Médiatrice d un segment
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- Brian Raoul St-Laurent
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1 SYMETRIE XILE I. XES DE SYMETRIE D UNE FIGURE Une droite (d) est un axe de symétrie d une figure si, par pliage suivant cette droite, les deux parties de la figure se superposent. Exemple : La droite (d) est l axe de symétrie de la figure F. F (d) Médiatrice d un segment L axe de symétrie d un segment s appelle sa médiatrice. C est une droite perpendiculaire à ce segment et passant par son milieu.
2 Construction avec la règle et l équerre : 1. On mesure le segment [] pour placer son milieu I. 2. On trace à l aide de l équerre la perpendiculaire à [] passant par I. 3. On prolonge la demi-droite à la règle : On a construit la médiatrice du segment []. I I I Propriété : La médiatrice d un segment représente l ensemble des points qui sont à la même distance des extrémités du segment. On dit que les points de la médiatrice sont équidistants des extrémités du segment. OU On sait que M est un point de la médiatrice (d) du segment []. On sait que M = M. On en déduit que M = M. On en déduit que M est un point de la médiatrice (d) du segment [].
3 Construction avec un compas : 1. On choisit un écartement avec le compas, qui doit être supérieur à la moitié de. On reporte cet écartement à partir de puis à partir de. On obtient un point M à l intersection des deux arcs. 2. On choisit un autre écartement avec le compas, qui doit encore être supérieur à la moitié de. On reporte cet écartement à partir de puis à partir de, mais «de l autre côté du segment». On obtient un point N à 3. D après la propriété ci-dessus, les points M et N doivent appartenir à la médiatrice de []. On les rejoint (à la règle) pour obtenir cette médiatrice. M N M N M issectrice d un angle La bissectrice d un angle est l axe de symétrie de cet angle : c est la droite qui partage cet angle en deux angles de même mesure. (Voir le chapitre sur les angles)
4 II. XES DE SYMETRIE DES FIGURES DEJ ETUDIEES Nombre d axes de symétrie Triangle quelconque Triangle rectangle Triangle isocèle Triangle équilatéral ucun 1 3 Description des axes Médiatrice de la base issectrice de l angle principal Médiatrices des côtés issectrices des angles Figure Conséquence sur les angles Les angles à la base d un triangle isocèle sont égaux Les trois angles d un triangle équilatéral sont égaux à 60.
5 Nombre d axes de symétrie Quadrilatère quelconque Rectangle Losange Carré ucun Description des axes Médiatrices des côtés issectrices des angles Médiatrices des côtés issectrices des angles Figure Conséquence sur les diagonales Les diagonales du rectangle : se coupent en leur milieu sont de même longueur Les diagonales du losange : se coupent en leur milieu sont perpendiculaires Les diagonales du carré : se coupent en leur milieu sont de même longueur sont perpendiculaires
6 Un cercle a une infinité d axes de symétrie. Ce sont toutes les droites qui passent par le centre de ce cercle. Toutes ces droites sont des axes de symétries du cercle. III. CONSTRUCTION DE SYMETRIQUES PR RPPORT UNE DROITE Si (d) est une droite, un point n appartenant pas à la droite (d) et son symétrique, alors (d) est la médiatrice du segment []. (d) Remarque : Si le point est sur la droite (d), alors le symétrique du point par rapport à la droite (d) est luimême.
7 Construction à l équerre et au compas On trace la perpendiculaire à la droite (d) passant par. On reporte au compas la longueur entre le point et la droite (d). On termine la figure. Construction uniquement au compas On prend un écartement quelconque avec le compas et on trace deux arcs de cercles de centre qui coupent la droite (d). partir des deux points d intersection, on trace deux nouveaux arcs de cercles de même rayon qui se coupent. On termine la figure. Propriété : Lorsque des points sont alignés, leurs symétriques par rapport à une droite sont aussi alignés. Les distances sont conservées par symétrie. On peut donc en déduire : Le symétrique d une droite est une droite. Le symétrique d un segment est un segment de même longueur. Le symétrique d un cercle est un cercle de même rayon. Méthode : Pour construire le symétrique d une figure, on construite le symétrique de points particuliers.
8 Pour un segment, on construit les symétriques des extrémités du segment : Pour une droite, on construit le symétrique de deux points de cette droite : Pour un cercle, on construit le symétrique du centre puis on trace le cercle en gardant le même rayon :
Si deux droites sont parallèles à une même troisième. alors les deux droites sont parallèles entre elles. alors
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