CHAPITRE 1 IDENTITES REMARQUABLES

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1 HAPITRE 1 IDENTITES REMARQUABLES 1. Les Quatificateurs L expressio «quel que soit» ou «pour tout» se ote par le symbole : ce symbole est u quatificateur (dit uiversel). L expressio «il existe au mois u» se ote par le symbole : ce symbole est aussi u quatificateur (dit existetiel).. Factorielle d u etier aturel.1. Défiitio Soit u etier aturel supérieur ou égal à. Le ombre appelé facorielle et oté! est le produit de tous les etiers aturels de 1 à. { } N 0;1! = 1x x... x avec 0! = 1 et 1! = 1.. Relatio de récurrece E utilisat l associativité du produit, o peut écrire [ ] pour 1x x... x= 1x x... x( 1) x soit Gérard Hirsch Maths54 1

2 { 0;1 }! [ ( 1)! ] N = x ette relatio de récurrece permet u calcul rapide d ue valeur de factorielle, après avoir calculé les valeurs des (-1) factorielles précédetes..3. Petite table de factorielle Il est souhaitable de coaitre les valeurs des premières factorielles 0! = 1 1! = 1! = 3! = 6 4! = 4 5! = 10 6! = 70 7! = 5040 Simplifier l écriture du ombre suivat (sas utiliser la calculatrice) 1! A = 19! O peut simplifier le umérateur et le déomiateur de cette fractio par les facteurs multiplicatifs commus1xx3 x... x 19 : Il reste A= 1x0 = 40 Ecrire sous forme d u quotiet de factorielles, le ombre suivat : B = 50x49x4 O multiplie et o divise par le même ombre o ul 1x x... x 47 et l o trouve 50! B = 47! Gérard Hirsch Maths54

3 Exprimer e foctio de et sas le symbole factorielle, les ombres suivats : ( + 1)!! ( 1)!! X = + puis Y = ( )! ( 1)!! ( + 1)! Les factorielles e portet que sur des ombres N, doc des ombres positifs ou uls. L expressio X a de ses que si D après la relatio de récurrece : N { 0;1 }! = [ ( 1)! ]! = ( 1)! et N { 0,1} De même N { } [ ] x 0,1 ( + 1)! = ( )! x( 1) xx( + 1) ( + 1)! N 0,1 = ( 1) xx( + 1) = ( )! et { } 3 soit { } 3 3 N 0,1 X = + = L expressio Y a de ses que si N { 0 } Y = = = + 1 ( + 1) ( + 1) 3. LE TRIANGLE de PASAL 3.1. Les OMBINAISONS Soit E u esemble o vide coteat élémets et u etier aturel tel que 0 Ue combiaiso à élémets de E est ue partie (o ordoée) de E formée de élémets. Gérard Hirsch Maths54 3

4 Défiitio O appelle coefficiet biomial ou ombre de combiaisos à élémets de E, et o ote ou ecore, le ombre etier égal à :! ( 1)...( + 1) = =!( )!! avec 0 l idice est e lige (ou ecore e abscisse) et e coloe (ou ecore e ordoée) 3 7 7! 7x6/ x5 = = = 35 3! 4! 1x/ x3/ Propriété Quelques propriétés des coefficiets biomiaux : 0 1 N = 1 et N = = 1 N = etier vérifiat 0 (symétrie sur ue lige) 1 N = etier vérifiat Le TRIANGLE de PASAL Les coefficiets sot doés par le triagle de Pascal gééré à partir des formules 0 1 = 1 et 1 = 1 N 1 = Pour obteir le terme du triagle de Pascal, il suffit d additioer le terme immédiatemet au dessus de celui-ci (e l occurrece 1 ) et le terme à gauche de ce derier (e l occurrece ) 1 1 Gérard Hirsch Maths54 4

5 RAPPEL l idice est l idice de lige (ou ecore l abscisse) et l idice de coloe (ou ecore l ordoée) Nous doos ci-dessous le triagle de Pascal jusqu'à la lige col0 col1 col col3 col4 col5 col6 col7 col lig0 1 lig1 1 1 lig 1 1 lig lig lig lig lig lig Remarque das le triagle de Pascal, les coefficiets sot obteus e effectuat uiquemet des additios o peut obteir directemet les coefficiets de la lige du triagle de Pascal, sas calculer les coefficiets des (-1) liges précédetes e utilisat la formule suivate : = ( ) etier vérifiat 1 Les coefficiets du triagle de Pascal sot alors obteus e effectuat uiquemet des multiplicatios. Gérard Hirsch Maths54 5

6 4. FORMULE du BINOME de NEWTON Soit a et b deux ombres réels (et par la suite, évetuellemet complexes) Partos de l idetité remarquable : ( a+ b) = a + ab+ b O e déduit e multipliat les deux membres de l égalité précédete par ( a+ b) puis : ( a+ b) = a + 3a b+ 3ab + b ( a+ b) = a + 4a b+ 6a b + 4ab + b et plus gééralemet, o peut motrer par récurrece ( a+ b) = a b = a + a b a b b Les coefficiets état les coefficiets biomiaux du paragraphe précédet Remarque Das la formule du biôme de Newto, les ombres a et b ot u rôle symétrique ( ) a+ b = ( b+ a), et l o peut aussi écrire : ( a+ b) = a b = b + ab a b a pour = 5 alors mais aussi, e chageat b e ( a+ b) = a + 5a b+ 10a b + 10a b + 5ab + b b ( a b) = a 5a b+ 10a b 10a b + 5ab b Ecrire les formules doat ( a + b) puis ( a b) 6 6 Gérard Hirsch Maths54 6

7 Développer suivat la formule du biôme de Newto 5 (3x ) O utilise la formule du biôme de Newto et le triagle de Pascal ( a b) = a 5a b+ 10a b 10a b + 5ab b et pour a = 3x et b= (3x ) = (3 x) 5(3 x).() + 10(3 x).( ) 10(3 x).( ) + 5(3 x). ( ) soit (3x ) 5 = 43x 5 10x x 3 70x + 40x 3 Quel est le coefficiet du terme e 6 x das le développemet de ( x + ) Appliquos la formule du biôme de Newto e remplaçat par, a par x et b par ( a b) a b + = ( x ) x + = Le coefficiet du terme e e coefficiet est doc Puisque 6 x correspod à la valeur = ()! x7 = = =!6! 1x Le coefficiet du terme e 6 x das le développemet de ( x + ) est x 4 = 11 Repreos la formule du biôme de Newto Pour a = b= 1, o obtiet ( a b) a b + = N = (1 + 1) = = Gérard Hirsch Maths54 7

8 De même, pour a= 1 et b= 1, o obtiet 0 (1 1) ( 1)... ( 1) ( 1) N = = = E effectuat la demi-somme des deux derières formules, o obtiet N = = et par demi-différece de ces deux mêmes formules N = = O obtiet aussi, pour a= 1 et b= 3 (1 ) N = + = = et bie d autres formules que l o utilisera das la suite du cours 5. AUTRES IDENTITES REMARQUABLES Partos de la somme des termes cosécutifs d ue suite géométrique 1 1 q q = + q+ + q = si q N 1 q \ 1 { } O e déduit : q N q = q + q+ + q 1 1 (1 )(1... ) Et e posat b q = a 1 b b b b 1 = (1 )( ) a a a a E multipliat chacu des membres de l égalité précédete par 1 1 = ( )( ) a b a b a a b ab b O retiedra tout particulièremet les idetités remarquables obteues pour = puis =3 = ( )( + ) a b a b a b 3 3 a b = ( a b)( a + ab+ b ) a Gérard Hirsch Maths54

9 Et e chageat b e b (uiquemet pour impair) 3 3 a + b = ( a+ b)( a ab+ b ) Les idetités remarquables 1 = ( 1)( + 1) x x x 1 = ( 1)( + + 1) 3 x x x x + 1 = ( + 1)( + 1) 3 x x x x sot à coaître à tout momet. Gérard Hirsch Maths54 9