Placements à intérêts simples ou composés Annuités

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1 Chapire 10 Placemens à inérês simples ou composés Annuiés Sommaire 10.1 Inérês simples Valeur acquise par un capial placé Calcul d un aux proporionnel Inérês composés Valeur acquise par un capial placé Valeur acuelle d un capial placé Taux équivalen Annuiés Définiions e noaions Valeur acquise par une suie d annuiés consanes de placemen Valeur acuelle d une suie d annuiés consanes de remboursemen d un emprun Amorissemen d un emprun par annuiés consanes Exercices Inérês simples ou composés Annuiés Travaux dirigés

2 10.1 Inérês simples BTS Compabilié Gesion 10.1 Inérês simples Dans le cas de cerains placemens à cour erme (inférieur à un an) ou pour des empruns d Éa, on praique des inérês simples, proporionnels à la durée du placemen Valeur acquise par un capial placé Définiion Placer un capial C 0 avec inérês simples au aux sur une période (un jour, un mois, un rimesre, ec.), signifie que, pour chaque période, l inérê perçu es le même e égal à C 0. Propriéé Soi le aux d inérês simples sur une période (un jour, un mois, un rimesre, ec.). La valeur acquise C n du capial pour le placemen d un capial C 0 sur une durée de n périodes es C n = C 0 (1+ n). L inérê acquis I n par ce capial es I n = C n C 0 = C 0 n. Remarque. Les capiaux disponibles successifs au bou d une période, de deux périodes,..., de n périodes : C 1, C 2,..., C n son les ermes successifs d une suie arihméique de premier erme C 0 e de raison C 0. Exemple On place un capial de à inérês simples au aux mensuel de 0,5 %. Calculer le monan du capial e l inérê perçu au bou d un an Calcul d un aux proporionnel Propriéé Placer une somme aux aux annuel a, revien à placer cee somme à inérês simples au aux mensuel proporionnel m = a 12. Exemple On place à inérês simples pour une période de 2 mois au aux annuel de 3 %. Calculer l inérê perçu au bou de 2 mois si l on applique un aux proporionnel Inérês composés Dans le cas de placemens à long erme, on praique des inérês composés Valeur acquise par un capial placé Définiion Placer un capial C 0 avec inérês composés au aux sur une période (un jour, un mois, un rimesre, ec.), signifie que les inérês d une période s ajouen au capial e que, la période suivane, ils rapporen eux aussi des inérês. Propriéé Soi le aux d inérês composés sur une période (un jour, un mois, un rimesre, ec.). La valeur acquise C n du capial pour le placemen d un capial C 0 sur une durée de n périodes es C n = C 0 (1+ ) n. L inérê acquis par ce capial es I n = C n C 0 = C 0 [(1+ ) n 1]. 118 hp://perpendiculaires.free.fr/

3 BTS Compabilié Gesion 10.3 Annuiés Remarque. Les capiaux disponibles successifs au bou d une période, de deux périodes,..., de n périodes : C 1, C 2,..., C n son les ermes successifs d une suie géomérique de premier erme C 0 e de raison 1+. Exemple On place 250 à inérês composés au aux annuel de 3,5 %. Calculer le monan du capial e l inérê perçu au bou de 10 ans Valeur acuelle d un capial placé Définiion La valeur acuelle d un capial C n, obenu après n périodes, «au aux d acualisaion», es le capial C 0 qu il fau placer au aux avec inérês composés, pendan n périodes, pour obenir une valeur acquise C n du capial. Propriéé La valeur acuelle C 0 d un capial C n obenu après n périodes, «au aux d acualisaion», es C 0 = C n (1+ ) n. Exemple Déerminer la valeur acuelle C 0 d un capial placé à inérês composés aujourd hui au aux annuel de 1,25 % qui aura la valeur acquise de dans 5 ans Taux équivalen Propriéé Dans le cas d un inérê mensuel m, le aux d inérê correspondan à un placemen annuel es le aux équivalen a. De la même façon, à un aux annuel a correspond un aux mensuel m équivalen. Le passage de l un à l aure s effecue à l aide de la formule : 1+ a = (1+ m ) 12. Remarque. Si 1+ a = (1+ m ) 12, alors 1+ m = Ainsi m es le aux Exemple On place un capial à inérês composés. 1. Calculer le aux annuel équivalen à un aux mensuel de 0,3 %. 2. Calculer le aux mensuel équivalen à un aux annuel de 8 % Annuiés Définiions e noaions Définiion Une annuié es une somme d argen versée chaque période, en général d un an : par un épargnan pour se consiuer une épargne; par un empruneur pour rembourser un emprun ou une dee. Une annuié a es consane lorsque la somme d argen versée chaque période es la même. Remarque. Par définiion du erme la période de versemen de l annuié es d un an. Si la période de versemen es d un mois, par exemple, on devrai rigoureusemen parler alors d une mensualié mais pour simplifier les choses pour la suie on ne parlera que d annuiés (de période un an, un mois, ec.). David ROBERT 119

4 10.3 Annuiés BTS Compabilié Gesion Valeur acquise par une suie d annuiés consanes de placemen Pour consiuer un capial, on place à la fin de chaque période, pendan n périodes, une annuié consane a à inérês composés (ou capialisés) au aux. Après n périodes on calcule la valeur acquise par chaque annuié versée Période n 1 n Versemen a a a... a a Valeur acquise par ce versemen après n périodes a(1+ ) n 1 a(1+ ) n 2 a(1+ ) n 3... a(1+ ) 1 a Numéroaion u n u n 1 u n 2... u 2 u 1 Les valeurs acquises par ces annuiés son les ermes d une suie géomérique (u n ) de premier erme (en les rangean dans l ordre inverse) u 1 = a e de raison q = 1+. La valeur acquise v n par cee suie d annuiés es donc v n = u 1 + u u n = a 1 q n 1 q 1 (1+ )n = a 1 (1+ ) = a (1+ )n 1 Propriéé La valeur acquise par le capial placé, au momen du dernier versemen, es L annuié consane de placemen es v n = a (1+ )n 1 a= v n (1+ ) n 1 Exemple On place pendan 8 ans, à la fin de chaque année, une somme égale à 3 500, soi une annuié consane sur un compe rémunéré à 3,5 % par an avec inérãªês composés. Quelle es la valeur acquise de cee suie d annuiés? Valeur acuelle d une suie d annuiés consanes de remboursemen d un emprun Dans le cas d un emprun de n annuiés consanes égales à a, au aux sur une période, le capial empruné v 0 es la valeur acuelle, au aux d acualisaion, de la suie des n annuiés consanes (égales à a), avan le versemen de la 1 ère annuié. Période n 1 n Versemen a a a... a a Valeur acuelle de ce a(1+ ) 1 = a versemen 1+ a(1+ ) 2 a(1+ ) 3... a(1+ ) n+1 a(1+ ) n Numéroaion v 1 v 2 v 3... v n 1 v n Les valeurs acuelles de ces annuiés son les ermes d une suie géomérique (v n ) de premier erme v 1 = a 1+ = a(1+ ) 1 e de raison q = 1 1+ = (1+ ) 1. La valeur acquise v 0 par cee suie d annuié es donc v 0 = v 1 + v v n. v 0 = v 1 1 qn 1 q = a 1 (1+) n = a 1+ 1 (1+) n 1 (1+) 1 = a 1+ 1 (1+) n = a 1+ 1 (1+) n = a 1+ (1 (1+ ) n ) hp://perpendiculaires.free.fr/

5 BTS Compabilié Gesion 10.3 Annuiés Propriéé La valeur acuelle du capial empruné une période avan le premier versemen es L annuié consane de remboursemen es 1 (1+ ) n v 0 = a a= v 0 1 (1+ ) n Exemple On a empruné au débu 2014, pour acheer un logemen aux aux d inérês annuel de 3,95 % sur 15 ans. Ce emprun es à annuiés consanes. 1. Vérifier que le monan de l annuié, arrondi au cenime, es de 8 962, Calculer le monan oal des inérês versés à l organisme de crédi après le versemen de la dernière annuié, c es-à-dire le coû du crédi Amorissemen d un emprun par annuiés consanes Le remboursemen d une dee implique le versemen, à chaque échéance, de l annuié qui se compose de deux élémens : Le remboursemen d une parie de la somme emprunée, appelée amorissemen ; L annuié es donc la somme de l amorissemen e des inérês pour la période considérée. Tableau d amorissemen Période Dee en débu de période Inérê dû (1) Les inérês poran sur le capial resan dû, calculés en uilisan le aux d inérê de l emprun. Amorissemen (capial remboursé) (2) Annuié (monan versé) (3) Dee en fin de période 1 v 0 I 1 = v 0 A 1 = a I 1 a v 1 = v 0 A 1 2 v 1 I 2 = v 1 A 2 = a I 2 a v 2 = v 1 A n v n 1 I n = v n 1 A n = v n 1 a v n = Coû du crédi Monan oal Monan oal remboursé v 0 versé I 1 + I I n A 1 +A A n n a - (1) Inérê pour une période = dee de débu de période aux d inérê. (2) Amorissemen du capial = annuié d une période inérês dus pour la période concernée. (3) Annuié consane. (4) Dee en fin de période = dee en débu de période amorissemen du capial. Vérificaions La dee doi êre oalemen remboursée à la fin du plan de remboursemen, soi v n = 0. La somme des amorissemens es égale au monan de la dee, soi v 0 = A 1 + A A n. La somme des inérês + la somme des amorissemens = la somme des annuiés. David ROBERT 121

6 10.4 Exercices BTS Compabilié Gesion Exemple On reprend les données de l exemple précéden. On adme que les amorissemens son les ermes d une suie géomérique (A n ) de premier erme A 1 = a(1+ ) n e de raison (1+ ). 1. Calculer la somme S = A 1 + A A 15. Arrondir à l euro. 2. Quelle remarque peu-on faire? 10.4 Exercices Inérês simples ou composés EXERCICE On place un capial C 0 = en empruns d Éa à 1,18 % annuel par inérês simples. On noe C n le capial obenu ou «valeur acquise», au bou de n années. 1. Calculer C 1, C 2, C (a) Donner pour ou enier naurel n, l expression de C n+1 en foncion de C n. (b) En déduire que la suie (C n ) son les ermes consécuifs d une suie arihméique de premier erme C 0 e don on précisera la raison. (c) Donner l expression de C n en foncion de n. (d) Au bou de combien d années le capial iniial aura--il augmené de 20 %? EXERCICE On place un capial C 0 = en «obligaions» à 3,41 % par an, avec inérês simples, pendan 10 ans. Calculer le capial disponible au bou des 10 ans. EXERCICE On place un capial C 0 = à 4 % par an avec inérês composés. On noe C n le capial obenu ou «valeur acquise», au bou de n années. 1. Calculer C 1, C 2, C (a) Donner pour ou enier naurel n, l expression de C n+1 en foncion de C n. (b) En déduire que les nombres C 0, C 1, C 2,..., C n son les ermes consécuifs d une suie géomérique de premier erme C 0 e don on précisera la raison. (c) Donner l expression de C n en foncion de n. Calculer C 17 e C Au bou de combien d années le capial iniial aura--il doublé? EXERCICE Calcul de la valeur acquise (a) Calculer la valeur acquise par un capial C de placé à inérês composés pendan 4 ans au aux rimesriel de 1 %. (b) En déduire le monan des inérês acquis. Arrondir au cenime d euros. 2. Calcul de aux Déerminer à quel aux annuel il fau placer, à inérês composés, une somme de pour que sa valeur acquise au bou de rois ans de placemen soi de hp://perpendiculaires.free.fr/

7 BTS Compabilié Gesion 10.4 Exercices EXERCICE Deux sociéés A e B proposen à ses cliens les placemens suivans : A propose des inérês composés de 4,8 % par an; B propose des inérês composés de 0,40 % par mois. Dans les deux cas, les inérês son ajoués au capial à la fin de chaque période de référence : année pour A e mois pour B. 1. Si un clien place un capial de , que sera devenu ce capial au bou d une année dans les deux cas? 2. Laquelle des deux sociéés offre le placemen le plus avanageux pour les cliens? EXERCICE Déerminer la somme d argen S, en euros, qu il fallai placer au 01/01/2006, au aux annuel de 3,75 % avec inérês composés, pour disposer d un capial C de au bou de 10 ans, le 01/01/2016. Arrondir au cenime d euro. S es la valeur acuelle, au aux annuel de 3,75 %, d un capial disponible de dans 10 ans. EXERCICE Déerminer la valeur acuelle C 0 du capial C 10 qui, placé à inérês composés aujourd hui au aux annuel de 3,70 %, vaudra dans 10 ans. EXERCICE On a placé sur un compe épargne il y a quare ans, jour pour jour à inérês composés, au aux annuel de 3,25 %. On souhaie disposer d une somme de dans rois ans. 1. Déerminer la somme S 1 don on dispose aujourd hui sur le compe épargne, inérês compris. 2. Déerminer le monan des inérês perçus au bou de quare ans. 3. Déerminer la somme S 2 qu il fau déposer aujourd hui sur le compe épargne pour disposer sur ce compe de dans deux ans. EXERCICE On place un capial iniial C 0 = à inérês composés au aux annuel i. On noe C n le capial disponible au bou de n années. On recherche un algorihme permean de déerminer la plus peie valeur de l enier n pour laquelle le capial disponible C n es supérieur ou égal à On suppose dans cee quesion que le aux d inérê annuel es de 4 %, c es-à-dire i = 0,04. Calculer C 1 e C Soi i un nombre réel posiif. (a) Exprimer C 1 en foncion de i, puis C 2 en foncion de C 1 e de i. (b) Soi n un nombre enier non nul. Exprimer C n+1 en foncion de C n e i. Quelle es la naure de la suie (C n )? 3. On considère l algorihme suivan : David ROBERT 123

8 10.4 Exercices BTS Compabilié Gesion ENTREE : Saisir i INSTRUCTIONS : n prend la valeur 0 C prend la valeur Tan que C < n prend la valeur n+1 C prend la valeur (1+i)*C Fin Tan que SORTIE : Afficher n (a) Quel es le es d arrê de la boucle de ce algorihme? Quand on sor-on de la boucle? (b) Compléer le ableau suivan, en indiquan les valeurs de la variable C e du es lorsqu on saisi dans l algorihme i = 0,04. C C < Iniialisaion n = Vrai Boucle n=... n= Programmer ce algorihme sur la calcularice e le faire foncionner. Vérifier que pour i = 0,04, l affichage en sorie es n= Au bou de combien d années le capial iniial es-il doublé lorsque le aux de placemen à inérês composés es 3,5 %? 4,5 %? EXERCICE On possède un capial de que l on place à inérês composés au aux annuel de 2,5 %. On considère l algorihme suivan : ENTREE : Saisir S INSTRUCTIONS : n prend la valeur 0 C prend la valeur Tan que C<S n prend la valeur n+1 C prend la valeur 1,025*C Fin Tan que SORTIE : Afficher n 1. (a) Jusifier la ligne : C prend la valeur 1,025*C (b) Quelle es la naure de la suie des valeurs de la variable C? (c) À quoi correspond la variable C dans l algorihme? (d) À quelle condiion sor-on de la boucle? 2. Programmer ce algorihme avec la calcularice, e vérifier que, lorsqu on enre pour S la valeur , l algorihme affiche en sorie la valeur 17. Quel es le rôle de l algorihme? 3. Déerminer, à l aide de l algorihme, le nombre d années nécessaires pour au moins doubler le capial iniial. 124 hp://perpendiculaires.free.fr/

9 BTS Compabilié Gesion 10.4 Exercices 1. Pour un placemen à inérês simples aux aux annuel T a, le aux mensuel proporionnel T m-prop = T a 12. On place à inérês simples pour une période de 80 jours au aux annuel de 3 %. Calculer l inérê perçu au bou de 80 jours si l on applique un aux proporionnel. EXERCICE Pour un placemen à inérês composés aux aux d inérê mensuel m, le aux d inérê annuel correspondan es le aux annuel équivalen a. De la même façon, à un aux annuel a correspond un aux mensuel équivalen m. Le passage de l un à l aure s effecue à l aide de la formule : 1+ a = (1+ m ) 1 2. On place un capial à inérês composés. (a) Calculer le aux annuel équivalen à un aux mensuel de 0,5 %. (b) Calculer le aux mensuel équivalen à un aux annuel de 10 %. 3. Compléer le ableau suivan pour un aux annuel de 10 % : Annuiés Formulaire Taux semesriel Taux rimesriel Taux bimensuel Taux mensuel Taux proporionnel Taux équivalen v n = a (1+)n 1 a= v n (1+) n 1 v 0 = a 1 (1+) n a= v 0 1 (1+) n EXERCICE Une personne verse chaque année pendan 5 ans 150 sur un compe épargne rémunéré à 2,1 % par an. Calculer la valeur acquise au momen du dernier versemen. EXERCICE Compléer le ableau suivan donnan la valeur acquise v n au momen du dernier versemen d un placemen réalisé par une suie d annuiés consanes a, au aux d inérês annuel pendan n années. a n v n ans 2 % ans 1 % ans 3,75 % EXERCICE Une personne veu se consiuer un capial en effecuan un versemen de 50 au débu de chaque mois pendan rois ans au aux annuel de 3,1 % (la capialisaion es mensuelle). 1. Calculer à 0,001 % le aux mensuel équivalen e le nombre de mensualiés. 2. (a) Calculer la valeur acquise au débu du 6 è mois pour les six premiers versemens. (b) Calculer la valeur acquise oale au momen du dernier versemen. EXERCICE Quel monan aura--on épargné dans un an en versan chaque mois 200 sur un compe épargne rémunéré à 4 % par an (la capialisaion es mensuelle). On arrondira le aux mensuel équivalen à 0,001 % près. David ROBERT 125

10 10.4 Exercices BTS Compabilié Gesion EXERCICE Pour consiuer un capial de en 4 ans, une personne effecue des versemens annuels consans au aux annuel de 0,9 %. Calculer le monan de chaque versemen. EXERCICE Compléer le ableau suivan donnan le monan de chaque versemen effecué a pendan n années. On noe v n la valeur acquise, le aux annuel. a n v n 3 ans 3 % ans 3,8 % ans 2,9 % EXERCICE Pour obenir un capial de dans 15 ans avec un aux annuel proposé de 3,4 %, quelle somme arrondie à l euro près fau-il épargner chaque mois sachan que la capialisaion es mensuelle? On arrondira le aux mensuel équivalen à 0,001 % près. EXERCICE Pour rembourser un emprun, on verse 24 annuiés de 1 139,74, le premier versemen inervenan avan 1 an après la remise des fonds. Le aux annuel du crédi es 8 %. Calculer, à l euro près, le monan de l emprun conracé. EXERCICE Compléer le ableau suivan donnan le monan d une dee v 0 remboursée par annuiés consanes a en n versemens annuels au aux d inérê annuel, le premier versemen s effecuan un an après l emprun. v 0 n a 2 ans 5 % 198,99 3 ans 6 % 190,18 4 ans 14 % 343,20 EXERCICE Une dee es remboursée en 72 mensualiés de 200,88, le premier versemen inervenan 1 mois après la remise des fonds. Le aux annuel de crédi es 15 %. 1. Calculer le aux mensuel proporionnel au aux annuel. 2. Calculer le monan de la dee. EXERCICE Un emprun de es remboursé par annuiés consanes au aux annuel de 4 % sur une durée de 5 ans. Calculer le monan de l annuié consane. EXERCICE Compléer le ableau suivan donnan le monan de l annuié consane a versée pour rembourser un prê v 0 en n versemens annuels au aux d inérê annuel. v 0 n a ans 2,8 % ans 4,3 % ans 3,6 % 126 hp://perpendiculaires.free.fr/

11 BTS Compabilié Gesion 10.4 Exercices EXERCICE Un emprun de es remboursé par mensualiés consanes au TEG (aux effecif global prenan en compe le aux global de crédi e en y incluan les frais de dossier, d assurance e de garanie) mensuel de 0,18 %. Calculer le monan de la mensualié si le remboursemen s effecue en : 1. 6 mois 2. 1 an 3. 5 ans EXERCICE Un emprun de es remboursé sur 3 ans par mensualiés consanes au aux annuel de 2,4 %. 1. Calculer le nombre de mensualiés de remboursemen e le aux d inérê mensuel proporionnel. 2. Calculer le monan de la mensualié consane. EXERCICE Une personne effecue un placemen sur n mois avec un prélèvemen auomaique d une somme de 150 euros par mois afin de se consiuer un capial de euros. Le aux d inérê mensuel fixe es de 0,2 % e la capialisaion es mensuelle. On souhaie déerminer le nombre de mois n nécessaires à l aide l algorihme suivan : ENTREE : Saisir a e INSTRUCTIONS : n prend la valeur 0 Tan que V < n prend la valeur n+1 V prend la valeur a*((1+)^n-1)/ Fin Tan quel SORTIE : Afficher n 1. Que représenen les variables e V? 2. Quel es le es d arrê de la boucle de ce algorihme? Quand sor-on de la boucle? 3. Que doi-on saisir pour répondre à la quesion posée? 4. Programmer ce algorihme sur la calcularice e le faire foncionner. David ROBERT 127