COMPARAISON DE METHODES POUR L ESTIMATION DE L INCERTITUDE SUR UNE FONCTION D ETALONNAGE

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1 7 Iteratioal Cogress of Metrology, 0007 (05) DOI: 0.05/ metrolo gy/ C Owed y the authors, pulished y EDP Siees, 05 COMPARAISON DE METHODES POUR L ESTIMATION DE L INCERTITUDE SUR UNE FONCTION D ETALONNAGE Nathalie Sugliao Cetre Tehologique Méditerraée de Métrologie (CTM) Route de Laço, Cetre des Creusets 350 SAINT-CHAMAS Résumé L étaloage d u équipemet et l iterprétatio des doées d étaloage sot des étapes fodametales pour assurer la fiailité des résultats de mesure. Coformémet à la ouvelle défiitio du VIM [] (Voaulaire Iteratioal de la métrologie), l étaloage permet d étalir ue relatio etre les idiatios de l istrumet et le résultat de mesure. Das le as de mesures réalisées sur toute ue plage, l étaloage peut être modélisé sous la forme d'ue fotio d'étaloage. La fotio d étaloage étalira alors ue relatio etre le sigal mesuré par l équipemet et la gradeur eploitée par le laoratoire. De omreu équipemets (spetrophotomètre, ) éessitet la mise e plae d ue fotio d étaloage et les laoratoires peuvet avoir des diffiultés lors de l estimatio de l iertitude liée à la fotio d étaloage. Des méthodes omplémetaires ou alteratives à la méthode GUM (Guide pour l estimatio des iertitudes de mesure) [] sot ourammet utilisées pour estimer ette iertitude. L artile a pour ut de préseter à partir d u as oret les différetes méthodes qui peuvet être utilisées pour estimer l iertitude liée à la fotio d étaloage. Les méthodes présetées serot les suivates : méthode asée sur les aluls matriiels, méthode de Mote-Carlo (méthode par simulatio umérique), méthode utilisat les erreurs maimales admissiles (EMA étaloage) de la validatio de la méthode selo la orme NF-T Les méthodes serot epliquées et omparées : priipes et limites d appliatios, diffiultés, retour d epériee, L ojetif sera d orieter au mieu les laoratoires das le hoi d ue méthodologie adaptée pour l estimatio de l iertitude liée à la fotio d étaloage. E olusio, la prise e ompte de l iertitude de la fotio d étaloage das l iertitude de mesure sera disutée. Summary Caliratio of a equipmet ad the iterpretatio of aliratio data are key steps to esure reliaility of measuremet results. Aordig to the ew defiitio of aliratio from the «VIM» (Iteratioal Voaulary of Metrology)[], aliratio estalishes a relatioship etwee the equipmet idiatios ad the measuremet results. I the ase of measurig rage, aliratio a e modelized as a aliratio futio. The, the aliratio futio will estalish a relatioship etwee idiatios ad measuremet results. May equipmets (spetrophotometer,...) requires aliratio futio ad laoratories may have diffiulties i estimatio of uertaity. Alterative or additioal methods to the GUM method [] : are ommoly used to estimate uertaity. The artile aims to preset differet methods whih a e used to estimate uertaity related to aliratio futio trough a eemple. Differet methods will ilude : method ased o matri alulatios, Mote Carlo method (umerial simulatio), method usig the maimum permissile errors (EMA) of the method validatio aordig to NF-T-90-0 stadard. Methods are eplaied ad ompared : priiples ad appliatio limitatios, diffiulties,... Goal will e to guide laoratories i their hoie of a This is a Ope Aess artile distriuted uder the terms of the Creative Commos Attriutio Liese 4.0, whih permits urestrited use, distriutio, ad reprodutio i ay medium, provided the origial work is properly ited. Artile availale at or

2 We of Coferees appropriate methodology to estimate uertaity related to the aliratio futio. I olusio, uertaity of the aliratio futio iludig i measuremet uertaity will e disussed. E préditio direte : L utilisateur utilise la valeur de i pour retrouver la valeur de yi. E préditio iverse : L utilisateur utilise la valeur de yi pour retrouver la valeur de i. - Itrodutio : Pourquoi utiliser ue fotio d étaloage? Coformémet au VIM [], l étaloage est «ue opératio qui, das des oditios spéifiées, étalit e ue première étape ue relatio etre les valeurs et les iertitudes de mesure assoiées qui sot fouries par des étalos et les idiatios orrespodates ave les iertitudes assoiées, puis utilise e ue seode étape ette iformatio pour étalir ue relatio permettat d'oteir u résultat de mesure à partir d'ue idiatio». L étaloage est do ue omparaiso par rapport à u étalo permettat de oaître les aratéristiques métrologiques de l équipemet et d e assurer so raordemet. Das la plupart des as, ette relatio sera représetée par la fotio d étaloage. L ajustemet de la fotio d étaloage permettra d étalir ue relatio etre la variale Y (qui orrespod e gééral à l idiatio doée par l istrumet) et X (qui orrespod à la valeur des étalos). Figure : Etalissemet d ue fotio d étaloage Preos le as d u spetrophotomètre. Suite à l étaloage, ue fotio d étaloage est défiie pour étalir ue relatio etre l asorae et la oetratio des solutios étalo. L utilisateur détermiera lors de l aalyse e routie so mesurade à partir de la fotio d étaloage. Selo so esoi, il pourra détermier la valeur de l asorae (préditio direte) ou de la oetratio (préditio iverse) L iertitude sur la fotio d étaloage permettra d oteir les iertitudes liées au aratéristiques de la fotio d étaloage (pete, ordoées, ). Ces iertitudes serot alors des omposates de l iertitude de mesure. - Méthodologie pour l estimatio de la fotio d étaloage et de l iertitude assoiée La orme XP ISO/TS 8037 (Août 03) [3] dérit les étapes pour étalir ue fotio d étaloage et pour l estimatio des iertitudes assoiées. La méthodologie pour la détermiatio et l utilisatio d ue fotio d étaloage se déompose e iq étapes présetées das la figure i-dessous. Suite à la détermiatio de la fotio d étaloage, le laoratoire peut utiliser e routie ette fotio de deu maières : 0007-p.

3 7 Iteratioal Cogress of Metrology Figure : méthodologie d estimatio de la fotio d étaloage et de l iertitude assoiée Etape : Détermier les élémets d etrée. Etape : Fourir les meilleures estimatios des paramètres de la droite. Etape 3 : Valider le modèle. Avat d estimer le modèle, deu questios doivet se poser : - Les iertitudes assoiées au valeurs mesurées sur i sot-elles égligeales? - Les ovariaes assoiées au paires de valeurs mesurées sot-elles égligeales? E fotio des réposes, 5 types de modélisatio sot possiles : Figure 3 : Méthode des moidres arrés ordiaires (O.L.S) Etape 4 : Oteir les iertitudes-types et la ovariae assoiée Etape 5: Utiliser la fotio d étaloage pour la préditio direte (ou iverse). La orme XP ISO/TS 8037 est appliale das le as de modèles liéaires. Nous teteros, éamois, das la suite de l artile de s ispirer de ette méthodologie pour les autres types de modélisatio. 3- Desriptio des étapes de la modélisatio Etape : Détermier les élémets d etrée. Les élémets d etrée sot omposés : - des doées rutes, - de l estimatio des iertitudes sur les variales X et Y - des ovariaes. Das ette modélisatio, il est osidéré que les variaes sur le paramètre Y sot ostates et idépedates. L iertitude sur la variale X est jugée égligeale. Figure 4 : Méthode des moidres arrés podérés (W.L.S) Les méthodologies «lassiques» d estimatio des iertitudes sot appliales (GUM, Mote- Carlo,.) pour estimer les iertitudes sur les variales X et Y. Etape : Fourir les meilleures estimatios des paramètres de la droite. Les modèles hoisis serot différets e fotio de la prise e ompte des iertitudes sur les variales X et Y, des podératios et des ovariaes. Das ette modélisatio, il est osidéré que les variaes sur les Y sot variales et idépedates. L iertitude sur la variale est jugée égligeale p.3

4 We of Coferees Figure 5 : Méthode des moidres arrés gééralisés (G.L.S) Figure 7 : Méthode des moidres arrés ordiaires (G.G.M.R) Das ette modélisatio, il est osidéré que les variaes sur les Y sot variales et orrélées. L iertitude sur la variale X est jugée égligeale. Par eemple, est le as, lorsque la variailité est pas seulemet due au sigal. Figure 6 : Méthode des moidres arrés ordiaires (O.D.R) = Das ette modélisatio, il est osidéré que les variaes sur les Y sot variales et orrélées. L iertitude sur la variale X est pas jugée égligeale et les variaes sot orrélées. Ce derier modèle ostitue le as le plus gééral. Etape 3 : Valider le modèle Par u test statistique, il est souvet reommadé de valider le modèle. Par eemple, pour u modèle de type O.L.S ave ue fotio du type y=a+, il est possile de réaliser u test du Khideu pour s assurer de l adéquatio du modèle. Etape 4 : Oteir les iertitudes-types et la ovariae assoiée Das ette modélisatio, il est osidéré que les variaes sur les Y sot variales et orrélées. L iertitude sur la variale X est pas jugée égligeale. Pour la détermiatio de l iertitude sur la fotio d étaloage, plusieurs méthodes sot à dispositio des laoratoires. Voii des méthodes/outils à la dispositio des laoratoires : Utilisatio de taleur (eemple Eel) Fotio Droite Reg La fotio DROITEREG revoie ue matrie qui otiet les iformatios suivates : 0007-p.4

5 7 Iteratioal Cogress of Metrology Figure 8 : Iformatios de «droite reg» Cette formule est dispoile sous Eel. Caluls matriiels C est u alul matriiel qui peut être réalisé sous Eel à partir de la matrie (T) suivate : T Où, wi représete les podératios appliales et i représete les valeurs prises par la variale X. L estimatio de la pete et l ordoée à l origie sera doée par la formule suivate : 0 B T ' T T ' Y Ou Y représete la matrie listat l esemle des valeurs prises par la variale Y. L estimatio des iertitudes sur la pete et l ordoée à l origie et les ovariaes serot doées par la formule suivate : u,, , u, u 0, Ou s²résidus représete la variae résiduelle. s Ces aluls matriiels sot réalisales pour des polyômes d ordre supérieur ou égal à. Logiiels développés (Logiiel RegPoly, logiiel M-Care, )... Résidus T ' T Le logiiel M-are («Modélisatio des résultats d étaloage») est u logiiel spéialisé développé par le Collège Fraçais de Métrologie das le adre de la mise e œuvre de la ouvelle défiitio VIM d étaloage. Il est téléhargeale sur et permet de traiter tous les modèles. La otie d utilisatio et le logiiel sous Eel sot téléhargeales gratuitemet après isriptio sur le site du CFM. Etape 5 : Utiliser la fotio d étaloage pour la préditio direte (ou iverse). E fotio de l utilisatio de la fotio d étaloage (préditio direte ou iverse), l iertitude de mesure pourra être oteue grâe au logiiel/outils/méthodes ité préédemmet. 4- De la théorie à la pratique. Das l eemple suivat, ous traiteros u modèle simple de type y= a + e e preat pas e ompte l iertitude sur les, les évetuelles podératios et ovariaes. i yi u(yi) 3,3 0,5 5,6 0,5 3 7, 0,5 4 9,3 0,5 5 0,7 0,5 6, 0,5 Nous réaliseros u alul matriiel e partat de la matrie T suivate : Podératio yi 3,3 5,6 7, 9,3 0,7, Les résultats oteus sot les suivats 0007-p.5

6 We of Coferees a = ordoée à l origie =,87 = pete =,76 u² (a) = 0,09 u² () = 0, u²(a,) = E omparat ave les autres méthodes (fotio droite reg, M-Care), ous oteos des résultats similaires pour les petes, les ordoées à l origie mais égalemet les variaes résiduelles. Les iertitudes oteues sot du même ordre de gradeur. Suite à la mise e œuvre des trois méthodes, des avatages et iovéiets apparaisset. Taleau : Comparaiso des méthodes positifs sesiles positifs sesiles positifs sesiles Méthode «Outil Droitereg» - Caluls rapides - Utilisatio d u taleur Eel possile - Néessité d iterpréter et de réutiliser les doées oteues - Diffiultés à retrouver les iformatios e appliquat la formule droitereg. - Utilisatio d ue matrie - Méthode pas suffisate pour des modèles plus omplees Méthode «Outils Caluls matriiels» - Possiilité de détailler toutes les étapes du alul (plus d iformatio) - Utilisatio d u taleur Eel possile - Caluls e plusieurs étapes - Réalisatio de aluls matriiels sous Eel. Méthode «M-are» - Caluls automatiques - De omreu graphiques qui doet des iformatios visuelles itéressates. - Pas d iformatio sur les différetes étapes du alul. Au fial, les trois méthodes dérites pourraiet permettre de omparer les résultats oteus afi de s assurer de leur ohéree et de permettre à l utilisateur d avoir u regard ritique. 5- Les outils pour des as plus omplees Pour des modèles plus omplees (polyôme d ordre supérieur, autres modèles), il est éessaire d utiliser des tehiques plus adaptées. Premièremet, le taleur Eel (aluls matriiels mais aussi droite Reg e permettra pas de predre e ompte tous les as possiles. L utilisatio d u taleur de type Matla pourrait être reommadé. Deuièmemet, o ostate que plus les modèles sot omplees plus o ostatera des différees etre les outils. L utilisateur devra alors être vigilat sur les méthodes et outils utilisés et avoir u regard ritique sur les iertitudes oteus. 6- Vers d autres outils D autres outils plus géérau ous permettet égalemet de aluler l iertitude sur la fotio d étaloage : La méthode Mote Carlo est ue méthode par simulatio umérique. O utilisera Eel ou tout autre taleur apale de géérer des omres aléatoires. L utilisatio d Erreurs maimales Admissiles fiées lors de la validatio de méthode. Cette méthode osiste à fier des EMA. Néamois, l iertitude oteue sera plus élevée que préédemmet. 7- Colusios E olusio, les laoratoires disposet de omreu outils pour estimer les iertitudes sur la fotio d étaloage. Il peut être evisagé d utiliser plusieurs méthodes pour pouvoir omparer les résultats oteus et avoir u regard ritique sur les iertitudes alulées au regard des esois sur l iertitude de mesure du laoratoire p.6

7 7 Iteratioal Cogress of Metrology Référees [] : JCGM 00:008: Voaulaire iteratioal de métrologie Coepts fodametau et géérau et termes assoiés (VIM) (JCGM 00:008 ave orretios mieures) [] : JCGM 00:008 : Guide to the epressio of Uertaity i Measuremet (Guide pour l epressio de l iertitude de mesure) [3] : XP ISO/TS 8037 Août 03 : Détermiatio et utilisatio des fotios d étaloage liéaire 0007-p.7