Correction du TD 2 : Etude locale de fonctions

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1 ECE - Mahémaiques Correcion du TD : Eude locale de foncions Eercice.. f es facorisée au maimum. A chaque fois on vérie si les faceurs ici il y en a enden vers une limie nie non nulle. Pour chaque faceur pour lequel ce n'es pas le cas, on facorise les sommes par leur erme prépondéran. a En, les deu faceurs enden vers, on écri : f = Or e + 3 on obien : f 3 =. b En, end vers 3 e le dénominaeur end vers. On peu écrire : e 3 + f 3 = 3. c En, ous les faceurs enden vers ±, on écri : f = Or e + 3 on obien : f 3 =. d En, le numéraeur end vers e le dénominaeur end vers, on écri : e 3 + f =.. f es facorisée au maimum e chaque faceur compore des sommes, on va facoriser par les ermes prépondérans :

2 ECE - Mahémaiques a En, Or b En, Or f = e e e + e = e + e e e + e f. f = e e + e e + = e e + e e e + f. 3. f 3 es facorisée au maimum, e il y a un seul faceur, sous forme de somme. On va, en chaque poin, vérier la limie e si nécessaire le facoriser par le erme prépondéran : a En, la limie es indéerminée, il fau de oue manière facoriser par le faceur prépondéran : f 3 = e ln e + 7 e Or d'après les croissances comparées ln e + 7 e f 3 e = e. b En, la somme end vers, e comme les deu aures ermes enden vers des limies nies, le erme prépondéran es ln : on écri : f 3 = ln e ln + 7. ln Or par quoiens e sommes de limies aucune croissance comparées ici!!! e ln + 7 ln f 3 ln = ln. c En, la somme end vers e + 7, on peu écrire : e ln + 7 e + 7 f 3 e f 4 es facorisée au maimum faceurs : le numéraeur e le dénominaeur, chacun comporan une somme, mais l'un à l'inérieur d'une foncion. a En, on écri : e e + e e e + f 4 = e e e + = = Or au voisinage de, es posiif =, e de plus par croissances comparées pour le premier e par composée de limies pour le second e + e + = e e f 4 = e. e

3 ECE - Mahémaiques b En, on écri : f 4 = e e + = + e + = + e e e + + Or au voisinage de, es négaif =, e de plus aucune croissance comparée cee fois, seulemen des quoiens e des composées de limies : e e + e + = f 4 = =. 5. f 5 es facorisée au maimum, e adme un seul faceur qui end vers, e qui a une somme à l'inérieur d'une foncion. On écri : ] f 5 = ln [ + = ln + ln + = ln + ln + Remarquons qu'on a oujours une écriure avec une somme qui end vers, mais cee fois-ci elle n'es plus dans le ln : comme un erme end vers e l'aure vers, le erme prépondéran es éviden : + ln + f 4 = ln Or par quoien, somme e composée de limies, + ln + ln ln f 5 ln = ln. 6. f 6 es facorisée au maimum, e chaque faceur s'écri comme une somme. Cependan dans les deu cas il n'y a pas de erme prépondéran clair : par conre on remarque des formes de DL end bien vers qui von permere d'en faire apparaîre : ln + = + o = 3 + o3 = 3 + o 3 d'une par, e d'aure par : e = o = + o par quoien qui es bien une opéraion compaible avec les équivalens :. f 6 3 =. 7. f 7 n'es pas facorisée au maimum, on commence par la facoriser : f 7 = e e = e + e On obien 3 faceurs don un déjà simplié, e deu sous formes des sommes : celles-ci n'on pas de erme prépondéran clair mais compore des formes de DL end bien vers qui von permere de faire apparaîre des ermes prépondérans dans chacune : + = e + = o + o = + o 3

4 ECE - Mahémaiques d'une par, e d'aure par : e = o = + + o = + + o. Or + + o e = + + o. Par produi e quoien compaible avec les équivalens : f 7 = e = e + e 8. f 8 es sous forme facorisée avec 4 faceurs e : =. +,, ln, on éudie plus précisémen les faceurs e ln, car les aures son équivalens à leur limie : comme on se place en, il fau réaliser un changemen de variable y = = y + : Le faceur donne : = y, ne peu peu pas êre simplié. Le faceur ln donne on remarque que y end vers le DL es valable : avec y + oy e enn en repassan à la variable : ln = lny + = y y + oy = y y + oy y lny + y y ln Enn par quoien e produi, compaibles avec les équivalens : f 8 =. 9. f 9 es sous forme facorisée, e compore deu faceurs : le premier,, es sous forme simpliée, on s'occupe du second. e es une somme qui end vers e = = : il fau facoriser par un erme prépondéran, e il n'y en a pas car les deu ermes enden vers. On doi reirer l'eponenielle avec un DL : comme, on reconnaî bien la forme eu au voisinage de : e = + [ ] [ + ] + o [ ] = + + o = + + o Or + + o e = + + o. Enn par produi, compaible avec les équivalens, f 9 =. 4

5 ECE - Mahémaiques Eercice.. sur ] ; [ e sur ]; [ : f : ln+ es coninue sur ] ; [ e sur ]; [ comme quoien de foncions usuelles coninues, avec + > pour ln e le dénominaeur qui ne s'annule pas ne s'annule qu'en. En : la foncion a une valeur pariculière on revien à la déniion : on cherche la limie de f en. f es sous forme facorisée, avec deu faceurs : chacun des deu end vers, c'es une forme indéerminée. On cherche un équivalen simple du numéraeur pour lever l'indéerminaion. Pour cela on remarque qu'il y a une somme à l'inérieur du ln : mais comme le erme prépondéran es, la facorisaion par ne change rien. On remarque alors que puisque, on a une forme de DL : ln + = + o = 4 + o4 = + o. Or + o + o e enn : f es bien coninue en. f = = e lim f = lim = = f Conclusion : ] ; [= R. En regroupan, on en dédui que f es coninue sur ] ; [ {} ]; [=. sur ] ; [ e sur ]; [ : f : ln+ es dérivable sur ] ; [ e sur ]; [ comme quoien de foncions usuelles dérivables, avec + > pour ln e le dénominaeur qui ne s'annule pas ne s'annule qu'en. De plus, pour ou ] ; [ ]; [, f = ln En : De même comme es un poin pariculier, on revien à la déniion : f f = ln+ = ln + = ln + 3. On a une forme indéerminée, on cherche un équivalen simple du numéraeur pour la lever : cee somme n'a pas de erme prépondéran apparen les deu ermes enden vers e aucune informaion ne perme de savoir si l'un es plus rapide que l'aure, on uilise le DL : ln + = 4 + o4 = 4 + o 4 f f 4 3 = f es bien dérivable en car la limie es nie e f =. e f f lim = lim = Conclusion : En regroupan, on en dédui que f es dérivable sur ] ; [ {} ]; [= ] ; [= R e que f = ln si e f =. 5

6 ECE - Mahémaiques 3. f es sous forme facorisée, e on obien une forme indéerminée avec le quoien de limies. On cherche un équivalen simple du numéraeur pour lever cee indéerminaion : il y a une somme à l'inérieur de ln, don le erme prépondéran es : ln + = ln [ + ] = ln + ln + = ln + ln + On a mainenan une somme à l'eérieur des ln, e comme un erme end vers e l'aure vers, le erme prépondéran es éviden : + ln + Or par quoien e somme de limies, + ln + ln + = ln ln Enn par quoien d'équivalens, ln ln + ln. ln ln f e par croissances comparées lim f = lim =.. Eercice 3.. ϕ es coninue sur R + comme quoien de foncions usuelle coninues, avec un dénominaeur qui ne s'annule pas sur R + si alors e e. En la foncion a une valeur pariculière on revien à la déniion : on cherche la limie de ϕ en. ϕ es sous forme facorisée, avec deu faceurs : chacun des deu end vers, c'es une forme indéerminée. On cherche un équivalen simple du dénominaeur pour lever l'indéerminaion. Pour cela on remarque qu'il y a une somme, mais les deu ermes enden vers, aucun n'es prépondéran. On remarque ensuie que puisque, on a une forme de DL : e = o = + + o = + o. Or + o e enn par quoien : ϕ = ϕ es bien coninue en. + o = e lim ϕ = lim = = ϕ. ϕ es dérivable sur R + comme quoien de foncions usuelles dérivables, avec un dénominaeur qui ne s'annule pas sur R +. comme es un poin pariculier, on revien à la déniion : ϕ ϕ = e = +e e = + e e. On a une forme indéerminée avec 3 faceurs, on cherche un équivalen simple des deu faceurs plus compliqués pour la lever. Dans les deu cas on ne voi pas de erme prépondéran, mais une forme de DL avec : e 6

7 ECE - Mahémaiques d'après la quesion, puis : + e = o = + o = + o ϕ ϕ = ϕ es bien dérivable en car la limie es nie e ϕ =. ϕ ϕ lim = lim = 3. ϕ es de classe C sur R + comme quoien de foncions usuelles de classe C, avec un dénominaeur qui ne s'annule pas sur R +. En, on a vu que ϕ es coninue, dérivable ϕ es coninue e dérivable sur R +, il rese à prouver la coninuié de ϕ en. Pour cela, on connaî ϕ, il rese à rouver lim ϕ. Calculons ou d'abord : ϕ = e e e = e e e. On a une forme indéerminée sur une forme facorisée, pour la lever on a chercher un équivalen simple de chaque faceur. On a vu plus ô que : e par produi d'équivalens e = e e =. D'aure par au numéraeur on n'a pas de erme prépondéran, on reprend avec le DL de e : e e = + + o + + o = + + o o3 = + o = + o. On en dédui par produi e quoien d'équivalens que : ϕ = puis lim ϕ = lim = = ϕ ϕ es coninue en, sur R +, e ϕ es de classe C sur R ψ es dérivable sur R + comme somme e produi de foncions usuelles dérivables, e : ψ = [ e + + e ] = e + + e = e + + = e Cee dérivée es sricemen posiive sur R + e nulle en, ψ es sricemen croissane sur R ϕ es coninue sur R +, monrons qu'elle es sricemen croissane. Or pour ou >, ϕ = e e + e ψ e = e = e es du signe de ψ : on a vu que ψ es sricemen croissane sur R +, e ψ = =, ψ, e φ, es sricemen posiive sur R +. On en dédui que φ es sricemen croissane sur R +. Enn φ es coninue e sricemen croissane sur R + réalise une bijecion de R + dans [ [ ; lim ϕ. Calculons cee limie : par somme puis quoien de limies, lim e = lim ϕ = e enn ϕ réalise bien une bijecion de R + dans [; [. [ [ ϕ; lim ϕ = 7

8 ECE - Mahémaiques Eercice 4.. On reconnaî le développemen limié de + u = + u, car u = end vers : au voisinage de, + u = + u = + u + u + ou = + u 8 u + ou comme u = end bien vers, = o = o 4 puis g = o 4 = o 4 = o.. On en dédui successivemen : lim g = lim o = = g g es coninue en. Au voisinage de, g g g es dérivable en e g =. = o = + o 8 3. On en dédui avec la formule connue depuis longemps ou par lecure du DL que g adme au voisinage de une angene d'équaion : De plus au voisinage de, y =. g = 8 + o = o 8 g es, au voisinage de, du même signe que 8, posiive : la courbe se siue, localemen, au-dessus de sa angene. Eercice 5.. a En +, e : par produi de limies, f es coninue à droie en. puis e e + b On cherche la limie du au d'accroissemen : f f = f = e = e + déjà vu à la première quesion f es dérivable en e f =. 8

9 ECE - Mahémaiques. En, on obien par composée e c'es une forme indéerminée. Il n'y a aucune somme à simplier e aucun DL l'eponenielle es prise en il fau lever l'indéerminaion uniquemen avec les croissances comparées : l'asuce es de poser le changemen de variable y = = y, avec y qui end vers quand end vers : lim e = lim y y ey = par croissances comparées, f es coninue à gauche en, e nalemen elle es bien coninue en. En, par composée De même en, par composée 3. a Au voisinage de ±, u = lim e = e = e lim = par produi : e = + + On muliplie par e on obien : lim f = lim e = e = e lim = par produi : lim f = end vers on peu uiliser le DL de l'eponenielle : [ + o ± ] = + + o ± f = e = + + o ± b On remarque alors qu'au voisinage de ±, f s'écri sous la forme : avec une foncion ane e f = + g lim g =. ± On en dédui que la droie d'équaion y = es asympoe à la courbe C f en ±. Eudions à présen le signe au voisinage de ± de : f = + o ± = + o ± ± qui es du même signe, au voisinage de ±, que e posiif au voisinage de. : il es négaif au voisinage de Finalemen C f es en-dessous de son asympoe au voisinage de, e au-dessus au voisinage de. Eercice 6.. Réécrivons ou d'abord la racine n-ième sous forme de puissance puis sous la forme eponenielle on ne sai absolumen rien dire sur des limies avec des puissances variables!!! u n = n n = n e n ln qui donne une forme indéerminée, puisque n end vers e le deuième faceur vers e =. 9

10 ECE - Mahémaiques On doi rouver un équivalen simple de ce deuième faceur, qui n'a pas de erme prépondéran les enden vers ; mais comme n ln end vers en, on reconnaî le DL de eu : e n ln = + n ln n + ln [ ] +o n ln = ln n + ln n +o n = ln + n n + o n avec e u n converge vers ln. lim + n n + o = n u n n ln n = ln. De même on écri la puissance variable sous forme eponenielle : v n = n e e n ln+ n Cherchons la limie du deuième faceur : comme n ln + n es une forme indéerminée, pour lever cee forme indéerminée, on doi écrire le DL de ln + n : ln + n = n n + o n On en dédui par somme e composée de limies que : n + n e e n ln+ n = e e n +o n n = n + o. n e on a une forme indéerminée. Pour la lever, reprenons le e faceur : on facorise par e, puis on rerouve une nouvelle forme de DL cee fois c'es l'eponenielle : e e n ln+ n = e e +o n n = e e +o n n avec e n +o n = + [ n + o ] [ + n n + o ] [ + o n n + o ] n On développe en pensan à éliminer ous les ermes d'ordre supérieur ou égal à puisqu'il y a un o d'ordre : ous les ermes du carré e du o[..] disparaissen e on obien : e +o n n = n + o n puis : v n = n e [ n + o ] [ = n e n n + o ] = n e n n +o = e e +o n. Eercice 7.. a On cherche la limie de f en. Comme il y a une puissance qui dépend de, on passe à la forme eponenielle e on écri : f = e + ln + car par somme de limies + end vers e ln end vers, par produi puis composée : + ln puis e+ ln. + + Or f =, f es coninue en.

11 ECE - Mahémaiques b On cherche la limie du au d'accroissemen : f f = e ln = e ln. Par quoien pas de croissance comparée!! puis composées de limies on en obien alors : ln f es dérivable en, e f =. puis e ln + +. a Éudions la foncion g = ln sur R +. g es dérivable e g = = es du signe de car >, sricemen posiive avan, nulle en e sricemen négaive après. g es sricemen croissane sur ]; ] e sricemen décroissane sur [; [ e adme un maimum sric en, avec g = ln = < pour ou ]; [, g < ln < +. b f es dérivable sur ]; [ comme produi puis composée de foncions dérivables e : f = e + ln ln + + = e + ln ln + +. La quesion précédene monre que ln + + > e on a > e e + ln > f > sur ]; [ e f es sricemen croissane sur [; [. 3. On obien immédiaemen lim + = e lim ln = par produi lim + ln =. De plus lim X ex = par composée lim f =. 4. a On pose = +, f = + e ln+ +. Écrivons les développemens limiés de ln + e + : ln + = + o e + = + + o : ln + + = + o + + o = + o = 3 + +o.

12 ECE - Mahémaiques On compose avec le DL de l'eponenielle e u = + u + u + ou e on obien : e ln+ + = o = o D'où = + + o. f + = o = o = + + o ce qui donne bien : f = + + o b La angene T à C f au poin d'abscisse a pour équaion : y = f + f = + = On remarque que cee équaion correspond bien au DL ronqué à l'ordre de f au voisinage du poin. c Avec le DL donné, on peu écrire que : f = o 3 = o 3 = 3 [ + o] 3 Cee foncion, qui a le même signe que f au voisinage de, es posiive avan car 3 e négaive après. On en dédui que la courbe C f es au-dessus de sa angene avan le poin, e en-dessous après le poin : elle raverse sa angene au poin, f =,, qui es un poin d'ineion de la foncion f. d On race d'abord la angene il su de prendre deu poins e de racer la droie. Ensuie on race une courbe croissane passan par, e allan à en, en faisan aenion qu'elle soi angene à la droie qu'on vien de racer au poin, e qu'elle raverse cee angene en passan au-dessus avan puis en-dessous après.