CH1 : Langages de la continuité Limites

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1 CH : Langages de la continuité Limites I. Continuité- Théorème des valeurs intermédiaires. Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R. Lorsque la courbe représentative de f ne présente pas de «saut», c est à dire lorsque cette courbe se trace d un seul tenant sans lever le crayon, on dit que f est continue sur I.. Eemples de fonctions continues O La fonction carrée ² est continue sur R. O La fonction inverse est continue sur ]0 ; + [ et sur ]- ; 0[. a b O Une fonction affine a + b est continue sur R. Propriétés : Les fonctions de référence (fonctions affines, carré, inverse, racine carrée) sont continues sur chaque intervalle de leur ensemble de définition. Les fonctions polynômes sont continues sur R. Les fonctions rationnelles sont continues sur chaque intervalle de leur ensemble de définition. Eemples : ) La fonction f définie sur R par f() = est continue sur R. ) La fonction f définie sur R \ {} par f() = 4 est continue sur ]- ; [ et sur ] ; + [.. Contre-eemple : la fonction partie entière Définition : La fonction partie entière est la fonction définie sur R, qui, à tout réel, associe l entier relatif n tel que n < n +. On note E cette fonction partie entière. Par eemple : E() = car < E(5,8) = 5 car 5 5,8 < 6 E(-) = - car - < 0 E(-,) = - car - -, < Représentation graphique de E : Soit n Z, pour tout [n ; n + [, E() = n. Donc, sur [n ; n + [, on trace le segment de droite d équation y = n. O Remarque : E n est pas continue sur R, car pour tracer sa courbe, il faut lever le crayon au points d abscisses,, et plus généralement en chaque point d abscisse entière.

2 . Théorème des Valeurs Intermédiaires Nous admettrons le théorème suivant : Théorème : (TVI) Si une fonction f est continue sur un intervalle fermé [a ; b], et si k est un réel quelconque situé entre f(a) et f(b) (ces deu valeurs comprises), alors il eiste au moins un nombre c dans [a ; b] tel que f(c) = k. Si on ajoute une hypothèse de monotonie à ce théorème, cela nous permet d affiner encore plus la conclusion : Théorème : Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle fermé [a ; b], et si k est un réel quelconque situé entre f(a) et f(b) (ces deu valeurs comprises), alors il eiste un unique nombre c dans [a ; b] tel que f(c) = k. Cela signifie que si f est continue et strictement monotone sur [a ; b], f prend une fois et une seule toute valeur comprise entre f(a) et f(b). II. Les limites. Rappels de première Limites des fonctions de références : a désigne un réel lim ² lim ² lim lim lim lim = 0 a lim = 0 a + ( ) lim = 0 a (les résultats des dernières limites sont identiques lorsque tend vers ) lim a a > a lim a a < a lim a a ( ) lim a a

3 Asymptotes à une courbe : f est une fonction définie sur un intervalle I, C est sa courbe représentative dans un repère orthogonal, a et b désignent des réels. Dire qu une la droite d équation = a est asymptote verticale à C signifie que la limite de f en a est + ou (ou la limite à droite ou à gauche de a) Dire que la droite d équation y = b est asymptote horizontale à C en + (respectivement en ) signifie que lim f ( ) = b (respectivement lim f ( ) = b ). Dire que la droite d équation y = a + b, avec a 0, est asymptote oblique à en + (respectivement en ) signifie que lim f ( ) ( a + b) = 0 (respectivement ( ) ( f a b ) lim ( ) ( + ) = 0 ). Opérations sur les limites a) Limite d une somme De manière générale, la limite de la somme de deu fonctions est égale à la somme des limites de celles-ci sauf cas particuliers! Limite de f Limite de g Limite de f + g l l' l + l' l + + l Indéterminé Eemples : lim ( ² ) + lim 4 ² + ( ) lim + 4 = 4 0

4 b) Limite d un produit Limite de f Limite de g Limite de f. g l l' l l' l > l > 0 l < 0 + l < Indéterminé Eemples : lim ² + 4 lim ( + 5) = F. I. 0 ( ) c) Limite d un quotient Limite de f Limite de g Limite de f / g l l' 0 l l l ou l' > l' < 0 l' > 0 l' < 0 + ou + ou + Indéterminé l > 0 ou l > 0 ou + 0 l < 0 ou 0 + l < 0 ou Indéterminé Eemples : lim = 0 ² + 5 lim lim 0 ² lim = F. I. +

5 . Limites à l infini des fonctions polynômes Propriété : La limite en + et en d une fonction polynôme est égale à la limite en + et en de son terme de plus haut degré. Dem : en classe Eemple : P 7 5 ( ) = lim P( ) = F. I. Mais P 4 7 ( ) = Ainsi lim P( ) Eemple : Q( ) = lim Q( ) = lim car est le terme de plus haut degré de Q( ). 4. Limite à l infini des fonctions rationnelles Propriété : : La limite en + et en d une fonction rationnelle est égale à la limite en + et en du quotient des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur. C est-à-dire que si on a une fonction rationnelle Q() = a n n + + a + a 0 b p p (a + + b + b n 0 et b p 0). 0 a alors lim Q() = lim n n ± ± b p p. 4 + Eemple : Q ( ) = 5 + Le dénominateur et le numérateur tendent vers + lorsque tend vers +. Donc lim Q ( ) = F. I. 4 + Mais Q ( ) = donc lim Q ( ) lim lim = = 5 5

6 4 + Eemple : Q ( ) = 4 4 lim Q ( ) = lim = lim = Recherche de limites par comparaison avec des fonctions connues Propriété : α désigne un nombre réel, ou + ou f et g sont deu fonctions définies sur un intervalle I. Si pour tout de I - f ( ) g( ) - et lim g( ) α Alors lim f ( ) α Si pour tout de I - f ( ) g( ) - et lim g( ) α Alors lim f ( ) α Eemple : f ( ) = 4 ² + sur Alors lim f ( ) = F. I. + R + Mais pour tout R 4 ² + 4 ², donc 4 ² + + Ainsi, pour tout R, f ( ) Or lim donc d après le théorème de comparaison, lim f ( ) Propriété : Théorème des gendarmes α désigne un nombre réel, ou + ou f, u et v sont trois fonctions définies sur un intervalle I. Si pour tout de I u( ) f ( ) v( ) et lim u( ) = lim v( ) = l α Alors lim f ( ) = l α α

7 Eemple : f est une fonction définir sur ] 0;+ [, telle que a) Peut-on en déduire la limite de f en +? b) Peut-on en déduire la limite de f en 0? a : lim + = 0 et lim ² + b : On sait que lim 0 = 0 donc et f() lim f() = 0. + ] ; + [ f ( ) ² ] 0; ] f ( ) ² pour tout ]0 ; ] donc lim f() Fonctions composées et limites. Définition Soit f une fonction définie sur un intervalle I, à valeurs dans un intervalle J. Soit g une fonction définie sur le même intervalle J. La fonction composée de f suivie de g est la fonction notée g f (g rond f) définie sur I par : Pour tout de I, g f ( ) = g[ f ( )] f ( ) g f g ( X ) = g [ f ( )] X J I f f() g g o f g(f()) = g o f() Remarque : en général : f o g g o f. Eemples : Soient f et g les fonctions définies R sur par : f ( ) = ² et g( ) = Pour tout réel, g f f g( ) : + X X + = ( + ) ( + ) + = 9 ² X Pour tout réel, ( ) : f g g f ² + X = ( ² + ) = ² 6 + X

8 . Sens de variation En se plaçant sur un intervalle I où la fonction composée g o u eiste : Si les deu fonctions ont même sens de variation, alors leur composée est croissante sur I. Si les deu fonctions sont de sens de variation contraires, alors leur composée est décroissante sur l intervalle I.. Limites de fonctions composées Propriété : a, b et c désignent des nombres réels ou + ou. Soient f, g et h fonctions telles que : f = g h Si lim h( ) = b a lim g( X ) = c X b alors lim g[ h( )] = lim f ( ) = c a a Eemple : Soit f la fonction définie sur ; + par f ( ) =, on chercher sa limite en : h g X = X Or lim = 0 et lim X 0 X donc lim f ( ). X

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