Le second degré. Exercices de révision

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1 Première stl Le second degré Exercices de révision Exercice 1 : Pour chacun des trinômes suivants, donner les racines éventuelles, la factorisation quand elle est possible et le tableau de signe. Préciser ensuite l abscisse et l ordonnée du sommet de la parabole et si ce sommet donne un minimum ou un maximum pour la fonction. a) x² + x 6 b) x² - 7x + c) -x² + 7x + 1 d) 3x² + 11x + 10 e) 4x² - 16x + 16 f) x² + 4x + g) -x² + x - 3 h) - x² - x + Exercice : Résoudre les inéquations suivantes. a) d) x 8x b) x 7x + 10 < 0 e) x + x 3 < 0 c) x 6x 17x 1 x + 30x + 9 > 0 9x + 1 x + 14 > x f) ( )( ) g) ( )( ) h) ( )( ) x x 3 x x 0 x + 8x 17 x + 0 i) x + 18x x 7 j) 3x + 11x 4 0 x x + 7 Exercice 3 : Résoudre les équations suivantes. a) 4 x 8x + 1 = 0 b) Exercice 4 : 4 x 8x 9 = 0 c) 4 x + 8x + 1 = 0 Exercice :

2 Exercice 6 : Exercice 7 : Exercice 8 :

3 Première stl Le second degré Correction des exercices de révision Exercice 1 : a) x² + x 6 = 0 signes est : = 49 = 7 > 0. Deux racines -6 et 1. La factorisation est f (x) = ( x + 6)( x 1). Le tableau de x x^+x = et l ordonnée est f = + 6 =. Comme a = 1 > 0, le sommet est un 4 minimum. (La parabole est tournée vers le haut.) b) x² - 7x + = 0 de signes est : = 9 = 3 > 0. Deux solutions 1 et,. La factorisation est f (x) = ( x 1)( x, ). Le tableau x x^-7x = et l ordonnée est f = 7 + =. Comme a = 1 > 0, le sommet est un minimum. (La parabole est tournée vers le haut.) c) -x² + 7x + 1 = 0 tableau de signes est : 1 = 89 = 17 > 0. Deux solutions -1 et 1/. La factorisation est f (x) = ( x + 1) x. Le x x^+7x = = 0,7 et l ordonnée est f = = = 14, 4. Comme a = - <0, le sommet est un maximum. (La parabole est tournée vers le bas.) d) 3x² + 11x + 10 = 0 de signes est : = 1 = 1 > 0. Deux solutions - et -/3. La factorisation est f (x) = 3( x + ) x + x Le tableau 3x^+11x = et l ordonnée est f = =. Comme a = 3 > 0, le sommet est un minimum. (La parabole est tournée vers le haut.) e) 4x² - 16x + 16 = 0 0 =. Une solutions. La factorisation est f (x) 4( x ) x - + =. Le tableau de signes est : 16 8 est tournée vers le haut.) 4x^-16x+16 0 = = et l ordonnée est ( ) f = 0. Comme a = 4 > 0, le sommet est un minimum. (La parabole

4 f) x² + 4x + = 0 = 4 < 0. Pas de solution et pas de factorisation. Le tableau de signes est : x - + x^+4x+ 4 minimum. (La parabole est tournée vers le haut.) = = et l ordonnée est ( ) ( ) ( ) f = = 1. Comme a = 1 > 0, le sommet est un g) -x² + x - 3 = 0 = 11 < 0. Pas de solution et pas de factorisation. Le tableau de signes est : x - + -x^+x = et l ordonnée est f = + 3 =. Comme a = -1 <0, le sommet est un 4 maximum. (La parabole est tournée vers le bas.) h) - x² - x + = 0 = 1 > 0. Deux solutions 1 3 et La factorisation est f (x) = ( x )( x + 1 3). Le tableau de signes est : x maximum. (La parabole est tournée vers le bas.) Exercice : Résoudre les inéquations suivantes. a) -x^-x+ 0 0 = = et l ordonnée est ( ) ( ) ( ) x 8x ; = 36 = 6 > 0. Deux solutions 1 et 7. Le tableau de signes est : f 1 = = 3. Comme a = -1 <0, le sommet est un x S = ] ;1] [ 7; + [ x^-8x b) x + x 3 < 0 ; = 6 < 0. Pas de solution. Le trinôme est du signe de a = - <0. Le tableau de signes est : Tous les nombres sont solutions : S =R x - + c) x + 30x + 9 = 0. Une solution 3. Le trinôme est du signe de a = > 0 partout ailleurs. Le tableau de signes est : x x^+x S = ; ; + x^+30x+9 0 d) x 7x + 10 < 0 ; = 9 = 3 > 0. Deux solutions et. Le tableau de signes est : S = ] ;[ x - + x^-7x

5 e) x + 6x 17x + 1. Il faut préparer l inéquation : x + 6x 17x 1 0 ssi = 169 = 13 > 0. Deux solutions -1 et 1. Le tableau de signes est : x 11x 1 0. x S = ] ; 1] [ 1; + [ x^-11x f) ( 9x + 1)( x + 14) > x + 8 Il faut préparer l inéquation : ssi 9x 17x 14 > 0. 9x 16x + x + 14 > x + 8 ssi = 16 = 1 > 0. Deux solutions -14 et -1/9. Le tableau de signes est : 9x 1x + 14 x 8 > 0 1 S = 14; 9 x x^-17x g) ( )( ) x + x + 3 x + x 0. Déterminons les racines des trinômes : x + x + 3 = 0 ; = 1 = 1 > 0. Deux solutions -3/ et -1. x + x = 0 = 9 = 3 > 0. Deux solutions - et 1. Attention de bien classer ces valeurs dans le tableau de signes : x x^+x x^+x- 0 0 P S = ; 1;1 [ ] h) ( )( ) x + 8x 17 x + 0. x + 8x 17 = 0 ; = 76 < 0. Pas de solution. x + = 0 donne x = -. S = ] ; ] x x^+8x-17 x+ 0 (-x^+8x-17)*(x+) 0 x + 18x + 13 i) 0. Déterminons les éventuelles racines et valeurs interdites. x 7 x + 18x + 13 = 0 ; = 64 = 8 > 0. Deux solutions -13/ et -1. x 7 0 x 7. 7 est une valeur interdite. Attention de bien classer ces valeurs dans le tableau de signes : x x^+18x x-7 0 (x^+18x+13)/(x-7) S = ; 1;7 [ [

6 3x + 11x 4 j) 0 Déterminons les éventuelles racines et valeurs interdites. x x + 7 3x + 11x 4 = 0 ; x x + 7 = 0 ; = 169 = 13 > 0. Deux solutions -4 et 1/3. = 81 = 9 > 0. Deux interdites -7/ et 1.Attention de bien classer ces valeurs dans le tableau de signes : x x^+11x x^-x Q S = 4; ;1 3 Exercice 3 : Résoudre les équations suivantes. 4 a) x 8x + 1 = 0 On pose X = x alors X 4 = x. L équation devient : X1 = et X = 6. Revenons à la première variable : x = et Il y a 4 solutions. 4 b) x 8x 9 = 0 On pose X = x alors X 4 = x. L équation devient : X1 = 1 et X = 9. Revenons à la première variable : x = 1 (impossible) et Il y a solutions. 4 c) x + 8x + 1 = 0 On pose X = x alors X 4 = x. L équation devient : X1 = 6 et X =. Revenons à la première variable : Exercice 4 : X 8X + 1 = 0. Alors = 16 > 0. Il y a racines : x = 6 alors x = ou x = ou x = 6 ou x = 6. X 8X 9 = 0. Alors = 100 > 0. Il y a racines : x = 9 alors x = 9 = 3 ou x = 9 = 3. X + 8X + 1 = 0. Alors = 16 > 0. Il y a racines : x 6 = (impossible) et x = (impossible). Il n y a pas de solutions. 1 Calculons = = = 10 > 0 alors il y a deux racines donc la parabole coupe l axe des abscisses en points. 4 Donc la bonne courbe est la a).

7 Exercice : x 1 x = x x x + = x 6x + = x 30x +. a) En développant : ( )( ) ( ) ( ) 30 = = 3 et a = 1 > 0 donc on a un minimum et la fonction f correspond b) = = 3 et a = -1 < 0 donc on a un maximum et la fonction h correspond. c) En développant : ( 7 x)( 3 x) = 1 7x 3x + x = x 10x = = et a = 1 > 0 donc on a un minimum et la fonction g correspond. d) L abscisse du sommet est -1 (c est la valeur qui annule le carré de la forme canonique) et a = -1 < 0 donc cette expression ne correspond à aucun tableau. Exercice 6 : f (x) = ax + bx + c donc f (0) = c. Selon le tableau, c = - 1. Les valeurs de f diminue puis augmentent donc cela suggère que le sommet est un minimum alors le signe de a est positif. b Ensuite, l abscisse de minimum est situé entre 0 et ou entre et donc il est positif. Or x0 =. Comme a > 0, pour que a cette abscisse reste positive, il faut que b > 0 donc b < 0.

8 Exercice 7 : 1) La courbe coupe l axe des abscisses en deux points distincts donc > 0 et comme il y a un minimum alors a > 0. ) La courbe ne coupe pas l axe des abscisses donc < 0 et comme il y a un maximum alors a < 0. Exercice 8 : (A) = 4 > 0 donc la courbe coupe l axe des abscisses en deux points. a = 1 > 0 donc le sommet est un minimum. c = 8 donc la courbe coupe l axe des ordonnées en y = 8 alors la courbe 4 correspond. x x 4 = x 4x x + 8 = x 6x + 8 = x 1x + 16 ; = 16 > 0 donc la courbe coupe l axe des (B) ( )( ) ( ) ( ) abscisses en deux points. a = > 0 donc le sommet est un minimum. c = 16 donc la courbe coupe l axe des ordonnées en y = 16 alors la courbe 1 devrait correspondre. (C) = 4 < 0 donc la courbe ne coupe pas l axe des abscisses. a = 1 > 0 donc le sommet est un minimum. Alors la courbe correspond. (D) = 4 > 0 donc la courbe coupe l axe des abscisses en deux points. a = -1 < 0 donc le sommet est un maximum. Alors la courbe 3 correspond.