EM1 : Équations locales de l électromagnétisme

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1 EM1 : Équations locales de l électromagnétisme 1 Charge et champ électromagnétique Charge électrique On associe à un système supposé ponctuel un scalaire Õ nommée charge électrique, exprimé en Coulomb (symbole C) caractérisant les interactions électrostatiques du système avec d autres charges 1.1 Densité de courant et courant électrique Vecteur densité de courant On détermine la charge électrique ÆÕ Å µ traversant la surface élémentaire Ë Å centrée en Å pendant la durée. A l instant, le porteurs de charge ayant la vitesse Ú Ô Å µ se trouvant dans le volume Ë Å Ú Ô Å µó µ pourront traverser la surface Ë Å pendant la durée Si Ô Å µ est la densité volumique de charge, alors on peut en déduire ÆÕ Å µ Ô Å µë Å Ú Ô Å µó µ Ô Å µ Ú Ô Å µ Ë Å On définit le vecteur densité de courant Å µ tel que, en Å ÆÕ Å µ Å µ Ë Å Å µ Ô Å µ Ú Ô Å µ Intensité traversant Ë L intensité correspond au flux de charge à travers une section Ë, soit Á µ Å¾Ë Å µ Ë Å 1.2 Postulat de conservation de la charge On considère comme système un volume Î,distribution quelconque de charges en mouvement dans le référentiel du laboratoire. Loi de conservation de la charge Il n y a ni création ni disparition de charges, par conséquent Å µ Ú È µ ¼

2 En effet É µ La distribution a pour charge totale Å µ Å à l instant É µ Å µ Å à l instant On peut donc en déduire É Å µ Å µ Å µ Å Å donc un flux de charges au travers de la surface fermée Ë entourant Î : ÆÉ ÓÖÒ È ¾Ë È µ Ë È Si on postule qu il ne peut y avoir ni production, ni disparition de charge, la variation É doit être reliée au transfert de charges : É ÆÉ ÓÖÒ ce qui donne Å µ Å È ¾Ë È µ Ë È ¼ Le Théorème de Green Ostrogradski, et le fait que ¼ permettent de transformer l expression 1.3 Champ électromagnétique Å µ Å Ú È µ Å ¼ Force de Lorentz Dans un référentiel R : Une charge ponctuelle Õ en Å, ayant une vitesse Ú Å µ subit de la part du champ électromagnétique Å µ Å µ une force Õ Å µ Ú Å µ Å µ Le champ électromagnétique Å µ Å µ dépend donc du référentiel d étude. 2 Equations de Maxwell 2.1 Dans les milieux assimilés au vide Ces équations, que l on considèrera comme un postulat de départ pour l étude des phénomènes électromagnétiques, sont l aboutissement du travail de nombreux physiciens au cours du Á Ñ siècle. On considère en un point Å un milieu de permittivité et de perméabilité ¼ assimilable au vide. Ce point Å est caractérisé par sa densité volumique de charges et sa densité volumique de courants

3 Equations de Maxwell Maxwell-Gauss Ú Å µ Å µ Maxwell-Flux Maxwell-Faraday Maxwell-Ampère Ú Å µ ¼ ÖÓ Å µ Å µ ¾ ÖÓ Å µ ¼ Å µ Å µ On rappelle que ¼ ½¼ ËÁ ½ perméabilité du vide ËÁ permittivité du vide ½¼ 2.2 Relation de passage Les équations de Maxwell font intervenir la densité volumique des charges,, en un point. Or nous avons introduit une modélisation de distribution surfacique de charges, correspondant en fait à une distribution réelle volumique sur une épaisseur très faible. Dans ce cas, les équations de Maxwell ne peuvent s appliquer à notre modèle, on ne pourra les appliquer que de part et d autre de la surface chargée. Pour relier les grandeurs de part et d autre, on utilisera les relations de passage. Les relations de passage se substituent aux équations de Maxwell au niveau des surfaces chargées. Relations de passage De part et d autre d une surface de densité surfacique de charge ayant pour vecteur unitaire normal Ò ½¾, on aura les relations ¾ ½ Ò ½¾ ¾ ½ ¼ Ò ½¾ On observe donc une possible discontinuité de la composante normale de tangentielle de La démonstration des ces relations est hors programme On va dans un premier temps confronter ces équations locales aux relations connues dans le cas de champs statiques.

4 3 Le champ électrostatique Dans le cas de distributions statiques, on peut écrire Maxwell-Gauss Ú Å µ Å µ Maxwell-Faraday ÖÓ Å µ ¼ 3.1 Théorème de Gauss Formes locale et intégrale La forme intégrale de l équation de Maxwell-Gauss donne, en régime statique, Ú Åµ È µ Å Å Le théorème de Gree-Ostrogradski permet d en déduire le flux de à travers une surface fermée È ¾Ë Ú Ë È Åµ Å Theorème de Gauss Le flux de à travers une surface fermée Ë enfermant une charge É Ò est tel que È ¾Ë Ë È É Ò Le flux de n est donc conservatif que dans les domaines de l espace sans charges 3.2 Loi de Coulomb On peut vérifier que pour une charge ponctuelle, en choisissant une surface de Gauss centrée sur la charge Õ en Ç et passant par Å, on retrouve la Loi de Coulomb Champ crée par une charge ponctuelle Åµ ½ Õ ÇÅ ÇÅ 3.3 Potentiel scalaire Circulation du champ électrostatique ÖÓ L équation de Maxwell-Faraday donne sous sa forme intégrale Ë ¼ Á Ð La circulation du champ électrostatique le long d un contour fermé est nulle

5 Une ligne de champ est donc nécessairement ouverte Définition On rappelle que ÖÓ Ö µµ ¼. On voit donc que l équation de Maxwell-Faraday en régime statique ÖÓ ¼ est cohérente avec l existence d un potentiel Î Åµ Potentiel électrostatique On définit en tout point Å de l espace un potentiel électrostatique Î Åµ, à une constante près, tel que ÖÎ Åµ Pour une charge ponctuelle A partir de la loi de Coulomb et de la définition précédente du potentiel, on retrouve l expression du potentiel créé par une charge Õ en Ç, en tout point Å Î Åµ ½ Õ ÇÅ Equation locale Les relations précédentes donnent ÖÓ ¼ ÖÎ Åµ Ú Å µ Å µ La définition du Laplacien scalaire est On définit un opérateur tel que ÚÖ µ Equation de Poisson La forme locale de l équation pour le potentiel électrostatique a le nom d équation de Poisson Î Åµ Åµ ¼ 4 Champ magnétostatique Dans le cas d une distribution de courant invariants dans le temps, on peut écrire Maxwell-Flux Maxwell-Ampère Ú Å µ ¼ ÖÓ Å µ ¼ Å µ

6 4.1 Existence d un potentiel vecteur Conservation du flux magnétique Par analogie des deux relations Ú Å µ ¼ Ú Å µ partir desquelles le champ divergerait. La forme intégrale de l équation du flux magnétique donne Le Champ magnétique est à flux conservatif. Ë, on peut dire qu il n existe pas de "charges magnétiques" à Ë ¼ Contrairement au champ électrostatique, le champ magnétique à l infini d une distribution de courants est nécessairement nulle. Champ magnétique et potentiel vecteur La propriété Ú Potentiel vecteur ÖÓ ¼ permet de définir un potentiel vecteur Le champ magnétique Åµ dérive d un potentiel vecteur tel que Åµ ÖÓ Åµ Ce potentiel vecteur n est pas unique En effet, On sait que ÖÓ Ö Ã Åµµ on aura ÖÓ Åµ Ö Ã Åµµ ¼, donc si est un potentiel vecteur et Ã Åµ une fonction quelconque, alors ¼, ainsi ¼ Åµ Ö Ã Åµµ sera également un potentiel vecteur. 4.2 Loi de Biot-Savart Potentiel vecteur crée par une distribution de courants Nous ne démontrerons pas dans le cadre de ce cours que la définition du potentiel vecteur, ainsi que les lois locales, aboutissent à l expression de Åµ crée par une distribution quelconque de courants Potentiel vecteur Åµ ¼ È µ È Å È On reconnait une forme analogue à la définition du potentiel scalaire Î Åµ. Champ magnétique crée par une distribution de charges

7 La démonstration dépasse le cadre de ce cours, on peut déduire de l expression précédente ¼ Åµ Pour une distribution filiforme, È µ Á Ð È donc... È ¾ È µ Loi de Biot-Savart Pour une distribution filiforme parcourue par un courant d intensité Á, ¼ È Å Åµ È ¾ È Å È Å Á Ð È È Å 4.3 Théorème d Ampère A partir de l équation de Maxwell-Ampère, on peut déterminer la forme intégrale ÖÓ Ë ¼ Ë Ë Ë Le théorème de Stokes permet alors d en déduire que Á Ð ¼ Ë Ë ßÞ Ð Á ÒÖÐ Théorème d Ampère Pour tout contour fermé orienté enlaçant un courant d intensité Á µ la règle du tire bouchon, Á Ð ¼ Á µ orientée selon La circulation le long d une lignae de champ fermée donne nécessairement À Ð ¼, cette ligne de champ enlace donc nécessairement une source de courant 4.4 Dipôle magnétique Définition Un contour fermé d extension spatiale Æ et parcourue par un courant Á est caractérisé par son moment dipolaire Å Á où Ë est la surface s appuyant sur le contour, orientée selon la règle du tire bouchon Ëµ Ë

8 On observe les effets de ce dipôle en Å tel que ÇÅ Ö Ù Ö, loin de son extension spatiale, donc pour Ö Æ. Champ magnétique Åµ aura une expression analogue au champ électrostatique crée par un dipôle électrostatique, en substituant ¼ à ½ Å à Ô Actions d un champ extérieur sur le dipôle La résultante des actions d un champ extérieur dont la longueur d onde des variations spatiales est grande devant l extension du dipôle ( Æ) est caractérisée par Ê ¼ ¼µ Å 4.5 Loi de Laplace On se bornera au cas des circuits filiformes Loi de Laplace Un élément Ð d un circuit filiforme parcouru par un courant d intensité Á, avec Ð orienté dans le sens conventionnel pris pour Á, et placé dans une zone de champ magnétique subit une force élémentaire Á Ð 5 Champ électromagnétique Dans le cas d un régime quelconque, on s aperçoit que les champs et sont liés par les équations de Maxwell. On parlera alors de champ électromagnétique. 5.1 Symétries Les champs électrique et magnétique étant liés, la répartition des courants influera sur le champ magnétique et donc aussi sur le champ électrique Il en sera de même pour la répartition des charges. Il faudra donc étudier les propriétés de symétries pour l ensemble des distributions de charges et courants. Propriétés de symétrie Un plan de symétrie ou d antisymétrie pour les sources doit l être à la fois pour les distributions de charges et de courants. Les conséquences sur les champ électrique et magnétique sont alors identiques à celle vues dans le cas statique.

9 5.2 Potentiels associés aux champs Potentiel vecteur L équation du flux magnétique a la même expression en régime statique ou variable. On peut donc définir, dans le cas général, un potentiel vecteur tel que ÖÓ. Potentiel scalaire D après l équation de Maxwell-Faraday et la définition du potentiel vecteur, ÖÓ ÖÓ ÖÓ En effet, les dérivations spatiales et temporelles sont indépendantes Il existe donc un potentiel scalaire Î tel que ÖÓ ÖÎ µ ¼, soit ÖÎ Champs et potentiels Au couple µ on associe le couple de potentiels Î µ tels que ÖÓ ÖÎ 5.3 Non unicité des potentiels On fait l hypothèse que deux couples Î µ et ¼ Î ¼ µ peuvent être associés au même couple µ. Alors Potentiel vecteur Par définition du potentiel vecteur ÖÓ ÖÓ ¼ soit ÖÓ ¼ µ ¼ ÖÓ On peut alors définir une fonction quelconque ³ telle que ¼ Ö ³µ Potentiel scalaire On doit vérifier à la fois ¼ Vu la définition de ³, la seconde relation se traduit par Ö ³µ ÖÎ ÖÎ ¼ ÖÎ ¼ ³ Ö On peut définir une fonction quelconque ³ telle que 5.4 Puissance cédée aux porteurs de charges ÖÎ ¼ ¼ Ö ³µ Î ¼ Î ³ Ö³ On considère un volume élémentaire avec une densité volumique de charge associée aux porteurs de charges de vitesse Ú. La force de Lorentz appliquée à ces porteurs est Ú µ

10 ¾ La puissance de cette force est È Ú µ Ú Ú Ú µ Ú È Ú ßÞ Ð ¼ Puissance volumique cédée aux charges La puissance cédée par le champ électropmagnétique aux charges contenues dans un volume Î est égale à È µö Î 5.5 Bilan énergétique à partir des équations locales La puissance volumique cédée aux charges s écrit È Î L équation de Maxwell-... permet de déterminer l expression de : ½ ¼ ÖÓ On en déduit que È Î ½ ÖÓ ¼ ßÞ Ð ÖÓ Ú D autre part, comme ÖÓ, on en déduit È Î Ú ßÞ Ð ¼ ½ ¾ ¾ Les équations locales permettent d arriver à la relation suivante ¾ ¾ ¾ ¼ ¾ ßÞ Ð Ù Ñ Cette relation s interprète mieux sous sa forme intégrale È ¾Î È ¾Î Ù Ñ È ¾Î Ù Ñ È ¾Î ¾ ¾ ¾ ¼ ¾ È Î Ú È Î È ¾Î È Î Å¾Ë Ú Ú ¼ ßÞ Ð ¼ ¼ Ë La variation élémentaire d énergie électromagnétique d un volume Î due pendant une durée est Aux interactions avec les charges, correspondant à une perte È Î Aux transferts à travers la surface délimitant le volume correspondant à une perte Å¾Ë Ú Le vecteur de Poynting, ¼ correspond donc à un vecteur densité de courant d énergie. ¼

11 Bilan énergétique La densité volumique d énergie électromagnétique, Ù Ñ est telle qu un volume Î ait une énergie électromagnétique Í Ñ È ¾Î Ù Ñ avec Ù Ñ ¾ ¾ ¼ ¾ ¾ On définit le vecteur densité de courant d énergie ¼ vecteur de Poynting L équation locale de Poynting traduit le bilan énergétique Ù Ñ È Î Ú