SIMNUM : Simulation de systèmes auto-gravitants en orbite

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1 SIMNUM : Smulaton de systèmes auto-gravtants en orbte sujet proposé par Ncolas Kelbasewcz : 14 janver Établssement du modèle 1.1 Approxmaton de champ lontan La force gravtatonnelle exercée à un nstant donné sur une partcule est la somme des forces gravtatonnelles exercées par chacune des autres partcules j et est donc donnée par la lo d nteracton gravtatonnelle de Newton : F = j G m m j r 2 j où G est la constante de gravtaton unverselle, m j la masse de la partcule j et r j la dstance entre les partcules et j. S on consdère par exemple qu l y a 10 4 partcules ce qu est fable pour un amas globulare et davantage encore pour une galaxe, on dot donc calculer à chaque nstant 10 8 nteractons. Ce qu est beaucoup! Pour dmnuer de façon sgnfcatve le temps de calcul, une dée consste à utlser une approxmaton de champ lontan : consdérant des partcules lontanes dont les dstances entre elles sont très fables devant leur dstance avec la partcule, on les remplacera par une seule partcule de masse la somme des masses de ces partcules lontanes et postonnée en leur centre de masse et on calculera l nteracton entre cette partcule rédute et la partcule. Dans le cas contrare, on calculera toutes les nteractons de manère exacte. 1.2 Structure hérarchque Cette dée condut à structurer l espace qu occupe les partcules en boîtes hérarchsées sous forme d arbre : dans un espace de dmenson k (1 ou 2 en général), on consdère une boîte englobant l ensemble des partcules. Cette boîte est subdvsée en 2 d sous-boîtes de même talle et on rétère le procédé sur les sous-boîtes jusqu à ce que chaque boîte créée ne contenne pas plus d une seule partcule. On parle alors de boîte termnale. nveau 4 nveau 3 nveau 2 nveau 1 Fgure 1 Constructon de la grlle symbolsant l arbre et structure de l arbre assocé

2 1.3 Evoluton dynamque Afn de smuler le comportement dynamque de l ensemble des partcules, on utlsera pour chaque partcule la relaton fondamentale de la dynamque lant la force qu s exerce sur la partcule et son vecteur accélératon : m a = F (r 1,..., r N ) Pour dscrétser cette équaton d évoluton, on utlsera un schéma saute-mouton : v k+ 1 2 = v k 1 2 r k+1 = r k + 1 tvk+ 2 + t m F (r k 1,..., r k N) Attenton à l ntalsaton de la vtesse : v 1 2 = v 0 + t F 0 2m Le schéma saute-mouton est un schéma d ordre 2 stable. 2 Eléments de concepton 2.1 L objet Partcule avec r α = r (α t), v α = v (α t) = dr dt (α t) Une partcule sera représentée par l objet Partcule défn par les attrbuts suvants : sa poston nstantanée sa vtesse nstantanée la force gravtatonnelle qu s exerce sur elle On aura également beson de gérer une lste de partcules. 2.2 L objet Bote Une boîte sera représentée par l objet Bote défn par les attrbuts suvants : son nveau (permet de détermner sa talle) son centre (permet de le localser) son centre de masse (centre de gravté de toutes les partcules contenues dans la boîte) sa masse (cumulée s l y a pluseurs partcules un ponteur sur une partcule (non nul s l y en a une seule) un ponteur sur sa premère boîte flle (nul d c est une boîte termnale) un ponteur sur sa bote sœur (nul l n y a plus de boîte sœur) 3 Eléments algorthmques 3.1 Déroulement d une tératon de calcul Le calcul complet d une tératon se déroulera comme sut : 1. Calcul des forces gravtatonnelles pour chaque partcule en réalsant une boucle sur les botes. Afn d évter des sngulartés numérques, on ntrodura un paramètre d adoucssement ε de sorte que le calcul d une nteracton entre 2 partcules et j devent : Gm m j s r j > ε f j = r 2 j Gm m j ε 2 snon 2. Mse à jour des vtesses et des postons à l ade du schéma saute-mouton 2

3 3. Mse à jour des botes (des partcules ont en effet pu changer de boîte à l ssue de l tératon) : une méthode smple consste à déplacer les partcules en réalsant une boucle sur les boîtes. Dans une boîte termnale : sot la partcule ne sort pas de la boîte et l n y a ren à fare. sot la partcule sort de la boîte. Dans ce cas, on retre la partcule de la boîte à l ade d une foncton de suppresson, en tenant compte du fat que s une boîte n a que des sous-boîtes vdes, l faut détrure les sous-boîtes. Pus, on ajoute la partcule à l ade d une foncton d ajout qa parcourr les boîtes et modfer l arbre en foncton de la nature de la boîte contenant la partcule ajoutée : sot la boîte est termnale et vde, alors on nsère la partcule dans cette boîte et c est termné sot la boîte est termnale et content 1 partcule, alors on subdvse la boîte et on nsère les 2 partcules dans les sous-boîtes correspondantes (éventuellement la même) sot la boîte est non termnale, alors on ajoute la partcule à la sous-boîte qu la content Attenton! certanes partcules peuvent sortr de la boîte racne, c est-à-dre du domane de calcul. 3.2 Génératon d une condton ntale Afn de construre un système auto-gravtant sphérque, on peut utlser le modèle de Plummer qu fournt une densté de masse sotrope dans l espace de la forme : ρ(r) = 3Mb 2 4π (r 2 + b 2 ) 5 2 où M est la masse totale du système et b une dmenson caractérstque du système de partcules. Pour générer un tel système, on va se baser sur les travaux de Aarseth, Henon et Welen [1], dont le prncpe est détallé c-après. Sot N le nombre de partcules, on se place dans le cadre M = 1, G = 1 et b = 1, et où les partcules ont la même masse m = 1 N. On va mantenant construre à l ade d un générateur de nombre aléatores unforme sur [0, 1] les postons et vtesses de chaque partcule. Vor [2] pour les générateurs de type congruentels. 1. sot X 1 une valeur aléatore, on construt la valeur dayon : r = ( ) 0.999X 2/3 1/2 1 1 ( 1/2, En tout état de cause la relaton devrat être r = X 2/3 1 1) mas on rejette les partcules trop lontanes car le modèle de Plummer est un modèle à rayon nfn, or les smulatons seront dans une boîte fne. 2. Soent X 2, X 3 et X 4 3 nouvelles valeurs aléatores, on construt le vecteur poston de la manère suvante : On calcule = X2 2 + X2 3 + X2 4. S 1, x = r X 2, y = r X 3, z = r X 4. S > 1, retrage de X 2, X 3 et X Étant donnée la vtesse d échappement v e = 2 ( 1 + r 2) 1/4, on détermne le module de la vtesse de la forme v = qv e où q est détermné de manère aléatore par une méthode de rejet de Von Neumann : on consdère la foncton g défne par g(q) = q 2 ( 1 q 2) 7/2. Soent X5 et X 6 2 nouvelles valeurs aléatores. SI X 6 < 10g(X 5 ), alors q = X 5, snon retrage de X 5 et X 6. 3

4 4. Soent X 7, X 8 et X 9 3 nouvelles valeurs aléatores, on construt le vecteur vtesse de la manère suvante : On calcule = X7 2 + X2 8 + X2 9. S 1, v x = v X 7, v y = v X 8, v z = v X 9. S > 1, retrage de X 7, X 8 et X 9. Tout en conservant G = 1 dans le système d untés, s l on souhate générer un système de masse M et d énerge E, l sufft de multpler les masses par M, les postons par 3πM 2 et les vtesses par 64 E 64 E 4π M. 3.3 Mse en orbte Pour détermner l orbte d une partcule ponctuelle de masse m Plummer, on écrt le prncpe fondamental de la dynamque : dans un potentel de type d 2 ( r dt 2 = φ ) 0b r 2 + b 2 = φ 0 b (r 2 + b 2 ) 3/2 r De manère générale, on ne peut détermner une expresson analytque de la trajectore orbtale dans l espace. On peut néanmons la détermner numérquement en utlsant une méthode de tr couplée, par exemple, à un ntégrateur de type Runge-Kutta. La fgure 2 montre 3 orbtes correspondant à une vtesse ntale égale à la vtesse crculare, plus fable ou plus forte. µ = 1 µ = 0.5 µ = 1.25 poston ntale Fgure 2 3 orbtes planes dans un champ de potentel de Plummer. µ est le facteur multplcatf donné à la vtesse crculare en guse de condton ntale. De manère générale, on obtent donc ou une trajectore crculare (µ = 1) ou une rosette nterne au cercle (µ < 1) ou externe (1 < µ < 2). Le cas µ = 2 correspond à la vtesse de lbératon au delà de laquelle l étole part à l nfn. Il exste néanmons un cas où cette résoluton numérque n est pas nécessare : l orbte crculare. Dans ce cas, on a : 4

5 r = R a = Rω 2 e r v = Rωe θ où ω désgne la vtesse angulare, ce qu nous permet de défnr la condton ntale à donner au système pour le mettre en orbte crculare : v crc = R φ 0 b (R 2 + b 2 ) 3/4 e θ (1) Du pont de vue de la génératon des condtons ntales, la technque se décompose en deux étapes : On génère le système dans le référentel du centre de masse (donc du centre de densté, pusque le système est ntalement sphérque) ; On normalse à la masse M et l énerge E souhatée. On ajoute sur les vecteurs poston et vtesse les composantes orbtales. 4 Organsaton du traval (3p) en : Après s être concerté sur la défnton des classes et du prototype des fonctons, le traval consstera Fabrcaton des classes élémentares Partcule et Bote avec valdaton de toutes les fonctonnaltés sur des cas smples Mse en place des fonctonnaltés : calcul de la force gravtatonnelle, mse à jour des postons, mse à jour des boîtes, génératon des condtons ntales. On valdera chacune des fonctonnaltés sur des exemples smples. Génératon de fchers de sorte que l on explotera par exemple à l ade de Matlab pour générer des flms. Références [1] S. J. Aarseth, M. Hénon, and R. Welen, A comparson of numercal methods fot the study of star cluster dynamcs, Astronomy and Astrophyscs, vol. 37, pp , [2] J.-F. Delmas, MA Introducton au calcul des probabltés et à la statstque. Ecole Natonale Supéreure de Technques Avancées. 5

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