Efforts internes associés à la flexion gauche (17.4)

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1 Résistance des matériau Fleion gauche Chap. 7 Contenu Comprendre le développement mathématique pour le calcul de la contrainte uniaiale en fleion gauche Calculer le premier moment d inertie ( ) de poutre à section simple Déterminer l orientation du plan neutre lors de fleion gauche Déterminer le point le plus critique sur la section de poutre (où est maimum) Sections du livre: seul. 7.4 à 7.7 Préparé par Daniel Therriault, ing. et arie Bernard, ing. 33 Résistance des matériau Fleion gauche Chap. 7 fforts internes associés à la fleion gauche (7.4) V V V Poutre de section quelconque soumise à un effort tranchant (V) et à un moment fléchissant () Décomposition de V et selon les directions et Note: - l ae est dans la direction longitudinale de la poutre - l origine du sstème d ae (,,) est au centroïde de la section Préparé par Daniel Therriault, ing. et arie Bernard, ing. 34

2 Résistance des matériau Fleion gauche Chap. 7 Équations différentielles d équilibre (7.) Fleion autour de q () F dv d d d q V (7.a) (7.b) q () Fleion autour de dv q (7.6a) d Note: moment change de sens d d V (7.6b) Préparé par Daniel Therriault, ing. et arie Bernard, ing. 3 Résistance des matériau Fleion gauche Chap. 7 emple: Voir problème snthèse (chaps 7 et ) 3 mm kn.m, kn B kn.m 8 kn mm V,6 kn.m Fleion autour de B Fleion pure,96 kn.m 8 kn,6 kn.m, kn kn.m, kn kn.m 8 kn mm, kn Fleion autour de B,6 kn.m V Fleion ordinaire -,6 kn.m Préparé par Daniel Therriault, ing. et arie Bernard, ing. 36

3 Résistance des matériau Fleion gauche Chap. 7 nalse des contraintes associées à la fleion gauche (7.6) pproche Étude des déplacements et de la compatibilité géométrique pplication des relations contraintes-déformations (loi de Hooke) Étude des conditions d équilibre? () d Déplacements Déformations Contraintes Forces internes Relations déformations/déplacements Relations (loi de Hooke) Conditions au rives Compatibilité (déplacements continus) Équilibre avec forces eternes Préparé par Daniel Therriault, ing. et arie Bernard, ing. 37 Résistance des matériau Fleion gauche Chap. 7 Contraintes dues à la fleion pure (V = ) Conditions initiales vant chargement, la poutre est droite Le matériau est homogène, isotrope, comportement élastique La section, quoique quelconque, est uniforme sur toute la longueur de la poutre Hpothèses Sections planes avant déformation demeurent planes et normales à l ae longitudinal de la poutre après déformation vant déformation près déformation Préparé par Daniel Therriault, ing. et arie Bernard, ing. 38

4 Résistance des matériau Fleion gauche Chap. 7 Contraintes dues à la fleion pure (V = ) Hpothèses La poutre étant mince, les composantes de contraintes qui sont nulles au parois latérales sont également nulles en tout point Les sections planes (plan -) demeurent planes u a b c (7.9) où a, b et c sont dépendants de Préparé par Daniel Therriault, ing. et arie Bernard, ing. 39 Résistance des matériau Fleion gauche Chap. 7 Contraintes dues à la fleion pure (V = ) Relations déformations/déplacements u v v b b v u w c w c w Équation du plan u a v w (7.) Calculs de la déformation u a v w Préparé par Daniel Therriault, ing. et arie Bernard, ing. 4

5 Résistance des matériau Fleion gauche Chap. 7 Contraintes dues à la fleion pure (V = ) Relations contraintes/déformations On sait que: Z Rappel: ; ; G G G a v w (7.) X ; ; (7.7) G G G Préparé par Daniel Therriault, ing. et arie Bernard, ing. 4 Résistance des matériau Fleion gauche Chap. 7 Contraintes dues à la fleion pure (V = ) Conditions d équilibre au rives F d (7.8a) d (7.8b) d d (7.8c) où a v w Préparé par Daniel Therriault, ing. et arie Bernard, ing. Notes: - L ae coïncide avec le centroïde - Le centroïde est défini par d d (7.3) 4

6 Résistance des matériau Fleion gauche Chap. 7 Contraintes dues à la fleion pure (V = ) Solution et vérification Tous les calculs sont effectués par rapport au centroïde Par définition: d d (7.3a) Seconds moments de la section d (7.3b) d (7.3c) oment produit de la section Voir nnee du volume Préparé par Daniel Therriault, ing. et arie Bernard, ing. 43 Résistance des matériau Fleion gauche Chap. 7 Rappel: moment produit de la section Formule générale = si l ae ou coïncide avec un plan de smétrie de la section d Formules de rotation Position du centroïde i i i i i i i i Formule de translation ii ii Similaire au théorème des aes parallèles ' '! cos cos ttention à la convention de signe de sin sin Préparé par Daniel Therriault, ing. et arie Bernard, ing. 44

7 Résistance des matériau Fleion gauche Chap. 7 Préparé par Daniel Therriault, ing. et arie Bernard, ing. Contraintes dues à la fleion pure (V = ) Solution et vérification 4 ; ; d w d v d a d d w d v d a d d w d v d a d F = = = = = = = = = Résistance des matériau Fleion gauche Chap. 7 Préparé par Daniel Therriault, ing. et arie Bernard, ing. Contraintes dues à la fleion pure (V = ) Solution et vérification F a o 46 w v w v a - Deu équations Deu inconnues Selon le chargement eterne ; w v

8 Résistance des matériau Fleion gauche Chap. 7 Préparé par Daniel Therriault, ing. et arie Bernard, ing. Contraintes dues à la fleion pure (V = ) Solution et vérification 47 (7.34) ) ( ) ( ) ( (7.) ) ( ) ( w v a w v Nous savons que Donc, Note: et sont les coordonnées du point où nous voulons calculer Résistance des matériau Fleion gauche Chap. 7 Préparé par Daniel Therriault, ing. et arie Bernard, ing. Contraintes dues à la fleion pure (V = ) Calcul de la contrainte uniaiale 48 (7.3b) en regroupant les propriétés de section ; ; où Note: - et sont les coordonnées du point où nous voulons calculer - attention au signes de,,, et

9 Résistance des matériau Fleion gauche Chap. 7 Plan neutre ( = ) Chapitre 4 Normal au plan de chargement Coïncide avec un ae principal Chapitre 7 Rotation du plan neutre d un angle tg b Plan neutre b Plan neutre e neutre b Centroïde de la section Préparé par Daniel Therriault, ing. et arie Bernard, ing.! ttention à la convention de signe de et b 49 Résistance des matériau Fleion gauche Chap. 7 Section quelconque en fleion Contrainte normale σ oment Préparé par Daniel Therriault, ing. et arie Bernard, ing.

10 Résistance des matériau Fleion gauche Chap. 7 Plan neutre ( = ) Chapitre 7 (continue) Orientation du plan neutre d tg d tg tg b tg b (7.37) (7.39) b Plan neutre n divisant pas au numérateur et au dénominateur et en posant: Centroïde de la section tg b Note: - sens horaire est positif pour et b - attention au signes de, et dans les calculs La contrainte maimale sera au point de la section le plus éloigné du plan neutre Préparé par Daniel Therriault, ing. et arie Bernard, ing. Résistance des matériau Fleion gauche Chap. 7 Plan neutre ( = ) Notes: tg Si = b = et tg = / Si = = (comme au chapitre 4) tg b tg b Une poutre fléchit dans la direction normale au plan neutre Lorsque = b Plan neutre (fleion plans) Centroïde de la section Lorsque = tg = tg b / Si << une faible valeur de b peut entraîner du déversement latéral Préparé par Daniel Therriault, ing. et arie Bernard, ing.

11 Résistance des matériau Fleion gauche Chap. 7 emple 7.3 : Profilé en soumis à un moment. nfluence d une légère inclinaison b (plan de chargement) Sur l orientation du plane neutre (angle ). Variation de en fonction de b ( = N.m) = 3,6 6 mm 4 = 3, 6 mm 4 b 3 mm 33 mm Préparé par Daniel Therriault, ing. et arie Bernard, ing. 3 Résistance des matériau Fleion gauche Chap. 7 emple: Profilé en soumis à un moment. nfluence d une légère inclinaison b Sur l orientation du plane neutre (angle ). Variation de en fonction de b ( = N.m) = puisque un des aes ( ou ) est un plan de smétrie de la section tg tg b 3,6 6 3, sin b ; 6 tgβ 7,6tgβ cos b b 4,3cos b,4 sin b (, ) = (-, ; 66,) b () () ( ) ma pour = N.m (Pa) 4, 7,6 4,7 33,7 6, 3,3 8, Observation: Un petit changement de b mène à une grande inclinaison du plan neutre et une augmentation de la contrainte maimale Préparé par Daniel Therriault, ing. et arie Bernard, ing. 4

12 Résistance des matériau Fleion gauche Chap. 7 nimation pour b = Préparé par Daniel Therriault, ing. et arie Bernard, ing. Résistance des matériau Fleion gauche Chap. 7 nimation pour b = Préparé par Daniel Therriault, ing. et arie Bernard, ing. 6

13 Résistance des matériau Fleion gauche Chap. 7 nimation pour b = Préparé par Daniel Therriault, ing. et arie Bernard, ing. 7 Résistance des matériau Fleion gauche Chap. 7 Préparé par Daniel Therriault, ing. et arie Bernard, ing. 8

14 Résistance des matériau Fleion gauche Chap. 7 Contraintes au niveau de l encastrement b = b = b = Préparé par Daniel Therriault, ing. et arie Bernard, ing. 9 Résistance des matériau Fleion gauche Chap. 7 emple 7.4: Cornière soumise à seulement Valeur de la contrainte normale maimale ( ma ) mplacement de la contrainte normale maimale sur la section de la poutre PPROCH:. Localisation du centroïde. Calcul des seconds moments de surface 3. Calcul du moment produit À faire en classe 4. Calcul de l inclinaison du plan neutre. dentifier les points le plus sollicités 6. Calcul de ma Préparé par Daniel Therriault, ing. et arie Bernard, ing. 6

15 Résistance des matériau Fleion gauche Chap. 7 Formulaire tpe à l eamen Chapitre 7 Notions avancées de fleion i i i tan b i tan b tan tan b ; ; ii i i ' cos sin ' cos sin Préparé par Daniel Therriault, ing. et arie Bernard, ing. 6 Résistance des matériau Fleion gauche Chap. 7 Préparé par Daniel Therriault, ing. et arie Bernard, ing. 6

16 Résistance des matériau Fleion gauche Chap. 7 Préparé par Daniel Therriault, ing. et arie Bernard, ing. 63 Résistance des matériau Fleion gauche Chap. 7 Préparé par Daniel Therriault, ing. et arie Bernard, ing. 64