, e dérivable à gauche en a si e seulemen si x a h f a + h) lim h x a < > f exise dans p On noe alors ces limies lorsqu elles exisen respecivemen f ' d e f ' g Si a es inérieur à I, f es alors dérivable en a si e seulemen si f es dérivable à droie e à gauche avec : f ' d f ' g Dans ce cas on a : f ' f ' f ' d g Remarque : Dans oue la suie, pour : a I, on noera I a un inervalle conenan a e inclus dans I Théorème : caracérisaion de la dérivabilié à l aide d un développemen limié Soi f une foncion d un inervalle I de dans p, e soi a un réel élémen de I f es dérivable en a si e seulemen si il exise : α p, e une foncion ε elle que : h I a, f a + h) f + h α + h ε h), avec : limε h) h De plus, si f es dérivable en a, elle es coninue en a Définiion : dérivabilié sur un inervalle, foncion dérivée, foncion de classe C Soi f une foncion d un inervalle I de dans p On di que f es dérivable sur I si e seulemen si f es dérivable en ou poin de I La foncion f ainsi définie es alors appelée foncion dérivée de f On di que f es de classe C sur I si e seulemen si f es dérivable sur I e f es coninue sur I dérivabilié uilisan la définiion Pour : A,B) M n ), les foncions ϕ : a En effe :,, ϕ ϕ ) B Donc ϕ es dérivable sur e :, ϕ ' ) B ψ ψ De même :,, A + B, e ψ : a A + B, son dérivables de dans M n ), qui adme pour limie B quand end vers ) A + adme pour limie A + 4 B quand end vers Donc ψ es dérivable sur e :, ψ ' ) A 4 B B dérivabilié à l aide d un développemen limié Soien : a A, une foncion dérivable de dans M n ) Alors l applicaion M : a + ) A, es dérivable de dans M n ), car :, h, e donc : M + h) + h + ) A + h A' + o h)) ) A + + ) B, qui Chapire 5 : Foncions vecorielles, courbes Noes de cours M + h) M + h[ A + + ) A A' + A' A )] + o h) +

2 On a de plus :, M ' A + + ) A A' + A' A ) Théorème : combinaison linéaire de foncions dérivables, de classe C Soien f e g des foncions d un inervalle I de dans p, e soi a un réel élémen de I Si f e g son dérivables en a alors pour ou : λ,µ), λ f + µ g) es dérivable en a e : λ f + µ g)' λ f ' + µ g' Plus généralemen, si f e g son dérivables sur I ou de classe C sur I), alors λ f + µ g) es dérivable sur I ou de classe C sur I) Théorème 4 : cas d une composée avec une applicaion linéaire ou bilinéaire Soi f une foncion d un inervalle I dans p, a un réel élémen de I el que f soi dérivable en a Si : L L p, q ), alors Lo f es dérivable en a e : L o f )' L f ' ) De même soien f e g des foncions de I dans p, a un réel élémen de I e B une applicaion bilinéaire de p p dans q Si f e g son dérivables en a, la foncion : x a B f x), x)), es dérivable en a, e : B f, g))' B f, g' ) + B f ', ) Plus généralemen, si f ou f e g) es son dérivables) ou de classe C sur I, alors Lo f ou B f, g) ) le son aussi Théorème 5 : uilisaion d une base, foncions composanes Soi f une foncion d un inervalle I de dans p, e soi a un réel élémen de I On noe f,, f n ) les foncions composanes de f dans la base canonique de p, soi : Alors f es dérivable en a si e seulemen si les foncions composanes de f son dérivables en a e : p f ' f ' i i e i Chapire 5 : Foncions vecorielles, courbes Noes de cours - - f p i f i e i Plus généralemen, f es dérivable ou de classe C ) sur I si e seulemen si ses foncions composanes son dérivables ou de classe C ) sur I Exemple : dérivabilié d un produi scalaire, d un produi mixe déerminan dans Soien f e g des foncions dérivables d un inervalle I dans, muni de sa srucure euclidienne canonique La foncion f g), produi scalaire de f e de g es dérivable sur I e : a I, f g)' f ' ) + f g' ) De même la foncion : f g)) de f, g), produi mixe de f e de g, ou déerminan dans la base canonique de f e de g, es dérivable sur I e : a I, f g))' de f ', ) de f, g' ) B B + B cas d un mobile à viesse de norme consane Soi un mobile don la posiion dans l espace es repérée par une foncion f définie de I dans e supposée de classe C, e à viesse de norme consane, soi : C, I, Alors : I, v C v v ) v f ' C, e en dérivan : I, v ' v ) a v ) Auremen di, dans ce cas, le veceur accéléraion du mobile es à ou momen orhogonal à son veceur viesse Théorème 6 : cas d une composée avec une applicaion de dans Soien I e J des inervalles de, soien ϕ une foncion de I dans J e f une foncion de J dans p Si ϕ es dérivable en : a I, e si f es dérivable en : b ϕ, alors fo ϕ es dérivable en a e : foϕ )' ϕ' f ' oϕ) Plus généralemen, si ϕ es dérivable de classe C ) sur I, e si f es dérivable de classe C ) sur J, alors fo ϕ es dérivable de classe C ) sur I

3 Définiion 4 : foncion de classe C n, C Soi f une foncion d un inervalle I dans p Pour : k, on di que f es de classe C k sur I si e seulemen si f es dérivable sur I e f es de classe C k- sur I On di de même que f es de classe C sur I si e seulemen si f es de classe C k, pour ou : k Théorème 7 : opéraions sur les foncions de classe C n, C Soien I un inervalle de, e soi : n {+ } Les propriéés vérifiées pour les foncions dérivables se généralisen aux foncions de classe C n, de la façon suivane : si f es définie de I dans p, e s écri : f p i f i e i, dans la base canonique de p, alors f es de classe C n sur I si e seulemen si ses foncions composanes son de classe C n sur I e dans ce cas : a I, k n, f k ) p i f k ) i e i si f e g son de classe C n de I dans p, alors : λ,µ), λ f + µ g) es de classe C n sur I e : k n, Arcs paramérés λ f + µ k ) k ) k ) + µ g) λ f g Définiions e : arc paraméré, rajecoire ou suppor d un arc paraméré On appelle arc paraméré de classe C k un couple I,f), où I es un inervalle de e f une applicaion de I dans p de classe C k, où k es un enier : k, ou : k + Soi I,f) un arc paraméré de classe C k, avec : k, ou : k + La rajecoire ou le suppor géomérique de l arc paraméré es l ensemble : Γ {m p, I, Om f } Théorème : réducion du domaine d éude d un arc paraméré plan Soi I,f) un arc paraméré de classe C k dans avec : k, ou : k +, e : I, f x, ) On peu examiner ce que deviennen les coordonnées x e d un poin lorsque l on ransforme de la façon suivane, ce qui donne alors lieu aux réducions du domaine indiquées : changé en + T) : domaine rédui à un inervalle de longueur T ex : rédui à [α,α+t]), changé en : domaine rédui à sa parie posiive ex : rédui à + ) changé en : domaine rédui à sa parie dans [-,+] ex : rédui à [-,+]) On consae alors que : x e y invarians : l arc es globalemen invarian, x invarian e y changé en son opposé : arc invarian dans la symérie par rappor à Ox, y invarian e x changé en son opposé : arc invarian dans la symérie par rappor à O x e y changés en leur opposé : arc invarian dans la symérie par rappor à O, x e y échangés : arc invarian dans la symérie par rappor à la première bissecrice soi la droie d équaion : x x changé en x + e y invarian : arc invarian dans la ranslaion de veceur ai même chose en l adapan si x es inchangé e y changé en y + b)) Remarque : vérificaion des réducions du domaine d éude Dans ous les cas, lorsqu on effecue une ou plusieurs réducion du domaine d éude d un arc paraméré, il es pruden d effecuer les ransformaions inverses qui conduisen à réduire le domaine, pour s assurer que le domaine reenu à la fin perme bien d éudier ou l arc, e de noer en parallèle les ransformaions géomériques du plan qui permeen d obenir la oalié de son dessin Exemples : 4 L arc paraméré : a, ), peu voir son domaine d éude rédui car en changean en, le poin m- se dédui du Chapire 5 : Foncions vecorielles, courbes Noes de cours - -

4 poin m par la symérie orhogonale par rappor à Oy y invarian, x changé en son opposé : on éudie donc la courbe sur + e on complèe son racé par symérie L arc paraméré : a,, s obien en l éudian à nouveau sur + puis en compléan ce racé obenu sur + à l aide d une symérie orhogonale par rappor à Ox L arc paraméré : a cos ),sin ), s éudie sur [, π ] - en effe en changean en + π), on consae la périodicié de la foncion m e m + π) coïnciden e on rédui l inervalle d éude à un inervalle de longueur π - en changean en on consae que m e m- son symériques par rappor à Ox : on rédui l inervalle d éude à [,π] puisqu on récupère ensuie [-π,] avec la symérie, donc la courbe sur l inervalle [-π,+π] qui es bien de longueur π au oal) - en changean en π, on consae que m e mπ son symériques par rappor à Oy : on rédui l inervalle d éude à [, π ] puisqu on récupère ensuie [ π,π] avec la symérie, donc la courbe sur l inervalle [,π] On peu encore réduire l inervalle d éude mais je vous laisse de soin de rouver la ransformaion de qui perme de le faire, ainsi que la ransformaion géomérique qui l accompagne L arc paraméré : a sin, cos ), s éudie sur [,π] - en effe, quand on change en + π), le poin m+π) se dédui du poin m par une ranslaion de veceur πi, e on rédui donc l inervalle d éude à un inervalle de longueur π - en changean en, le poin m- se dédui de m par symérie par rappor à Oy : on rédui donc l éude à [,π] e on récupère [-π,] avec la symérie, donc la courbe sur l inervalle [-π,+π] qui es bien de longueur π Définiions e 4 : poin régulier, angene, demi-angene à un arc paraméré en un el poin Soi I,f) un arc paraméré de classe C k, avec : k, ou : k + Pour : I, on di que le poin m de l arc es régulier si e seulemen si : f ' ) Dans le cas conraire, on di que le poin es singulier ou saionnaire Si ous les poins d un arc paraméré son réguliers, on parle alors d arc régulier Pour : I, correspondan à un poin régulier, on appelle angene au poin m ) à l arc la droie passan par m ) e dirigée par f ) ' Lorsque f n es définie qu à droie ou à gauche de, ou n adme qu une dérivée à droie ou à gauche en, on parle de demi-angene à l arc en m ) Soi l arc paraméré : a, ), défini sur On a alors :, f ', ) Pour :, le poin correspondan es régulier e la droie passan par : m),), e de veceur direceur : f '),), es la angene à l arc en ce poin Pour :, le poin correspondan es saionnaire Puisque : m) m m) m i + j i + j + h i la angene à l arc en : m),), es la droie passan par l origine e dirigée par i, soi l axe Ox voir la courbe plus loin) Théorème : angene en un poin régulier vue comme «droie limie» Soi I,f) un arc paraméré de classe C k, avec : k, ou : k + Chapire 5 : Foncions vecorielles, courbes Noes de cours - 4 -,

5 Soi : I, el m ) soi un poin régulier de l arc Alors f ) correspond à la direcion limie du veceur m m ) lorsque end vers ' La angene ou demi-angene) correspond alors à la «droie limie» ou la «demi-droie limie») obenue «limie» des cordes [m )m], lorsque end vers Définiion 5 : branche infinie d un arc paraméré plan Soi I,f) un arc paraméré plan de classe C k, avec : k, ou : k +, soi : I, f x, ) On di que l arc présene une branche infinie lorsque x ou y ou les deux) enden vers ± quand end vers ou vers ± On éudie alors la limie en ou en ± ) du rappor x si ce rappor adme une limie infinie en cee valeur évenuellemen en ± ), on di que l arc présene une branche parabolique dans la direcion O si ce rappor adme une limie nulle en cee valeur évenuellemen en ± ), on parle de branche parabolique dans la direcion Ox, si ce rappor adme une limie finie m non nulle, on di que l arc présene une direcion asympoique d équaion : y mx Dans ce dernier cas, on éudie alors m x ) en la valeur considérée ou en ± ), e si cee foncion adme une limie finie p, alors l arc présene une asympoe d équaion : y m x + p Exemples : On reprend l exemple précéden : a, ) Lorsque end vers ±, on consae que x end vers + e y vers ± Donc la courbe présene deux branches infinies De plus end vers ± quand end vers ±, x donc la courbe présene deux branches paraboliques dans la direcion Oy ournées l une vers le hau, l aure vers le bas) Soi l arc paraméré : a, + + x e, défini sur \{-} On consae que ) y end vers ± quand end vers - Puis :, end vers - quand end vers - x + Enfin : ) x + quand end vers - La droie d équaion : y x +, end vers Chapire 5 : Foncions vecorielles, courbes Noes de cours - 5 -, es donc asympoe à l arc Définiion 6 : poin simple, double, muliple d un arc paraméré Soi I,f) un arc paraméré de classe C k, avec : k, ou : k + Pour : I, on di que le poin m de ce arc es simple si e seulemen si : I, ) m m )) On di de même que le poin m es double, pour : I, si e seulemen si :! I,, m m ) Enfin, plus généralemen, on di que le poin m, pour : I, es muliple si e seulemen m n es pas un poin simple de l arc paraméré On considère l arc paraméré : a,cos sin )) +, défini sur On va chercher ses poins muliples dans l inervalle [-π,+π], e pour cela on cherche à résoudre, pour :, ) [,π], >, le sysème :

6 , cos ) + sin )) cos ) + sin )), e : sin ) sin ), e : sin ), π, e : π Ceci condui à : ) soi : ) ou enfin :, On rouve bien le poin qui apparaî, de coordonnées : π, ) Remarque : poin limie Soi I,f) un arc paraméré plan de classe C k, avec : k, ou : k +, soi : I, f x, ) Lorsque x e y enden vers des limies finies x e y en ou ±, on di que l arc présene un poin limie m de coordonnées x e y Dans ce cas on peu égalemen éudier la direcion limie de m m ) quand end vers ou vers ± L arc paraméré : a ², + + En ce poin la courbe présene une direcion limie car : Chapire 5 : Foncions vecorielles, courbes Noes de cours - 6 -, présene un poin limie quand end vers ± qui es l origine Om Om i + j i j j h + ) 4 ± + + e la «angene» paraî vericale en ce poin limie on peu le consaer sur le dessin précéden Définiion 7 : longueur d un arc paraméré Soi I,f) un arc paraméré plan régulier sauf évenuellemen aux exrémiés de I) de classe C k, avec : k, ou : k +, p éan muni de provenan de la srucure euclidienne canonique On appelle longueur de l arc enre les poins de paramères e la quanié : L, ) f ' d Lorsque l arc es plan, cee valeur vau donc : L, ) x' + y' d, où : f x, On reprend l arc I,f) : a sin, cos ), défini sur Il es régulier sur l inervalle [,π] sauf aux exrémiés du segmen car :, f ' cos, sin ), e f ne s annule pas sur [,π] sauf en e en π Donc la longueur d une arche vau : L, π ) cos ) + sin d π L, π π L d d e donc : cos ) 4sin sin 4 cos 8 Courbes e surface implicies π d Définiion : courbe implicie, poin régulier On appelle courbe du plan définie par une équaion implicie un ensemble : Γ {x,, f x, }, où f es une foncion de classe C d un ouver U de dans On dira qu un poin : mx, Γ, d une elle courbe es régulier lorsque : df x,,) Théorème : équaion de la angene à une courbe implicie en un poin régulier Soi : Γ {x,, f x, }, e mx,y ) un poin régulier de cee courbe Alors la courbe es localemen un arc paraméré e la angene à la courbe en ce poin a pour équaion : x x ) x y ) + y y ) x y ) x y π,

7 Soi le cercle Γ d équaion : f x, x + y, dans la base canonique de Alors ous les poins son réguliers car : df x,,) x, x x, e : x, y, e donc :, si e seulemen si : x,,), e l origine n apparien pas au cercle Donc en ou poin m x,y ) du cercle, la angene a pour équaion : x x ) x + y y ) y, soi encore : x x + y y, Chapire 5 : Foncions vecorielles, courbes Noes de cours y e on consae que le «rayon veceur» lian l origine O à m de coordonnées x, y ) es orhogonal à cee angene Remarque : Si f es une foncion de classe C d un ouver U de dans, alors en ou poin régulier m x,y ) d une ligne de niveau de f, définie par : f x, λ, avec : λ, le gradien grad f x, y ) de f en ce poin es orhogonal à la ligne de niveau en ce poin, c'es-à-dire qu il es orhogonal à la angene à la ligne de niveau au poin m On peu égalemen démonrer que grad f x, y ) es oriené dans le sens croissan des valeurs de f Définiions, e héorème : surface implicie, poin régulier, plan angen à une surface en un poin régulier On appelle surface de l espace définie par une équaion implicie un ensemble : Σ {x,, f x, }, où f es une foncion de classe C d un ouver U de dans On dira qu un poin : mx, Σ, d une elle surface es régulier lorsque : df x,,,) On dira qu une surface es régulière lorsque ous ses poins son réguliers Soi m un poin régulier de Σ On appelle plan angen à Σ en m le plan passan par m e orhogonal à grad f x, y, ) z Ce plan a pour équaion : x x ) x, y, z ) + y y ) x, y, z ) + z z ) x, z ) x y z Soi dans la sphère S d équaion : f x, x + y + z Tous les poins de la sphère son réguliers car : x, x x ces rois valeurs ne s annulen simulanémen qu à l origine qui n es pas dans S Au poin x y z, x, y, e : x, z, e,, ), le plan angen à la sphère a pour équaion :,, + y,, + z,,, x y z x + y + z, ou encore : + y + z soi après simplificaion : x On rerouve le fai que le «rayon veceur» lian O au poin es orhogonal au plan angen en ce poin Définiion 4 : courbe racée sur une surface Soi : Σ {x,, f x, }, une surface de où f es une foncion de classe C d un ouver U de dans On appelle courbe racée sur cee surface un arc paraméré I,ϕ), où I es un inervalle de e ϕ une foncion de classe C de I dans, e elle que : I, foϕ Exemple : courbes coordonnées d une surface explicie Soi g une foncion de classe C d un ouver U de dans Alors : Σ {x,, z x, }, es un cas pariculier de surface décrie dans la définiion e cee surface es régulière

8 On appelle alors courbes coordonnées racées sur cee surface les arcs paramérés définis par : a, a,, ), avec : a, a a,, a, ), avec : a Elles corresponden à l inersecion de Σ avec les plans «vericaux» Π x e Π y d équaions respecives : Π x : x a, Π y : y a Remarque : On peu examiner dans la siuaion précédene les secions de la surface par les plans d équaion : z a, avec : a, qui corresponden dans ce cas à des lignes de niveau Soi la surface implicie de d équaion : f x, z x y Alors les courbes coordonnées racées sur cee surface son respecivemen : x a, donne : z a y, soi l inersecion de deux plans non parallèles donc une droie, y a, donne : z a x, soi à nouveau une droie z a, donne : x y a, soi - deux droies si : a, données par z, y ) donc l axe Ox, e z, x ), soi O - une hyperbole si : a, d équaion dans le plan «horizonal» z : a y x On peu égalemen examiner ce que donne la secion de la surface par le plan «verical» d équaion : z x on consae qu on obien alors une parabole d équaion : Remarque : cee surface s appelle un paraboloïde hyperbolique, allez savoir pourquoi x y, e Théorème : angenes à une courbe régulière racée sur une surface implicie Soi : Σ {x,, f x, }, une surface régulière de où f es une foncion de classe C d un ouver U de dans Soi un arc paraméré régulier I,ϕ), où I es un inervalle de e ϕ une foncion de classe C de I dans, correspondan à une courbe racée sur la surface Σ Pour ou poin m de l arc, la angene en m es une droie incluse dans le plan angen à Σ en m Chapire 5 : Foncions vecorielles, courbes Noes de cours - 8 -