Equivalence entre mesures de similarité floues : Application à la recherche d images par le contenu

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1 Equvlece etre mesures de smlrté floues : Applcto à l recherche d mges pr le coteu Je-Frços Omhover, Berdette Boucho-Meuer LIP6 Pôle IA, Uversté Perre et Mre Cure Prs VI cotct : Résumé : Pour retrouver des documets ds ue se de doées, les systèmes de recherche effectuet des comprsos etre ue requête et les descrpteurs extrts des documets. Comme résultt, l utlsteur otet ue lste des documets ordoés pr leur degré de ressemlce vec l requête. Le chox d ue mesure de smlrté pour cette tâche est vste. Ds cet rtcle, ous motros que les mesures de smlrté peuvet être roupées e clsses de mesures équvletes. Ds l optque d ue recherche pr smlrté, ous motros que le chox d ue mesure ou d ue utre peut être rédut u chox d ue fmlle de mesures. Ef, ous exploros les coséqueces de cette équvlece pour l recherche d formtos. Astrct : To retreve documets from dtse, retrevl systems use smlrty mesures to compre gve request to the descrptors extrcted from documets. As result, documets re ordered lst y decresg smlrty to the request. everl comprso mesures re used the feld, d t s dffcult to choose oe or other. I ths pper, we show tht they c e grouped to clsses of equvlet ehvour. The choce of these mesures c the e reduced to the choce of fmly of them. Mots-clés : mesures de smlrté floues, recherche d mges, segmetto Keywords: fuzzy smlrty mesures, mge retrevl, segmetto. Itroducto Les systèmes de recherche d mges pr le coteu sot ctuellemet sés sur u même prdgme : l recherche pr smlrté à u exemple. Pour retrouver des mges qu l téresset ds ue se de doées d mges, l utlsteur fourt ue mge comme requête. Cette requête est esute comprée ux mges de l se e termes vsuels. Ef o retoure à l utlsteur l lste des mges de l se qu ressemlet le plus à s requête. Cette lste est ordoée selo l smlrté décrosste des résultts vec l requête. Pour clculer l smlrté etre l mge de requête et ue mge de l se, les systèmes utlset dverses représettos vsuelles extrtes préllemet des mges pr u procédé utomtque. Ces représettos, uss ppelées sgtures, résumet chque mge à ue sére de crctérstques vsuelles (couleur, texture, forme. Pour comprer deux sgtures, et permettre l recherche pr smlrté, les systèmes utlset dverses mesures de comprso, les plus courtes étt les mesures de dstce et les mesures de smlrté. l utlsto d ue mesure de smlrté peut permettre de couvrr des comportemets dfférets e terme de comprso (ressemlce, cluso répodt à dfférets esos de l utlsteur, le chox de ces mesures reste lrge. De plus, l est ps évdet de détermer, u se de omreuses mesures, quelle mesure permettr d oter les melleurs résultts. Ds cet rtcle, ous exposos ue théore permettt de répodre à ces questos. Nous motros tout d ord que ds le cdre de l recherche pr comprso à u (ou pluseurs exemples, les mesures de smlrté peuvet être roupées e fmlles de mesures équvletes ds le ses où elles outsset ux mêmes résultts. Nous motros uss que l équvlece etre deux mesures codut écessremet les requêtes sées sur ces mesures à oter les mêmes tux de stsfcto. Ef, ous motros que ds le cdre cou et lrgemet utlsé des mesures de Tversky, l exste ue correspodce etre l équvlece telle que ous l défssos et l équvlece e terme de comportemet de mesure.

2 Ef, ous exploros les coséqueces de cette équvlece pour l recherche d formtos vsuelles. 2. Recherche d mges pr smlrté Pour effectuer ue recherche utomtque d mges, les systèmes ctuels se set sur l comprso à u ou pluseurs exemples. L utlsteur fourt ue mge ou des régos de référece. Ces élémets sot esute comprés ux mges de l se u moye de dfféretes mesures de smlrté. Ds cette prte, ous exposeros tout d ord l défto des mesures de smlrté. Nous verros esute commet ces mesures sot utlsées pour effectuer des recherches utomtques, otmmet ds le cdre de l recherche pr des régos vsuelles. 2.. Les mesures de smlrté floues Les mesures de smlrté sot dvsées e deux ctégores : les mesures géométrques et les mesures etre esemles. Les modèles de dstces (géométrques sot les plus courmmet utlsés. Les oets comprés sot cosdérés comme des pots ds u espce métrque. Ces modèles sot cotrts pr qutre proprétés : l postvté, l symétre, l mmlté et l églté trgulre. Ces xomes ot e prtculer été étudés pr Tversky. A prtr d ue rgumetto sée sur des cosdértos psychologque, l proposé ue pproche sée sur l comprso etre esemle de crctérstques. Ds le cdre proposé, les oets comprés sot décrts pr leurs esemles de crctérstques res. Pour comprer deux oets et, décrts pr leurs esemles de crctérstques A et B, les mesures de Tversky mettet e rpport tros compostes : les crctérstques commues à et ( A B, et les crctérstques propres à ( A B et propres à ( B A. Ue mesure de smlrté s est s défe pr ue focto réelle F de tros vrles s(, = F( A B, A B, B A. Les trvux de Tversky outsset à l proposto d u modèle de mesure ppelé le Rto Model. Avec ue mesure f permettt de mesurer les tros esemles de crctérstques commues et dstctves, o outt à l formulto suvte : (, = f f ( A B ( A B + α. f ( B A + β. f ( A B où α et β, deux prmètres réels postfs, permettet de podérer l mportce ccordée ux deux esemles dstctfs de crctérstques (ceux qu pprteet à A ms ps à B, et l verse. A cuse de l restrcto des mesures de Tversky ux crctérstques res (les esemles A et B sot strcts, c est-à-dre clssques, ue exteso de ces mesures été proposée 2 pour permettre l comprso etre esemles grduels (ou flous. Ds ce cdre, pour Ω u esemle d élémets, o P f ( Ω l esemle des sous-esemles flous de Ω, et M ue mesure d esemles flous doée telle que : M est ue focto de Pf ( Ω ds R, M ( = 0, et M mootoe u ses de l cluso (pr exemple M mesure de l re d u esemle flou A déf pr s focto crctérstque : M A = f. f ( ( A x x Ω A A. TVERKY, (977, Fetures of smlrty, p , Psychologcl Revew, vol 84 2 BOUCHON-MEUNIER B., RIFQI M. Ad BOTHOREL., (996, Towrds geerl mesures of comprso of oects, p , Fuzzy sets d systems, vol. 84(2.

3 Défto : Ue M-mesure de comprso sur Ω est ue focto : P f ( Ω P ( Ω [ 0, ] telle que f ( A, B = F ( M ( A B, M ( B A, M ( A B où F est ue focto : R +3 [ 0, et M ue mesure d esemles flous sur Ω. F ] ( Comme les mesures de Tversky, dot elles sot ue exteso, les mesures de smlrté floues couvret dfféretes fmlles de mesures. Ds le cdre de l recherche d mges, ous ous téressos prcplemet ux mesures dtes de smltude qu évluet l ressemlce etre deux oets. Ces mesures sot défes comme sut : Défto 2 : ue M-mesure de smltude sur Ω est ue M-mesure de comprso telle que F ( X, Y, Z est : - mootoe o décrosste selo X (les compostes commues - mootoe o crosste selo Y et Z (les compostes propres 2.2. Recherche d mges pr ressemlce floue Les moteurs de recherche d mges pr le coteu sot sés sur des clculs de smlrté. L pluprt du temps, o utlse des mesures d tersecto d hstogrmmes 3 ou des mesures de dstces 4. A cuse de leur crctère géérl couvrt dfférets comportemets de mesures (telles que les tersectos d hstogrmmes, ous vos costrut u moteur de recherche d mges à prtr des mesures de smlrté floues. De plus, ce formlsme fclte l grégto des dfféretes vleurs ssues des mesures de smlrté. Ce moteur s ppue sur ue représetto régole des mges. Chque mge est segmetée e régos u moye d u lgorthme de segmetto utomtque. Ces régos répodt à certs crtères d homogéété e couleur et e texture sot grosso modo représettves des oets présets ds l mge. L utlsteur peut esute chosr prm les régos dspoles ds l se les oets (régos qu l souhte retrouver. Notre démrche se décompose de l fço suvte : ue mesure de smlrté est utlsé comme rque de se pour permettr l comprso régo à régo, cette mesure est esute utlsée pour costrure ue requête smple permettt de retrouver u oet ds ue mge, ef ous grégeos des scores ssus de multples mesures de smlrté pour effectuer dfférets types de requêtes sées sur de multples oets. L premère étpe cosste à costrure ue mesure de smlrté régo à régo. Cette mesure est ue smple pplcto de l mesure de smlrté floue sur les descrpteurs vsuels régoux. Ces descrpteurs sot, ds otre pproche, u omre de tros : u hstogrmme de couleur et u msque de régo. Ces tros descrpteurs respectfs pouvt être ssmlés à des sous-esemles flous de l plette de couleur et du dome de l mge 5. L smlrté etre ue régo requête R et ue régo d ue mge de l se I est doc clculée e moyet les smlrtés etre les descrpteurs de R et de I pour chque descrpteur couleur et msque. Pour H R et H I les hstogrmmes de R et de I, M R et M I les msques de R et de, l smlrté R, I est clculée pr : I ( P f 3 M. WAIN, D. BALLARD, (99 Color dexg, p. 32,Itertol Jourl of Computer Vso, v. 7( 4 M.D. FLICKNER, H. AWHNEY, W. NIBLACK, et l. (995, Query y mge d vdeo cotet: The qc system, p , Computer, vol 28(9, eptemre. 5 J.F. OMHOVER, M. DETYNIECKI d B. BOUCHON-MEUNIER, (2004, A Rego-mlrty-Bsed Imge Retrevl ystem, Proc. Of IPMU'2004, pp

4 ( R, I = λ. ( H, H + λ. ( M M, H R Où λ H et λ M sot deux prmètres qu ous permettet de podérer l fluece des deux descrpteurs u se de l mesure (htuellemet, λ H = 0. 7 et λ M = 0. 3 et est ue mesure de smlrté clssque prm les mesures suvtes : vec X M A B, Y M B A et X ccrd ( A, B = X + Y + Z 2X dce ( A, B = 2 X + Y + Z X dce ( A, B = X + Y X + Z = ( = ( Z M ( A B I =. Nous oteos docue mesure ( R I régo R de requête et ue régo I d ue mge I de l se. ous mxmsos cette smlrté sur chque régo l mesure suvte : M R I, qu évlue l ressemlce etre ue ( R, I = mx( ( R, I I I R de l mge I, ous oteos Et ous pouvos remrquer que cette mesure de smlrté «régo à mge» dque l vleur de vérté de l proposto : «l y ue régo smlre à R ds I». E effet s l ue des régos de I est fortemet smlre à R, l smlrté ( R, I ser élevée. A l verse, s ucue des régos de I est smlre à R, l vleur de ( R, I ser fle. Cet outl, évlué sur chcue des mges de l se, ous permet de retourer à l utlsteur les mges cotet l régo R de so chox (celles qu mxmset ( R, I. Mtet, ous pouvos gréger dfférets scores de smlrté pour costrure des requêtes sées sur de multples exemples régoux. E effet, les mesures de smlrté ppretées à des vleur de vérté s grèget comme telles. e que l o peut smplemet costrure les requêtes suvtes e gréget pr l opérteur déqut. elo que l o souhte retrouver pluseurs oets esemles, ou retrouver l u ou l utre de dfférets spects d u même oets, o gréger les mesures de smlrté smples pr u opérteur de fuso cooctf ou dsoctf. (resp. les opérteurs mmum et mxmum de logque floue. Nous proposos uss de fltrer certs élémets ugés égtfs pr l utlsteur e verst (égto floue l mesure de smlrté ssocée à cet élémet ds l grégto. Plus de détls sur ces opértos peuvet être trouvées ds d utres pulctos Equvlece etre mesures de smlrté Les systèmes de recherche utomtque mettet e œuvre les mesures de smlrté pour retrouver les documets qu s ppretet à ue requête. Ue lste de résultts est revoyée à l utlsteur. Ces résultts sot ordoés pr l vleur de leur ressemlce à l requête : de l plus forte à l plus fle. Ms comme le sgle t 6, l formto pertete pour 6. ANTINI, R. JAIN, (999, mlrty mesures, IEEE Trs o Ptter Alyss d Mche Itellgece, vol 2(9, ept.

5 l utlsteur est mos l vleur de l smlrté d u documet que le rg uquel le documet été plcé ds l lste. Be souvet, l utlsteur remrque à pee l vleur de smlrté, l e se préoccupe que de cosulter les réposes ds leur ordre. ur l se de cette costtto, le chox etre l ue ou l utre de deux mesures de smlrté pour effectuer cette recherche perd so ses s ces deux mesures outsset u même ordre de résultts. Ds cette prte, ous exploros l équvlece des mesures de smlrté. Nous étlssos cette équvlece u moye de tros déftos : l équvlece e ordre, l équvlece pr ue focto crosste, et l équvlece pr coures de veux. Nous explotos ces déftos pour étedre l équvlece etre mesures smples (utlsées pour des recherches pr comprso à u seul exemple à l équvlece etre mesures grégées (recherches pr de multples exemples. 3.. Equvlece etre mesures de smlrté Tros déftos peuvet être proposées pour l relto d équvlece etre mesures de smlrté et sées sur l coservto de l ordre. Nous motros que ces tros déftos outsset ux mêmes clsses d équvlece ds le cdre des mesures de smltude cotues. L premère relto est ue smple écrture de l coversto de l ordre etre deux mesures de smltude : Défto 3 : deux mesures et sot dtes équvletes e ordre s et seulemet s ( X, Y, Z R, ( X ', Y ', Z' R ( X, Y, Z ( X ', Y ', Z' ( X, Y, Z ( X, Y Z, Cette relto est réflexve, symétrque et trstve. Il s gt doc e d ue relto d équvlece et elle outt à l exstece de clsses d équvlece etre mesures de smltude. L deuxème défto étlt l équvlece etre deux mesures s l ue peut être écrte comme ue focto crosste de l utre : Défto 4 : deux mesures et sot dtes équvletes pr ue focto s et seulemet s l exste ue focto f strctemet crosste : Im f : ( Im( x f ( x { } + 3 Avec ( = ( X, Y, Z R, α ( X, Y Z Im / α = /,, telle que = f o. Pr défto, ue focto f stsfst ces codtos est surectve. Ett strctemet Im crosste, elle est uss ectve. Ue telle focto f étlt doc ue ecto etre ( Im( et. L relto défe e 4 est doc réflexve, symétrque et trstve. Il s gt e d ue relto d équvlece etre mesures de smlrté. les déftos 3 et 4 semlet dfféretes, l est cepedt trvl de motrer qu elles outsset à l même relto d équvlece. deux mesures sot équvletes e ordre, o peut e effet costrure smplemet ue focto crosste qu les le pr composto, et versemet. Il fut c remrquer que l équvlece etre deux mesures est lée à l exstece d ue focto ectve etre leurs esemles de vleurs. les deux esemles de vleurs prses pr deux

6 mesures et e peuvet ms e ecto ces deux mesures e peuvet être équvletes. Cel peut être le cs s l ue des deux mesures u esemle de vleur dscret (pr exemple { 0,0.2,0.4,0.6,0.8, } et l utre cotu ([ 0,]. A prtr de cette défto, ous pouvos motrer smplemet que les mesures de Jccrd et de Dce pprteet à l même clsse d équvlece, tds qu elles e sot ps équvletes à l mesure d Och (qu pprtet à ue clsse dfférete. L fgure llustre le ft que les mesures de Jccrd et de Dce peuvet s écrre comme ue focto l ue de l utre, tds qu l est mpossle d écrre l mesure d Och comme ue focto à ue seule vleur de l mesure de Jccrd. Fgure : trcé des couples de vleurs prses pr les mesures ( de Jccrd et de Dce, ( de Jccrd et d Och. E effet, comme ous pouvos le costter e fgure, à ue vleur de l mesure de Dce correspod ue seule vleur de l mesure de Jccrd, et versemet de fço uvoque. Cepedt, ue même vleur prse pr l mesure de Jccrd correspod à pluseurs vleurs prses pr l mesure d Och. λ l L trosème défto cocere l équvlece e coures de veux. Nous écrros l coure d ue mesure u veu λ : l {( X, Y, Z ( X, Y = λ} = Z λ l l, Défto 5 : deux mesures et sot dtes équvletes e coures de veux s et seulemet s : α β (,! α Im( t. q = β Im. Cette relto est évdemmet réflexve, et l peut être motré fclemet qu elle est uss symétrque et trstve. L équvlece de cette trosème défto e peut cepedt être étle que ds le cdre des mesures de smlrté cotues, où ous pouvos motrer le théorème suvt : Théorème : quelque soet deux mesures de smltude cotues et, s l exste ue focto : telle que = f o Im f : ( Im( x f ( x, lors f est mootoe o décrosste. deux mesures de smltude cotues et sot équvletes e coures de veux, ue focto qu le à pr composto peut-être costrure. D près le théorème c

7 dessus, cette focto est mootoe o décrosste. Or grâce à l symétre de l relto 5, l ous motros que cette focto est e ft strctemet crosste. A l verse, s deux mesures et sot équvletes pr ue focto, ous motros smplemet que ces deux mesures sot équvletes e coures de veux. Nous oteos s l équvlece etre les reltos 3, 4 et 5 ds le cs des mesures cotues Equvlece etre mesures de smlrté grégées L trple défto de l équvlece etre mesures de smlrté proposée ds l secto précédete étlt l équvlece etre ue smple pre de mesures (et pr exteso, l exstece de clsses d équvlece etre mesures de smlrté. Ms les systèmes de recherche d mges utlset que rremet les mesures pour ue seule comprso. O effectue plutôt ue grégto de dfférets résultts de smlrté : sot que l o compre deux oets ds de multples espces de descrptos (pluseurs esemles de crctérstques sot ttchés à u même oet, sot que l o compre u même oet à pluseurs utres (ds le cs des requêtes pr de multples exemples. L questo est c de détermer s l équvlece etre deux mesures se coserve qud chcue de ces mesures est utlsée ds u même schém d grégto. Pour géérlser les cs de fgure lés à l grégto de mesures de smlrté, ous écrros l grégto pr u opérteur Agg de chcue des mesures et de l fço suvte : ( O,..., O = Agg( ( O,..., ( O ( O,..., O = Agg( ( O,..., ( O Il s gt du cs court, et que ous utlsos ous-mêmes, où ue mesure de smlrté est utlsée pour dfféretes comprsos (ds de multples dmesos, ou etre dfférets oets et grégée u moye d u opérteur, chcu des O correspodt à u trplet : ( X, Y, Z = ( M ( A B, M ( A B, M ( B A Qud ue mesure est utlsée pour comprer ue pre d oets ds dfférets espces de représetto, les A et B correspodet ux dfférets esemles de crctérstques prs pr les deux oets et à comprer ds chcu des espces. Qud ue mesure est utlsée pour comprer u même oet O à dfférets exemples E (comme pour comprer ue mge à de multples mges de requêtes, les A sot e ft ue seule et même descrpto de l oet O, et les B sot les dfférets descrpteurs de chcu des exemples E. E restt ds le cdre géérl proposé c-dessus, ous défssos l équvlece etre mesures grégées de l fço suvte : Défto 6 : pour eter doé, et u opérteur d grégto Agg doé, pour mporte Agg, Agg, quel couple de mesures et, et sot dtes équvletes e ordre s et seulemet s : Agg ( O,..., O, ( O',..., O' vec, O = ( X, Y, Z, O' = ( X ', Y ', Z', ( O,..., O ( O',..., O' ( O,..., O ( O',..., O' Auss smplemet que l relto déft e 3, l relto défe c est réflexve, symétrque et trstve. Elle déft doc ue relto d équvlece etre mesures grégées fos.

8 De plus, ous vos motre le théorème suvt étlsst u rpport écessre de coservto des coures de veux de l opérteur d grégto pour préserver l équvlece Agg, Agg, des mesures et u veu des mesures grégées et. Théorème 2 : Ett doées deux mesures et équvletes, vec f ue focto strctemet crosste telle que lors l focto : est telle que : α Im F : Agg, Agg, = f o, s et sot équvletes e ordre, Im( Im( ( x,..., x ( f ( x,..., f ( x α β (,! β Im( t. q. F Agg Im( = Agg Im( Cel sgfe que l trsformto F ft correspodre chcue des coures de veux de l opérteur Agg à ue utre coure de veu de ce même opérteur, tout e restt ds les Agg, Agg, espces de vrtos Im ( et Im ( des mesures grégées. Ce théorème motre ue relto etre l forme des coures de veux de l opérteur Agg et l focto f utlsée pour trsformer e. Il sgfe uss qu étt doé u opérteur d grégto, certes seulemet des équvletes costtées etre des mesures de smlrté et pourrot être Agg, Agg, oservées etre les mesures grégées et. E prtque, cec ous permet de motrer que l grégto pr l opérteur mxmum (ou mmum préserve l équvlece de mporte quel couple de mesures et u veu grégé (et ce quelque sot l focto f qu le les deux pr composto. Nous vos uss motré que l grégto pr ue moyee rse toutes les équvleces qu ot ps l forme trvle d ue trsformto lére. ur l fgure 2, ous pouvos vor qu ue smple trsformto de l forme f ( x = x préserve l forme des coures de veux de l opérteur mxmum, de sorte qu l est possle d detfer les coures de l opérteur à celles résultt de l trsformto. Il est cepedt mpossle d effectuer ue telle detfcto pour l opérteur moyee : l trsformto rse l forme de ses coures de veux. Fgure 2 : coures de veux de ( ( x, x 2 (c ( Avg Mx, ( ( x, x 2 Avg, (d ( x, x 2 x, x 2 Mx,

9 4. Equvlece des mesures du Rto Model de Tversky E guse d pplcto de l théore exposée précédemmet, ous crctérsos c les clsses de mesures équvletes ds l fmlle des mesures du Rto Model de Tversky. Comme trodut e secto 2., Tversky proposé ue expresso géérle des mesures de smlrté, le rto model formulé comme sut : ( α, β ( X, Y, Z X = X + α. Y + β. Z Cette formulto fourt deux prmètres et. Le chox de ces prmètres codut l mesure à suvre u cert comportemet, pr exemple : - s α = β, l mesure est symétrque. Les mesures de Jccrd et de Dce sot deux exemples de cette sorte ( ccrd = (,, dce = (, pour α quelcoque, s β = 0, l mesure est ppelée mesure d cluso, elle évlue le degré d cluso d u esemle A ds u esemle B. - pour β quelcoque, s α = 0 l mesure et ppelée mesure de stsflté, elle évlue pr exemple l stsfcto d ue oservto B à l prémsse A d ue règle (utlsé e rsoemet flou. Comme ous l vos motré e secto 3.3, l équvlece etre deux mesures cotues (comme le sot les mesures du rto model peut être motrée e étudt leurs coures de veux. Pour motrer l équvlece etre deux mesures ( α, β et ( α ', β ', ous devos motrer que pour mporte quel veu h prs pr ( α ', β ', l exste u uque veu h prs pr ( α, β tel que les coures de veux correspodtes ux veux h et h soet égles. Nous vos motré que cel e peut rrver que lorsque ous vos l églté : α. β ' α '. β = 0. As, deux mesures de Tversky et sot équvletes s et seulemet s ( α, β ( α ', β ' α α. β ' = α '. β, utremet dt s leurs prmètres suvet le même rpport. E coséquece, s β ous e ous téressos qu à l ordre des résultts duts pr ue mesure de smlrté du α rto model, le chox des prmètres α et β se rédut u chox d u seul prmètre k = : β - k = 0 pour ue mesure d cluso - k = pour ue mesure de ressemlce (symétrque - k = + pour ue mesure de stsflté. 5. Coséqueces et coclusos Nous étudos c les coséqueces pour l recherche de documets de l utlsto de mesures prses ds ue même clsse d équvlece, utremet dt, les mplctos de l vrce e ordre pour certes pplctos de recherche d formtos. L premère coséquece cocere le dome de l recherche de documets où des mesures de smlrté sot utlsées pour comprer des crctérstques extrtes des documets. Utlser des mesures ssues d ue même clsse d équvlece codur le système à fourr, pour chcue de ces mesures, les mêmes résultts à l utlsteur. Il y ur pour lu ucue dfférece. Ue coséquece drecte de cette costtto est plus profode et cocere l évluto des résultts. Pour deux mesures équvletes, les tux de rppel et de précso servt htuellemet à comprer l effccté de deux mesures serot exctemet detques. Ces

10 tux sot e effet clculés à prtr de l ordre des résultts pertets. cet ordre est vrt etre deux mesures, elles serot uss effcces l ue que l utre. De même, ds ue procédure d ppremet etre pres d oets sée sur l ressemlce mxmle (où u oet d u esemle A est ppré vec celu qu lu ressemle le plus u se d u esemle d oets B, comme pr exemple etre deux grphes, les correspodces serot étles de l même fço selo que l o utlse l ue ou l utre de deux mesures équvletes. Ds l pluprt des pplctos, comme ds otre moteur de recherche d mges, les vleurs de smlrté clculées etre pres de descrpteurs e sot ps utlsées seules ms grégées. Ds otre système, l s gt de permettre à l utlsteur d effectuer des recherches sées sur de multples exemples. Il peut s gr uss de comprer des documets selo de multples échelles ou ds de multples espces de représetto. Comme ous l vos motré ds cet rtcle, l équvlece etre mesures peut, ds certs cs, être coservée près fuso pr u opérteur d grégto. Ce est cepedt ps touours le cs, comme ous l vos motré pour l opérteur moyee qu est courmmet utlsé ds le dome. De plus, le pouvor de dscrmto 7 des mesures présetées e secto 2 peut vrer. As, ds des pplctos où l ordre des vleurs ssues de mesures de smlrté est comé vec ces vleurs elles-mêmes, deux mesures équvletes peuvet oter des résultts dfférets. Le résultt d vrce est e effet oservle que ds le cs où seul l ordre déterme le résultt. Ds le dome de l recherche utomtque de documets, l ordre est l pluprt du temps le seul fcteur détermt, ms l peut rrver pr exemple qu u système troque l lste de résultt selo l force souhtée de l ressemlce vec l requête. Ds ce cs, les lstes peuvet être plus ou mos logue selo que l o utlser l ue ou l utre de deux mesures équvletes. Pour ce qu est de l recherche pr smlrté, et tt que l ordre seul compte comme résultt d ue requête, le chox d u mesure de smlrté peut être rédut u chox d ue clsse d équvlece de mesures, les mesures équvletes étt écessremet codutes à oter les mêmes résultts. Ds cet rtcle ous vos de plus motré que les mesures grégées pouvet elles uss être équvletes sous certes codtos lt l opérteur de fuso à l focto permettt de ler deux mesures pr composto. Comme pplcto de otre étude, ous vos etèremet crctérsé les clsses d équvlece prm les mesures du Rto Model de Tverky. 7 M. RIFQI, V. BERGER, B. BOUCHON-MEUNIER, (2000, Dscrmto power of mesures of comprso, p , Fuzzy ets d ystems, vol. 0(2, Mrs

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