Systèmes de Télécommunications

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1 Systèmes de Télécommunications Partie I : Introduction et circuits "télécom" Arnaud Bournel -3 1

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3 Table des matières Introduction aux systèmes de télécommunications et circuits "télécom"...5 I. Systèmes de télécommunications : concepts de base Généralités...5. Synoptique général d'un système de télécommunications Critères de qualité...7 II. Les différentes grandes catégories de modulation "analogique" Généralités...9 a. Porteuse p(t)...9 b. Signal modulant x(t)...1 c. Signal modulé s(t)...1. Modulation d'amplitude AM...11 a. Génération d'un signal modulé en amplitude...11 i) Modulation d'amplitude à double bande latérale "à porteuse supprimée"...11 ii) Modulation d'amplitude à double bande latérale "à porteuse conservée"...14 iii) Modulation d'amplitude en quadrature...17 iv) Modulation à bande latérale unique BLU...18 v) Bande latérale atténuée...19 b. Démodulation... i) Détection d'enveloppe... ii) Démodulation cohérente ou synchrone Modulations angulaires FM et PM...6 a. Définitions...6 i) Cas général...6 ii) Modulation de phase (PM)...7 iii) Modulation de fréquence (FM)....7 b. Représentation temporelle...8 i) Cas général...8 ii) Cas d'une modulante sinusoïdale...9 c. Aspect spectral...9 i) Généralités...9 ii) Cas d'un "ton pur"...3 iii) Cas général...3 d. Préaccentuation - désaccentuation en FM Comparaison des différentes modulations analogiques...34 III. Blocs émission et réception Emission Réception...37 IV. Les blocs du "front end" : de la fonctionnalité au circuit...38 V. Bibliographie

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5 Introduction aux systèmes de télécommunications et circuits "télécom" La croissance du trafic d'informations en télécommunications nécessite l'amélioration des performances des systèmes matériels utilisés pour la transmission. L'objectif de ce module est de sensibiliser des étudiants, ne provenant pas nécessairement de formations en électronique, aux problèmes qui se posent dans ce cadre : choix d'un système plutôt qu'un autre (en ne se basant pas seulement sur l'affichage des coûts d'installation ou d'utilisation), choix des technologies à utiliser pour réaliser des circuits fonctionnant dans une gamme de fréquence donnée, problèmes de compatibilité électromagnétique I. Systèmes de télécommunications : concepts de base 1. Généralités Le rôle des télécommunications est de transmettre des informations entre différents utilisateurs et de leur permettre de dialoguer. Ces informations peuvent provenir de sources ou capteurs de natures physiques variables, sous forme analogique ou numérique (voix, caméra vidéo, fichier électronique) et être transmises par le biais de supports de transmission divers, "bruités", et aux capacités limitées (air, lignes "métalliques", fibre optique) vers différents blocs de réception (haut-parleur, écran d'ordinateur ou de portable). Il faut alors adapter le signal initial au canal envisagé, afin de transmettre l'information le plus fidèlement possible tout en optimisant l'utilisation du canal. Pour un type de transmission donné, on doit alors définir un système global de télécommunications, intégrant et orchestrant le fonctionnement d'ensembles et sous-ensembles a priori hétérogènes, conçus par des personnes aux compétences diversifiées : composants et circuits d'émission et de réception (le "front end" : amplification, filtrage mélange, synthèse de fréquence), circuits spécifiques pour les traitements numériques et leur mise en œuvre (DSP, Digital Signal Processor, FPGA, Field Programmable Gate Array, et ASIC, Application Specific Integrated Circuit, pour le codage canal, le multiplexage, l'organisation en "trames" de l'information à transmettre), commutateurs et protocoles associés permettant à l'information de circuler en réseau, tout en gérant des problèmes comme ceux liés aux divers changements possibles de "nature" du signal au cours de sa propagation (conversion analogique/numérique, électrique/optique), au bruit inhérent à la transmission ou encore à la compatibilité électromagnétique. -3 5

6 . Synoptique général d'un système de télécommunications Le synoptique d'une chaîne de transmission en télécommunication pourrait être celui schématisé sur la Figure I.1 suivante : bruit information traduction mathématique destinataire x(t) I source capteur M codage canal démodulation transducteur D modulation décodage parole alphabet image données µphone télétype caméra µc phénomène physique électromagnétique signal s(t) réel haut parleur imprimante écran TV Figure I.1 : Synoptique d'une chaîne de transmission, avec représentation "poétique" du bruit. Le signal est la grandeur physique variable porteuse d'information. Si l'information portée peut être de type analogique ou numérique, la nature physique du signal est toujours analogique. Le canal de transmission est au cœur de cette chaîne. On doit absolument tenir compte de ses capacités et limitations pour dimensionner le reste de la chaîne. On distingue :! les liaisons câblées : fils parallèles ou torsadés, câbles coaxiaux, guides d'ondes, fibres optiques,! les liaisons hertziennes qui nécessitent des antennes en émission et en réception. Sauf dans quelques cas particuliers, on ne peut pas en général transmettre directement les signaux sur ces supports à grande distance, c'est-à-dire les transmettre dans leur "bande de base" en fréquence (3 Hz - 3,4 khz pour la téléphonie, 3 Hz - 15 khz pour l'audio hifi, - 6 MHz pour la vidéo ). Ainsi, si l'on pense aux transmissions en espace libre ou "hertziennes", on se heurte rapidement au problème des dimensions des antennes utilisées à l'émission et à la réception. Les dimensions des antennes doivent être en effet au moins de l'ordre de grandeur de la longueur d'onde λ associée à l'onde électromagnétique émise. Pour une fréquence de f = 1 khz par exemple, λ est égal à c/f = /1 3 = 3 km, où c est la vitesse de la lumière dans le vide... On comprend ainsi rapidement qu'il faut translater vers de plus hautes fréquences le signal à transmettre. Cette notion de translation en fréquence est également rendue nécessaire par le fait qu'on doit bien souvent partager la bande passante en fréquences disponible sur un canal de transmission entre plusieurs -3 6

7 utilisateurs. On parle alors de multiplexage fréquentiel (FDMA pour Frequency Division Multiple Access). Pour réaliser cette translation vers les hautes fréquences du signal à transmettre, il faut mettre en œuvre les techniques de modulation. Le signal à transmettre est alors utilisé pour "moduler" une porteuse de forme déterminée et de fréquence plus adaptée au canal que celles apparaissant dans la bande de base du signal modulant. Comme illustré sur la Figure I., le signal modulant influe soit sur l'amplitude de la porteuse (AM, Amplitude Modulation), soit sur sa fréquence ou sa phase (FM ou PM, Frequency Modulation ou Phase Modulation, l'une et l'autre étant liée par une relation intégrale). On peut également combiner modulations d'amplitude et de phase. Figure I. : Allure temporelle de signaux obtenus pas différentes techniques de modulation. Les canaux réels utilisés en télécommunication déforment les signaux transmis (distorsion), introduisent des perturbations indésirables (bruit aléatoire qui se rajoute au signal à transmettre, diaphonie, c'est-à-dire perturbation d'un canal de transmission par un autre voisin), et enfin peuvent être chers. Il faut donc les utiliser de la manière la plus économique possible. 3. Critères de qualité Dans une chaîne de communication, il faut assurer la transmission d'informations les moins perturbées au possible avec un débit maximal et une occupation spectrale minimale, en tenant compte de la bande passante permise sur le canal utilisé, du niveau de puissance permis pour l'émission/réception, ainsi que du niveau de bruit inhérent au système. Pour réaliser cet objectif, il faut mettre en œuvre des matériels de plus en plus complexes. Les évolutions considérables de la -3 7

8 microélectronique ont cependant permis d'abaisser fortement le coût de ces systèmes complexes, d'où leur utilisation dans des applications de plus en plus "grand public". Les évolutions importantes ont été d'une part la transition des modulations analogiques simples (AM, puis FM/PM) vers les modulations "numériques", ou plutôt analogiques discrètes et d'autre part du multiplexage FDMA vers des techniques de multiplexage temporel TDMA (Time Division Multiple Access) et de multiplexage par code CDMA (Code Division Multiple Access) plus complexes mais plus souples par exemple vis-à-vis de la gestion d'un débit variable (difficultés pour allouer dynamiquement les fréquences). Cette évolution vers les systèmes numériques peut principalement s'expliquer par la possibilité de régénération des informations transmises. Même en présence de perturbations importantes, la qualité de la transmission, exprimée par une probabilité d'erreur, peut rester bonne (cf. Figure I.3). Cette probabilité d'erreur sur les informations binaires transmises est souvent désignée par le sigle BER (Bit Error Rate). canal court Information analogique Information numérique T information correctement récupérée canal long a T/ modulation canal démodulation 1 1 T a 1 1 échantillonnage et seuil information perdue 1 erreur régénération Figure I.3 : Intérêt de l'utilisation du numérique pour la transmission sur un canal long De plus, la forme numérique se prête bien à la coexistence de services de natures différentes au sein d'un même système (téléphonie et transmission de données) et à la sécurisation des données. La modulation analogique discrète, affranchie des conditions de linéarité, convient en outre particulièrement bien pour des communications radioélectriques ou optiques. -3 8

9 Néanmoins, les systèmes numériques nécessitent une largeur de bande secondaire bien plus importante que les systèmes purement analogiques. Ainsi en téléphonie on passe d'une voie analogique de largeur de l'ordre de 4 khz à un débit de 64 kbit/s pour un signal échantillonné à 8 khz et codé sur 8 bits. Les systèmes numériques se contentent donc d'un canal de transmission médiocre (affaiblissement élevé, bruit, diaphonie), à condition qu'il offre la largeur de bande nécessaire. Enfin, parmi les critères de qualité caractérisant les systèmes, il y a bien sûr les contraintes de consommation d'énergie, de maîtrise de l'échauffement thermique des composants, et bien sûr de taille des dispositifs à utiliser... II. Les différentes grandes catégories de modulation "analogique" 1. Généralités La représentation symbolique d un modulateur qui sera adoptée par la suite est représentée sur la Figure II.1 suivante : Entrée BF x(t) Sortie s(t) p(t) Porteuse "HF" Figure II.1 : Représentation schématique d'un bloc de modulation. a. Porteuse p(t) Le signal porteur p(t) peut être un signal sinusoïdal, ou éventuellement une suite d impulsions (voir le cas particulier de l échantillonnage). Nous nous restreindrons par la suite au cas d'une porteuse sinusoïdale : p(t) = A cos(πf t) (II.1) où f est la fréquence de la porteuse. Notons que nous avons choisi de considérer la phase πf t comme la référence de phase (pas de terme de déphasage supplémentaire dans l'expression de p(t)). -3 9

10 b. Signal modulant x(t) Le signal x(t) contenant de l'information, à valeurs réelles exprimées en V, possède une transformée de Fourier X(f) en V/Hz ou une densité spectrale D x (f) en V /Hz, donc un spectre X(f), représenté schématiquement sur la Figure II.. Ce spectre occupe la bande de fréquence (pour les fréquences f > ) F m f F M. La fréquence F M sera supposée par la suite beaucoup plus faible que la fréquence porteuse f. La fréquence F m est supérieure ou égale à. L'intervalle [F m ; F M ] constitue la bande de base de x(t). X(f) Bande de base f > f -F M -F m F m F M Figure II. : Représentation schématique du spectre du signal informatif x(t). x(t) Afin de simplifier les écritures, on posera souvent par la suite x(t) = x(t). = a.e(t) max x(t) avec a la valeur maximale x(t) max de x(t) (en V) et e(t) (sans dimension) tel que e(t) max = 1. c. Signal modulé s(t) La sortie s(t) du modulateur peut s'écrire sous la forme : s(t) = A(t) cos(φ(t)) = A(t) cos(πf t + φ(t)) (II.) où A(t) est l'amplitude instantanée du signal modulé s(t), Φ(t) sa phase instantanée, et φ(t) la déviation de phase vis-à-vis de la référence πf t (phase instantanée de la porteuse). Le signal modulant x(t) agit :! soit sur A(t), on parle alors de modulation d'amplitude AM,! soit sur φ(t), on parle alors de modulation de phase PM,! soit sur la fréquence instantanée f i (t) de s(t), on parle alors de modulation de fréquence FM. La fréquence f i (t) est définie par rapport à Φ(t) par la relation : 1 dφ(t) 1 dφ(t) (t) = = f + (II.3) π dt π dt fi! soit enfin sur plusieurs de ces paramètres à la fois. max -3 1

11 On parle aussi de modulation angulaire pour désigner à la fois modulations PM et FM. Il n y a pas de fonction de transfert liant X(f), la transformée de Fourier P(f) de p(t) et S(f) car le circuit de modulation employé est a priori non linéaire. Le spectre de s(t) peut être très simple ou très complexe. La Figure II.4 représente l'évolution du signal modulé s(t) (lignes continues sur la figure), en fonction de la phase instantanée ω m t de x(t) (où ω m est la pulsation de x(t)), pour deux signaux modulants x(t) (tirets, sur la figure, créneau dans les cas a), c) et e), sinusoïde dans les cas b), d) et f)) et différents types de modulation (AM pour a) et b), PM pour c) et d), FM pour e) et f)). Pour x(t) en créneau, des sauts d'amplitude, phase ou fréquence interviennent pour ω m t multiple de π. Pour x(t) en créneau ou sinusoïdal et dans la cas AM, l'enveloppe globale de s(t) reproduit la forme de x(t). Pour x(t) sinusoïdal, les formes des signaux modulés s(t) en PM ou FM sont tout à fait semblables : on observe une "dilatation" de la période de la porteuse p(t), qui augmente ou diminue suivant la croissance ou la décroissance de x(t). Pour la modulation PM, la "pseudo-période" de s(t) est plus faible quand x(t) décroît pour t croissant, et plus importante quand x(t) croît pour t croissant. Pour la modulation FM, on a la tendance contraire. Nous reviendrons sur ce point dans la partie "Modulations angulaires".. Modulation d'amplitude AM a. Génération d'un signal modulé en amplitude i) Modulation d'amplitude à double bande latérale "à porteuse supprimée" (1) Principe L'idée la plus simple pour réaliser une modulation AM consiste à utiliser un multiplieur de tensions comme illustré sur la Figure II.3 : x(t) k s(t) = (k A x(t)) cos(ω t) p(t) = A cos(ω t) Figure II.3 : Schéma de principe de la modulation d'amplitude "à porteuse supprimée". Aux deux entrées du multiplieur, on injecte le signal modulant x(t) et la porteuse p(t) = A cos(ω t). Le signal de sortie du multiplieur a pour expression : s(t) = (k A x(t)) cos(πf t) (II.4) -3 11

12 où le coefficient k, en V -1 est le facteur multiplicatif caractéristique du multiplieur utilisé. La fréquence instantanée de la sortie s(t) du multiplieur est égale à celle f de p(t). Les signaux p(t) et s(t) sont en phase. En revanche, l'amplitude instantanée de s(t) varie linéairement avec le signal modulant x(t). On a bien une modulation en amplitude. a) AM, créneau b) AM, sinus Signaux (u.a.) Signaux (u.a.) π π 3π 4π π π 3π 4π ω m t (rd) ω m t (rd) c) PM, créneau d) PM, sinus Signaux (u.a.) Signaux (u.a.) π π 3π π π 3π ω m t (rd) ω m t (rd) e) FM, créneau f) FM, sinus Signaux (u.a.) Signaux (u.a.) π π 3π π π 3π ω m t (rd) ω m t (rd) Figure II.4 : Evolution temporelle d'un signal modulé s(t) dans les cas des modulations AM, PM et FM (lignes continues). Le signal modulant x(t) (tirets) a pour fréquence f m = ω m /π, sa forme est de type créneau ou sinusoïdale. Les amplitudes des signaux sont tracées en unité arbitraire (u. a.). -3 1

13 () Evolution temporelle Dans le cas d'un signal modulant sinusoïdal, soit x(t) = A m cos(πf m t), l'allure du signal modulé s(t) obtenu est représentée sur la Figure II.5(a). L'enveloppe de s(t) suit l'évolution de x(t) pour s(t) > et celle de -x(t) pour s(t) <. Ces commentaires restent valables dans le cas d'une modulante véritablement "quelconque", mais contenant plus d'informations (un signal déterministe comme une sinusoïde ne porte pas vraiment d'informations puisque la connaissance de très peu de paramètres permet de prédire son comportement pour un temps quelconque), comme illustré sur la Figure II.5(b). a) b) x(t) x(t) Signaux (u.a.) Signaux (u.a.) -x(t) -x(t) π π 3π π π 3π ω m t (rd) ω m t (rd) Figure II.5 : Evolution temporelle d'un signal s(t) (lignes continues) obtenu par multiplication d'une porteuse sinusoïdale p(t) et d'une modulante x(t) (tirets) en sinus (a) ou de forme "quelconque" (b), et de fréquence f m = ω m /π très faible devant celle de p(t). (3) Aspect spectral Si x(t) est un signal modulant quelconque (mais dont on peut calculer la transformée de Fourier), la transformée de Fourier S(f) de s(t) s'écrit : soit encore : 1 S(f ) = ka X(f ) ( δ(f f ) + δ(f + f )) (II.5) 1 S(f ) = ka ( X(f f ) + X(f + f )) (II.6) le spectre du signal modulé reproduit donc celui du signal modulant mais décalé de +f pour f > et de -f pour f <. La Figure II.6 représente les allures des spectres de e(t) et s(t)

14 E(f) -F M +F M f * P(f) S(f) -F M -f -f +F M -f -F M +f f +F M +f Figure II.6 : Spectres des signaux modulant et modulé, ce dernier ayant été obtenu par simple multiplication avec la porteuse sinusoïdale de fréquence f. Pour f >, la bande de fréquence du spectre de s(t) située au-delà de f est souvent désignée comme la bande latérale supérieure, ou BLS, et la bande de fréquence située en dessous de f comme la bande latérale inférieure, ou BLI. L'encombrement en fréquence correspondant à ces deux bandes est égal à F M où F M est la fréquence maximale apparaissant dans le spectre du signal modulant. Ce type de modulation d'amplitude est une modulation "à porteuse supprimée" (AM-P) puisque la raie correspondant à la porteuse sinusoïdale n'apparaît pas dans le spectre du signal modulé. Il est à noter que cette modulation est rarement utilisée en tant que tel aujourd'hui, mais elle sert de base à d'autres types de modulation, modulation quadratique ou à bande latérale unique, que nous verrons plus loin. ii) Modulation d'amplitude à double bande latérale "à porteuse conservée" (1) Principe On peut également transmettre la raie correspondant à la porteuse en modulation d'amplitude. On parle alors de modulation d'amplitude "à porteuse conservée" (ou AM sans plus de précisions). Pour cela, il suffit d'appliquer le signal de sortie du multiplieur de la Figure II.3 à l'une des deux entrées d'un additionneur. On place sur l'autre entrée de l'additionneur la porteuse p(t), conformément au schéma de principe de la Figure II.7. Ce type de modulation permet dans certains cas l'utilisation d'une méthode de démodulation très simple, la détection d'enveloppe, méthode inapplicable dans le cas de la modulation AM-P. f -3 14

15 x(t) k + + s(t) = A (1 + k x(t)) cos(ω t) p(t) = A cos(ω t) Figure II.7 : Schéma de principe de la modulation d'amplitude "à porteuse conservée". () Taux de modulation Ecrivons x(t) sous la forme a.e(t) avec a la valeur maximale de x(t) et donc e(t) max = 1. Avec le montage schématisé sur la Figure II.7, on obtient en sortie de l'additionneur : s(t) = A (1 + m e(t)) cos(πf t) (II.7) où on a posé m = k a. Ce coefficient m, positif et sans dimension, est défini comme le taux de modulation. Des exemples de formes temporelles de signaux modulés obtenus dans ce cas sont donnés sur la Figure II.8 pour 3 valeurs possibles de m, une inférieure à 1 (a), m = 1 (b), et une dernière supérieure à 1 (c). a) m < 1 b) m = m e(t) Signaux (u.a.) Signaux (u.a.) -(1 + m e(t)) π π 3π π π 3π ω m t (rd) ω m t (rd) c) m > 1 Signaux (u.a.) π π 3π ω m t (rd) Figure II.8 : Allure temporelle obtenue après modulation "à porteuse conservée" d'une porteuse sinusoïdale par une modulante sinusoïdale, pour 3 valeurs possibles du taux de modulation m

16 Si e(t) est symétrique l amplitude du signal modulé varie entre A (1 + m) et A (1 m) tant que m est inférieur à 1. Le signal modulé est compris entre les enveloppes (1 + m e(t)) et -(1 + m e(t)). Pour m = 1, ces commentaires sont toujours valables, on a de plus un passage par des enveloppes pour e(t) = -1. Enfin, quand m > 1 on dit qu il y a surmodulation. L enveloppe pour s(t) > n'est alors plus forcément (1 + m e(t)), mais parfois -(1 + m e(t)) sur certains intervalles temporels. Dans ce dernier cas, il semble tout à fait délicat de détecter l'enveloppe du signal modulé. (3) Aspect spectral Pour x(t) signal modulant quelconque (possédant une transformée de Fourier), la transformée de Fourier S(f) de s(t) s'écrit : 1 S(f ) = A ( δ(f ) + me(f )) ( δ(f f ) + δ(f + f )) (II.8) le spectre du signal modulé dans ce cas a donc une allure identique à celle obtenue dans le cas AM-P, si ce n'est qu'apparaissent en plus les raies correspondant à la porteuse. E(f) -F M +F M f * m P(f) + P(f) S(f) -F M -f -f +F M -f -F M +f f +F M +f Figure II.9 : Spectre d'un signal modulé dans le cas d'une modulation AM "à porteuse conservée". f (4) Puissance Ce type de modulation est évidemment mois intéressante du point de vue de la puissance transportée que l'am-p, puisqu'une partie du signal transmis concerne la raie porteuse qui ne contient pas l'information. On doit alors quantifier le "rendement" entre la puissance "intéressante" transportée et la puissance totale nécessaire à sa transmission. Plus précisément, si P e est la puissance (sans dimension) du signal e(t), la puissance P s du signal modulé, déduite du spectre unilatéral, vaut : -3 16

17 ( 1 mp ) A P s = + e (II.9) On définit un rendement η comme le rapport entre la puissance du signal contenant d information et la puissance totale transmise : P e P e m η = (II.1) 1+ m Ce rendement η varie entre et 3% dans les applications pratiques (la porteuse correspondant environ aux /3 de la puissance pour m < 1). La modulation AM à porteuse conservée est utilisée en radiodiffusion et comme base à certaines modulations à bande latérale atténuée. iii) Modulation d'amplitude en quadrature Une possibilité intéressante pour utiliser au mieux l encombrement en fréquences consiste à moduler la même porteuse décalée de π/ par deux informations différentes. Ceci peut être obtenu en réalisant le montage schématisé sur la Figure II.1. On a alors une modulation d'amplitude en quadrature, ou MAQ. Ces deux informations peuvent être séparées à la réception, comme nous le verrons plus loin. a 1 e 1 (t) X s 1 (t) p(t) = A cos(πf t) π/ + + s(t) a e (t) X s (t) Figure II.1 : Génération d'une modulation d'amplitude en quadrature, le bloc -π/ représente un déphaseur à -π/. Avec p(t) = A cos(πf t), on obtient : s(t) = V 1 e 1 (t) cos(πf t) + V e (t) sin(πf t) (II.11) Notons que dans le cas de la transmission de données numériques on désigne souvent cette technique comme la modulation IQ : la contribution du modulant e 1 (t) au signal modulé est en phase, en anglais In phase, avec la porteuse p(t) alors que celle correspondant à e(t) est en Quadrature de phase avec p(t). Le spectre du signal s(t) a l'allure présentée sur la Figure II.11 suivante

18 S a (f) e 1 e f f Figure II.11 : Spectre unilatéral pour une MAQ. iv) Modulation à bande latérale unique BLU Les deux bandes latérales BLI (inférieure) et BLS (supérieure) d une modulation AM-P portant la même information, il est possible de n en transmettre qu une en filtrant (à l aide d un filtre passe-bande) la BLI ou la BLS (cf. Figure II.1 et Figure II.13). L'encombrement spectral du signal modulé est alors égal à celui du signal modulant x(t), et non plus au double de l'encombrement de x(t). On a alors une modulation en bande latérale unique (BLU, en anglais SSB pour Single Side Band). Il n y a pas de raie à la fréquence porteuse. On peut également produire la modulation BLU à l'aide d'un montage du même type que celui de la Figure II.1 utilisant de plus des filtres dits "de Hilbert", mais que nous ne détaillerons pas par la suite. x(t) k s(t) BP = F M Centré en f + F M / s(t) p(t) Figure II.1 : Schéma pour l'obtention par filtrage d'une AM-P avec BLU (en l'occurrence BLS). Le filtre passe-bande indiqué a pour fréquence centrale f c = f + F M / et pour bande passante BP = F M. S a (f) Passe-bande BP F M f - F M f c f + F M f BLI Figure II.13 : Obtention par filtrage d'une AM-P avec BLU (en l'occurrence BLS), spectre unilatéral. Le filtre passe-bande indiqué a pour fréquence centrale f c = f + F M / et pour bande passante BP = F M. BLS -3 18

19 Toute l information est encore disponible, mais l encombrement en fréquences est divisé par deux, il est désormais limité à F M. On peut transmettre deux fois plus d informations sur un même canal. Cette méthode est à la base du multiplexage fréquentiel dans les systèmes "à courants porteurs" : plusieurs émissions en BLU inférieures réparties en fréquences peuvent être transmises en même temps sur le même canal (cf. Figure II.14). Spectre unilatéral Figure II.14 : Multiplexage fréquentiel à BLU inférieures. v) Bande latérale atténuée La modulation à bande latérale atténuée (ou réduite, BLA ou BLR, en anglais VSB pour Vestigial Side Band) est une variante de la modulation BLU. Elle est utilisée dans le cas de signaux modulants x(t) comportant une composante continue, par exemple des signaux vidéo. Dans ce cas, on ne peut utiliser un filtrage passe-bande pour réaliser une BLU puisque l'on perd de l'information au niveau des composantes spectrales de x(t) voisines de f =. Dans le cas de la modulation BLA, l'une des deux bandes latérales est transmise presque complètement, et l'on transmet un résidu de l'autre bande latérale. Cette opération est effectuée par filtrage passe-bande, avec une forme de fonction de transfert un peu particulière (souvent filtrage de "Nyquist", analogue à celui employé en communications numériques pour réduire l'interférence intersymbole). Spectres f Modulante en bande de base f f Signal modulé en AM Spectres Filtrage pour obtention BLA f f Signal démodulé Signal modulé en BLA Figure II.15 : Modulation et démodulation à bande latérale atténuée, aspect spectral (spectres bilatéraux, mais la partie modulée présente autour de -f n'est pas représentée pour simplifier la figure)

20 b. Démodulation La démodulation consiste à récupérer l information x(t) à une constante multiplicative près. Nous verrons tout d'abord les cas des modulations d'amplitude à double bande latérale, à porteuse supprimée ou conservée, puis le cas particulier de la MAQ. Nous évoquerons de plus la BLU. i) Détection d'enveloppe (1) Principe En modulation d amplitude, l information se trouvant dans l enveloppe, une première méthode consiste donc à réaliser un détecteur d enveloppe. Comme pour la modulation, on met en œuvre un système non linéaire. Il existe plusieurs possibilités pour réaliser cette fonction, comme prendre le module ou encore la racine carrée, mais la réalisation pratique la moins onéreuse et la plus courante est le détecteur à diode, dont le schéma est donné sur la Figure II.16. s(t) R C u(t) Figure II.16 : Montage détecteur d'enveloppe à diode. On ne s intéresse ici qu au montage typique de base et on admettra que la diode est idéale en première approximation. Dans ces conditions, si le signal n est pas modulé (porteuse seule) et si 1 RC >> (la π f décharge de C à travers R doit être très lente vis-à-vis des variations de p(t)), on obtient u(t) = A, amplitude de la porteuse, à une petite ondulation près et ce après une période transitoire d au plus un quart de période quand la diode est idéale et de quelques périodes dans les cas réels (réponse à l échelon car en fait on a s(t) = h(t) A cosπf t, où h(t) est ici la fonction d'heaviside, valant pour t négatif et 1 sinon). Quand RC tend vers l infini, on réalise ainsi un détecteur de crête. Pour le signal modulé, si de plus on a grossièrement 1 RC << (charge de la capacité C π F M instantanée vis-à-vis du signal modulant), où F M est la pulsation maximale de e(t), u(t) suit l évolution de l enveloppe de s(t) pour s(t) > comme illustrée sur la Figure II.17, c est-à-dire e(t) à une constante additionnelle A près, qui peut être éliminée à l'aide d'un filtre passe-haut. -3

21 A (1+m) u(t) A (1-m) -A (1-m) -A (1+m) s(t) Figure II.17 : Démodulation d'enveloppe obtenue dans le cas idéal. Notons que cette méthode de démodulation ne peut être appliquée dans le cas d'une modulation à double bande latérale à porteuse supprimée ou à porteuse conservée avec m > 1 (surmodulation). Il est clair que la détection d'enveloppe ne peut fonctionner correctement lorsque l'enveloppe tend vers (points "anguleux"). () Dimensionnement Pour une modulation AM à double bande latérale à porteuse conservée, si m reste strictement inférieur à 1 mais en est trop proche, il sera très difficile de bien choisir la constante RC de telle sorte que la détection d'enveloppe fonctionne correctement aux voisinages des minima de l'enveloppe de s(t) pour s(t) >, comme illustré sur la Figure II.18 suivante. De plus, dans ce cas, l influence du bruit intervient plus fortement. En pratique, on doit avoir : 1 πf << RC < 1 m π m FM (II.1) Ce critère peut être établi en analysant l'évolution du signal détecté en fonction des pentes relatives des signaux s(t) et u(t) : on cherche alors à savoir si après le blocage de la diode et le début de la décharge de C à travers R le signal u(t) croise bien s(t) à l'alternance suivante du signal modulé. a) m =,5 b) m =,9 Signaux (u.a.) Signaux (u.a.) π π π π ω m t (rd) ω m t (rd) Figure II.18 : Problème de dimensionnement du détecteur d'enveloppe quand le taux de modulation m tend vers 1 par valeurs inférieures. A gauche (a), il est relativement aisé de régler la pente RC du détecteur pour m =,5, c'est beaucoup moins évident à droite (b) pour m =,

22 ii) Démodulation cohérente ou synchrone (1) Principe Pour récupérer l information on utilise le montage multiplieur comme pour la modulation. Cette démodulation est absolument nécessaire pour la modulation d amplitude sans porteuse (AM-P), mais elle est aussi valable pour la modulation AM avec porteuse. s r (t) k u(t) d(t) p r (t) Figure II.19 : Montage de base pour la démodulation cohérente. Le signal s r (t) correspond au signal modulé s(t) transmis par un canal quelconque, reçu, amplifié et translaté par un mélangeur dans le domaine de la fréquence intermédiaire porteuse. Son expression est donnée par : ( πf t) Ar e(t) cos sr (t) = ou (II.13) A r ( 1+ me(t) ) cos( πf t) suivant que l'on s'intéresse à une modulation AM à porteuse supprimée ou conservée. Si le signal p r (t) reproduit exactement les variations de la porteuse initiale p(t) avec un déphasage nul par rapport à celle-ci, on a en sortie du multiplieur : ka1a u(t) = ka1a r r 1 e(t) ( 1+ m e(t) ) ( 4πf t) + cos ou 1+ cos ( 4πf t) (II.14) où A 1 est l'amplitude de p r (t). Dans le cas de la modulation à porteuse supprimée, cas illustré par les spectres de la Figure II., le signal u(t) a deux composantes spectrales : le spectre du signal e(t) ramené dans sa bande de base, et ce même spectre qui a "glissé" autour de la fréquence f. Il suffit alors de filtrer u(t) par un filtre passe-bas de bande passante légèrement supérieure à la fréquence maximale F M apparaissant dans le spectre de e(t) pour retrouver le signal modulant x(t) à un facteur multiplicatif près. On a bien réalisé une démodulation. -3

23 S r (f) * P r (f) -f f f U(f) Passe-bas -f f f Figure II. : Démodulation cohérente d'un signal modulé en amplitude avec porteuse supprimée, aspect spectral. Dans le cas de la modulation à porteuse conservée, une composante continue apparaît également dans le spectre de u(t), en plus des deux composantes décrites précédemment. On peut éliminer cette composante continue par un filtre passe-haut après le filtre passe-bas (ou plus directement en utilisant un filtre passe-bande à la place du passe-bas). () Synchronisme Si la porteuse p r (t) n'est synchronisé ni parfaitement en fréquence, ni parfaitement en phase avec la porteuse initiale p(t), on peut écrire alors son expression sous la forme : p r (t) = A 1 cos(π(f + f)t + ϕ) (II.15) Dans le cas d'une modulation AM-P, on a alors en sortie du multiplieur de la Figure II.19 le signal : ka1 Ar (t) = e(t) ( cos( π f t + ϕ) + cos( π( f + f ) t + ϕ ) (II.16) u Si le deuxième terme apparaissant dans l'équation précédente peut être éliminé par filtrage passe-bas (notamment si f << f ), le terme en cos(π f t + ϕ) risque de poser problème. Si F M + f est inférieur à la fréquence de coupure du passe-bas utilisé, on peut ainsi obtenir après filtrage passe-bas du signal u(t) le spectre schématisé sur la Figure II.1. L information reçue est alors déformée à cause de la mauvaise synchronisation de la fréquence de p r (t) par rapport à celle de p(t). Il y a par exemple un mélange des aigus et des graves si x(t) est un signal sonore. -3 3

24 D(f) f - F M - f f f + F M Figure II.1 : Cas de mauvaise démodulation, dû à une synchronisation imparfaite de la fréquence de la porteuse "régénérée" à la réception par rapport celle de la porteuse initiale. Dans le cas où f =, l'existence possible du déphasage ϕ est également problématique. En sortie du filtre passe-bas de la Figure II.19, on obtient alors le signal : ka1 A r d(t) = e(t) cos ϕ (II.17) (on a supposé que le gain du filtre passe-bas est égal à 1 dans sa bande passante). Si ϕ reste faible et constant le terme en cos ϕ n'est pas très gênant. Mais si en pratique on utilise un oscillateur local pour reconstituer une porteuse p r (t), la dérive temporelle inévitable de l'oscillateur conduit à des variations de ϕ avec le temps. On peut par exemple avoir périodiquement ϕ = ±π/, d'où d(t) nul, ce qui n'est évidemment pas souhaitable. En conclusion, si l'on est conduit à reconstituer une "porteuse" p r (t) à la réception, il faut absolument qu'elle soit asservie en fréquence et en phase avec la porteuse p(t) initiale. Il existe cependant une exception à cette "règle", celle correspondant à la modulation BLU dans le cas de signaux particuliers (signaux sonores par exemple). (3) Récupération de la porteuse (a) Systèmes avec transmission de la porteuse Dans certains cas, la disponibilité d'une porteuse synchrone au niveau du récepteur ne pose pas véritablement de problème. Du point de vue expérimental, on utilise souvent la modulation d'amplitude dans des montages dits de "détection synchrone" afin de distinguer un signal de faible amplitude noyé dans un bruit important. Dans ce cas, la porteuse est directement disponible au niveau du montage. Dans certains systèmes de télécommunication, la porteuse est transmise en même temps que le signal s(t) sous une forme telle qu'il est facile de distinguer p(t) et s(t). En diffusion stéréophonique, la porteuse utilisée pour réaliser une modulation d'amplitude est transmise à une autre fréquence : la fréquence f /, qui n'interfère pas avec le spectre du signal modulé. On utilise ensuite un multiplieur de fréquence (PLL avec décompteur dans la chaîne de rétroaction) pour retrouver f. f -3 4

25 On peut également transmettre la porteuse à d'autres instants que le signal modulé. C'est le cas par exemple pour le codage PAL utilisé en télévision : on transmet des salves de porteuse durant les intervalles de temps de 1 µs dits de suppression de ligne (mais en dehors de l'impulsion indiquant le début de ligne qui occupe 5 µs sur ces 1 µs) séparant la transmission de deux lignes successives (cf. Figure II.). L'oscillateur local utilisé à la réception se synchronise sur ces salves et ne doit pas dériver sensiblement pendant toute la ligne qui suit (soit sur une durée de l'ordre de 5 µs). Signal vidéo Suppression ligne Impulsion synchronisation ligne Salves de porteuse Figure II. : Transmission de salves de porteuse pendant le temps de suppression de ligne en codage PAL. (b) Systèmes à régénération de la porteuse En modulation AM-P, quand la porteuse n est pas transmise, il faut la récupérer. Il peut exister plusieurs solutions liées au type du signal e(t) à transmettre, en particulier lorsque e(t) représente une information numérique. Ces techniques sont généralement basées sur l'utilisation d'une boucle à verrouillage de phase (ou PLL, pour Phase Locked Loop). (4) Cas de la démodulation MAQ A la réception, après récupération de la porteuse et calage correct de la phase, il est possible de récupérer séparément e 1 (t) et e (t). Le montage correspondant est schématisé sur la Figure II.3 suivante. Si la phase de la porteuse récupérée n'est pas bien calée, il y a mélange des deux signaux e 1 et e (diaphonie). On a en effet avec les notations de la Figure II.3 : ( V1 e1(t) cosωt + V e (t) sin ωt) ( V e (t) cosω t + V e (t)sin ω t) s1(t) = s (t) = 1 1 d'où après un filtrage passe-bas adéquat : ka ka 1 1 cos( ω t + ϕ) sin( ω t + ϕ) t (II.18) -3 5

26 d d 1 ka (t) = 1 ka (t) = V1 e V1 e (t) ka cos ϕ (t) ka sin ϕ + 1 V e V e 1 (t) sin ϕ (t) cosϕ (II.19) On ne retrouve en d 1 et d des signaux respectivement proportionnels à e 1 et e que si ϕ =. On retrouve ici la nécessité du synchronisme à la démodulation. Cette modulation est utilisée pour transmettre les deux signaux de chrominance des systèmes PAL et NTSC de télévision ainsi que de l information numérique. X k s 1 (t) d 1 (t) = α e 1 (t) +... s r (t) p r (t) = A 1 cos(πf t + ϕ) π/ s (t) X d (t) = β e (t) +... k Figure II.3 : Démodulation d'un signal modulé en quadrature. 3. Modulations angulaires FM et PM a. Définitions i) Cas général Reprenons la représentation symbolique d un modulateur, schématisée sur la Figure II.4. Entrée BF x(t) Sortie s(t) p(t) Porteuse "HF" Figure II.4 : Bloc de modulation. On considère toujours un signal porteur p(t) sinusoïdal de fréquence f, soit : p(t) = A cos(πf t) (II.) -3 6

27 et on écrit le signal modulant sous la forme x(t) = a e(t), où a (en V) est la valeur maximale de x(t) et e(t) un signal sans dimension. On a donc par définition e(t) max = 1. Enfin, on note F M (resp. F m ) la fréquence maximale (resp. minimale) apparaissant dans le spectre de x(t) (ou de e(t)). Le modulateur fournit en sortie le signal : s(t) = A cos(πf t + φ(t)) (II.1) où l'amplitude A du signal modulé est une constante (en V) et où l angle φ(t) est une fonction du signal modulant x(t) : φ(t) = g(x(t)). L'expression (III.) de s(t) est la représentation d une modulation angulaire à porteuse sinusoïdale. Le choix de la fonction g définit le type de modulation obtenu. On désigne également :! πf t + φ(t) comme la phase instantanée de s(t) et φ(t) comme la déviation de phase,! 1 dφ(t) (t) = f + comme la fréquence instantanée de s(t) et π dt fi 1 dφ(t) π dt comme la déviation de fréquence. ii) Modulation de phase (PM) On dit que l on a une modulation de phase si la déviation de phase ϕ(t) est proportionnelle à x(t), soit : φ(t) = k P a e(t) = φ e(t) (II.) Le coefficient k P s'exprime en rd.v -1 et l'excursion en phase φ en rd. La Figure II.5 rappelle l'évolution du signal modulé s(t) dans le cas d'une modulante en créneau (a) et d'une modulante sinusoïdale (b). Pour x(t) sinusoïdal, on a une "dilatation" de la période de la porteuse p(t), qui tend à augmenter quand x(t) décroît avec le temps et tend à se réduire quand x(t) croît. iii) Modulation de fréquence (FM). On dit que l on a une modulation de fréquence si la déviation de fréquence proportionnellement à x(t), soit : 1 dφ(t) π dt varie 1 dφ(t) = k F a e(t) = f e(t) (II.3) π dt Le coefficient k F s'exprime en Hz.V -1, et l'excursion en fréquence f en Hz. Dans ce cas la fréquence instantanée devient : f i (t) = f + f e(t) (II.4) -3 7

28 Si e(t) est symétrique (par exemple un cosinus), on a la double inégalité f - f f i (t) f + f. Enfin, la Figure II.6 rappelle l'évolution du signal modulé s(t) dans le cas d'une modulante x(t) en créneau (a) et d'une modulante sinusoïdale (b). Pour x(t) en créneau, la fréquence varie brusquement d'une valeur plus faible que celle f de la porteuse à une valeur plus grande que f, ou inversement, pour ω m t multiple de π. Pour x(t) sinusoïdal, les variations temporelles du signal modulé ressemblent à (mais ne sont pas strictement identiques à) celles obtenues dans le cas de la modulation PM dans les mêmes conditions (cf. Figure II.5(b)) à un déphasage de π/ près. a) PM, créneau b) PM, sinus Signaux (u.a.) Signaux (u.a.) π π 3π π π 3π ω m t (rd) ω m t (rd) Figure II.5 : Evolution temporelle d'un signal modulé s(t) dans le cas d'une modulation PM (lignes continues). Le signal modulant x(t) (tirets) a pour fréquence f m = ω m /π, sa forme est de type créneau ou sinusoïdale. Les amplitudes des signaux sont tracées en unité arbitraire (u. a.). a) FM, créneau b) FM, sinus Signaux (u.a.) Signaux (u.a.) π π 3π π π 3π ω m t (rd) ω m t (rd) Figure II.6 : Evolution temporelle d'un signal modulé s(t) dans le cas d'une modulation FM (lignes continues). Le signal modulant x(t) (tirets) a pour fréquence f m = ω m /π, sa forme est de type créneau ou sinusoïdale. Les amplitudes des signaux sont tracées en unité arbitraire (u. a.) b. Représentation temporelle i) Cas général Compte tenu des définitions précédentes, le signal modulé s'écrit sous la forme : s(t) = A cos(πf t + φ e(t)) (II.5) -3 8

29 s'il s'agit d'une modulation de phase, et sous la forme : t s (t) = A cos πf + π τ τ + φ t f e( ) d (II.6) s'il s'agit d'une modulation de fréquence (φ est une constante d'intégration). ii) Cas d'une modulante sinusoïdale Supposons que le signal modulant est sinusoïdal (ce qui est des plus rares en pratique ), soit e(t) = cos(πf m t). L'expression (II.5) s'écrit sous la forme : s(t) = A cos(πf t + φ cos(πf m t)) et l'expression (II.6) devient alors, après intégration : (II.7) f ( ) s (t) = A cos πft + sin πfm t + φ (II.8) Fm (le signal e(t) étant causal, on l'a considéré nul pour t < ). Si l'on compare (II.7) et (II.8), on peut constater que le rapport f F m en modulation FM est la valeur maximale de la déviation de phase (à la constante additive φ près). On définit alors souvent l'indice de modulation β comme étant égal à φ pour la modulation PM et FM. c. Aspect spectral i) Généralités f F m pour la modulation Une des principales difficultés apparaissant dans l'étude des modulations angulaires réside dans le fait que, contrairement au cas de la modulation AM, le calcul analytique de la représentation spectrale d'un signal modulé en PM ou FM est généralement complexe (on peut s'en convaincre rapidement avec l'exemple d'un signal modulant sinusoïdal), voire impossible. En conséquence, il est délicat à première vue de prévoir l'encombrement en fréquence du signal modulé, paramètre pourtant essentiel pour concevoir une chaîne de transmission. Dans le même ordre d'idée, les spectres de deux signaux modulés obtenus à partir de la même porteuse mais avec deux signaux modulants différents, x 1 (t) et x (t), ne sont pas "superposables", contrairement au cas de la modulation AM : le signal modulé en FM ou PM par x 1 (t) + x (t) n'a aucun lien simple avec la somme des signaux modulés par x 1 (t) et x (t), du fait de la non-linéarité des fonctions sinusoïdales. -3 9

30 Ajoutons pour l'anecdote que c'est notamment à cause de cette non superposabilité que le format télévision SECAM ne s'est pas imposé face au format PAL : pour réaliser un "fondu enchaîné", ou d'autres effets spéciaux, il faut mélanger plusieurs images, ce qui implique nécessairement en SECAM (modulation FM des signaux de chrominance dans la bande de base de la luminance) une démodulation avant la superposition des images puis une remodulation, alors qu'en PAL (modulation d'amplitude en quadrature des signaux de chrominance dans la bande de base de la luminance) on peut faire le mélange directement. En SECAM, après plusieurs opérations du type démodulation, mélange, remodulation, la qualité de l'image est sensiblement dégradée. ii) Cas d'un "ton pur" Plaçons nous dans le cas d'une modulation FM et supposons une nouvelle fois que le signal modulant est sinusoïdal, soit e(t) = cos(πf m t). Après quelques considérations bassement mathématiques que nous passerons sous silence, le signal s(t) peut donc s'écrire sous la forme : () β cos( πf t + πnf ) + J n mt n= s (t) = A (II.9) où J n est la fonction de Bessel de première espèce d'indice n, définie par : π 1 J n (x) = cos( x sin( θ) nθ) dθ (II.3) π Le spectre de s(t) est donc formé par une infinité de raies de Dirac présentes (en représentation unilatérale) en f + nf m, où n est un entier relatif, "d'amplitude" J n (β) (rappelons qu'une raie de Dirac est théoriquement de hauteur infinie, son "amplitude" est liée à la puissance qu'elle contient). Le spectre s'étend donc en théorie jusqu'à des fréquences infinies, son allure ressemble à celle présentée sur la Figure II.7. S a (f) A J -4 (β) A J - (β) A J (β) A J 1 (β) A J 3 (β) f f - 4F m f f + F m f + 4F m Figure II.7 : Allure typique du spectre d'un signal modulé en fréquence par une modulante sinusoïdale (avec une porteuse également sinusoïdale). La théorie détaillée des fonctions de Bessel ne présente pas un intérêt majeur dans le cas présent, nous allons nous contenter de rappeler quelques propriétés généraux importantes pour l'allure du spectre du signal modulé : -3 3

31 n! on a J ( β) = ( 1) J ( β), les raies dans le spectre de s(t) sont donc symétriques par rapport à n la fréquence f. n + n= n β =! Comme ( J ( )) 1 la puissance totale du signal modulé est celle de la sinusoïde porteuse, soit P s = A proportionnelles à ( ( ), l information utile se retrouve dans toutes les raies, avec des puissances J β. n )! Si β << 1, on a J (β) 1, J 1 (β) β/ et J n (β) << J 1 (β) pour n > 1. Si l'indice de modulation est très faible, le spectre n'est donc composé que de la raie centrale et des deux raies latérales les plus proches.! Comme lim ± J ( β) le maximum de puissance utile reste concentré sur les premières n n = raies autour de la porteuse. La variation des hauteurs de raies avec n n est cependant pas monotone pour n >. En particulier la raie de la porteuse est nulle pour β voisin de,4, zéro de la fonction de Bessel J. D'après cette dernière propriété, même si théoriquement le nombre de raies dans le spectre du signal modulé est infini, en pratique les raies très éloignées de la raie centrale ont des amplitudes négligeables et l'encombrement en fréquence "utile" de s(t) est fini. Si l'on trace l'amplitude J n (β) des raies en fonction de l'indice de modulation β (cf. Figure II.8), on comprend que le nombre de raies "significatives" est d'autant plus important que β est grand. Figure II.8 : Variations des fonctions de Bessel de première espèce (figure récupérée sur un document PDF de Pierre Cornélis, téléchargé sur Internet)

32 Carson a formalisé ces concepts en énonçant la règle pratique suivante : 98% de la puissance P S se trouve dans la bande de fréquence utile B u donnée par : B u = F m (β + 1) (II.31) La fréquence porteuse f est le centre de cette bande B u qui constitue l'encombrement spectral effectif de s(t). En d'autres termes, les seules raies d'amplitude non négligeable sont au nombre de (β e + 1), où β e est la partie entière de β, à gauche ou à droite de la raie correspondant à la porteuse, soit en tout (sans compter la porteuse) (β e + 1) raies. Cet encombrement en fréquences est à comparer avec celui d une modulation d amplitude : il est de plusieurs unités de fois plus important si β est grand, ce qui est généralement le cas adopté pour améliorer le rapport signal sur bruit après démodulation (amélioration qui n'est cependant possible que si le rapport signal sur bruit est suffisamment grand en entrée du démodulateur). Ce résultat est un inconvénient. En revanche, on est à l abri des fluctuations d amplitudes plus gênantes que les fluctuations de phase. Insistons enfin sur le fait que la règle de Carson, malgré sa base mathématique, reste un critère empirique. Pour preuve il existe d'autres critères pour définir l'encombrement en fréquence utile du signal modulé. La règle de Carson est cependant la plus connue et la plus utilisée. iii) Cas général Pour e(t) quelconque, en PM, l'indice de modulation β reste toujours défini, il est égal à l'excursion en phase φ, même si la modulante n'est pas sinusoïdale. L'encombrement spectral peut toujours être donné par la règle de Carson, c'est-à-dire par l'expression (III.16). Pour étudier la modulation FM dans le cas d'un signal modulant x(t) quelconque, il n'est évidemment pas possible de calculer l'intégrale apparaissant dans (III.7), pour ensuite en déduire une expression plus simple telle que (III.9). On peut cependant définir un indice de modulation généralisé, ou "nominal", β nom comme le rapport entre l'excursion en fréquence f et la valeur de la fréquence maximale F M apparaissant dans le spectre de x(t), soit : f β nom = (II.3) F M L'utilisation de la règle de Carson avec cet indice permet d'obtenir un ordre de grandeur maximal de l encombrement en fréquence, donné alors par : B u = F M (β nom + 1) = ( f + F M ) (II.33) Notons que dans ce cas on doit avoir non seulement F M << f comme en modulation AM, mais aussi f << f pour que les composantes spectrales de s(t) centrées en ±f ne se mélangent pas. -3 3

33 Dans les deux cas on n a en revanche aucune information sur la répartition de la puissance sur le spectre. Notons également que B u est toujours strictement supérieur à l'occupation spectrale B AM obtenue dans le cas d'une modulation d'amplitude (de F M à F M suivant le type d'am). B u peut même être très grand devant B AM si l'indice de modulation β nom est grand devant 1. Considérons par exemple le cas de la radiodiffusion de signaux audio dans la bande FM (88 à 18 MHz). La fréquence maximale du signal modulant est F M = 15 khz, l'excursion en fréquence est f = 75 khz. L'indice de modulation nominal β nom est donc égal à 5 et la bande utile B u de Carson à 18 khz. Cette valeur est plus importante que l'encombrement en fréquence obtenu en radiodiffusion AM à double bande latérale, soit B AM = 3 khz. d. Préaccentuation - désaccentuation en FM Dans le cas des modulations angulaire à faible indice de modulation, on peut démontrer sous réserve d'une petite approximation que la transformée de Fourier du signal s(t) s'écrit sous la forme : A S(f ) = ( δ(f f ) + δ(f f ) + j φ ( E(f f ) + E(f + f ) ) (II.34) pour la modulation PM et, A E(f f ) E(f + f ) S(f ) = δ(f f ) + δ(f f ) + j f + (II.35) j(f f ) j(f + f ) pour la modulation FM. Le spectre du signal modulant e(t) apparaît donc de façon déformée dans s(t) : les composantes spectrales proches de la fréquence minimale F m dans la bande de base de e(t) sont amplifiées alors que celles proches de la fréquence maximale F M sont réduites (cf. Figure II.9). S a (f) PM E(f) "faible indice" f - F M f f + F M f S a (f) -F M F M f FM "faible indice" f - F M f f + F M Figure II.9 : Spectres des signaux modulant et modulé dans le cas d'une modulation angulaire à faible indice. Pour simplifier le schéma, le spectre du signal modulant est supposé de forme rectangulaire. f -3 33