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1 C - Vecteurs et droites TD 1S 1 Retour sur les vecteurs Quand rien n est signalé, le repère O, ı, j est quelconque. Exercice n 1 : Comme en seconde.... Soit A1; 5, B 5; 3 et C0;. 1. Déterminer les coordonnées de AB et de AC.. Déterminer les coordonnées du point M tel que AM = AB + AC. 3. Quelle est la nature du quadrilatère ABMN? Justifier! Exercice n : Trivialement vôtre... Le plan est muni d un repère quelconque. On donne les points A 5; 3, B 4; 1 et C1; Déterminer les coordonnées de I, milieu de [AC].. Déterminer les coordonnées de D tel que ABCD soit un parallélogramme. Exercice n 3 : Complètement normé ;-... Dans un repère orthonormal O, ı, j Calculer la norme de u et de v ; 3.. A; 3, B6; 3 et C3; 5. a Montrer que le triangle ABC est rectangle. b Déterminer les caractéristiques du cercle circonscrit au triangle ABC. Exercice n 4 : Souvenirs souvenirs.... Le plan est muni du repère O, ı, j. Soient les points A 9; 10, B; 9, C5; 3, D 1; 8 et E3; Les points C, D et E sont-ils alignés?. Les droites AB et CD sont-elles parallèles? Exercice n 5 : Méthodique!... Le plan est muni du repère O, ı, j. On considère les points A ;, B 3; 3, C5; 1 et D; 4. E est le milieu du segment [BC]. 1. Montrer que AD et BC sont colinéaires. Que peut-on en déduire pour le quadrilatère ABCD?. Montrer que ABED est un parallélogramme. 3. Déterminer si O appartient à la droite AE. Exercice n 6 : Des équations Déterminer la valeur α telle que les vecteurs u 1 ; 1 et v α ; α + 1 soient colinéaires.. Soit Ax; 5, B; 4, C3; x 1 et D; 1. Pour quelles valeurs de x, les droites AB et CD sont-elles parallèles? Exercice n 7 : À votre repère.... ABCD est un parallélogramme. A est le symétrique de A par rapport à B et E est le milieu de [BC]. 1. Déterminer les coordonnées des points A, E et D dans le repère A; AB, AD. Montrer que les points A, E et D sont alignés Exercice n 8 : Un peu d initiative... ABC est un triangle. Les points I et J sont tels que AI = 1 AB et AJ = 4 AC Après avoir tracé la figure, faire une conjecture.. Prouver la. N. SANS page 1 Lycée Jean Giono Turin

2 C - Vecteurs et droites TD 1S Problème 1 : À quoi sert-il? On se place dans un repère orthonormé du plan. Elisa a rentré le programme suivant dans sa calculatrice CASIO. ClrText "A="? A "B="? B "C="? C "D="? D A +B E C +D F If E=F Then "... : " E Else "..." IfEnd Compléter cet algorithme et donner son rôle. Problème : À vous d écrire On se place dans un repère quelconque du plan. 1. Écrire un algorithme permettant de tester la colinéarité de deux vecteurs connaissant leurs coordonnées.. Programmer cette l algorithme avec votre calculatrice Le tester avec u et v puis u et v Améliorer votre algorithme afin de tester l alignement de trois points connaissant leur coordonnées.. Vive la décomposition Exercice n 9 : Du nouveau Les points A, B, C et D étant donnés avec les droites AB et CD non parallèles, montrer dans chaque cas que u et v sont colinéaires : 1. u = AB 4CD et v = AB +CD. u = 4 AB 6CD et v = 6AB 9CD 3. u = 5 AB CD et v = 1 AB + CD Exercice n 10 : Décomposition par lecture graphique Exprimer en fonction des vecteurs i et j les vecteurs u, v et w. u v j i w Exercice n 11 : Vrai ou faux? A, B et C sont trois points du plan non alignés. Préciser si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. a Si u = AB + BC alors u = AB + AC. b Si v = 3 BC +4AC alors v = 3AB +7AC N. SANS page Lycée Jean Giono Turin

3 C - Vecteurs et droites TD 1S. u et v sont deux vecteurs non colinéaires. A, B, C et D sont des points. Préciser si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. 1 a Si AB = u 3 v et BC = 3 u 1 v alors A, B et C sont alignés. 15 b Si CB = u+5 v et AD = 3 u v alors les points A, B, C et D sont alignés. Exercice n 1 : À votre décomposition Écrire les vecteurs u, v, w, x et t en fonction des seuls vecteurs AB et AC. u = AB 1 3AC + BC. w = v = 5 AB 5BC + CA. x = 5AB + AB. AB +3CA BC. t = AB 1 BC 1 CA. Exercice n 13 : Un classique Soit B et C deux points distincts du plan, construire le point F tel que 3FB FC = 0 Exercice n 14 : Complètement décomposé! A, B et C sont trois points non alignés. 1. Construire les points D, E et F tels que AD = 3 3 AB, AE = AC et BF = BC.. Démontrer que les points D, E et F sont alignés. Exercice n 15 : Pour votre plaisir.... Soit ABC un triangle non aplati A, B et C non alignés et les points D et E tels que : AD = 5 AC + 3 CB et CE = 1 BA AC + CB 1. Faire un dessin. Conjecturer le lien entre les points B, D et E.. Nous allons démontrer la conjecture du point précédent. a Exprimer ED en fonction des seuls vecteurs AB et AC. b Exprimer BD en fonction des seuls vecteurs AB et AC. c Conclure. Exercice n 16 : Un petit dernier!... Soit RST un triangle non aplati et K le milieu du segment [RS]. 1. Construire les points H et L tels que TH = 3 TR et SL = ST.. Démontrer que TR+ TS = TK. 3. Démontrer que les droites HL et TK sont parallèles. Exercice n 17 : Décomposition et repère A, B et C trois points non alignés. On considère les vecteurs u, v et w tels que : u = 1 AB +3CA ; v = AB 3 3 CB ; w = BA CB + CA Pourquoi tout vecteur du plan peut-il s écrire comme combinaison linéaire de AB et AC.. Exprimer u, v et w en fonction des vecteurs AB et AC. Propriété 1 Soit un repère O, ı, j, le point M a pour coordonnées x ; y si et seulement si OM = x ı+y j. 3. Donner les coordonnées de A, B, C, AB, AC, u et v dans le repère A; AB, AC. N. SANS page 3 Lycée Jean Giono Turin

4 C - Vecteurs et droites TD 1S Exercice n 18 : À vous de décomposer... On considère un triangle AGF non aplati. 1. Placer sur la figure ci-contre les points B et C tels que AB = AG+ AF et 1 GC = GF. 3. Exprimer le vecteur AC en fonction des vecteurs AG et AF. 3. En déduire une relation de colinéarité entre AB et AC. G A F 4. Justifier le fait que les points A, B et C soient alignés. Exercice n 19 : Encore et encore ABCD est un parallélogramme. A est le symétrique de A par rapport à B et E est le milieu de [BC]. D C 1. Construire A et E.. Exprimer DE en fonction des vecteurs AB et AD. 3. Exprimer DA en fonction des vecteurs AB et AD. 4. Conclure. A B Exercice n 0 : Un peu plus dur Soit ABC un triangle non aplati. Soit les points E, F et G tels que : BE = 1 AB ; FB + FC = 0 et AG = 3 AC Construire une figure.. Exprimer les vecteurs GF et FE en fonction de AB et AC. 3. Démontrer que les points E, F et G sont alignés. Problème 3 : Avec geogebra 1. Placer deux points A et B, créer le segment [AB], créer un point M mobile dans le plan, créer les vecteurs MA et MB.. Créer le point D tel que MD = MA+ MB. 3. Dans quel cas, a-t-on MA+ MB = 0? 4. Conjecturer une formule de MA+ MB sans utiliser le point D mais un autre point plus judicieux. 5. Démontrer votre conjecture. Problème 4 : Autonomie totale Soient ABCD un parallélogramme, E le point tel que : AE = 1 AC et I le milieu de [AB] Faire une conjecture.. La démontrer. N. SANS page 4 Lycée Jean Giono Turin

5 C - Vecteurs et droites TD 1S 3 Équations cartésiennes Activité n 1 : Caractériser un ensemble de points.... Dans un repère du plan O, ı, 3 j, on considère le point A 1 ; 1 et le vecteur u. 1 L objectif est de découvrir l ensemble E des points M tels que AM = k u avec k R. 1. a En utilisant geogebra, construire le point A, le vecteur u, un curseur pour le réel k et le point M tel que AM = k u. b En activant la trace du point M et en animant le curseur, conjecturer l ensemble E.. a Si le point M appartient à l ensemble E que peut-on en déduire pour les vecteurs AM et u. b La réciproque est-elle vraie? c Compléter : Le point M appartient à l ensemble E si et seulement si les vecteurs a Déterminer les coordonnées du point B tel que AB = u. b Démontrer que M appartient à la droite AB si et seulement si les vecteurs AM et u sont colinéaires. c Conclure sur la nature de l ensemble E. 4. Démontrer que M x ; y appartient à E si et seulement si x 3y +4 = 0. Exercice n 1 : Du tracé.... Dans un repère, on considère le point A ; 3. Tracer les droites 1,, 3 et 4 passant par le point A et de vecteur directeur respectif : u 1 ; 1 u ; 0 u 3 et u Exercice n : De la lecture.... Pour chacune des droites d 1, d, d 3 et d 4, trouver 3 vecteurs directeurs. d 4 d 1 1 d 3 d Exercice n 3 : Des vecteurs directeurs... Indiquer si le vecteur u est un vecteur directeur de la droite AB. a A 5; 1, B 1; 9 et u7 ; 3. b A 1; 3, B 1; 3 et u3 ; 0. Exercice n 4 : Vecteur directeur à partir d une équation cartésienne... Pour chacune des droites suivantes dont on donne une équation cartésienne, donner un vecteur directeur. d 1 : x 3y 5 = 0 d : y = 3x+1 d 3 : 7x 3 = 0. Exercice n 5 : Un classique Soit la droite d d équation cartésienne 3x + y 6 = Déterminer les points d intersection de d avec les axes du repère.. Donner un vecteur directeur de la droite d. 3. Déterminer le vecteur directeur de la droite d ayant pour ordonnée 3. Exercice n 6 : Un point sur une droite Dans chaque cas, indiquer si le point A appartient ou non à la droite d. 1. A ; 1 et la droite d d équation cartésienne : 4x + 3y 5 = 0. N. SANS page 5 Lycée Jean Giono Turin

6 C - Vecteurs et droites TD 1S. A ; 1 et la droite d d équation cartésienne : 4x 6 = A 3; 0 et la droite d d équation cartésienne : 4x 3y+ 3 = 0. Exercice n 7 : Un algorithme pratique Écrire en langage naturel un algorithme demandant les coordonnées d un point et une équation cartésienne d une droite puis renvoyant un message précisant si le point est oui ou non sur cette droite.. Traduire l algorithme précédent avec votre calculatrice. Exercice n 8 : Détermination d équation Dans chaque cas, déterminer une équation cartésienne de : 1. la droite d passant par A ; 3 et de vecteur directeur u 1 ; 3.. la droite BC avec B ; 3 et C 0; la droite D passant par E ; 0 et parallèle à la droite : 3x 4y+1 = 0 Exercice n 9 : Encore un algorithme Écrire en langage naturel un algorithme demandant les coordonnées d un point A et d un vecteur u puis renvoyant une équation cartésienne de la droite passant par A et ayant comme vecteur directeur u.. Traduire l algorithme précédent avec votre calculatrice. Exercice n 30 : Lien avec y = ax+b ou x = c.... Soit trois réels α, β et γ tels que α; β 0; 0. On considère la droite D d équation cartésienne αx + βy + γ = Dans le cas où β = 0. a Montrer que α 0. b Vérifier que la droite D a une équation de la forme x = c. c Déterminer un vecteur directeur de cette droite.. Dans la cas où β 0. a Montrer que la droite D a pour équation réduite y = ax+b. b Donner un vecteur directeur de cette droite. c Établir un lien entre un vecteur directeur et le coefficient directeur d une droite. 3. Soit la droite d équation réduite y = x. Donner un vecteur directeur de. 3 Exercice n 31 : Positions relatives de deux droites... Dans chaque cas, tracer les deux droites dans un même repère puis déterminer la positon relative des deux droites et enfin déterminer le cas échéant les coordonnées du point d intersection. 1. D 1 : x+y = 0 et D : x+3y +6 = 0.. D 3 : y = x et D 4 : 3x+3y 6 = D 5 : x+3y 3 = 0 et D 6 : 3x+6 = 0. Dans les exercices suivants, le plan est muni d un repère orthonormé. Exercice n 3 : Avec un cercle On donne Ω; Déterminer une équation du cercle C de centre Ω et de rayon r = 5.. Démontrer que le point A ; 0 est un point du cercle C. Exercice n 33 : Des intersections Trouver une équation du cercle C de centre A1; et de rayon 3 et déterminer les coordonnées des points d intersection de C avec les axes de coordonnées. Exercice n 34 : Cercles ou non.... Les équations suivantes sont des équations de cercle. Si oui, préciser le centre et le rayon du cercle : x +y x 6y +5 = 0 ; x +y x 3y+3 = 0 et x +y x+8y +10 = 0. N. SANS page 6 Lycée Jean Giono Turin

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