Méthodes de sous-domaines pour calculer le ux dans des milieux poreux hétérogènes

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1 Méthodes de sous-domaines pour calculer le ux dans des milieux poreux hétérogènes Baptiste Poirriez Étude bibliographique Master 2 Recherche Informatique 2007 Résumé Les méthodes de sous-domaines permettent d'accélérer et de paralléliser les résolutions de systèmes linéaires de grande taille. Nous étudions ici deux classes de méthodes, celle sans recouvrement avec la méthode de Schur et celle avec recouvrement avec les méthodes de Schwarz. Cette étude fournit les bases théoriques nécessaires à l'utilisation de ces méthodes pour résoudre des problèmes d'écoulement dans les milieux poreux hétérogènes. Encadrants : Jocelyne Erhel, Frédéric Guyomarc'h Projet SAGE

2 Table des matières 1 Introduction 2 2 Notions d'algèbre linéaire Matrices particulières Matrice symétrique dénie positive M-matrice Conditionnement Préconditionnement Déation Gradient Conjugué Matrice réduite associée au complément de Schur Complément de Schur Décomposition en sous-domaines sans recouvrement Schur comme préconditionnement Extension à n sous-domaines Méthodes de Schwarz Méthode de Schwarz multiplicative Méthode de Schwarz additive Méthodes de Schwarz comme préconditionnement Extension à n sous-domaines Conclusion 11 1

3 1 Introduction L'informatique et le développement de machines de calcul puissantes ont permis de réaliser des modélisations prenant en compte un grand nombre de paramètres. Ces modélisations permettent de simuler des expériences qui seraient trop coûteuses en temps ou en moyen, ou encore trop risquées si on devait les réaliser réellement. Elles permettent aussi de réaliser très rapidement un grand nombre d'expériences très proches, avec juste une variation des paramètres d'entrée. Pour réaliser ces simulations, on doit résoudre des systèmes linéaires de grande taille. La grande taille de ces systèmes entraîne un certain nombre de problèmes techniques. En premier lieu il peut arriver que l'espace mémoire nécessaire pour résoudre de tels systèmes soit énorme. Ensuite, la puissance de calcul nécessaire pour obtenir une solution dans un temps raisonnable peut être considérable. Ces considérations ont amené à envisager l'utilisation de machines parallèles pour résoudre ces systèmes. L'approche appelée diviser pour régner est une méthode algorithmique classique, qui consiste à diviser le problème initial en un certain nombre de problèmes plus petits et à se servir de la solution de ces problèmes de taille réduite pour obtenir la solution au problème de départ. Elle est utilisée pour réduire la taille des problèmes à résoudre et accélérer le traitement de ces problèmes. Elle permet en outre de faciliter la parallélisation de ces résolutions. Les méthodes de décomposition en sous-domaines appartiennent à cette famille algorithmique. Avec ces méthodes, il s'agit de diviser le domaine Ω sur lequel on travaille pour résoudre le système linéaire en deux (ou plus) sous-domaines Ω 1 et Ω 2. Cette décomposition peut se faire sans recouvrement, si l'intersection entre Ω 1 et Ω 2 est réduite à la frontière entre ces deux domaines, ou au contraire avec recouvrement. Dans cette étude, après un bref rappel de notions d'algèbre linéaire nécessaires, nous nous attarderons sur une méthode qui appartient à la première famille, utilisant le complément de Schur. Dans un deuxième temps nous étudierons les méthodes dites de Schwarz, qui appartiennent à la deuxième famille. 2 Notions d'algèbre linéaire Dans toute la suite, une lettre majuscule représentera une matrice, et une lettre minuscule un vecteur. Par exemple Ab représente le produit entre la matrice A et le vecteur b. 2

4 2.1 Matrices particulières Matrice symétrique dénie positive Une matrice symétrique dénie positive est une matrice A telle que : A = A T (Ax, x) > 0, x M-matrice On écrira B 0 si B i,j 0 (i, j) [1, n] 2 ; si les valeurs propres de B sont notées λ i, i [1, n], alors le rayon spectral de B est déni par : ρ(b) = max λ i. i [1,n] Une M-matrice est une matrice qui peut être décomposée sous la forme A = σi B avec σ > 0, B 0 et ρ(b) σ. 2.2 Conditionnement Lors de la résolution avec un algorithme itératif du système linéaire Ax = b, on cherche une solution numérique. Même si la solution existe mathématiquement, il se peut que lors de la résolution la vitesse de convergence soit très faible, voire nulle. On peut prévoir ce comportement grâce au spectre de la matrice. Une première indication est donnée par le conditionnement de la matrice A. Plus le conditionnement de A, noté κ(a), est petit, plus la convergence est rapide. Lorsque κ(a) est trop élevé, on dit que le système est mal conditionné. κ(a) est déni ainsi : κ(a) = A A 1. Dans le cas où A est symétrique, cela donne κ(a) = λ max λ min où λ max et λ min sont respectivement les valeurs propres maximale et minimale de A, en valeur absolue. 3

5 2.3 Préconditionnement Comme on l'a évoqué dans le point précédent, une résolution numérique peut ne pas aboutir si le système est mal conditionné. Pourtant théoriquement la solution existe. On va alors essayer de diminuer κ(a). Pour ce faire, on va transformer le système en un système linéaire qui a la même solution mais qui est mieux conditionné. Étant donné une matrice M, le nouveau système est donné par : M 1 Ax = M 1 b. Lors du choix de la matrice M on s'assure que si A est symétrique et dénie positive alors M le soit aussi, si A est une matrice creuse, alors M le soit aussi puisqu'on ne veut pas utiliser beaucoup plus de capacité de stockage pour M que pour A, M soit facile à construire, pour ne pas perdre trop de temps de calcul, M 1 y soit facile à résoudre, pour la même raison. Le préconditionnement présenté ici est un préconditionnement à gauche. On peut similairement avoir un préconditionnement à droite en transformant le système de la façon suivante : ou un préconditionnement symétrique AM 1 y = b, Mx = y M 1 2 AM 1 2 y = M 1 2 b, M 1 2 x = y. 2.4 Déation On trouve une description de cette méthode dans [14, 10]. Soit un système linéaire de taille n n Ax = b. Soient Y et Z des matrices dont les colonnes génèrent l'espace voulu. Les colonnes de ces deux matrices doivent être libres et de même taille. Soient les projections P et Q dénies par : P = I AZ(Y T AZ) 1 Y T Q = I Z(Y T AZ) 1 Y T A. On a les propriétés suivantes pour P et Q : P 2 = P, Q 2 = Q P AZ = Y T P = 0, Y T AQ = QZ = 0 4

6 P A = AQ. La résolution du système par déation se base sur la décomposition des vecteurs en utilisant les projections. En posant b = P b + (I P )b on peut chercher x 1 et x 2 tels que x 1 + x 2 = Qx + (I Q)x et Ax 1 = Ax 2 = P b (I P )b. De manière immédiate on a x 2 = Z(Y T AZ) 1 Y T b. On veut maintenant x 1 tel que x 1 = Q x, ce qui garantit que x 1 soit dans le bon espace. On a alors AQ x = P b, soit P A x = P b. Historiquement la déation fut décrite avec Y = Z un ensemble de vecteurs propres de A. J. Frank et C. Vuik [6] utilisent la déation en lien avec les sous-domaines,avec Z = Y. Un domaine Ω est décomposé, sans recouvrement, en m sousdomaines Ω i. Soit les ensembles d'indices suivant : I = {i u i Ω} et I i = {i u i Ω i }. On dénit alors Z par : { 1, i Ij z ij =. 0, i / I j Avec ce choix pour Z, la projection P agit sur chaque sous-domaine en le rassemblant dans un seul élément. 2.5 Gradient Conjugué La méthode du Gradient Conjugué (CG)[7] itérative est la méthode privilégiée quand la matrice A est une matrice symétrique dénie positive. On trouve de nombreuses descriptions dans la litérature, notamment dans [5, 11] et sur la page Wikipedia [1]. Elle peut être associée à un préconditionnement, on parle dans ce cas du Gradient Conjugué Préconditionné (PCG). Résoudre le système Ax = b est équivalent à minimiser la forme quadratique ϕ(x) = 1 2 xt Ax x T b. Le gradient de cette forme au point x vaut r = Ax b. Contrairement à la méthode du gradient qui prendrait cette direction comme direction de descente, la méthode CG impose que les directions de descentes soient conjuguées entre elles (c'est-à-dire A-orthogonales). 5

7 Algorithm 1 Gradient Conjugué Préconditionné // Initialisation : Choisir x 0 r 0 = b Ax 0 z 0 = M 1 r 0 p 0 = z 0 // Itérations : k = 0 repeat α k = rt k z k p T k Ap k x k+1 = x k + α k p k r k+1 = r k α k Ap k z k+1 = M 1 r k+1 β k = rt k+1 z k+1 r T k z k p k+1 = z k+1 + β k p k k = k + 1 until convergence. 3 Matrice réduite associée au complément de Schur 3.1 Complément de Schur Soit un système linéaire Ax = b se décomposant sous cette forme : A 11 0 A 13 x 1 b 1 0 A 22 A 23 x 2 = b 2. (1) A T 13 A T 23 A 33 x 3 b 3 Dans ce cas le système se réduit par substitution à un système équivalent avec comme unique inconnue x 3, puisque si x 3 est connue alors x 1 = A 1 11 (b 1 A 13 x 3 ) x 2 = A 1 22 (b 2 A 23 x 3 ). On obtient alors le système suivant : Sx 3 = b 3 (2) avec S = (A 33 A T 13A 1 11 A 13 A T 23A 1 22 A 23 ) 6

8 et b3 = b 3 A T 13A 1 11 b 1 A T 23A 1 22 b 2. La matrice S est appelée complément de Schur de A 33 dans A. La résolution de ce sous-système est habituellement faite avec la méthode du Gradient Conjugué, lorsque A est symétrique dénie positive. Le complément de Schur est d'autant plus intéressant qu'il n'est pas nécessaire de le calculer explicitement. En eet, à chaque itération du Gradient Conjugué on multiplie S et un vecteur, disons v : Sv = (A 33 A T 13A 1 11 A 13 A T 23A 1 22 A 23 )v. Le produit A 33 v est facilement calculable, et pour obtenir A T 13A 1 11 A 13 v, il sut de résoudre le système A 11 p = A 13 v puis de calculer A T 13p. Il en est de même pour A T 23A 1 22 A 23. De plus ces systèmes étant indépendants, leur résolution peut se faire en parallèle. 3.2 Décomposition en sous-domaines sans recouvrement Considérons un système d'équations provenant de la décomposition d'edp du second ordre. Dans cette partie, nous considérons un domaine Ω rectangulaire, discrétisé par une méthode aux éléments nis standard, coupé en deux sous-domaines Ω 1 et Ω 2 par la frontière Γ (Fig. 1). Fig. 1 Sous-domaines sans recouvrement La renumérotation des inconnues dans le domaine Ω est faite de façon à obtenir x = [x 1 x 2 x 3 ] T 7

9 avec x 1 Ω 1, x 2 Ω 2 et x 3 Γ. Le système linéaire Ax = b s'écrit avec une notation par blocs qui donne le système (1). Dans ces conditions, A 11 (resp. A 22, A 33 ) est une matrice qui représente la relation entre les inconnues dans Ω 1 (resp. Ω 2, Γ). Le bloc A 13 (resp. A 23 ) correspond à la relation entre Ω 1 (resp. Ω 2 ) et Γ. On peut alors former le complément de Schur S de A et si A est symétrique dénie positive résoudre l'équation (2) avec PCG. En considérant un modèle de Poisson du second ordre, discrétisé avec la méthode aux éléments nis standards, si la taille du maillage est h, κ(s) = O( 1 ). Il est intéressant de h supprimer la dépendance à la taille du maillage en préconditionnant S. Le préconditionnement de Neumann-Neumann permet de supprimer cette dépendance. Dans l'équation (1), on peut décomposer A 33 en deux parties, une pour chaque sous-domaine. On a alors On dénit A 33 = A (1) 33 + A (2) 33. S (1) = A (1) 33 A T 13A 1 11 A 13, S (2) = A (2) 33 A T 23A 1 22 A 23. Puis on pose M 1 NN = 1 [ (S (1) ) 1 + (S (2) ) 1] 2 Dans le cas du modèle de Poisson, on a alors κ(m 1 NNS) = O(1) Il existe de nombreux autres préconditionnements possibles, notamment les préconditionnements de Neumann-Dirichtlet, de Dryja ou de Golub et Mayers. Un certain nombre d'entre eux sont présentés dans [9, 4]. 3.3 Schur comme préconditionnement Si le calcul du complément de Schur peut être une méthode de résolution à part entière en résolvant l'équation (2), elle peut aussi servir de préconditionnement. Y. Saad et M. Sosonkina [12] présentent diérentes méthodes utilisant le complément de Schur pour construire M. Ces méthodes sont dédiées au calcul distribué et se basent sur un calcul exact ou approché du complément de Schur local (complément de Schur du sous système présent sur chaque processeur) ou global. Le préconditionneur est ensuite construit suivant la technique de factorisation LU incomplète. 8

10 3.4 Extension à n sous-domaines La méthode de Schur est extensible à n sous-domaines, numérotés de 1 à n. On a alors n n S = A n+1,n+1 A T i,n+1a 1 i,i A i,n+1 = S (i). i=1 Où A i,i représente la relation entre les inconnues dans Ω i, A n+1n+1 les relations entre les inconnues sur toutes les interfaces et A in+1 la relation entre Ω i et les interfaces. 4 Méthodes de Schwarz 4.1 Méthode de Schwarz multiplicative Cette méthode, contrairement à celle présentée dans la partie précédente, utilise une décomposition avec recouvrement (Fig. 2). i=1 Fig. 2 Sous-domaines avec recouvrement Elle consiste en fait à résoudre de manière exacte sur un sous-domaine puis sur l'autre, jusqu'à convergence. On se sert des valeurs trouvées lors de l'itération précédente pour les points situés dans la zone de recouvrement pour résoudre les sous-systèmes. On cherche toujours à résoudre le système Ax = b sur Ω = Ω 1 Ω 2. Soit R 1 (resp. R 2 ) la matrice de restriction à Ω 1 (resp. Ω 2 ). Alors R i ARi T est la restriction de A sur Ω i. On appellera x 2k 1 la solution du système sur Ω 1 après la demi-itération k, de même pour x 2k+1 2. On formera x 2k en complétant x 2k 1 par les derniers éléments de x 2k 1 2. De même pour x 2k+1 9

11 avec les premiers éléments de x 2k 1. Pour simplier l'écriture on posera aussi B i = R T i (R i AR T i ) 1 R i. À chaque itération, pour k = 1, 2,..., on calcule : et et x 2k = x 2k 1 + R T 1 (R 1 AR T 1 ) 1 R 1 (b Ax 2k 1 ) = x 2k 1 + B 1 (b Ax 2k 1 ) x 2k+1 = x 2k + R T 2 (R 2 AR T 2 ) 1 R 2 (b Ax 2k ) = x 2k + B 2 (b Ax 2k ). L'erreur à chaque itération est donnée par ε k = x x k, ce qui donne ε 2k = (I R T 1 (R 1 AR T 1 ) 1 R 1 A)ε 2k 1 ε 2k+1 = (I R T 2 (R 2 AR T 2 ) 1 R 2 A)ε 2k. Et après introduction de B i et suppression de ε 2k : ε 2k+1 = (I B 2 A)(I B 1 A)ε 2k 1. Si la matrice est symétrique dénie positive ou s'il s'agit d'une M-matrice, alors la convergence est assurée. Par ailleurs, si le recouvrement est plus important, la convergence est plus rapide (la convergence se fait en une itération si Ω 1 = Ω 2 = Ω, mais pour un coût de calcul plus important). 4.2 Méthode de Schwarz additive Au lieu de résoudre un sous-système, puis l'autre, la résolution des soussystèmes peut se faire en même temps. Il faut ensuite assembler les deux solutions. Cette méthode présente l'avantage, contrairement à la méthode ci-dessus, de pouvoir être facilement parallélisable. Elle est présentée ainsi dans [13]. À chaque itération on calcul x k+1 x k+1 = x k + (B 1 + B 2 )(b Ax k ). À chaque itération, l'erreur vaut ici ε k+1 = (I B 1 A B 2 A)ε k. Cette méthode ore un taux de parallélisme élevé puisque chaque sousproblème B i (b Ax k ) peut être calculé indépendamment des autres. Mais cette méthode, comme la version multiplicative, ne converge pas toujours. C'est pourquoi elle est souvent utilisée comme préconditionnement. 10

12 4.3 Méthodes de Schwarz comme préconditionnement Un préconditionnement peux être déni à partir de ces méthodes. La matrice M qui sert de préconditionnement est construite à partir des B i. Pour la méthode multiplicative, d'après [8], on a : M 1 = B 1 C B 2 avec C le bloc correspondant au recouvrement dans la matrice A, complété avec les blocs identités de taille nécessaire et B i la matrice B i complétée avec l'identité en dehors du bloc non nul. Et pour celle additive : M 1 = B 1 + B Extension à n sous-domaines Les deux méthodes ci-dessus sont extensibles au cas de n sous-domaines avec recouvrement. Dans ce cas, pour la version multiplicative, x k+1,1 = x k,n + B 1 (b Ax k,n ) x k+1,i = x k+1,i 1 + B i (b Ax k+1,i 1 ), i = 2...n l'erreur valant alors ε k+1 = n (I B i A)ε k i=1 Dans la version additive cela donne : Et l'erreur 5 Conclusion x k+1 = x k + n B i (b Ax k ). i=1 ε k+1 = (I n B i A)ε k. Nous avons vu une présentation synthétique des diérentes méthodes de sous-domaines. Dans [4], T F. Chan et T P. Mathew font une analyse des diérents taux de convergence. Les méthodes avec recouvrement sont en général plus robustes et convergent plus vite. Elles sont aussi plus faciles à 11 i=1

13 implémenter. Mais elles sont plus coûteuses en puissance de calcul à cause du recouvrement. Si en plus il y a une forte discontinuité entre les coecients sur cette zone de recouvrement, la discontinuité est reportée sur chaque sousdomaine, rendant la résolution des sous-systèmes problématique. Durant le stage, les systèmes étudiés découleront des écoulements qui suivent la loi de Darcy Kgrad(h) = v. Avec l'hypothèse de conservation de la masse on a div v = 0 dans Ω, d'où div(kgrad(h)) = 0. On impose des conditions aux limites pour compléter le système obtenu. Dans les problèmes étudiés, la perméabilité du milieu, K, présente une forte hétérogénéité spatiale (Fig. 3). Une première étape du stage sera d'étudier une forme simpliée du problème, en prenant un milieu où K prend deux valeurs distinctes, avec des formes géométriques simples. Puis le modèle sera rendu de plus en plus complexe, en faisant varier la forme des zones hétérogènes et le nombre des valeurs possibles pour K. L'objectif est de trouver la méthode de sousdomaines la plus adaptée et le découpage optimal. L'article de T. F. Chan et D. Goovaerts [3] ainsi que celui de P. Bjørstad et O. Widlund [2] montrent que la méthode avec recouvrement (Schwarz multiplicative) est équivalente à la méthode de Schur avec un préconditionnement de l'interface particulier. Cette similarité pourra servir de point de départ pour l'étude comparative qui sera réalisée. Fig. 3 Exemple de milieu fortement hétérogène 12

14 Références [1] [2] P. Bjørstad and O. Widlund. To overlap or not to overlap : A note on a domain decomposition method for elliptic problems, [3] T. F. Chan and D. Goovaerts. On the relationship between overlapping and nonoverlapping domain decomposition methods. SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, 13(2) :663670, [4] T. F. Chan and T. P. Mathew. Domain decomposition algorithms. In Acta Numerica 1994, pages Cambridge University Press, [5] J. Erhel, N. Nassif, and B. Philippe. Calcul matriciel et systèmes linéaires. Cours de DEA Informatique et Modélisation, [6] J. Frank and C. Vuik. On the construction of deation-based preconditioners. SIAM Journal on Scientic Computing, 23(2) :442462, [7] M.R. Hestenes and E. Stiefel. Methods of conjugate gradients for solving linear systems. J. Res. Nat. Bur. Stand, 49(6) :409436, [8] G.A. Kahou, E. Kamgnia, and B. Philippe. An explicit formulation of the multiplicative schwarz preconditionner [9] G. Meurant. Computer solution of large linear systems. Elsevier Science, [10] R. Nabben and C. Vuik. A comparison of deation and coarse grid correction applied to porous media ow. SIAM J. Numer. Anal., 42(4) : , [11] Y. Saad. Iterative Methods for Sparse Linear Systems. Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, PA, USA, [12] Y. Saad and M. Sosonkina. Distributed Schur complement techniques for general sparse linear systems. SIAM Journal on Scientic Computing, 21(4) : , [13] K.M. Singh and J.J.R. Williams. Application of the additive Schwarz method to large scale Poisson problems. Communications in Numerical Methods in Engineering, 20(3) :193205, [14] J. Verkaik. Deated krylov-schwarz domain decomposition methods for the cfd package x-stream. Master's thesis, Delft University of Technology and TNO TPD,