INF-130 Travail Pratique #2

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1 École de technologie supérieure INF-30 Travail Pratique #2 Travail individuel Tracé d un métro Francis Bourdeau, Frédérick Henri et Patrick Salois Remise à la 0 e semaine. Objectifs - Amener l étudiant à utiliser les tableaux à une ou plusieurs dimensions. - Habituer l étudiant à développer une application découpée en modules. - Aborder la recherche d une solution à l aide d un algorithme probabiliste. - Introduire les diagrammes de Voronoï. 2. Description du problème: Déterminer le tracé d un métro La division ferroviaire de votre entreprise décroche un contrat pour le remplacement du service de trains de la ville de Nice en France par un système de métro souterrain. Votre patron demande à un groupe d ingénieurs dont vous faites partie de déterminer le tracé du nouveau métro. Il vous indique que deux contraintes limitent le choix du tracé : - afin d éviter des dépenses inutiles, il faut minimiser la longueur du tracé. - la ville de Nice abrite 68 monuments historiques et il est primordial que le tracé que vous choisirez s éloigne au maximum de ceux-ci. Un des ingénieurs mentionne avoir déjà entendu parler d un problème similaire qui a été résolu à l aide d un diagramme de Voronoï. Il propose de développer une application qui, à partir d un ensemble d obstacles (les monuments historiques), crée le diagramme de Voronoï et détermine les arêtes à utiliser pour former le tracé du métro. Votre tâche consiste donc à développer un programme écrit en VBA d Excel qui offre les options suivantes : ) générer aléatoirement 0, 25 ou 50 obstacles à l intérieur d une région rectangulaire donnée; 2) créer le diagramme de Voronoï associé aux obstacles générés; 3) déterminer le chemin le plus court qui emprunte les arêtes du diagramme de Voronoï et permet de traverser la région de gauche à droite. INF-30 Ordinateurs et programmation Été 202 / Page

2 3. Exemple d exécution Les figures qui suivent offrent des exemples de ce que l utilisateur voit lorsqu il choisit les différentes options à sa disposition. Générer 25 obstacles Tracer les lignes de métro possibles (création du diagramme de Voronoï) Obtenir le meilleur tracé INF-30 Ordinateurs et programmation Été 202 / Page 2

3 4. Description des étapes de la création du diagramme de Voronoï Votre collègue commence par vous expliquer mathématiquement ce qu est un diagramme de Voronoï. Soit S = {s, s 2,, s n} un ensemble de npoints du plan que nous nommerons des sites. On définit le diagramme de Voronoï de S comme étant une partition du plan en n régions telle que : a. Chaque région contient un et un seul site ; b. Pour tout point p R 2, si p se situe dans la région du site s k où k [, n], alors i [, n] i k, distance(p, s i) < distance(p, s k). Voici un exemple : Dans l image précédente, les 9 points constituent l ensemble S des sites. De plus, les lignes délimitent les 9 régions qui partitionnent le plan. Ainsi, pour tout point p R 2, le site le plus proche de p est obligatoirement le site de la région où se situe p. Ceci implique que les arêtes séparant deux régions sont équidistantes des sites de ces régions. Il vous décrit ensuite les étapes à suivre pour créer un diagramme de Voronoï à partir d un ensemble de sites. Vous êtes très content lorsqu il mentionne que vous n aurez qu à réaliser les trois premières étapes et qu il se chargera de programmer les autres étapes. INF-30 Ordinateurs et programmation Été 202 / Page 3

4 ) On commence par déterminer les coordonnées (x, y) des différents sites. 2) Pour chaque triplet de sites, on trouve le point équidistant aux trois sites (le centre du cercle inscrit de ces trois sites). On nomme ce point un orthocentre. Dans l illustration ci-dessous, les 4 orthocentres sont identifiés par des croix. 3) Pour chaque orthocentre o, s il existe un site plus près de o que les sites ayant servi à le générer, alors on retire o. En comparant la figure précédente à celle qui suit, on constate que l orthocentre se trouvant au milieu a disparu. INF-30 Ordinateurs et programmation Été 202 / Page 4

5 4) Pour chaque couple d orthocentres, si ceux-ci on deux sites (i, j) en commun parmi les sites de leurs triplets, alors on ajoute une arête (une ligne) entre ces orthocentres. 5) Pour chaque orthocentre, on vérifie qu il existe une arête pour chacun des 3 couples de sites (i, j) pouvant être formé à partir du triplet de cet orthocentre. Si un couple ne possède pas d arête, alors on crée une médiatrice coupant le segment (i, j) et passant par l orthocentre. INF-30 Ordinateurs et programmation Été 202 / Page 5

6 6) Pour chacune des médiatrices du segment (i, j) d un orthocentre, si le troisième site de l orthocentre est du même côté du segment (i, j) qu une extrémité de la médiatrice, alors on coupe la médiatrice (l orthocentre devient alors sont extrémité). 5. Description de l algorithme de recherche du tracé En ce qui concerne la recherche du meilleur tracé, on vous propose d utiliser un algorithme probabiliste qui teste des tracés au hasard et qui conserve le meilleur tracé trouvé. La solution trouvée ne sera pas nécessairement la meilleure, mais elle aura l avantage de pouvoir être trouvée assez rapidement. On trouve tous les points de départs possibles (sur le côté gauche de la région). SI il n y a aucun point de départ possible ALORS On affiche un message d erreur. SINON meilleure_distance infini POUR i À 000 BOUCLE On génère aléatoirement un tracé qui débute à partir d un point de départ possible et qui est tel que le tracé ne revient jamais sur ses pas. SI le tracé se termine sur un point situé sur le côté droit de la région ALORS On calcule la longueur du tracé. SI la longueur du tracé est plus petite que meilleure_distance ALORS meilleure_distance la longueur du tracé FIN SI FIN SI FIN BOUCLE FIN SI 6. Description des modules et des sous-programmes Votre application devra contenir 9 modules dont voici les descriptions. INF-30 Ordinateurs et programmation Été 202 / Page 6

7 . Module_constantes Ce module contient diverses constantes utilisées dans la plupart des modules du programme. Il vous est offert et il vous est interdit de le modifier. 2. Module_utilitaire Ce module contient diverses fonctions permettant de comparer des nombres réels, générer des nombres aléatoires et vérifier si un tableau est vide. Il vous est offert et il vous est interdit de le modifier. 3. Module_point Ce module contient deux fonctions publiques servant à manipuler des points dans le plan. Il ne connaît que les modules Module_utilitaire et Module_constantes. Afin de conserver un point, il a été choisi d utiliser un tableau de réels composés de deux éléments indicés respectivement INDICE_X et INDICE_Y. La figure ci-dessous illustre comment le point (2, 3) est conservé en mémoire. INDICE_X 2 INDICE_Y 3 distance_entre_deux_points : Cette fonction reçoit deux points et retourne la distance entre ces deux points grâce au théorème de Pythagore. Premier point Deuxième point Valeur attendue (0, 0) (3, 4) 5 (3, 4) (3, 4) 0 (3.25,.7) (0.25, 3.7) points_sont_egaux : Cette fonction reçoit deux points et retourne True si les deux points sont égaux et False si ce n est pas le cas. Premier point Deuxième point Valeur attendue (, ) (, ) True (, ) (, 2) False (0, 0) ( , 0) True INF-30 Ordinateurs et programmation Été 202 / Page 7

8 4. Module_arete Ce module contient quatre fonctions publiques servant à manipuler des arêtes (des segments de droite délimités par deux points). Il ne connaît que les modules Module_utilitaire et Module_constantes. ordonnee_arete : Cette fonction reçoit un point et la pente d une arête (un nombre réel). Elle retourne l ordonnée à l origine de l arête (la valeur de b dans la formule y = mx + b). Point Pente Valeur attendue (, ) 0 (2, 8) 2 4 (2, 4) pente_arete : Cette fonction reçoit deux points et retourne la pente de l arête (du segment de droite) formée par ces deux points à l aide de la formule (y2-y)/(x2-x). Elle suppose que x 2 est différent de x. Premier point Deuxième point Valeur attendue (, ) (2, 2) (, ) (2, 0) - (-3, 5) (7, 6) 0. arete_est_verticale : Cette fonction reçoit deux points et retourne True si les points sont alignés verticalement et False si ce n est pas le cas. Premier point Deuxième point Valeur attendue (, ) (2, 2) False (, ) (, 5) True (5, ) (, ) False arete_est_horizontale : Cette fonction reçoit deux points et retourne True si les points sont alignés horizontalement et False si ce n est pas le cas. INF-30 Ordinateurs et programmation Été 202 / Page 8

9 Premier point Deuxième point Valeur attendue (, ) (2, 2) False (, ) (, 5) False (5, ) (, ) True 5. Module_collection_points Ce module contient cinq sous-programmes publics servant à manipuler une collection de points. Il connaît les modules Module_utilitaire, Module_constantes et Module_point. Afin de conserver une collection de points, il a été choisi d utiliser un tableau à deux dimensions de réels dont les deux lignes portent respectivement les indices INDICE_X et INDICE_Y. La figure ci-dessous illustre comment une collection contenant les points (2, 3), (, 4) et (5.3, 2) est conservée en mémoire. 2 3 INDICE_X INDICE_Y ajouter_point : Cette procédure reçoit une collection de points et un point. Elle ajoute une colonne de plus à la collection et écrit les coordonnées du point reçu dans la nouvelle colonne. Collection Point Valeur attendue Tableau vide (, ) (2, 2) 2 2 existe_point_plus_pres : Cette fonction reçoit une collection de points, un point et les indices de 3 points dans la collection (la fonction suppose que ces indices sont valides). Elle retourne True s il existe au moins un point dans la collection qui est plus INF-30 Ordinateurs et programmation Été 202 / Page 9

10 près du point reçu que les trois points identifiés par des indices. Lorsque les trois points dont on a reçu les indices sont les plus près du point reçu, la fonction retourne False. Collection Point # #2 #3 Valeur attendue (0, 0) 2 3 True (0, 0) 2 3 False (, ) False generer_points_aleatoires : Cette fonction reçoit un nombre entier correspondant au nombre de points à créer. Elle retourne une collection de points contenant le nombre de points demandé. Il est à noter que la fonction s assure que la distance séparant chaque point de tous les autres points est toujours supérieure à 0. Afin de tester la fonction, il est recommandé de l appeler et de vérifier que le tableau retourné contient bel et bien le nombre de points demandé. obtenir_ieme_point : Cette fonction reçoit une collection de points ainsi qu un indice. Elle retourne un point contenant les coordonnées du point dans la collection se trouvant à l indice spécifié. Collection Valeur attendue (-5, 0) (5, 0) INF-30 Ordinateurs et programmation Été 202 / Page 0

11 (0, 5) points_sont_alignes : Cette fonction reçoit une collection de points et les indices de trois points dans la collection (la fonction suppose que ces indices sont valides). Elle retourne True si les trois points sont alignés et False lorsque ce n est pas le cas. L équation (y y 2) (x x 3) = (y y 3) (x x 2) permet de savoir si les points sont alignés et revient à vérifier si la pente du segment formé par les deux premiers points est la même que celle du segment formé par le premier et le dernier point. Collection # #2 #3 Valeur attendue True True True False point_plus_pres : Cette fonction privée reçoit une collection de points ainsi qu un point. Elle retourne le point dans la collection qui est le plus près du point reçu. Collection Point Valeur attendue (, ) (0, 0) INF-30 Ordinateurs et programmation Été 202 / Page

12 (6, 8) (7, 9) 6. Module_interface Ce module contient tous les sous-programmes qui interagissent avec l environnement d Excel ; c est donc le seul endroit dans le programme où l on écrit/lit dans les feuilles Excel et où l on modifie les séries du graphique dans la première feuille. Ce module vous est offert et il vous est interdit de le modifier. 7. Module_collection_orthocentres Ce module offre trois sous-programmes publics servant entre autres à créer les orthocentres nécessaires à la création du diagramme de Voronoï (voir la section 4, étapes 2 et 3). Tous les sous-programmes de ce module attendent une collection d orthocentres. Afin de conserver une collection d orthocentres, il a été choisi d utiliser un tableau à deux dimensions de réels dont les cinq lignes portent respectivement les indices INDICE_X, INDICE_Y, INDICE_POINT, INDICE_POINT2 et INDICE_POINT3 où les trois dernières lignes servent à conserver les indices des trois sites ayant servi à la création de l orthocentre. La figure ci-dessous illustre comment une collection contenant l orthocentre (2, 3) formé à partir des sites, 2 et 3, ainsi que l orthocentre (, 4) formé à partir des sites 2, 3 et 4. 2 INDICE_X 2 INDICE_Y 3 4 INDICE_POINT 2 INDICE_POINT2 2 3 INDICE_POINT3 3 4 orthocentre_d_un_triplet_point : Cette fonction privée reçoit une collection de points ainsi que les indices de trois points de la collection. Elle retourne un point contenant les coordonnées de l orthocentre des trois points spécifiés. Il est à noter que cette fonction vous est offerte et que vous ne devez pas la modifier. INF-30 Ordinateurs et programmation Été 202 / Page 2

13 ajouter_orthocentres : Cette procédure reçoit une collection d orthocentres, un orthocentre et les indices des 3 sites ayant servi à la création de l orthocentre. Elle ajoute une colonne à la fin de la collection des orthocentres et ajoute les données reçues dans cette nouvelle colonne. Elle est donc similaire à la procédure ajouter_point qui se trouve dans le module Module_collection_points. Collection Point # #2 #3 Contenu de la collection Tableau vide (, ) (2, 4) calculer_orthocentres : Cette fonction reçoit une collection de points correspondant aux coordonnées des sites (des monuments historiques). À l aide de trois boucles imbriquées, elle trouve tous les triplets de trois sites, calcule pour chacun d eux la coordonnée de leur orthocentre et ajoute l orthocentre dans une collection d orthocentres s il n existe aucun site plus près de l orthocentre que les trois sites ayant servi à sa création. Elle retourne la collection des orthocentres. Il est à noter que si la fonction rencontre un triplet de trois sites alignés, alors la fonction retourne un tableau vide. INF-30 Ordinateurs et programmation Été 202 / Page 3

14 Collection Valeur attendue Tableau vide orthocentres_ont_deux_points_communs : Cette fonction reçoit une collection d orthocentres ainsi que les indices de deux orthocentres de la collection (la fonction suppose que ces indices sont valides).elle retourne True si les deux orthocentres ont exactement deux sites en commun et False si ce n est pas le cas. Collection # #2 Valeur attendue True False INF-30 Ordinateurs et programmation Été 202 / Page 4

15 trouver_points_communs : Cette procédure reçoit une collection d orthocentres, les indices de deux orthocentres et quatre entiers passés par référence dont la procédure doit écraser le contenu. Elle trouve les sites communs aux deux orthocentres et assigne les indices des lignes contenant les indices de ces sites aux quatre paramètres passés par référence. Collection # #2 Orthocentre # ligne # Orthocentre # ligne #2 Orthocentre #2 ligne #2 Orthocentre #2 ligne # Module_diagramme_Voronoi Ce module offre quatre sous-programmes publics, dont la procédure arete_diagramme_voronoi qui détermine les arêtes qui font partie du diagramme de Voronoï à partir des sites (les monuments historiques) et des orthocentres. Ce module a déjà été codé par un de vos collègues et il vous est interdit de le modifier. 9. Module_principal Ce module offre cinq sous-programmes publics (tous associés à un des boutons de la première feuille Excel) et plusieurs sous-programmes privés. generer_dix_obstacles_aleatoires : Cette procédure réinitialise le graphique (à l aide du module Module_interface), génère aléatoirement une collection de 0 points (les 0 sites) et écrit ces points dans la deuxième feuille Excel (de nouveau à l aide du module Module_interface). INF-30 Ordinateurs et programmation Été 202 / Page 5

16 generer_vingt_cinq_obstacles_aleatoires : Cette procédure réinitialise le graphique (à l aide du module Module_interface), génère aléatoirement une collection de 25 points (les 25 sites) et écrit ces points dans la deuxième feuille Excel (de nouveau à l aide du module Module_interface). generer_cinquante_obstacles_aleatoires : Cette procédure réinitialise le graphique (à l aide du module Module_interface), génère aléatoirement une collection de 50 points (les 50 sites) et écrit ces points dans la deuxième feuille Excel (de nouveau à l aide du module Module_interface). tracer_diagramme_voronoi : Cette procédure obtient la collection des sites (grâce au module Module_interface). Si la collection est vide, elle affiche un message d erreur qui invite l utilisateur à générer les sites. Sinon, elle crée la collection de tous les orthocentres (cette fois, grâce au module Module_collection_orthocentres). À nouveau, si la collection est vide, elle affiche un message d erreur qui indique à l utilisateur que trois sites sont alignés. Sinon, elle crée le diagramme de Voronoï à l aide du module Module_diagramme_Voronoi et inscrit les sommets et les arêtes du diagramme dans la deuxième feuille Excel (à l aide du module Module_interface). obtenir_meilleur_trace : Cette procédure, dont l algorithme est décrit à la section 5, commence par obtenir les collections d arêtes et de sommets du diagramme de Voronoï (à l aide du module Module_interface).Si l une de ces collections est vide, elle affiche un message d erreur invitant l utilisateur à commencer par créer le diagramme de Voronoï. Sinon, à l aide d une sous-fonction privée, elle trouve la collection de tous les points de départ possibles (les sommets dont la coordonnée en x vaut COORDONNEE_X_MINIMALE). Si cette collection est vide, elle affiche un message d erreur indiquant qu aucun chemin n existe. Sinon, elle tente à 000 reprises de trouver un bon chemin en générant aléatoirement un tracé et en ne conservant à chaque fois que le meilleur chemin rencontré à présent (voir la section 5). À chaque fois qu un meilleur tracé est découvert, la procédure l écrit dans la deuxième feuille Excel à l aide du module Module_interface. Cette procédure aura besoin de plusieurs fonctions privées : a. distance_totale_chemin : Une fonction qui reçoit une collection de points et calcule la somme des distances entre tous les points consécutifs du chemin. INF-30 Ordinateurs et programmation Été 202 / Page 6

17 b. choisir_prochain_sommet_trajet : Cette fonction reçoit un point et une collection de points pouvant être atteint à partir du point reçu. Elle choisit aléatoirement dans la collection un point dont la coordonnée en x est supérieure à celle du point et elle retourne ce point. c. trouver_departs_possibles : Cette fonction reçoit une collection de points et retourne une collection de points correspondant à tous les points reçus dont la coordonnée en x vaut COORDONNEE_X_MINIMALE. d. point_est_une_arrivee : Cette fonction reçoit un point et retourne True si la coordonnée en x de ce dernier vaut COORDONNEE_X_MINIMALE et False lorsque ce n est pas le cas. e. chemin_aleatoire : Cette fonction reçoit la collection des arêtes du diagramme de Voronoï ainsi que la collection des points de départ potentiels. Elle choisit aléatoirement un des points de départ potentiel comme premier sommet du chemin (une collection de points) et l ajoute au chemin. Ensuite, elle trouve tous les sommets voisins au dernier sommet ajouté, choisit aléatoirement le prochain sommet à visiter et l ajoute au chemin. Tant que le dernier sommet ajouté se trouve à l intérieur de la région, elle trouve à nouveau tous les sommets voisins au dernier sommet ajouté, choisit aléatoirement le prochain sommet à visiter et l ajoute au chemin. Lorsque finalement on ajoute un sommet qui n est plus dans la région, on vérifie si celui-ci est un point d arrivée (s il se trouve sur la paroi de droite de la région). Si c est le cas, la fonction retourne le chemin, sinon elle retourne un tableau vide. 7. Liste des étapes à suivre Voici les étapes à suivre dans l ordre pour réaliser ce travail : ) Prenez le temps de bien lire l énoncé. 2) Lisez attentivement le module Module_constantes. 3) Lisez attentivement le module Module_utilitaire. 4) Créez un module nommé Module_point et commentez son en-tête. Codez les deux fonctions qui se trouvent dans ce module et commentez-les également. Suite à l écriture de chacune de ces fonctions, écrivez une procédure de test qui réalise le jeu de tests qui accompagne la description de cette fonction dans cet énoncé. 5) Créez un module nommé Module_arete et commentez son en-tête. Codez les quatre fonctions qui se trouvent dans ce module et commentez-les également. Suite à l écriture INF-30 Ordinateurs et programmation Été 202 / Page 7

18 de chacune de ces fonctions, écrivez une procédure de test qui réalise le jeu de tests qui accompagne la description de cette fonction dans cet énoncé. 6) Créez un module nommé Module_collection_points et commentez son en-tête. Codez tout d abord la procédure ajouter_point, commentez-la et écrivez une procédure de test qui réalise le jeu de tests qui accompagne sa description. Écrivez, commentez et testez ensuite dans l ordre les fonctions : obtenir_ieme_point, points_sont_alignes, point_plus_pres, generer_points_aleatoires et existe_point_plus_pres. 7) Lisez le module Module_interface en portant tout spécialement attention aux sousprogrammes reinitialiser_graphe et ecrire_obstacle. 8) Créez un module nommé Module_principal et commentez son en-tête. Codez et commentez les trois premières procédures du module qui permettent respectivement de générer 0, 25 ou 50 obstacles. Associez chacune de ces procédures à son bouton correspondant dans la première feuille Excel. Testez ensuite les quatre premiers boutons. 9) Créez un module nommé Module_collection_orthocentres et commentez son en-tête. Utilisez la fonction orthocentre_d_un_triplet_point pour coder la procédure ajouter_orthocentre. Commentez cette dernière et écrivez une procédure de test qui réalise le jeu de tests qui accompagne sa description. Écrivez, commentez et testez ensuite dans l ordre les fonctions : calculer_orthocentres, orthocentres_ont_deux_points_communs et trouver_points_communs. 0) Lisez le module Module_diagramme_Voronoi en portant tout spécialement attention au sous-programme aretes_diagramme_voronoi. Retournez ensuite au module Module_principal et codez la procédure tracer_diagramme_voronoi. Commentez cette procédure et associez-la au bouton «Tracer les lignes de métro». Testez la procédure en appuyant sur le bouton. ) Il ne reste plus qu à coder la procédure obtenir_meilleur_trace situé dans le module Module_principal. Cependant, avant de l écrire, codez, commentez et testez dans l ordre les sous-programmes suivants : point_est_une_arrivee, trouver_departs_possibles, choisir_prochain_point_du_trajet, chemin_aleatoire et distance_total_du_chemin. Associez ensuite la procédure INF-30 Ordinateurs et programmation Été 202 / Page 8

19 obtenir_meilleur_trace au bouton «Obtenir le meilleur tracé» et testez-la en appuyant sur le bouton. 8. Contraintes de l enseignant Votre programme devra respecter les contraintes suivantes : - Il devra respecter les exigences de remise des travaux pratiques. D ailleurs, la qualité du code vaudra au moins autant de points que le fonctionnement du programme. - Il ne devra contenir aucune variable globale. La présence d une variable globale entraînera la perte de 25 % des points. - Il ne devra contenir aucun Goto et aucun Exit. La présence d une de ces instructions entraînera la perte de 0 % des points. - Il ne devra pas utiliser de types définis par le programmeur. - Il devra compiler ; un programme qui ne compile pas perdra 50% des points. - Il devra être imprimé en entier; une partie qui n'est pas imprimée n'est pas corrigée (même si elle est remise sous forme électronique) et se voit attribuer la note 0. En cas de doute, consultez-moi avant la remise! Bon travail! INF-30 Ordinateurs et programmation Été 202 / Page 9

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