Examen Mesures de Risque de Marché

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1 ESILV 2012 D. Herlemont Mesures de Risque de Marché I Examen Mesures de Risque de Marché Durée: 2 heures. Documents non autorisés et calculatrices simples autorisées. 2 pt 1. On se propose d effectuer l estimation de la Value at Risk à partir de l historique des 100 derniers P&L que l on notera X i pour i = 1, 100. On suppose que les X i sont ordonnés de la plus petite à la plus grande valeur. Quelle est l estimation de la Value at Risk à 95% 1. X 1 2. X 5 3. X la VaR ne peut pas être estimée car on ne connait pas la loi des X i. réponse X 5 2 pt 2. Comment sont justifiés les choix des deux paramètres de la VaR dans BALE, à savoir le niveau de confiance α = 99% ainsi que la durée T de 10 jours. ˆ Le choix du niveau de confiance résulte d un compromis entre d une part la volonté de capturer les plus fortes pertes (quantile le plus faible possible), d autre part, la capacité à effectuer un backtest significatif sur une periode récente (1 an d historique journalier) avec un nombre suffisant d exceptions (entre 2 et 3 pour une VaR à 99% sur un an). ˆ 10 jours est la durée jugée nécessaire pour corriger une position en cas de VaR excessive. 1 pt 3. On suppose que le modèle de VaR à 99% est correct. Quelle est la probabilité d observer aucune exception lors d un backtest sur un an (250 jours), a) 0 b) 8.1 % c) 20.5% d) 91.9 % Justifier la réponse (en détaillant les calculs). Réponse b). Le nombre d exceptions suit une loi binomiale de paramètre n = 250 et p = 1 α = 1% La probabilité d observer k exception La probabilité d observer aucune exception est P [N e = k] = C k np k (1 p) n k P [N e = 0] = = 8.11 Daniel Herlemont 1

2 2 pt 4. Quel est l intervalle de confiance à 95% du nombre d exceptions lors d un backtest d une VaR à 99% effectué sur 250 jours. Peut on utiliser ici l approximation de la loi binomiale par une loi normale? On doit chercher les bornes basse l et haute h telles que P [N l] 2.5% et P [N l] 97.5%, avec N le nb d exceptions. D après la question précédente, la probabilité d avoir 0 exception est de 8.1%, la borne basse ne peut donc être que 0. Pour la borne haute, on utilise la densité de la loi binomiale P k = P [N = k] = Cnp k k (1 p) n k pour calculer le niveau pour le quel le somme cumulée (fonction de répartition) depasse 97.5% Ce niveau est atteint pour h compris entre 5 et 6. Nota, pour simplfier les calculs, on peut utiliser la relation de récurrence P k = np/(1 p)p k 1 /k. Si on utilise l approximation normale, de moyenne np = = 2.5 et ecart type np(1 p) = 4.97, la borne basse serait = 7.24 ce qui absurde, le nombre d exception ne pouvant pas être négatif!!! Donc l approximation par le loi normale n est pas possible ici (il faut que np doit de l ordre de 15). 6 pt 5. Un gérant de portefeuille français décide d investir 1 Million d euros dans des contrats e-mini S&P. A la date t = 0, le S&P cote à S 0 = 1300 et le taux de change EUR/USD est à E 0 = 1.30 (1 euro = 1.3 USD). La valeur du point du contrat future est de 50 USD, la valeur (notionnel) d un contrat est donc S 50 USD, avec S la valeur en points du S&P. 1. Quels sont les facteurs de risque de cet investissement? 2. Combien de contrats le gérant doit il détenir à t = 0? On notera N ce nombre de contrats. Ecrire la valeur V t du portefeuille à une date future t en fonction de N de la valeur S t du S&P et du taux de change euro/usd qu on notera E t (N est constant sur [0, t]). 3. Montrer que le taux de rendement du portefeuille est dv/v = ds/s de/e, avec ds/s le taux de rendement du S&P et de/e celui de l euro/usd. 4. On suppose que les taux de rendement sont normalement distribués, la volatilité journalière du S&P est de 1.5%, celle du taux Euro/USD de 0.5%, et la correlation du S&P et euro/usd est de 0.7. Calculer la Value at Risk journalière du portefeuille à 99%. 5. Le gérant décide d acheter (ou vendre) du dollar dans une proportion qu on notera π E. La proportion détenue en S&P sera alors notée π S. Exprimer le taux de rendement du portefeuille en fonction de π S π E ds/s, de/e? 6. Quelle doit être la proportion en dollar afin de réduire le risque de l exposition en dollar? 7. calculer alors les VaR Marginales ainsi que les contributions au risque en pourcentage des positions sur le S&P et celle en dollar? commentaires? 1. Les facteurs de risque de cet investissement sont l exposition au marché US (S&P) et l exposition au dollar. 2. Soit N le nombre de contrats, la valeur investie en USD est donc N S 0 50, on dispose de V 0 = 10 6 euros, soit de V 0 E 0 USD. Le nombre de contrats est donc tel que N S 0 50 = V 0 E 0, soit N = /( ) = 20. La valeur future à une date t est alors V t = N S t 50 = 100 S t en USD, soit V t = 100S t /E t en euros. 3. de l expression précédente V = cste S/E, il s ensuit directement que dv/v = ds/s de/e, autrement dit, acheter un contrat USD revient à shorter l euro. Financièrement, on détient un produit en dollar, si le taux euro/usd baisse, le dollar devient plus fort et notre investissement s apprécie, à savoir, toute choses étant égale par ailleurs, on aura plus d euros pour le même montant en USD!. Tous les touristes savent cela! Daniel Herlemont 2

3 4. la distribution du P&L est normale, la VaR à 99% est donc V ar = 2.33σ dv/v V 0 Il faut donc calculer la volatilité de l investissement. soit σ 2 dv/v = σ2 ds/s de/e = σ2 ds/s + σ2 de/e 2ρσ ds/sσ de/e σ dv/v = 1.2% et donc la V ar = 2.33 σ dv/v 10 6 = euros 5. à t = 0, on alloue donc V 0 π S euros dans le S&P V 0 π E en USD et le reste C 0 = V 0 (1 π S π E ) en cash euros. La quantité de contrats détenus S&P est donc N 0 = V 0 π S E 0 /(S 0 50), la quantité en USD est D 0 = V 0 π E E 0. A une date ultérieure t, la valeur en euros de l investissement est V t = N S t 50/E t + D 0 /E t + C 0 (en supposant que le taux risque euros est quasi nul sur la période considérée, la partie cash euro reste à C 0 ). d ou V t /V 0 1 = π S ( S t S 0 E 0 E t 1) + π E ( E 0 E t 1) Notons dv = V t V 0, de = E t E 0, ds = S t S 0 En faisant des calculs au premier ordre, on a S t /S 0 = 1 + ds/s, E 0 /E t = 1/(E t /E 0 ) = 1/(1 + de/e) 1 de/e S t /S 0 E 0 /E t = (1 + ds/s)/(1 + de/e) 1 + ds/s de/e Soit dv/v = π S (ds/s de/e) π E de/e 6. Pour annuler l exposition au dollar, il suffit donc de choisir π S + π E = 0. Dans ce cas, le taux de rendement du portefeuille devient dv/v = π S ds/s. 7. Les Var marginales sont définies par V ar/ (π i V ) = β i V ar/v. le portefeuille se réduisant à la composante S&P, la sensibilité à variation du taux de change est nulle. On a β S = 1 et β E = 0, donc MV ar S = V ar/v et MV ar E = 0. Idem pour la contribution en pourcentage. (P CT R i = π i β i ), on a P CT R S = 1 et P CT R E = 0. 4 pt 6. On considère une obligation de maturité T dont le coupon annuel est de c et de facial (ou principal) F. On rappelle que le prix de l obligation en fonction du yield est V (y) = T c/(1 + y) i + F/(1 + y) T i=1 A la date t=0, On suppose que y = y 0 = c/f. Quel est le prix de l obligation (sans faire de calcul)? Sur l horizon du calcul de la VaR, on suppose que le yield varie autour de y 0 suivant une loi normale N(y 0, σ 2 ) Calculer la Value at Risk pour un niveau de confiance α ˆ en utilisant la monotonie de V en fonction de y ˆ en effectuant un développement limité au premier ordre avec la duration (Var Delta) ˆ en faisant intervenir la convexité (VaR Delta Gamma) ˆ représenter graphiquement les VaR exactes, VaR Delta. Application numérique: T = 3 ans, c = 3, F = 100, σ = 0.3% et α = 95% Comparer et commenter les résultats Daniel Herlemont 3

4 Le taux d intéret étant égal au taux de coupon, l obligation cote au pair, c est à dire P = F (F euros aujourd hui est identique à F euros à l échance T en euros constant si le taux de coupon est le même que le taux d intéret). Le P&L X(y) = V (y) V (y 0 ) est décroissant avec y. On peut donc appliquer le fait que Q(X(y), 1 α) = X(Q(y, α)), avec Q la fonction quantile. Q(y, α) = y 0 + z α σ le quantile normal. Autrement dit, la VaR est V (y 0 ) V (y 0 + z α σ) La méthode dite delta normale consiste à assimiler effectuer un developpement limité à l ordre 1, avec dv = D V dy D = 1/V dv/dy la duration modifiée. Dans ce cas, la VaR Delta Normale est V ar = D V (y 0 ) z α σ Expression qu on aurait pu trouver en faisant un développement limité à partir de l expression de la VaR exacte. La VaR Delta Gamma fait intervenir le développement limité à l ordre 2 dv = D V dy + 0.5CV dy 2 avec C la convexité C = 1/V d 2 V/dy 2. On peut ici à nouveau appliquer le fait que dv est décroissant en fonction de dy et par conséquent V ar Γ = D 0V 0 V ar y 0.5C 0 V 0 V ar 2 y avec V ar y = z α σ Application numérique Les resultats sont: V ar = 1.38 V ardelta = 1.4 qui est deja une excellente approximation de la vraie VaR, il donc est inutile de faire le calcul de la VaR en tenant compte de la convexité qui n apportera rien. 3 pt 7. On suppose que les pertes L (L=-P&L) suivent une loi exponentielle de densité f(x) = e x, avec > 0. Calculer 1. La Value at Risk de niveau α? Daniel Herlemont 4

5 2. L Expected Shortfall (ou Value at Risk Conditionnelle) de niveau α Rappel et indications: P [L V ar α ] = 1 α et ES α = E[L L V ar α ] = E[LI L V arα ]/(1 α) P [L V ar α ] = V ar α e x dx = [ e x ] V ar α = e V arα (1) V arα On doit donc résoudre e = 1 α à savoir, ln(1 α) V ar α = Pour l expected shorfall, on doit calculer E[LI L V arα ] qui n est autre que V ar α xe x dx. On effectue alors une intégration par partie, en dérivant x et en intégrant le terme exponentiel, à savoir E[LI L V arα ] = V ar α e V arα + e V arα V arα Sachant par ailleurs que e = 1 α, l expression se simplifie et l expected shortfall est ES α = 1 ln(1 α) = V ar α + 1/. Ce résultat aurait pu se trouver directement en remarquant que ES = E[L L > V ar] = E[L V ar L > V ar]+v ar, pour le premier terme, il suffit d effectuer le changement de variable y = x V ar E[L V ar L > V ar] = 0 e (y+v ar) dy/(1 α) = 0 e y dy = 1/ n est autre que l espérance d une loi exponentielle de paramètre, à savoir 1/. Fin de l énoncé, noté sur 20 points Daniel Herlemont 5

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