TD 3 - Modélisation et comportement des systèmes linéaires continus et invariants asservis(c2-2)

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1 LYCÉE LA MARTINIÈRE MONPLAISIR LYON SCIENCES INDUSTRIELLES POUR L INGÉNIEUR CLASSE PRÉPARATOIRE M.P.S.I. ANNÉE C : MODÉLISATION DES SYSTÈMES ASSERVIS TD 3 - Modélisaion e comporemen des sysèmes linéaires coninus e invarians asservis(c-) Compéences Analyser : apprécier la perinence e la validié des résulas. Modéliser : Proposer un modèle de connaissance e de comporemen : déerminer les foncions de ransfer des SLCI à parir d équaions physiques (modèle de connaissance) ; caracériser les signaux canoniques d enrée. 1 Modélisaion du cycle de chauffe d une imprimane 3D a) Présenaion du problème On souhaie modéliser le cycle de chauffe d une imprimane 3D uilisan le sysème FDM (Fused Deposiion Modeling). Cee echnique consise à déposer un fil de maière synhéique (en maériau ABS). On peu alors consruire un volume par addiion de maière. Les grandeurs d enrée e de sorie du problème son définies par : e() : empéraure de consigne; s() : empéraure effecive dans la buse ransporan le fil d ABS; Le comporemen hermique au niveau de la êe de dépose de fil peu êre décri par l équaion différenielle suivane : Lycée La Marinière Monplaisir Lyon 1 / 10 Classe préparaoire M.P.S.I.

2 d s() + 6 α ds() + 4 α s() K e() (1) α e K son des consanes réelles posiives. On suppose les condiions iniiales nulles (cela revien à considérer que e() e s() son les écars de empéraure par rappor à la empéraure ambiane). b) Analyse emporelle du problème vis-à-vis d une enrée à un échelon. Q 1 : Déerminer la ransformée de Laplace de l équaion 1. Q : Déerminer e() puis E(p). Q 3 : En déduire S(p). Q 4 : Déerminer l expression de la foncion de ransfer H(p) S(p) E(p). Q 5 : La mere sous forme canonique e en déduire son gain sa classe e son ordre. Q 6 : Déerminer les limies de s() en 0 e à l infini. Q 7 : déerminer la pene de la angene à l origine. Q 8 : Que fau-il faire pour que sysème soi précis? Q 9 : Tracer l allure de s(). c) Modificaion de la consigne : uilisaion d une rampe puis d une sabilisaion Imposer une enrée de ype échelon peu s avérer brual pour les composans du sysème. On souhaie pour cela imposer une consigne progressive. On uilise alors l évoluion de e() donnée par la figure 1. Q 10 : Proposer une décomposiion du signal ci-dessus à l aide de signaux canoniques (échelon, rampe) en compléan la figure 1. Q 11 : Déerminer l expression de E(p). Q 1 : En déduire l expression de S(p) Q 13 : Vérifier le comporemen asympoique de s(). Q 14 : On donne la réponse obenue par simulaion sur la courbe (figure). Que pouvez-vous en dire concernan la réponse du sysème. Déerminer les écars enre performances aendues e réelles. On peu noé un reard dynamique égal à 10 s ; Le comporemen obenu es bien conforme aux calculs effecués précédemmen. On obien un valeur de 450řC en régime permanen pour s() qui es bien conforme au cahier des charges. Lycée La Marinière Monplaisir Lyon / 10 Classe préparaoire M.P.S.I.

3 e() E c e 1 () e () FIGURE 1 Décomposiion de la consigne d enrée Lycée La Marinière Monplaisir Lyon 3 / 10 Classe préparaoire M.P.S.I.

4 FIGURE Réponse à une monée progressive en consigne obenue par simulaion Décomposiion en élémens simples Q 15 : Décomposer la foncion ci-dessous en élémens simples e donner son expression dans le domaine emporel en uilisan la able des ransformées de Laplace. 1.. S 1 (p) S (p) 5 (p + )(p + 6p + 13). K p (p 1) (p + 1). 3 Résoluion des équaions différenielles à l aide d un calcul symbolique Résoudre l équaion différenielle suivane : d s() avec les condiions iniiales : s(0) 1 e s (0) 3 Indicaions : on rappelle que d f L + 9 ds() + 0s() 0. p F (p) f (0 + ) Q 16 : Écrire l équaion différenielle dans le domaine de Laplace. En déduire S(p) e la décomposer en élémens simples. Repasser dans le domaine emporel. Lycée La Marinière Monplaisir Lyon 4 / 10 Classe préparaoire M.P.S.I.

5 I. Corrigé 1 Corrigé : Modélisaion du cycle de chauffe d une imprimane 3D Q 1 : Déerminer la ransformée de Laplace de l équaion 1. p S(p) + 6 α p S(p) + 4 α S(p) K E(p) On impose une consigne correspondane à un échelon d ampliude E c en enrée. Q : Déerminer e() puis E(p). Q 3 : En déduire S(p) E(p) E c p S(p) p ( p + 6 α p + 4 α ) Q 4 : Déerminer l expression de la foncion de ransfer H(p) S(p) E(p) H(p) S(p) E(p) K p + 6 α p + 4 α Q 5 : La mere sous forme canonique e en déduire son gain sa classe e son ordre. H(p) Classe : 0 ; ordre : ; K gain :. 4α Q 6 : Déerminer les limies de s() en 0 e à l infini. lim s() lim p S(p) lim p 0 p + p lim + s() lim p S(p) lim p p 0 p 0 Q 7 : déerminer la pene de la angene à l origine. lim 0 ( ds() Q 8 : Que fau-il faire pour que sysème soi précis? Pour que le sysème soi précis il fau que : K 4α α p + 1 α p p ( p + 6 α p + 4 α ) lim p p + 6 α p + 4 α p ( p + 6 α p + 4 α ) 4 α ) lim p p p + p ( p + 6 α p + 4 α ) 0 0 On en dédui donc : Q 9 : Tracer l allure de s() 4 α E c K 4 α 1 Lycée La Marinière Monplaisir Lyon 5 / 10 Classe préparaoire M.P.S.I.

6 Temperaure ( C) Offse0 Temps (s) Tracé avec K 0,1 e a 0,1581 Q 10 : Proposer une décomposiion du signal ci-dessus à l aide de signaux canoniques (échelon, rampe). e() E c e 1 () E c On peu décomposer le signal e() en deux signaux e 1 () e e () de la façon suivane : e() e 1 () + e () E c u() E c ( ) u( ) e () -E c Q 11 : Déerminer l expression de E(p). Lycée La Marinière Monplaisir Lyon 6 / 10 Classe préparaoire M.P.S.I.

7 Transformée de Laplace de e 1 () : Transformée de Laplace de e () : Or le héorème du reard donne : On en dédui : L e 1 () E 1 (p) L L e () E (p) L On en dédui la ransformée de Laplace de e() : Ec u() E c p E c ( ) u( ) L e 1 ( ) L e 1 ( ) E 1 (p) e p E (p) E c e p p L e() E 1 (p) + E (p) E c ( 1 e p ) p Q 1 : En déduire l expression de S(p) La modificaion de l enrée du sysème ne modifie pas la foncion de ransfer. On en dédui : S(p) H(p) E(p) p ( p + 6 α p + 4 α ) (1 e p ) Q 13 : Vérifier le comporemen asympoique de s(). Limie de s() en 0 : lim s() lim p S(p) lim p 0 p + p p ( p + 6 α p + 4 α ) (1 e p ) 0 Limie de s() en + : lim + s() lim p S(p) lim p 0 p 0 p p ( p + 6 α p + 4 α ) (1 e p ) Or, on reconnaî la limie du aux d accroissemen : Finalemen, on obien : lim p 0 Tangene à l origine de s() : lim 0 ( ds() e p 1 p lim p 0 ) lim p p p + e p e 0 p 0 lim p 0 d(e p ) lim s() ( ) + 4 α 4 α ( p + 6 α p + 4 α ) e Tc p 1 p p0 p ( p + 6 α p + 4 α ) (1 e p ) 0 Q 14 : On donne la réponse obenue par simulaion sur la courbe ci-conre. Que pouvez-vous en dire concernan la réponse du sysème. Déerminer les écars enre performances aendues e réelles. On peu noé un reard dynamique égal à 10 s ; Le comporemen obenu es bien conforme aux calculs effecués précédemmen. On obien un valeur de 450řC en régime permanen pour s() qui es bien conforme au cahier des charges. Lycée La Marinière Monplaisir Lyon 7 / 10 Classe préparaoire M.P.S.I.

8 Corrigé : décomposiion en élémens simples Q 15 : Décomposer la foncion ci-dessous en élémens simples e donner son expression dans le domaine emporel en uilisan la able des ransformées de Laplace. 1. La décomposiion en élémens simples consise à écrire : S(p) 5 (p + )(p + 6p + 13) A Bp +C + p + p + 6p En mean au même dénominaeur l expression de droie, nous obenons, Par idenificaion, nous obenons le sysème suivan : S(p) p (A + B) + p(6a + B +C ) + 13A + C (p + )(p + 6p + 13) (a) (b) (c) A + B 0 6A + B +C 0 13A + C 5 En faisan (b) (a), on obien : (a ) (c) 4A +C 0 13A + C 5 Puis enfin (c) (a ), Nous obenons alors, A 1 B 1 C 4 S(p) 1 p + + p 4 p + 6p p + p + 4 (p + 3) + 4. Lycée La Marinière Monplaisir Lyon 8 / 10 Classe préparaoire M.P.S.I.

9 Le premier erme es de la forme 1 p+a p+a, alors que le deuxième erme es de la forme. Il ne rese plus qu à (p+a) +ω arranger S(p). S(p) 1 p + p + 4 (p + 3) p + p + 3 (p + 3) ω Nous avons alors ajouer le erme qui es de la forme (p+3) +4 Avec le passage aux ransformées inverses, nous obenons, (p+a) +ω, s() e (cos() ) sin() + e u(). (p + 3) S (p) K p (p 1) (p + 1) α (p 1) + β (p 1) + γ (p + 1). Calcul de α : on muliplie par ( p 1 ) e p 1 : Donc : K p (p + 1) α. α K Calcul de γ : on muliplie par ( p + 1 ) e p 1 : Donc : K p (p 1) γ. γ K 4 Calcul de β : On prend une valeur pariculière pour p car on connai α e γ, on choisi ici par exemple p 0. α β + γ 0. D où : β 3 4 K. Ainsi on obien : d où en emporel : S (p) K 4 (p 1) + 3 p p + 1 s () K 4 e + 3 e + e u(). 3 Corrigé : Résoluion des équaions différenielles à l aide d un calcul symbolique Q 16 : Écrire l équaion différenielle dans le domaine de Laplace. En déduire S(p) e la décomposer en élémens simples. Repasser dans le domaine emporel. Rappelons, les deux formules de dérivaion des ransformées de Laplace : d f L p F (p) f (0 + ) Lycée La Marinière Monplaisir Lyon 9 / 10 Classe préparaoire M.P.S.I.

10 d f L p F (p) p f (0 + ) f (0 + ) En appliquan cee formule à l équaion différenielle, nous obenons, Ceci nous donne alors, S(p) p S(p) + 9pS(p) + 0S(p) p 1 + p p + 9p p (p + 9 ) p (p + 9 ) 1 4 Il fau mainenan rerouver les expressions usuelles des ransformées de Laplace : S(p) p (p + 9 ) p + 9 (p + 9 ) (p + 9 ) 1 4 p + 9 (p + 9 ) (p + 9 ) p + 9 (p + 9 ) (p + 9 ) 1 4 L cos(ω) s effecue exacemen avec la même méhode e nous obenons, On peu démonre comme la quesion 1 : L e a cosh(ω) p + a (p + a) ω L e a sinh(ω) ω (p + a) ω En ayan vérifié que a > ω. Dans nore cas cee dernière condiion es vérifiée car 9 > 1. En passan par la ransformée inverse de cee dernière expression, nous obenons, s() e 9/ (cosh(/) + 15sinh(/))u() Lycée La Marinière Monplaisir Lyon 10 / 10 Classe préparaoire M.P.S.I.