En 2005, année de sa création, un club de randonnée pédestre comportait 80 adhérents. Chacune des années suivantes on a constaté que :

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1 Il sera tenu compte de la présentation et de la rédaction de la copie lors de l évaluation finale. Les élèves n ayant pas la spécialité mathématique traiteront les exercices 1, 2,3 et 4, les élèves ayant la spécialité mathématique traiteront les exercices 1, 2,3 et 5. Exercice 1 En 2005, année de sa création, un club de randonnée pédestre comportait 80 adhérents. Chacune des années suivantes on a constaté que : 10 % des participants ne renouvelaient pas leur adhésion au club ; 20 nouvelles personnes s inscrivaient au club. On suppose que cette évolution reste la même au fil des ans. Partie A On donne l algorithme suivant : Entrée Saisir n entier positif Traitement X prend la valeur 80 Pour i allant de 1 à n Affecter à X la valeur 0,9X + 20 Fin Pour X prend la valeur de X arrondie à l entier inférieur Sortie Afficher X 1) Pour la valeur n = 2 saisie, quelle est la valeur affichée à la sortie de cet algorithme? 2) Interpréter dans le contexte du club de randonnée, pour la valeur n = 2 saisie, le nombre affiché à la sortie de cet algorithme. Partie B 1) On considère la suite (a n ) définie par a 0 = 80 et, pour tout entier naturel n, a n+1 = 0,9a n Pour tout entier naturel n, on pose : b n = a n 200. a) Démontrer que (b n ) est une suite géométrique ; préciser sa raison et son premier terme. b) Exprimer b n en fonction de n. 2) En déduire que, pour tout entier naturel n, on a : a n = ,9 n. 3) Quelle est la limite de la suite (a n )? Partie C 1) L objectif du club est d atteindre au moins 180 adhérents. Cet objectif est-il réalisable? 2) Même question si l objectif du président du club est d atteindre au moins 300 adhérents. 1

2 Exercice 2 Pour les questions 1 à 4, une seule des réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte 0,5 point. Une réponse inexacte ou l'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun. On donne ci-dessous, dans un repère (O; i, définie et dérivable sur [0;8]. On sait que : j ), la courbe représentative (C) d'une fonction la courbe (C) passe par les points O(0;0) et A 2; 8 e, la tangente à (C) en O est la droite (T) qui passe par le point de coordonnées (1;4), la tangente à (C) en A est parallèle à l'axe des abscisses. 1) Le nombre f'(0) est égal : a. -1 b. 0 c. 4 2) L'inéquation f'(x) 0 a pour ensemble de solutions : a. [0;8] b. [0;2] c. [0;2[ 3) f'(2) = a. 0 b. -1 c. 1 4) L'équation f(x) = 2 admet sur [2;8] a. aucune solution b. 1 solution c. 2 solutions 5) Donner le tableau de variations de la fonction f sur [0;8]. 6) Donner le tableau de signe de f(x) sur [0;8]. 7) Donner le tableau de signe de f'(x) sur [0;8]. 2

3 Exercice 3 Une entreprise fabrique des poulies utilisées dans l industrie automobile. On suppose que toute la production est vendue. L entreprise peut fabriquer entre 0 et poulies par semaine. On note x le nombre de milliers de poulies fabriquées et vendues en une semaine. (x varie donc dans l intervalle [0 ;3,6]). Le bénéfice hebdomadaire est noté B(x), il est exprimé en milliers d euros. L objet de cet exercice est d étudier cette fonction B. Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment l une de l autre. Partie A On a représenté, en annexe, la fonction B dans un repère du plan. Chaque résultat sera donné à cent poulies près ou à cent euros près suivant les cas. Les traits utiles à la compréhension du raisonnement seront laissés sur le graphique et une réponse écrite sur la copie sera attendue pour chaque question posée. 1) Déterminer dans quel intervalle peut varier le nombre de poulies pour que le bénéfice soit supérieur ou égal à euros. 2) Quel est le bénéfice maximum envisageable pour l entreprise? Pour quel nombre N de poulies fabriquées et vendues semble-t-il être réalisé? Partie B Le bénéfice hebdomadaire noté B(x), exprimé en milliers d euros vaut B(x) = -5 + (4 x)e x. 1) a) On note B la fonction dérivée de la fonction B. Montrer que pour tout réel x de l intervalle I = [0 ;3,6], on a : B (x) = (3 x)e x. b) Déterminer le signe de la fonction B sur l intervalle I. c) Dresser le tableau de variation de la fonction B sur l intervalle I. On indiquera les valeurs de la fonction B aux bornes de l intervalle. 2) a) Justifier que l équation B(x) = 13 admet deux solutions x 1 et x 2, l une dans l intervalle [0 ;3] et l autre dans l intervalle [3 ;3,6]. b) A l aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée à 0,01 près de chacune des deux solutions. c) Répondre alors de manière plus précise aux questions 1 et 2 de la partie A. 3

4 Exercice 4 : pour les élèves ne suivant pas l'enseignement de spécialité maths On étudie l'évolution des ventes d'un nouveau produit. Cette évolution est modélisée par la fonction f définie sur [0;12] par f(x) = 1 3 x3 11x² + 112x où f(x) est le nombre d'unités vendues par jour et x le temps écoulé en mois depuis le lancement de ce produit. 1) Etudier les variations de f sur [0;12]. Dresser le tableau de variation de f. 2) A quel moment le nombre d'unités vendues est-il maximal au cours de la première année de commercialisation? Quel est alors ce nombre maximal? 3) Démontrer que l'équation f(x) = 350 admet une solution unique α sur l'intervalle [8;12]. Interpréter la solution de cette équation. 4

5 Exercice 5 : pour les élèves suivant l'enseignement de spécialité maths Sur le graphe ci-dessous, les sept sommets A, B, C, D, E, F et G correspondent à sept villes. Une arête reliant deux de ces sommets indique l existence d une liaison entre les deux villes correspondantes. 1) Quel est l ordre de ce graphe? 2) Ce graphe est-il complet? 3) Ce graphe est-il connexe? 4) Donner la matrice d adjacence de ce graphe. 5) Est-il possible de trouver un trajet, utilisant les liaisons existantes, qui part d une des sept villes et y revient en passant une fois et une seule par toutes les autres villes? 6) Donner le nombre de chemins de longueur 3 qui relient le sommet A au sommet F. (Justifier). Citer ces chemins. 5

6 Annexe 6

7 CORRECTION Exercice 1 Partie A 1) i X. 80 Etape 1 1 0, = 92 Etape 2 2 0, = 102,8 Pour n = 2, la valeur affichée par l'algorithme est ) Le nombre affiché correspond au nombre d'adhérents en l'année Partie B 1) a) b n+1 = a n = 0,9a n =0,9a n 180 = 0,9(b n + 200) 180 b n+1 = 0,9b n + 0, = 0,9b n On reconnait la définition récurrente d'une suite géométrique de raison 0,9. b 0 = a = = -120 Donc (b n ) est la suite géométrique de raison q = 0,9 et de premier terme b 0 = b) b n = b 0 q n = ,9 n 2) a n = b n = ,9 n 3) Comme 0 < 0,9 < 1 alors lim 0,9 n = 1 Donc lim a n = 200 Partie C 1) On souhaite que a n 180. On peut remarquer que la suite (a n ) est croissante. Le tableau suivant des valeurs de (a n ) permet de conclure : n Année a(n) , , , , , , , , , , , , ,

8 CORRECTION , , , , , , L'objectif est atteint en 2023 (a 17 < 179 et a 18 > 180). 2) Comme la suite (a n ) est croissante et que sa limite est 200, l'objectif d'atteindre 300 adhérents n'est pas réalisable. Exercice 2 1) Le nombre f'(0) est égal : a. -1 b. 0 c. 4 2) L'inéquation f'(x) 0 a pour ensemble de solutions : a. [0;8] b. [0;2] c. [0;2[ 3) f'(2) = a. 0 b. -1 c. 1 4) L'équation f(x) = 2 admet sur [2;8] a. aucune solution b. 1 solution c. 2 solutions 5) Donner le tableau de variations de la fonction f sur [0;8]. x f' f(x) /e - 8 0,5 6) Donner le tableau de signe de f(x) sur [0;8]. f(x) > 0 sur ]0;8] et f(0) = 0 7) Donner le tableau de signe de f'(x) sur [0;8]. x f'(x) + 0-8

9 CORRECTION Exercice 3 Partie A 1) On lit les abscisses des points de la courbe dont l'ordonnée est supérieure à 13. Soit environ l'intervalle [2,5;3,4]. Ce qui correspond à une production de poulies comprise entre environ 2500 et ) On lit les coordonnées du point de la courbe dont l'ordonnée est la plus grande. Soit environ (3;15,1). Le bénéfice maximum est d'environ et il est atteint pour N = poulies produites. Partie B 1) a) B(x) = -5 + (4 x)e x. B(x) = -5 + u(x) v(x). Avec u(x) = 4 x et v(x) = e x B est une fonction dérivable sur [0;3,6] en tant que somme et produit de deux fonctions dérivables sur cet intervalle. Donc B'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) Or u'(x) = -1 et v'(x) = e x D'où : B'(x) = -1 e x + (4 x) e x = e x [-1 + (4 x)] = e x (3 x) b) Comme e x > 0 pour tout x réel, alors B'(x) est du signe de 3 x. Donc sur [0;3], B'(x) 0 et sur [3;3,6], B'(x) 0. c) Tableau de variation de f : 9

10 CORRECTION x f' f(x) e ,4 e 3,6 B(0) = e 0 = = -1 B(3) = -5 + (4 3)e 3 = -5 + e 3 15,09 B(3.6) = -5 + (4 3,6)e 3,6 = -5 +0,4 e 3.6 9,64 2) a) La fonction B est continue, strictement croissante sur [0 ;3] et f(0) < 13 et f(3) > 13, donc selon la propriété des valeurs intermédiaires l équation B(x) = 13 admet une solution unique nommée x 1 sur [0 ;3]. La fonction B est continue, strictement décroissante sur [3 ;3,6] et f(3) > 13 et f(3,6) < 13, donc selon la propriété des valeurs intermédiaires l équation B(x) = 13 admet une solution unique nommée x 2 sur [3 ;3,6]. Conclusion : sur l intervalle [0 ;3,6] l équation B(x) = 13 admet deux solutions x 1 [0 ;3] et x 2 [3 ;3,6]. b) A l aide de la calculatrice à partir d une méthode par balayage, on obtient : x 1 2,46 et x 2 3,40. c) Le bénéfice dépasse pour un nombre de poulies fabriquées compris entre environ et 3400 poulies. Le bénéfice maximal est d'environ et il est atteint pour poulies fabriquées. Exercice 4 : pour les élèves ne suivant pas l'enseignement de spécialité maths 1) f est dérivable sur [0;12] en tant que polynôme de degré 3. f'(x) = 1 3x² x = x² - 22x On étudie le signe du polynôme du second degré : x² - 22x Le discriminant est = (-22)² = 36 = 6² Les solutions de l'équation x² - 22x = 0 sont donc f' est donc positive sur [0;8] et négative sur [8;12]. f est donc croissante sur [0;8] et décroissante sur [8;12]. = 8 et = 14 10

11 CORRECTION On en déduit le tableau des variations de f suivant : x f' f(x) / f(0) = 0 f(8) = = f(12) = = 336 2) Le maximum de f est et il est atteint pour x = 8. Le nombre d'unités vendues est-il maximal au bout de 8 mois. Et ce nombre maximal est environ ) La fonction f est continue et strictement décroissante sur [8;12] et f(8) > 350 et f(12) < 350, donc selon la propriété des valeurs intermédiaires l'équation f(x) = 350 admet une solution unique α sur [8;12]. α correspond au nombre de mois supérieur à 8 tel que le nombre d'unités vendu soit égal à 350. (Remarque : α 10,4). 11