Vecteurs et droites. 1 Colinéarité de 2 vecteurs. 2 Equation cartésienne d une droite. 1.1 Rappels. 1.2 Lien avec les coordonnées

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1 015 Chapitre Première S 1 Colinéarité de vecteurs 1.1 Rappels Vecteurs et droites Soient points A(x A ; y A ) et B(x B ; y B ) points d un repère (O, I, J ) Alors le vecteur ( AB a pour coordonnées xb x A ) y B y A Soient u et v, vecteurs non nuls Les vecteurs u et v sont colinéaires s il existe un réel k non nul tel que u = k v Remarques : le vecteur nul est colinéaire à tout autre vecteur k est appelé coefficient de colinéarité des vecteurs colinéaires ont même direction Propriétés : deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs AB et CD sont colinéaires. trois points A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs AB et AC sont colinéaires 1. Lien avec les coordonnées Propriété : dans un repère du plan, les vecteurs u ( ) x x et ( v y ) y sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles ;si et seulement si xy x y = 0 Exemple 1 : Dans un repère ( O ; i ; j ), on donne les points A( ; 3), B(4; 7) et C(3; ) Démontrer que les droites (AB) et (OC) sont parallèles. On appelle M ( x ; 0 ) un point de l axe des abscisses. Calculer x pour que A, B et M soient alignés. Equation cartésienne d une droite.1 Vecteur directeur d une droite B Définition : Un vecteur directeur d une droite d est un vecteur u non nul, dont la direction est celle de d d A u Exemple : Dans un repère du plan, on donne les points A(4; 0), B(; 3), C(; 1) et le vecteur u( 3 5) 1. Tracer la droite (AC) et la droite d, passant par B, de vecteur directeur u. Le point E( 3; 7 ) appartient-il à la droite (AC)? 3. Montrer que le point A n appartient pas à la droite d. Exemple 3 : Dans un repère, soit A( ; 3),B(3; 1) et C( 1; 3) Déterminer les coordonnées d un vecteur directeur de la médiane passant par le sommet A

2 015 Chapitre Première S Conséquences : La donnée d un point A et d un vecteur directeur u non nul définit une droite d unique Si A et B sont points distincts de d, alors AB est un vecteur directeur de d Si u est un vecteur directeur de d, alors k u (k 0) est aussi un vecteur directeur de d Propriété : d et d sont droites de veceturs directeurs u et u. Dire que d et d sont parallèles équivaut à dire que u et u sont colinéaires. Equation cartésienne d une droite Théorème dans un repère 1. Toute droite a une équation cartésienne de la forme ax+by +c = 0 avec a 0 ou b 0. Le vecteur u ( b; a) est un vecteur directeur de d. a, b et c sont 3 nombres tels que a 0 ou b 0. L ensemble des points M(x ; y ) dont les coordonnées sont telles que ax + by + c = 0 est une droite, de vecteur directeur u ( b; a) Remarque : une droite admet une infinité d équations cartésiennes. En effet, si ax + by + c = 0 est une équation de d, alors pour tout réel k non nul, kax + kby + kc = k0 = 0 est aussi une équation de d Exemple 4 : dans un repère du plan, tracer les droites d 1 : x + 3y 5 = 0 et d : x + 5 = 0.3 Savoir-faire 1. Trouver une équation cartésienne de doite connaissant un point et un vecteur directeur d passant par A(1 ;5) de vecteur directeur u ( ) 3 1. Trouver une équation cartésienne de droite connaissant points distincts équation cartésienne de (BC) avec B(-3 ;) et C(5 ;-1).4 Lien avec les équations réduites Si une droite d a pour équation réduite y = mx + p, une équation cartésienne de d est donnée par mx 1y + p = 0, qui a pour vecteur directeur u ( ) 1 m.5 Parallélisme et équations cartésiennes Propriété : Les droites d équations ax + by + c = 0 et a x + b y + c = 0 sont parallèles si et seulement si ab a b = 0 Exemple 5 : A(-1 ;) d a pour équation x + 3y + 5 = 0. Trouvez une équation de d, parallèle à d passant par Exemple 6 : Pour quelle valeur du nombre m les droites d et d d équations respectives 3x + y = 0et(m 1)x + (m 3)y 1 = 0 sont-elles parallèles? Exemple 7 : Dans un repère, on donne 3 droites d équations cartésiennes : d 1 : x 5 y + 3 = 0,d : 4x + 5y + 6 = 0 et d 3 : 5x y + 3 = 0 Montrer que d 1 //d et déterminer l intersection de d 1 et d 3 3 Décomposer un vecteur 3.1 Rappels Nous allons utiliser différents résultats concernant les sommes de vecteurs : relation de Chasles AB+ BC= AC règle du parallélogramme AB+ AC= AD, où D est le 4 ème sommet du parallélogramme ABDC soustraire un vecteur revient à ajouter son opposé AB- CB=

3 015 Chapitre Première S 3. Base du plan Définition : on appelle base du plan vectoriel, notée ( u ; v ), tout couple de vecteurs non colinéaires. 3.3 Décomposer un vecteur Soit ( u ; v )une base du plan. Pour tout vecteur w, il existe un couple unique de réels (a ;b) tels que w = a u + b v v w u Exemple 8 : Dans un triangle ABC, I est le milieu du segment [BC] et G est le centre de gravité. Montrer que AI = 1 AB + 1 AC puis que AG = 1 AB + 1 AC 3 3 En déduire que les vecteurs AI et AG sont colinéaires. Qu en déduit-on pour les points A, I et G 3.4 Applications Exemple 9 : Déterminer les coordonnées d un point dans un repère Soit ABC un triangle. Soient M le point tel que AM = BC et N le point tel que BN = AC Déterminer les coordonnées de M et N dans le repère (A; AB, AC) Exemple 10 : A,B et C sont 3 points non alignés. K est le point tel que AK = AB + AC, M est le milieu de [AB] et I celui de [MC] 1. Faire une figure. Exprimer le vecteur AI en fonction des vecteurs AB et AC 3. En déduire que les points A,I et K sont alignés

4 015 Chapitre Première S Questions 1. La racine carrã c e de 16 est ( 5) n existe pas 3. ( 3 5 ) est à c gal à 15 Réponses est à c gal à -5 est à c gal à est le double de

5 015 Chapitre Première S Questions 1. La racine carrã c e de 16 est ( 5) n existe pas 3. ( 3 5 ) est à c gal à 15 Réponses est à c gal à -5 est à c gal à est le double de