CH1 : Langages de la continuité Limites

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "CH1 : Langages de la continuité Limites"

Transcription

1 CH : Langages de la continuité Limites I. Continuité- Théorème des valeurs intermédiaires. Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R. Lorsque la courbe représentative de f ne présente pas de «saut», c est à dire lorsque cette courbe se trace d un seul tenant sans lever le crayon, on dit que f est continue sur I.. Eemples de fonctions continues O La fonction carrée ² est continue sur R. O La fonction inverse est continue sur ]0 ; + [ et sur ]- ; 0[. a b O Une fonction affine a + b est continue sur R. Propriétés : Les fonctions de référence (fonctions affines, carré, inverse, racine carrée) sont continues sur chaque intervalle de leur ensemble de définition. Les fonctions polynômes sont continues sur R. Les fonctions rationnelles sont continues sur chaque intervalle de leur ensemble de définition. Eemples : ) La fonction f définie sur R par f() = est continue sur R. ) La fonction f définie sur R \ {} par f() = 4 est continue sur ]- ; [ et sur ] ; + [.. Contre-eemple : la fonction partie entière Définition : La fonction partie entière est la fonction définie sur R, qui, à tout réel, associe l entier relatif n tel que n < n +. On note E cette fonction partie entière. Par eemple : E() = car < E(5,8) = 5 car 5 5,8 < 6 E(-) = - car - < 0 E(-,) = - car - -, < Représentation graphique de E : Soit n Z, pour tout [n ; n + [, E() = n. Donc, sur [n ; n + [, on trace le segment de droite d équation y = n. O Remarque : E n est pas continue sur R, car pour tracer sa courbe, il faut lever le crayon au points d abscisses,, et plus généralement en chaque point d abscisse entière.

2 . Théorème des Valeurs Intermédiaires Nous admettrons le théorème suivant : Théorème : (TVI) Si une fonction f est continue sur un intervalle fermé [a ; b], et si k est un réel quelconque situé entre f(a) et f(b) (ces deu valeurs comprises), alors il eiste au moins un nombre c dans [a ; b] tel que f(c) = k. Si on ajoute une hypothèse de monotonie à ce théorème, cela nous permet d affiner encore plus la conclusion : Théorème : Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle fermé [a ; b], et si k est un réel quelconque situé entre f(a) et f(b) (ces deu valeurs comprises), alors il eiste un unique nombre c dans [a ; b] tel que f(c) = k. Cela signifie que si f est continue et strictement monotone sur [a ; b], f prend une fois et une seule toute valeur comprise entre f(a) et f(b). II. Les limites. Rappels de première Limites des fonctions de références : a désigne un réel lim ² lim ² lim lim lim lim = 0 a lim = 0 a + ( ) lim = 0 a (les résultats des dernières limites sont identiques lorsque tend vers ) lim a a > a lim a a < a lim a a ( ) lim a a

3 Asymptotes à une courbe : f est une fonction définie sur un intervalle I, C est sa courbe représentative dans un repère orthogonal, a et b désignent des réels. Dire qu une la droite d équation = a est asymptote verticale à C signifie que la limite de f en a est + ou (ou la limite à droite ou à gauche de a) Dire que la droite d équation y = b est asymptote horizontale à C en + (respectivement en ) signifie que lim f ( ) = b (respectivement lim f ( ) = b ). Dire que la droite d équation y = a + b, avec a 0, est asymptote oblique à en + (respectivement en ) signifie que lim f ( ) ( a + b) = 0 (respectivement ( ) ( f a b ) lim ( ) ( + ) = 0 ). Opérations sur les limites a) Limite d une somme De manière générale, la limite de la somme de deu fonctions est égale à la somme des limites de celles-ci sauf cas particuliers! Limite de f Limite de g Limite de f + g l l' l + l' l + + l Indéterminé Eemples : lim ( ² ) + lim 4 ² + ( ) lim + 4 = 4 0

4 b) Limite d un produit Limite de f Limite de g Limite de f. g l l' l l' l > l > 0 l < 0 + l < Indéterminé Eemples : lim ² + 4 lim ( + 5) = F. I. 0 ( ) c) Limite d un quotient Limite de f Limite de g Limite de f / g l l' 0 l l l ou l' > l' < 0 l' > 0 l' < 0 + ou + ou + Indéterminé l > 0 ou l > 0 ou + 0 l < 0 ou 0 + l < 0 ou Indéterminé Eemples : lim = 0 ² + 5 lim lim 0 ² lim = F. I. +

5 . Limites à l infini des fonctions polynômes Propriété : La limite en + et en d une fonction polynôme est égale à la limite en + et en de son terme de plus haut degré. Dem : en classe Eemple : P 7 5 ( ) = lim P( ) = F. I. Mais P 4 7 ( ) = Ainsi lim P( ) Eemple : Q( ) = lim Q( ) = lim car est le terme de plus haut degré de Q( ). 4. Limite à l infini des fonctions rationnelles Propriété : : La limite en + et en d une fonction rationnelle est égale à la limite en + et en du quotient des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur. C est-à-dire que si on a une fonction rationnelle Q() = a n n + + a + a 0 b p p (a + + b + b n 0 et b p 0). 0 a alors lim Q() = lim n n ± ± b p p. 4 + Eemple : Q ( ) = 5 + Le dénominateur et le numérateur tendent vers + lorsque tend vers +. Donc lim Q ( ) = F. I. 4 + Mais Q ( ) = donc lim Q ( ) lim lim = = 5 5

6 4 + Eemple : Q ( ) = 4 4 lim Q ( ) = lim = lim = Recherche de limites par comparaison avec des fonctions connues Propriété : α désigne un nombre réel, ou + ou f et g sont deu fonctions définies sur un intervalle I. Si pour tout de I - f ( ) g( ) - et lim g( ) α Alors lim f ( ) α Si pour tout de I - f ( ) g( ) - et lim g( ) α Alors lim f ( ) α Eemple : f ( ) = 4 ² + sur Alors lim f ( ) = F. I. + R + Mais pour tout R 4 ² + 4 ², donc 4 ² + + Ainsi, pour tout R, f ( ) Or lim donc d après le théorème de comparaison, lim f ( ) Propriété : Théorème des gendarmes α désigne un nombre réel, ou + ou f, u et v sont trois fonctions définies sur un intervalle I. Si pour tout de I u( ) f ( ) v( ) et lim u( ) = lim v( ) = l α Alors lim f ( ) = l α α

7 Eemple : f est une fonction définir sur ] 0;+ [, telle que a) Peut-on en déduire la limite de f en +? b) Peut-on en déduire la limite de f en 0? a : lim + = 0 et lim ² + b : On sait que lim 0 = 0 donc et f() lim f() = 0. + ] ; + [ f ( ) ² ] 0; ] f ( ) ² pour tout ]0 ; ] donc lim f() Fonctions composées et limites. Définition Soit f une fonction définie sur un intervalle I, à valeurs dans un intervalle J. Soit g une fonction définie sur le même intervalle J. La fonction composée de f suivie de g est la fonction notée g f (g rond f) définie sur I par : Pour tout de I, g f ( ) = g[ f ( )] f ( ) g f g ( X ) = g [ f ( )] X J I f f() g g o f g(f()) = g o f() Remarque : en général : f o g g o f. Eemples : Soient f et g les fonctions définies R sur par : f ( ) = ² et g( ) = Pour tout réel, g f f g( ) : + X X + = ( + ) ( + ) + = 9 ² X Pour tout réel, ( ) : f g g f ² + X = ( ² + ) = ² 6 + X

8 . Sens de variation En se plaçant sur un intervalle I où la fonction composée g o u eiste : Si les deu fonctions ont même sens de variation, alors leur composée est croissante sur I. Si les deu fonctions sont de sens de variation contraires, alors leur composée est décroissante sur l intervalle I.. Limites de fonctions composées Propriété : a, b et c désignent des nombres réels ou + ou. Soient f, g et h fonctions telles que : f = g h Si lim h( ) = b a lim g( X ) = c X b alors lim g[ h( )] = lim f ( ) = c a a Eemple : Soit f la fonction définie sur ; + par f ( ) =, on chercher sa limite en : h g X = X Or lim = 0 et lim X 0 X donc lim f ( ). X

Fonctions de référence Variation des fonctions associées

Fonctions de référence Variation des fonctions associées DERNIÈRE IMPRESSION LE 9 juin 05 à 8:33 Fonctions de référence Variation des fonctions associées Table des matières Fonction numérique. Définition.................................. Ensemble de définition...........................3

Plus en détail

CHAPITRE 5 : LIMITE ET ORDRE ASYMPTOTES

CHAPITRE 5 : LIMITE ET ORDRE ASYMPTOTES CHAPITRE 5 : LIMITE ET ORDRE ASYMPTOTES La lettre grecque α désigne soit, soit, soit a un réel fini ( a R ) Le plan est muni d un repère ( O; i ; j), et on note C f la courbe représentative de la fonction

Plus en détail

Continuité et dérivabilité d une fonction

Continuité et dérivabilité d une fonction DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité

Plus en détail

Séquence 6. Fonctions dérivées. Sommaire

Séquence 6. Fonctions dérivées. Sommaire Séquence 6 Fonctions dérivées Sommaire Pré-requis Définition Dérivées des fonctions usuelles Dérivation et opérations algébriques Applications de la dérivation Synthèse de la séquence Eercices d approfondissement

Plus en détail

MATHÉMATIQUES TERMINALE ES A. YALLOUZ. Ce polycopié conforme au programme 2002, regroupe les documents distribués aux élèves en cours d année.

MATHÉMATIQUES TERMINALE ES A. YALLOUZ. Ce polycopié conforme au programme 2002, regroupe les documents distribués aux élèves en cours d année. MATHÉMATIQUES TERMINALE ES A. YALLOUZ Ce polcopié conforme au programme 00, regroupe les documents distribués au élèves en cours d année. Année 0-0 Année 0-0 T le ES A. YALLOUZ (MATH@ES) TABLE DES MATIÈRES

Plus en détail

LIMITES EXERCICES CORRIGES

LIMITES EXERCICES CORRIGES ours et eercices de mathématiques LIMITES EXERIES ORRIGES M UAZ, http://mathscyrreer Eercice n Déterminer la ite éventuelle en de chacune des onctions suivantes : ) ) ) 4 ( ) Déterminer la ite éventuelle

Plus en détail

Devoir surveillé n 1 : correction

Devoir surveillé n 1 : correction E1A-E1B 013-01 Devoir surveillé n 1 : correction Samedi 8 septembre Durée : 3 heures. La calculatrice est interdite. On attachera une grande importance à la qualité de la rédaction. Les questions du début

Plus en détail

La fonction carré Cours

La fonction carré Cours La fonction carré Cours CHAPITRE 1 : Définition CHAPITRE 2 : Sens de variation CHAPITRE 3 : Parité et symétrie CHAPITRE 4 : Représentation graphique CHAPITRE 5 : Equation du type CHAPITRE 6 : Inéquation

Plus en détail

FICHE DE RÉVISION DU BAC

FICHE DE RÉVISION DU BAC Note liminaire Programme selon les sections : - fonctions de références, représentations graphiques, dérivées, tableau de variations : toutes sections - opérations sur les limites, asymptotes : STI2D,

Plus en détail

TERMINALE S Chapitre 2 : LIMITES DE FONCTIONS

TERMINALE S Chapitre 2 : LIMITES DE FONCTIONS SOMMAIRE LIMITES DE FONCTIONS *. 1. LIMITES D UNE FONCTION... 2 LIMITES A L INFINI... 2 LIMITE REELLE ( OU FINIE) EN + ET -... 2 LIMITE INFINIE EN + ET -... 2 LIMITES EN UN REEL A... 3 LIMITE INFINIE EN

Plus en détail

Complément d information concernant la fiche de concordance

Complément d information concernant la fiche de concordance Sommaire SAMEDI 0 DÉCEMBRE 20 Vous trouverez dans ce dossier les documents correspondants à ce que nous allons travailler aujourd hui : La fiche de concordance pour le DAEU ; Page 2 Un rappel de cours

Plus en détail

Cahier de vacances - Préparation à la Première S

Cahier de vacances - Préparation à la Première S Cahier de vacances - Préparation à la Première S Ce cahier est destiné à vous permettre d aborder le plus sereinement possible la classe de Première S. Je vous conseille de le travailler pendant les 0

Plus en détail

LIMITES et CONTINUITE

LIMITES et CONTINUITE LIMITES et CONTINUITE I. LIMITES EN L INFINI a) Limite infinie Par exemple, considérons la fonction f dont la courbe représentative est : Lorsque x s'en va vers +, f(x) devient de plus en plus grand. il

Plus en détail

CHAPITRE 7 Fonction carré et fonction inverse

CHAPITRE 7 Fonction carré et fonction inverse CHAPITRE 7 Fonction carré et fonction inverse A) La fonction "carré" : f() = ² ) Domaine de définition Elle est définie sur ℝ complet (on peut toujours multiplier deu nombres entre eu). 2) Sens de variation

Plus en détail

Fonctions - Continuité Cours maths Terminale S

Fonctions - Continuité Cours maths Terminale S Fonctions - Continuité Cours maths Terminale S Dans ce module, introduction d une nouvelle notion qu est la continuité d une fonction en un point. En repartant de la définition et de l illustration graphique

Plus en détail

Fonctions homographiques

Fonctions homographiques Seconde-Fonctions homographiques-cours Mai 0 Fonctions homographiques Introduction Voir le TP Géogébra. La fonction inverse. Définition Considérons la fonction f définie par f() =. Alors :. f est définie

Plus en détail

Cours de terminale S Suites numériques

Cours de terminale S Suites numériques Cours de terminale S Suites numériques V. B. et S. B. Lycée des EK 13 septembre 2014 Introduction Principe de récurrence Exemple En Mathématiques, un certain nombre de propriétés dépendent d un entier

Plus en détail

Cours de Mathématiques

Cours de Mathématiques Cours de Mathématiques Lycee Gustave Eiffel PTSI 02/03 Chapitre 3 Fonctions usuelles 3.1 Théorème de la bijection Une fonction dérivable sur un intervalle I, strictement monotone déþnit une bijection.

Plus en détail

Cours de Terminale S / Fonctions : limites et continuité. E. Dostal

Cours de Terminale S / Fonctions : limites et continuité. E. Dostal Cours de Terminale S / Fonctions : ites et continuité E. Dostal Août 204 Table des matières 2 Fonctions : ites et continuité 2 2. Limites.............................................. 2 2.2 Théorèmes.............................................

Plus en détail

Terminale SSI 1 Chapitre 1 : limites et continuité 1

Terminale SSI 1 Chapitre 1 : limites et continuité 1 Terminale SSI 1 Chapitre 1 : limites et continuité 1 1 Introduction 1.1 Limites de suites En classe de première, on a déjà rencontré les limites de suites. Définition On dit qu'une suite u, définie sur

Plus en détail

Chapitre II : Limites de fonctions et continuité

Chapitre II : Limites de fonctions et continuité Chapitre II : Limites de fonctions et continuité Cité Scolaire Gambetta Année scolaire 0-03 I Limite à l infini : ) Limite finie en Définition : Dire qu une fonction f a pour limite le réel l en signifie

Plus en détail

Synthèse d analyse Avril 2011

Synthèse d analyse Avril 2011 Snthèse d analse Avril 20 Cette snthèse d analse a été rédigée suite à une suggestion de M le Professeur E Delhez Elle est destinée à aider les étudiants à préparer l eamen d admission au études d ingénieur

Plus en détail

DÉRIVÉES. I Nombre dérivé - Tangente. Exercice 01 (voir réponses et correction) ( voir animation )

DÉRIVÉES. I Nombre dérivé - Tangente. Exercice 01 (voir réponses et correction) ( voir animation ) DÉRIVÉES I Nombre dérivé - Tangente Eercice 0 ( voir animation ) On considère la fonction f définie par f() = - 2 + 6 pour [-4 ; 4]. ) Tracer la représentation graphique (C) de f dans un repère d'unité

Plus en détail

Les supports de cours suivants font référence au cours de Mr SOL et à son livre : "Accès à l'université" chez DUNOD

Les supports de cours suivants font référence au cours de Mr SOL et à son livre : Accès à l'université chez DUNOD Les supports de cours suivants font référence au cours de Mr SOL et à son livre : "Accès à l'université" chez DUNOD Les supports de cours ne sont pas complets, ils ne contiennent ni les démonstrations,

Plus en détail

Fonction inverse Fonctions homographiques

Fonction inverse Fonctions homographiques Fonction inverse Fonctions homographiques Année scolaire 203/204 Table des matières Fonction inverse 2. Définition Parité............................................ 2.2 Variations Courbe représentative...................................

Plus en détail

Cours de mathématiques

Cours de mathématiques Cours de mathématiques Thomas Rey classe de Terminale ES 2 Table des matières 1 Équations de droites. Second degré 7 1.1 Équation de droite.................................. 7 1.2 Polynôme du second degré..............................

Plus en détail

FONCTIONS : Limites Continuité Dérivée Trigonométrie

FONCTIONS : Limites Continuité Dérivée Trigonométrie FONCTIONS : Limites Continuité Dérivée Trigonométrie I) PRELIMINAIRES Voir activité II) LIMITE D UNE FONCTION EN + et ) Limite infinie en + et Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme

Plus en détail

FONCTIONS. I Généralités sur les fonctions. Définitions. Remarque. Exercice 01. Remarque

FONCTIONS. I Généralités sur les fonctions. Définitions. Remarque. Exercice 01. Remarque FNCTINS I Généralités sur les fonctions Définitions Soit D une partie de l'ensemble IR. n définit une fonction f de D dans IR, en associant à chaque réel de D, un réel et un seul noté f() et que l'on appelle

Plus en détail

Cours de mathématiques. Chapitre 4 : Dérivabilité. Terminale S1. Année scolaire 2008-2009 mise à jour 22 novembre 2008. Fig.

Cours de mathématiques. Chapitre 4 : Dérivabilité. Terminale S1. Année scolaire 2008-2009 mise à jour 22 novembre 2008. Fig. Cours de matématiques Terminale S1 Capitre 4 : Dérivabilité Année scolaire 008-009 mise à jour novembre 008 Fig. 1 Jean Dausset Fig. alliday Fig. 3 Joann Radon Il y a des gens connus et des gens importants-idée

Plus en détail

TS - Cours sur le logarithme népérien

TS - Cours sur le logarithme népérien Lcée Europole - R. Vidonne 1 TS - Cours sur le logarithme népérien Fonction carrée et racine carrée Considérons les fonctions f : R + R + g : R + R + 2 Dans un repère orthonormal, les courbes C f et C

Plus en détail

Étude de fonctions Limites et continuité

Étude de fonctions Limites et continuité Chapitre 3 Term.S Étude de fonctions Limites et continuité Ce que dit le programme : CONTENUS Limites de fonctions Limite finie ou infinie d une fonction à l infini. Limite infinie d une fonction en un

Plus en détail

Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures)

Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures) Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures) Eercice 1 (5 points) pour les candidats n ayant pas choisi la spécialité MATH Le tableau suivant donne l évolution du chiffre

Plus en détail

MATHEMATIQUES ECE 1 NOTIONS DE COURS A CONNAITRE PAR COEUR

MATHEMATIQUES ECE 1 NOTIONS DE COURS A CONNAITRE PAR COEUR MATHEMATIQUES ECE NOTIONS DE COURS A CONNAITRE PAR COEUR CALCULS NUMERIQUES Fractions, puissances, racines carrées, résolution d équations et inéquations GENERALITES SUR LES FONCTIONS ) Nombre dérivé d

Plus en détail

Cours de mathématiques

Cours de mathématiques Cours de mathématiques Thomas Rey classe de première ES ii Table des matières 1 Les pourcentages 1 1.1 Variation en pourcentage............................... 1 1.1.1 Calcul d une variation............................

Plus en détail

Soutien illimité 7j/7 en maths: Coach, profs, exercices & annales, cours. Sujet de Bac 2013 Maths S Obligatoire & Spécialité - Liban

Soutien illimité 7j/7 en maths: Coach, profs, exercices & annales, cours. Sujet de Bac 2013 Maths S Obligatoire & Spécialité - Liban Sujet de Bac 2013 Maths S Obligatoire & Spécialité - Liban EXERCICE 1 : 4 Points Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Aucune justification n est demandée. Pour chacune des questions, une

Plus en détail

T ES DEVOIR N 1 SEPTEMBRE 2013

T ES DEVOIR N 1 SEPTEMBRE 2013 T ES DEVOIR N 1 SEPTEMBRE 2013 Durée : 2h NOM : Prénom : Calculatrice autorisée «Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu il aura

Plus en détail

Chapitre 2. Compléments sur les fonctions : limites, continuité, dérivabilité

Chapitre 2. Compléments sur les fonctions : limites, continuité, dérivabilité Chapitre. Compléments sur les fonctions : ites, continuité, dérivabilité I. Rappels de cours. Limites d une fonction Soit l R. (i) Limites en + et en On dit que f() tend vers l lorsque tend vers + quand

Plus en détail

I Exercices I-1 1... I-1 2... I-1 3... I-2 4... I-2 5... I-2 6... I-2 7... I-3 8... I-3 9... I-4

I Exercices I-1 1... I-1 2... I-1 3... I-2 4... I-2 5... I-2 6... I-2 7... I-3 8... I-3 9... I-4 Chapitre Convexité TABLE DES MATIÈRES page -1 Chapitre Convexité Table des matières I Exercices I-1 1................................................ I-1................................................

Plus en détail

I. Ensemble de définition d'une fonction

I. Ensemble de définition d'une fonction Chapitre 2 Généralités sur les fonctions Fonctions de références et fonctions associées Ce que dit le programme : Étude de fonctions Fonctions de référence x x et x x Connaître les variations de ces deux

Plus en détail

Commun à tous les candidats

Commun à tous les candidats EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle

Plus en détail

Limites finies en un point

Limites finies en un point 8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,

Plus en détail

Dérivation : cours. Dérivation dans R

Dérivation : cours. Dérivation dans R TS Dérivation dans R Dans tout le capitre, f désigne une fonction définie sur un intervalle I de R (non vide et non réduit à un élément) et à valeurs dans R. Petits rappels de première Téorème-définition

Plus en détail

Développements limités, équivalents et calculs de limites

Développements limités, équivalents et calculs de limites Développements ités, équivalents et calculs de ites Eercice. Déterminer le développement ité en 0 à l ordre n des fonctions suivantes :. f() e (+) 3 n. g() sin() +ln(+) n 3 3. h() e sh() n 4. i() sin(

Plus en détail

Enseignement secondaire technique

Enseignement secondaire technique Enseignement secondaire technique Régime de la formation de technicien Division électrotechnique Cycle supérieur Section énergie Mathématiques Classe de T2EE Nombre de leçons: 2.0 Nombre minimal de devoirs:

Plus en détail

I. Les fonctions de référence

I. Les fonctions de référence I. Les fonctions de référence. Fonctions affines, affines par morceau Une fonction affine est croissante lorsque., décroissante lorsque... Sa représentation graphique est la droite d équation y = a b,

Plus en détail

EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats)

EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) On cherche à modéliser de deux façons différentes l évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat

Plus en détail

Chapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme

Chapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme Chapitre 3 Quelques fonctions usuelles 1 Fonctions logarithme et eponentielle 1.1 La fonction logarithme Définition 1.1 La fonction 7! 1/ est continue sur ]0, +1[. Elle admet donc des primitives sur cet

Plus en détail

Partie A : Limites de fonctions

Partie A : Limites de fonctions Chapitre 2 I Limite d une fonction en ou en A) Limite finie en ou en 1) Activité 1 Partie A : Limites de fonctions On considère la fonction définie pour tout par de courbe représentative a) A l aide d

Plus en détail

Dérivées et applications. Equation

Dérivées et applications. Equation Dérivées et applications. Equation I) Dérivée d une fonction strictement monotone 1) Exemples graphiques Soit une fonction dérivable sur un intervalle I. Pour tout I, (x) est le coefficient directeur de

Plus en détail

Chapitre 1. Rappels sur les fonctions Continuité. 1.1 Rappels sur les fonctions. Sommaire. 1.1.1 Fonctions de référence. 1.1.

Chapitre 1. Rappels sur les fonctions Continuité. 1.1 Rappels sur les fonctions. Sommaire. 1.1.1 Fonctions de référence. 1.1. Chapitre 1 Rappels sur les fonctions Continuité Sommaire 1.1 Rappels sur les fonctions.... 1 1.1.1 Fonctions de référence.... 1 1.1. Fonction trinôme....... 1 1. Continuité............. 4 1..1 Activités............

Plus en détail

Chapitre 11. Premières Notions sur les fonctions

Chapitre 11. Premières Notions sur les fonctions Chapitre 11 Premières Notions sur les fonctions 1. Exemples Exemple 1 La distance parcourue par une automobile en un temps donné varie en fonction de sa vitesse. Faire deux phrases utilisant les mots suivants.

Plus en détail

Limite d une suite - Terminale S Exercices corrigés en vidéo avec le cours sur jaicompris.com. v n. lim. lim

Limite d une suite - Terminale S Exercices corrigés en vidéo avec le cours sur jaicompris.com. v n. lim. lim Limite d une suite - Terminale S Exercices corrigés en vidéo avec le cours sur jaicompriscom Reconnaitre les formes indéterminées Dans chaque cas, on donne la ite de et v n Déterminer si possible, ( +

Plus en détail

I. Limite en et en 1. Limites finie et infine Dans ce paragraphe, nous considèrerons des fonctions définies sur un intervalle de la forme [ a; [

I. Limite en et en 1. Limites finie et infine Dans ce paragraphe, nous considèrerons des fonctions définies sur un intervalle de la forme [ a; [ A. Limites d'une fonction I. Limite en et en. Limites finie et infine Dans ce paragraphe, nous considèrerons des fonctions définies sur un intervalle de la forme [ a; [ où a R. DÉFINITIONS Soit l un réel.

Plus en détail

O, i, ) ln x. (ln x)2

O, i, ) ln x. (ln x)2 EXERCICE 5 points Commun à tous les candidats Le plan complee est muni d un repère orthonormal O, i, j Étude d une fonction f On considère la fonction f définie sur l intervalle ]0; + [ par : f = ln On

Plus en détail

CONTINUITÉ - LIMITES

CONTINUITÉ - LIMITES CONTINUITÉ - LIMITES I Continuité - Théorème des valeurs intermédiaires Notion de continuité On peut déinir mathématiquement la notion de continuité d'une onction mais cette déinition relativement compliquée

Plus en détail

Cours de terminale S - Généralités sur les fonctions

Cours de terminale S - Généralités sur les fonctions les fonctions LPO de Chirongui - Exercices : Savoir Faire (livre)- Déterminer une ite Interprétation graphique Livre Indice BORDAS - Page 45 Exercice 34, 35, 36 et 37 page 56 - Limite finie à l infini

Plus en détail

Limites de fonctions

Limites de fonctions DERNIÈRE IMPRESSIN LE 9 octobre 204 à 9:32 Limites de fonctions Table des matières Limite finie ou infinie à l infini 2. Limite finie à l infini........................... 2.2 Limite infinie à l infini..........................

Plus en détail

Chapitre I : Continuité et dérivabilité des fonctions réelles

Chapitre I : Continuité et dérivabilité des fonctions réelles ENIHP1 mathématiques continuité et dérivabilité p 1/10 Chapitre I : Continuité et dérivabilité des fonctions réelles Le cours sera illustré à l'aide du logiciel de calcul formel gratuit Maima. Les commandes

Plus en détail

Chapitre 3. Continuité, dérivation et limite d une fonction

Chapitre 3. Continuité, dérivation et limite d une fonction Chapitre 3. Continuité, dérivation et limite d une fonction I. Continuité Définition : Continuité d une fonction Dire que f est continue en a signifie que f a une limite finie en a ; cette limite est alors

Plus en détail

Les droites dans un repère

Les droites dans un repère R.Oppé Chapitre Bac Pro Les droites dans un repère Les apprentissages : Comment construire une droite? Comment trouver l équation d une droite? Les outils et leurs modes d emploi : ( à consulter chaque

Plus en détail

Cours Mathématiques PACES UHP-Nancy

Cours Mathématiques PACES UHP-Nancy Cours Mathématiques PACES UHP-Nancy V. Latocha PACES UHP septembre 2010 remerciements à D. Schmitt et V. Ries V. Latocha (PACES UHP) Cours mathématiques Paces septembre 2010 1 / 48 1 Fonctions d une variable

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)

Plus en détail

Limites et comportement asymptotique Exercices corrigés

Limites et comportement asymptotique Exercices corrigés Limites et comportement asymptotique Eercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : Eercice 1 : détermination graphique d une limite et d une équation d asymptote à une courbe (asymptote verticale et

Plus en détail

Notes de cours : Chapitre II : Limites. 1 Limite d une fonction en + ou. 1.1 Limite infinie en l infini

Notes de cours : Chapitre II : Limites. 1 Limite d une fonction en + ou. 1.1 Limite infinie en l infini 1 UNIVERSITÉ DE CERGY Année 2013-2014 U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie Finance et Gestion L1-S1 : MATH101 : Pratique des Fonctions numériques Notes de cours : Chapitre II : Limites Notations

Plus en détail

TD Dérivation n 2 : étude des variations de fonctions

TD Dérivation n 2 : étude des variations de fonctions 1) f (x) = 7x+3 TD Dérivation n : étude des variations de fonctions Étude de variations f est une fonction affine, de coefficient directeur négatif, on sait donc qu elle est décroissante surê. Le calcul

Plus en détail

- Module M2 - Fondamentaux d analyse

- Module M2 - Fondamentaux d analyse - Module M - Fondamentau d analyse Cléo BARAS, cleo.baras@ujf-grenoble.fr IUT - Grenoble Département Réseau et Télécommunications DUT - ère année Année universitaire 9- Web : http ://iut-tice.ujf-grenoble.fr/gtr/mathm/inde.asp

Plus en détail

Dérivation CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES

Dérivation CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Capitre 4 Dérivation Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Dérivation Nombre dérivé d une fonction en un point. Tangente à la courbe représentative d une fonction dérivable

Plus en détail

FICHE DE RÉVISION DU BAC

FICHE DE RÉVISION DU BAC Introduction Pré-requis : Etude de fonctions dérivées logarithmes et exponentielles continuité Plan du cours 1. Intégrales 2. Primitives 1. Intégrales A. Aire sous la courbe Méthode des rectangles : Pour

Plus en détail

I. FONCTION LOGARITHME NEPERIEN

I. FONCTION LOGARITHME NEPERIEN www.mathsenligne.com STI2D - TN4 - LOGARITHME NEPERIEN COURS (/5) CONTENUS CAPACITES ATTENDUES COMMENTAIRES Fonction logarithme népérien. Utiliser la relation fonctionnelle pour transformer une écriture.

Plus en détail

LIMITES DE FONCTIONS

LIMITES DE FONCTIONS T ale S LIMITES DE FONCTIONS Analyse - Chapitre 6 Table des matières I Limite d une fonction à l infini 2 I Limite finie à l infini........................................ 2 I a..........................................

Plus en détail

BACCALAURÉAT BLANC DE MATHÉMATIQUES. Terminales ES (Spécialité)

BACCALAURÉAT BLANC DE MATHÉMATIQUES. Terminales ES (Spécialité) BACCALAURÉAT BLANC DE MATHÉMATIQUES Terminales ES (Spécialité) Vendredi 7 février 0 8h - h coefficient : 7 Les calculatrices sont autorisées Le sujet est composé de exercices indépendants. Le candidat

Plus en détail

Cours de mathématiques Terminale S Enseignement obligatoire. Jean-Paul Widehem 2009-2010 Lycée Roland Garros

Cours de mathématiques Terminale S Enseignement obligatoire. Jean-Paul Widehem 2009-2010 Lycée Roland Garros Cours de mathématiques Terminale S Enseignement obligatoire Jean-Paul Widehem 2009-2010 Lycée Roland Garros Table des matières partie 1. Récurrence et suites 1 Chapitre 1. Raisonnement par récurrence

Plus en détail

Objectifs: connaître les propriétés des fonctions élémentaires pour pouvoir étudier des fonctions plus complexes.

Objectifs: connaître les propriétés des fonctions élémentaires pour pouvoir étudier des fonctions plus complexes. FONCTIONS DE REFERENCE Objectifs: connaître les propriétés des fonctions élémentaires pour pouvoir étudier des fonctions plus complexes. I. LES FONCTIONS ELEMENTAIRES ce sont les touches «fct» de la calculatrice

Plus en détail

+ 1. Qu est ce que cela donne pour notre calcul de 1,01? On pose x = 1,01 donc f (x) 1 + 1 0,01

+ 1. Qu est ce que cela donne pour notre calcul de 1,01? On pose x = 1,01 donc f (x) 1 + 1 0,01 Eo7 Dérivée d une fonction Vidéo partie. Définition Vidéo partie. Calculs Vidéo partie 3. Etremum local, théorème de Rolle Vidéo partie 4. Théorème des accroissements finis Eercices Fonctions dérivables

Plus en détail

FONCTIONS DE REFERENCE

FONCTIONS DE REFERENCE FONCTIONS DE REFERENCE I. Rappels de la classe de seconde 1) Sens de variation d'une fonction Définitions : Soit f une fonction définie sur un intervalle I. - Dire que f est croissante sur I (respectivement

Plus en détail

ÉTUDE DE FONCTIONS, FONCTIONS CONTINUES

ÉTUDE DE FONCTIONS, FONCTIONS CONTINUES I. La continuité : Définition : ÉTUDE DE FONCTIONS, FONCTIONS CONTINUES 1 ) Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Graphiquement, on reconnaît qu'une fonction est continue sur un

Plus en détail

Mathématique - Cours Filière STAV 2014-2015 Centre de Formation aux Métier de la Montagne Marine Estorge

Mathématique - Cours Filière STAV 2014-2015 Centre de Formation aux Métier de la Montagne Marine Estorge Mathématique - Cours Filière STAV 2014-2015 Centre de Formation aux Métier de la Montagne Marine Estorge Le programme se compose ainsi : Rappels collège/seconde Partie STAV 1/3 Partie STAV 2/3 Partie STAV

Plus en détail

FONCTIONS. Fonctions usuelles. I.1 Fonctions affines

FONCTIONS. Fonctions usuelles. I.1 Fonctions affines BTS Fonctions 0-0 FONCTIONS I Fonctions usuelles I. Fonctions affines Définition a et b sont deu réels donnés. La fonction définie sur R par f() = a + b est appelée fonction affine. Sa représentation graphique

Plus en détail

Fonction polynôme du second degré : Forme canonique

Fonction polynôme du second degré : Forme canonique Fonction polynôme du second degré : Forme canonique I) Introduction. Soit g(x) = a(x - s)²+h. Toute fonction polynôme du second degré peut s écrire sous cette forme. Le passage de la forme développée à

Plus en détail

Mathématique - Cours

Mathématique - Cours Mathématique - Cours Filière STAV 2014-2015 Centre de Formation aux Métier de la Montagne Marine Estorge Le programme se compose ainsi : partie seconde partie 1/3 partie 2/3 partie 3/3 Sommaire 1 Ensemble

Plus en détail

Définition d une suite récurrente à l aide de la fonction ln

Définition d une suite récurrente à l aide de la fonction ln Définition d une suite récurrente à l aide de la fonction ln Thèmes. fonction ln, théorème des valeurs intermédiares, suite définie par récurrence : majoration, minoration, monotonie, convergence, eistence.

Plus en détail

Dérivation : Résumé de cours et méthodes

Dérivation : Résumé de cours et méthodes Dérivation : Résumé de cours et métodes Nombre dérivé - Fonction dérivée : DÉFINITION (a + ) (a) Etant donné est une onction déinie sur un intervalle I contenant le réel a, est dérivable en a si tend vers

Plus en détail

Limites Comportement asymptotique

Limites Comportement asymptotique Limites Comportement asymptotique Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 2009/200 Table des matières Limite d une fonction en, en 3. Limite infinie en, en...................................... 3.2 Limite

Plus en détail

La fonction exponentielle

La fonction exponentielle La fonction exponentielle L expression «croissance exponentielle» est passée dans le langage courant et désigne sans distinction toute variation «hyper rapide» d un phénomène. Ce vocabulaire est cependant

Plus en détail

Première ES DS1 second degré 2014-2015 S1

Première ES DS1 second degré 2014-2015 S1 1 Première ES DS1 second degré 2014-2015 S1 Exercice 1 : (3 points) Soit la parabole d équation y = 25x² - 10x + 1. On considère cette parabole représentée dans un repère (O ;I,J). 1) Déterminer les coordonnées

Plus en détail

Remarque : une fonction continue sur un intervalle possède une représentation graphique qui

Remarque : une fonction continue sur un intervalle possède une représentation graphique qui Chapitre 6 : CONTINUITE - DERIVATION 1. CONTINUITE 1. 1 Continuité en un point Définition Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle I de R, et a un élément de I (distinct des bornes de I)

Plus en détail

Fonctions linéaires et affines. 1 Fonctions linéaires. 1.1 Vocabulaire. 1.2 Représentation graphique. 3eme

Fonctions linéaires et affines. 1 Fonctions linéaires. 1.1 Vocabulaire. 1.2 Représentation graphique. 3eme Fonctions linéaires et affines 3eme 1 Fonctions linéaires 1.1 Vocabulaire Définition 1 Soit a un nombre quelconque «fixe». Une fonction linéaire associe à un nombre x quelconque le nombre a x. a s appelle

Plus en détail

Image d un intervalle par une fonction continue

Image d un intervalle par une fonction continue DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction

Plus en détail

Séquence 2. Fonctions numériques Continuité. Sommaire. 1. Pré-requis. 2. Étude de fonctions (révisions 1 re ES)

Séquence 2. Fonctions numériques Continuité. Sommaire. 1. Pré-requis. 2. Étude de fonctions (révisions 1 re ES) Séquence Fonctions numériques Continuité Objectifs de la séquence Revoir les fonctions dérivables et découvrir les fonctions continues. Étudier le sens de variation d une fonction pour résoudre un problème

Plus en détail

Dérivation Continuité

Dérivation Continuité Dérivation Continuité Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 2009/2010 Table des matières 1 Nombre dérivé Fonction dérivé 2 1.1 Nombre dérivé.......................................... 2 1.2 Fonction dérivée.........................................

Plus en détail

Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé

Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue

Plus en détail

Introduction aux limites de fonctions

Introduction aux limites de fonctions Introduction aux ites de fonctions 1. Définition de la ite d'une fonction Une fonction est le lien entre 2 quantités qui évoluent ensemble. L'intérêt est qu'à partir de l'une on peut connaître l'autre.

Plus en détail

Fonctions affines Exercices corrigés

Fonctions affines Exercices corrigés Fonctions affines Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : Exercice 1 : antécédent, image, résolution d équation, représentation graphique d une fonction affine (coefficient directeur et ordonnée

Plus en détail

Terminale S Chapitre 1 : Fonctions, variations et limites Page 1 sur 11

Terminale S Chapitre 1 : Fonctions, variations et limites Page 1 sur 11 Terminale S Chapitre : Fonctions, variations et ites Page sur I) Dérivation ) Définition et interprétation géométrique : Soient f une fonction définie sur un intervalle I de R et a I. La fonction est dérivable

Plus en détail

EXERCICES. Exercice 3 : Soit f la fonction définie sur ]0; + [ par f (x) = 1 5 ln(x). 1. Déterminer les limites suivantes : lim f (x) et lim f (x)

EXERCICES. Exercice 3 : Soit f la fonction définie sur ]0; + [ par f (x) = 1 5 ln(x). 1. Déterminer les limites suivantes : lim f (x) et lim f (x) EXERCICES LN Eercice : Soit f la fonction définie sur ]0;+ [ par f ()=+ ln(). On note C sa courbe représentative dans un repère orthogonal.. a. Calculer f () b. Déterminer l équation de la tangente T à

Plus en détail

Développements limités. Notion de développement limité

Développements limités. Notion de développement limité MT12 - ch2 Page 1/8 Développements limités Dans tout ce chapitre, I désigne un intervalle de R non vide et non réduit à un point. I Notion de développement limité Dans tout ce paragraphe, a désigne un

Plus en détail

Fiche d exercices 3 : Continuité, Dérivabilité et Etude de fonctions Continuité

Fiche d exercices 3 : Continuité, Dérivabilité et Etude de fonctions Continuité Fiche d eercices : Continuité, Dérivabilité et Etude de fonctions Continuité Eercice On considère la fonction f définie sur [ ; + [ par : f() E() pour [ ; 4[ f() 4 + 4 pour [ 4 ; + [ a. Tracer la représentation

Plus en détail

Continuité d une fonction, Théorème des valeurs intermédiaires

Continuité d une fonction, Théorème des valeurs intermédiaires Continuité d une fonction, Théorème des valeurs intermédiaires I) Notion de continuité 1) Définition On dit qu une fonction est continue sur un intervalle I lorsque le tracé de sa courbe représentative

Plus en détail

La fonction exponentielle

La fonction exponentielle DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction

Plus en détail

4. Etablir le tableau de variations et le tableau de signes du sinus sur l intervalle ;

4. Etablir le tableau de variations et le tableau de signes du sinus sur l intervalle ; Vdouine Terminale S Chapitre Fonctions, limites, continuité, dérivabilité La fonction cosinus Tracer la courbe représentative du cosinus Etablir le tableau de variations et le tableau de signes du cosinus

Plus en détail