La lumière et l optique géométrique

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1 Chapitre La lumière et l optique géométrique La lumière est une onde électromagnétique et, à ce titre, sa propagation est régie par les équations de Maxwell. Les grandeurs caractéristiques d une onde lumineuse sont sa longueur d onde et sa fréquence. Dans le cadre de l optique géométrique, les longueurs d onde de la lumière sont supposées petites comparées aux dimensions caractéristiques des instruments optiques. On considère alors que le chemin suivi par la lumière est décrit par un rayon lumineux. Cette notion de rayon lumineux est essentielle car elle constitue la base de l optique géométrique... Introduction Les domaines de l optique 2 Émission et détection optiques.2. Nature ondulatoire de la lumière. Ondes électromagnétiques Milieux transparent, homogène et isotrope 2 Les équations de Maxwell 3 Ondes électromagnétiques : fréquences et longueurs d onde.3. Vitesse de propagation, indice optique Vitesse de propagation 2 Indice optique 3 Variation de l indice optique. Coefficient de dispersion et coefficient thermique.4. De l onde au rayon lumineux Ondes plane, cylindrique ou sphérique 2 Surface d onde et vecteur d onde 3 Rayon lumineux 4 Principe du retour inverse de la lumière Mots-clés Ondes électromagnétiques Longueur d onde Fréquence Surface d onde Rayon lumineux 5

2 .. Introduction Les domaines de l optique L optique est un domaine de la physique divisé en sous-domaines qui se sont souvent créés de façon historique. Un de ces sous-domaines est l optique géométrique. Dans le cadre de l optique géométrique, on considère que la lumière se propage sous forme de rayons lumineux ; ces rayons représentent alors la trajectoire de la lumière, c est-à-dire qu ils transportent la vibration électromagnétique. On parle souvent d approximation des rayons car cette notion n est valable que dans certaines limites, la principale étant la limite des fréquences infinies, c est-à-dire des fréquences très grandes devant toutes celles qui caractérisent le milieu de propagation. En particulier, pour que la notion de rayons soit applicable, il faut que la longueur d onde de la lumière soit très petite devant toutes les longueurs caractéristiques du milieu considéré. Lorsque cette hypothèse n est plus vérifiée, par exemple lorsque l onde rencontre un obstacle dont la taille est comparable à sa longueur d onde, des phénomènes typiquement vibratoires interviennent, comme la diffraction et les interférences. Ces phénomènes pour lesquels interviennent la nature vibratoire de la lumière et sa propagation par ondes se rattachent à l optique ondulatoire. Parmi les autres domaines de l optique, nous pouvons citer l optique énergétique qui décrit les puissances transportées par le rayonnement, leur répartition spatiale et leur action sur divers récepteurs ou encore l optique physiologique qui traite spécifiquement de la formation des images dans l œil et de leur perception. Plus récemment, l optique quantique envisage l aspect corpusculaire de la lumière, dans ses échanges d énergie avec la matière. Enfin, liée aux nombreuses applications de l optique, l optique instrumentale traite des caractéristiques optiques d un instrument par opposition à ses caractéristiques mécaniques. 6 2 Émission et détection optiques Soleil Réflexion de la lumière Émission lumineuse Œil Fig... Modes de vision. Un objet lumineux (comme le Soleil) émet directement de la lumière vers l œil tandis qu un objet non lumineux (comme un poisson) réfléchit la lumière vers l œil. Les systèmes vivants communiquent avec l extérieur grâce aux sons, c est-à-dire en émettant et en recevant des ondes acoustiques mais aussi par la vue, en recevant des ondes lumineuses. Les yeux constituent le système de détection des ondes lumineuses ; ils transforment le signal optique en impulsions nerveuses transmises au cerveau par le nerf optique. En revanche, la plupart des êtres vivants ne disposent pas d émetteur (seuls quelques poissons exotiques sont capables d émettre des signaux lumineux). Nous ne sommes visibles que grâce à des sources de lumière «annexes» comme le Soleil ou les lampes. Si ces sources sont directement visibles grâce à la lumière qu elles émettent, les objets non lumineux ne sont visibles que s ils sont éclairés par une source lumineuse : c est alors la lumière qu ils réfléchissent qui est détectée par l œil (Fig..).

3 Un peu d histoire La vision archaïque de la lumière : Le feu externe et le feu visuel Les théories archaïques de la lumière portent davantage sur la vision que sur la nature de la lumière. On distingue à l époque antique deux théories, celle du feu externe et celle du feu visuel. Dans la théorie du feu externe, la lumière parvient à l œil grâce à un phénomène de propagation d «atomes» émis par les objets lumineux et qui parviennent jusqu à l œil. La théorie du feu visuel affirme au contraire que l œil est le siège d une émission de particules permettant la vision : ces particules iraient scruter les objets. C est notamment la théorie d Euclide (III e siècle av. J.-C.), fondateur de l école d Alexandrie et auteur de la catadioptrique. Les disciples d Euclide et notamment, au I er siècle de notre ère, Ptolémée, continuent de développer cette théorie. Platon développera une théorie que l on peut qualifier de mixte entre les théories du feu externe et du feu visuel : œil et objet émettent périodiquement des particules dont l interaction permet la vision..2. Nature ondulatoire de la lumière. Ondes électromagnétiques Milieux transparent, homogène et isotrope Les milieux étudiés en optique géométrique sont des milieux dans lesquels la lumière est susceptible de se propager. De tels milieux sont dits transparents. Un milieu est homogène si les caractéristiques optiques du milieu sont identiques en tout point. Enfin, un milieu est isotrope si la propagation lumineuse est identique quelle que soit la direction de propagation dans le milieu. 2 Les équations de Maxwell En 86, le physicien anglais J. Maxwell établit les équations de l électromagnétisme. Ces équations gouvernent le comportement spatio-temporel des ondes électromagnétiques. Une onde électromagnétique est caractérisée par un champ électrique et un champ magnétique couplés ; Maxwell montre en outre que la lumière est une onde électromagnétique, mais il faudra attendre encore pour que le caractère ondulatoire de la lumière soit reconnue par la communauté scientifique, alors convaincue que la lumière suivait un comportement qu il était possible de décrire dans un cadre proche de celui de la mécanique. Nous donnons ci-dessous la forme des équations de Maxwell dans le vide : div B = rote = ---- B t dive = -- ρ ε. LA LUMIÈRE ET L OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE 7

4 rotb = µ j + ε µ E t Le champ électromagnétique est caractérisé en chaque point de l espace par le couple de vecteurs ( E, B). Les densités ρ et j sont appelées les sources du champ électromagnétique. µ et ε sont des constantes : µ = 4π. 7 S.I. est la perméabilité du vide et ε = 8, S.I. est la permittivité du vide. En absence de sources, les champs magnétique et électrique vérifient une équation de propagation caractéristique des ondes. Cette équation de propagation est obtenue à partir des équations de Maxwell en utilisant les propriétés des opérateurs divergence et rotationnel : rot rot X = grad div X X. Nous obtenons alors : B = --- rote = t 2 t ε µ rot rot B = ε µ [ grad divb B] = B ε µ E t ε µ = ---rotb = t ε µ rot rot E = ε µ [ grad dive E] = E ε µ Les champs E et B vérifient donc la même équation de propagation : B -- B = et E -- E = t 2 c 2 t 2 c 2 où c = m.s apparaît comme la vitesse de la lumière dans le vide. ε µ Lorsque le milieu considéré n est pas le vide, l équation de propagation s écrit : et t B B = v 2 t E E = v 2 où v est la vitesse de la lumière dans le milieu considéré. Maxwell a donc établi que la lumière se propage dans le vide à la vitesse de c = 3. 8 m.s, valeur qui avait été obtenue expérimentalement par ailleurs. C est A. Einstein qui montra, dans le cadre de la relativité que cette valeur est une constante universelle. 3 Ondes électromagnétiques : fréquences et longueurs d onde Propriétés : Dans un milieu quelconque, il est possible d associer à une onde électromagnétique monochromatique, et donc à une onde lumineuse monochromatique, trois grandeurs caractéristiques : une longueur d onde, une fréquence ƒ, une vitesse de propagation. Les ondes électromagnétiques couvrent une gamme de fréquences qui va de quelques hertz (symbole Hz) à 2 Hz mais la lumière visible pour l homme ne couvre qu une plage de fréquences très limitée allant de 4. 4 Hz à 8. 4 Hz (Fig..2). 8

5 Dans le vide, la fréquence f et la longueur d onde λ d une onde électromagnétique sont liées par la relation : λ = -- c f Visible f (Hz) Microondes Rayons γ Rayons X UV IR Ondes radio λ (m) Fig..2. Fréquences et longueurs d onde dans le vide des ondes électromagnétiques. Couleurs Violet extrême Violet moyen Violet - bleu Bleu moyen Bleu - vert Vert moyen Vert - jaune Jaune moyen Jaune - orangé Orangé moyen Orangé - rouge Rouge moyen Rouge extrême Longueurs d onde (nm = -9 m) La lumière visible est usuellement caractérisée par son contenu spectral, gamme de longueurs d onde auxquelles sont associées des couleurs (Fig..3) ; ces valeurs de longueurs d onde correspondent à une propagation de la lumière dans le vide (et par extension, comme nous le verrons, dans l air). Fig..3. Longueurs d onde dans le vide et couleurs des ondes lumineuses..3. Vitesse de propagation, indice optique Vitesse de propagation Nous l avons vu, dans le vide, la vitesse de propagation v des ondes électromagnétiques, donc de la lumière, vaut : v = c = 3. 8 m.s. Dans un milieu transparent, v est toujours inférieure à la vitesse c dans le vide. Notons que la fréquence f de l onde est un invariant de la propagation : ainsi, lorsque l onde lumineuse passe d un milieu à l autre, sa fréquence reste la même mais sa vitesse de propagation dépendant du milieu de propagation, et par conséquent sa longueur d onde λ varie. Un milieu de propagation est caractérisé par la vitesse de propagation v des ondes éléctromagnétiques. Mais il est plus usuel de caractériser un milieu par son indice optique, aussi appelé indice de réfraction.. LA LUMIÈRE ET L OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE 9