Techniques Quantitatives

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1 GOL Techniques Quantitatives 1.2 HERVÉ BOULET 08/11/2013

2 Légende

3 Table des matières Objectifs 5 Introduction 7 I - Généralités 9 A. Terminologie Objet de la statistique Population statistique Echantillon Individu ou unité statistique Variable...17 II - Statistique descriptive 25 A. Série statistique uni variée Tendance centrale Dispersion Forme Concentration

4 Objectifs Les calculs statistiques sont des techniques d'interpretation des donnees numeriques. Ces calculs ont pour objet de permettre de tirer des conclusions a partir de donnees observees, conclusions qui echapperaient a un examen purement intuitif. L'objectif est atteint en deux temps : 1. La collecte des donnees : c'est l'objet de la statistique descriptive, qui consiste a fournir des indicateurs simples, peu nombreux et concis en vue de presenter la realite physique ou economique. 2. L'interpretation des donnees : cette phase permet de tirer des conclusions a partir de resultats observes sur un echantillon. C'est la statistique inferentielle. On utilise a cet effet le calcul des probabilites pour definir quel est le modele mathematique qui represente le mieux la realite. Tout ceci en vue de faire des previsions. 5

5 Introduction Vous serez amener en entreprise à analyser des ensembles de données issues de WMS ou d'une manière générale du système d'information de l'entreprise qui vous accueille. La mission N 2 de la formation GOL est propice à la mise en œuvre des outils d'analyses et de prévisions qui seront aborder dans ce cours. Organisation des cours 28 heures de cours en salle informatique 2 notes : Un partiel : travail à réaliser à l'aide d'un tableur comme Excel Un projet mettant en œuvre les notions abordées durant les cours conduisant à la réalisation d'une application sur tableur. Le travail réalisé en binôme consiste à collecter des données (réelles ou fictives) et à proposer une étude la plus complète possible. 7

6 I - Généralités I Terminologie 9 A. Terminologie 1. Objet de la statistique La statistique est l'ensemble des techniques ayant pour objet de décrire, numériquement et graphiquement les populations. Population, individus, variables, données et statistiques sont les objets de la statistiques. 2. Population statistique En statistique, on appelle population un ensemble d'elements caracterises par un critere permettant de les identifier sans ambigui te. Chacun des elements est appele individu (ou unité statistique). Ces appellations sont liees aux origines demographiques de la statistique. Exemple La population europeenne : ensemble des individus residant sur le territoire europeen a un moment donne. Le parc automobile francais: ensemble des automobiles immatriculees sur le territoire francais. Fondamental La population est en general notee P L'effectif total d'une population est note N 9

7 Généralités Population statistique Conseil : Confusion population-variable La définition de la population et de la variable n'est pas si simple qu'elle ne paraît. Supposons qu'on soit chargé d'une étude statistique sur l'absentéime dans une entreprise. Des propositions erronées comme par exemple : Nombre de salariés : la population n'est jamais un nombre, mais un ensemble Ensemble des salariés présents : il vaut mieux s'intéresser à la population des salariés et ajouter la variable durée d'absence. Les salariés présents seront ceux pour lesquels cette durée est positive. Durée des absences : il ne peut s'agir d'une variable, pas d'une population. Une durée se mesure sur une absence. La population doit être l'ensemble des déclarations d'absence. 3. Echantillon C'est un sous-ensemble construit et representatif d'une population donnee. Lorsque l'on parle d'echantillon on parle en general de population mere, c'est-a -dire de la population dont est issu l'echantillon. Fondamental Un echantillon de taille n est un sous-ensemble forme de n individus de la population (n< =N). Attention La notion d'echantillon est fondamentale, car, en regle generale, la population entiere n'est pas disponible ou observable. Dans ce cas seul un echantillon est etudie et les resultats obtenus sont extrapoles a la population. 4. Individu ou unité statistique Élément de base constitutif de la population à laquelle il appartient. Il est 10

8 Généralités indivisible et peut etre un animal, un vegetal, un humain ou un objet. Exemple une automobile, un logement, une vache, une ampoule, une ville, etc. Fondamental Noté i 5. Variable a) Caractère(s) caractéristique(s) Caractere(s) ou caracteristique(s) de l'individu (cf. Individu ou unité statistique p 10) integrant la population (cf. Population statistique p 9) etudiee. Exemple Exemple : la couleur, le sexe, le poids, la taille, la marque, le modele, l'espece, le prix, la surface, etc. Complément Ces caractères sont aussi appelés critères. Parmi ces critères, certains sont quantitatifs comme l'âge, le poids, la talle. On peut en effet effectuer des calculs numériques sur ces critères : poids moyen, taille maximale, taille minimale, etc. D'autres critères ne sont pas quantifiables, car on ne peut pas effectuer de calculs dessus. Ils sont qualitatifs. C'est le cas du sexe par exemple. On peut connaître l'effectif masculin et l'effectif féminin d'une population, mais la notion de "sexe moyen" n'a pas de sens et ne peut d'ailleurs pas être calculée. Afin de différencier les deux types de critères, les critères qualitatifs sont appelés parfois caractères et les critères quantitatifs, variables. b) Modalité Une modalité est la valeur prise par une variable statistique qu'elle soit qualitative ou quantitative. Les modalités correspondent donc à l'ensemble des valeurs possibles. Exemple Sexe : féminin ou masculin Poids : 45kg, 67 kg,... 11

9 Généralités Couleur : bleu, verte,... Attention Les modalités sont exhaustives et mutuellement exclusives. Chaque individu doit pouvoir être classé dans une et une seule modalité. Syntaxe Si le nombre de modalités est noté r, l'ensemble des modalités de la variable X sera noté M={x1, x2,...,xr) c) Variable statistique Une variable statistique est une caracteristique (cf. Caractère(s) caractéristique(s) p 11) pouvant prendre plusieurs des valeurs d'un ensemble d'observations possibles auquel une mesure ou une qualite peut etre appliquee. Fondamental Est notée X Fondamental : Une variable est dite, selon le cas : «Quantitative» : ses valeurs sont des nombres exprimant une quantité, sur lesquels les opérations arithmétiques (somme, etc...) ont un sens. La variable peut alors être discrète ou continue selon la nature de l'ensemble des valeurs qu'elle est susceptible de prendre (valeurs isolées ou intervalle de R ). «Qualitative» : ses valeurs sont des modalités, (ou catégories, ou caractères ) exprimées sous forme littérale ou par un codage numérique sur lequel des opérations arithmétiques n'ont aucun sens. On distingue des variables qualitatives ordinales ou nominales, selon que les modalités peuvent être naturellement ordonnées ou pas. d) Propriétés des données Types, échelles de mesure et natures des données Les données manipulées en statistique (lors de la collecte et/ou lors de l'analyse) peuvent se présenter sous différentes formes. Ces formes, reflets des propriétés intrinsèques de la donnée, influent de façon décisive sur la manière de représenter celle-ci et sur les types de traitements qui pourront lui être appliquées en vue de son analyse. On distingue trois proprietes fondamentales qui permettent de caracteriser precisement la donnee. Ce sont: 1. Le type : qualitatif (cf. Variable qualitative p 13) ou quantitatif (cf. Variable quantitative p 13) 2. L'echelle de mesure : nominale (cf. Échelle nominale p 17), ordinale (cf. Échelle ordinale p 16), intervalle (cf. Échelle d'intervalle p 17) ou proportionnelle (cf. Échelle proportionnelle p 17) 3. La nature : continue (cf. Variable continue p 18) ou discrete (cf. Variable discrète p 17) A chaque donnee, a chaque variable sont necessairement rattachees ces trois proprietes. 12

10 Généralités Variable ou donnée Type Qualitative Quantitative Echelle de mesure Nominale Ordinale Intervalle Proportionnelle Nature Discrète Continu Discrète Discrète Discrète e Continu e Propriétés des données et variables Une donnee ou une variable est obligatoirement de type qualitatif ou de type quantitatif. Le type qualitatif est egalement appele type «non-metrique» par opposition au type quantitatif dit type «metrique». Rappel e) Type i Variable qualitative : Les variables qualitatives contiennent des valeurs qui expriment une qualite, un etat, c'est-a -dire une condition, un statut unique et exclusif comme le sexe, la couleur ou bien encore la categorie socioprofessionnelle. Les operations arithmetiques que l'on peut realiser sur ce type de variable sont relativement reduites et se limitent au comptage des effectifs par modalite (frequences absolues) et au calcul de pourcentage (frequences relatives) et le mode. Exemple Une personne ne peut pas appartenir a des sexes differents en meme temps et ne peut, en theorie, pas en changer (unicite). Le fait d'etre, par exemple, du sexe feminin l'exclue automatiquement des autres modalites que peut prendre la variable «sexe» (exclusivite). 1 Échelle de mesure Les donnees et variables qualitatives peuvent se presenter sous deux formes deux differentes: la forme nominale ou la forme ordinale. Nous pouvons distinguer : La forme qualitative nominale (cf. Échelle nominale p 17) La forme qualitative ordinale (cf. Échelle ordinale p 16) 2 Nature Une variable qualitative, qu'elle soit nominale ou ordinale, est toujours de nature discrete (cf. Variable discrète p 17), contrairement a une variable quantitative qui peut etre soit de nature discrete, soit de nature continue. ii Variable quantitative 13

11 Généralités Rappel : les donnees ou variables quantitatives contiennent des valeurs numeriques faisant reference a une unite de mesure reconnue. Pour cette raison, elles sont quelques fois qualifiees de variables metriques. La taille, le poids, la surface, la distance, le revenu, l'age, le chiffre d'affaire ou bien encore la population (dans le sens du nombre d'habitants) sont des variables quantitatives. Toutes les operations arithmetiques simples et complexes sont applicables aux variables quantitatives, du denombrement (frequences absolues) et autre calcul de pourcentage (frequences relatives) en passant par la moyenne, la mediane et l'ecart-type jusqu'a la modelisation numerique. Exemple Exemple, le loyer d'un logement Au-dela de la qualification d'un loyer (bon marche, correct, cher ou tres cher) qui en fait alors une variable qualitative ordinale, le loyer demeure une variable mesurable objectivement selon une unite de mesure reconnue : le prix exprime en euros par mois ou en euros par mois et par m2. On peut l'additionner, en calculer la moyenne et l'ecart-type, en regrouper les valeurs pour former des classes et meme le modeliser. 1 Échelle de mesure Nous distinguons trois types d'échelles : Échelle ordinale (cf. Échelle ordinale p 16) Échelle d'intervalles (cf. Échelle d'intervalle p 17) Échelle proportionnelle (cf. Échelle proportionnelle p 17) 2 Nature Une variable quantitative proportionnelle (ou de rapport) peut etre de nature discrete (cf. Variable discrète p 17) ou de nature continue (cf. Variable continue p 18). Méthode iii Transformation de variables qualitatives en variables quantitatives Certains traitements et analyses sur des donnees et variables qualitatives necessitent voire exigent que ces dernieres presentent une forme «pseudo quantitative» en lieu et place de leur forme «nominale». C'est notamment le cas lorsqu'il s'agit d'utiliser des variables qualitatives dans un traitement multivarie ou simplement lorsque l'on desire les rendre manipulables et compatibles avec des logiciels statistiques. Exemple : Variable qualitative ordinale la variable qualitative ordinale «moral des menages francais» propose les cinq modalites suivantes: Tres bon, Bon, Moyen, Mauvais et Tres mauvais. L'encodage numerique de la variable doit se faire en respectant son caractere ordinal initial. Ce faisant, on obtient le codage suivant : 5 = Tres bon 4 = Bon 3 = Moyen 2 = Mauvais 14

12 Généralités 1 = Tres mauvais Exemple : Variable qualitative nominale la variable qualitative nominale «sexe» propose les deux modalites suivantes: Masculin et Feminin. Dans ce cas, l'encodage numerique n'a aucune hierarchie a respecter mais doit seulement reproduire la distinction entre modalites. On peut ainsi indifferemment ecrire : Attention 1 = Masculin 2 = Feminin Il est a noter que les nombres affectes aux modalites qualitatives en vue de leur transformation n'ont pas de signification et ne peuvent faire l'objet d'operations arithmetiques comme par exemple le calcul d'une somme ou d'une moyenne. En realite, ce sont des «numeros» qui ne modifient en rien les proprietes fondamentales rattachees aux variables qualitatives, qu'elles soient nominales ou ordinales. Fondamental iv Transformation de variables quantitatives en variables qualitatives La transformation d'une variable quantitative en variable qualitative, est egalement possible et meme souhaitable dans certains cas de figures meme si elle demeure plus delicate et impose de ce fait le respect de regles beaucoup plus strictes. La plupart du temps la transformation d'une variable quantitative en une variable qualitative passe la constitution de classes a partir de la distribution observee. : Discrétisation Cette operation est appelee discretisation puisque, quelle que soit la nature des donnees quantitatives en amont (intervalle ou de rapport, discrete ou continue), elle aboutit inevitablement a la fabrication d'une variable qualitative ordinale discrete. Attention Il est donc important d'avoir a l'esprit que cette transformation engendre une perte d'information et egalement une diminution de la capacite d'analyse et traitement des donnees puisque certains parametres ne seront plus calculables precisement a partir d'une distribution discrete (moyenne, ecart-type, etc.). En effet, chaque classe definie regroupe sous une meme identite, selon un meme caractere des individus qui a l'origine se distinguaient les uns des autres par des valeurs differentes. On soupconne ici l'importance que revet le processus d'elaboration des classes (definition des limites de classes, etendue des classes, nombre de classes, etc.), le but final etant de synthetiser un volume important d'informations en limitant la perte liee a la discretisation. Autrement dit, il s'agit de maximiser la reduction de contenu informationnelle d'une distribution en en minimisant les pertes. 1 Méthodes Il existe plusieurs methodes plus ou moins complexes et elaborees en vue de la discretisation d'une distribution de valeurs sachant que pour ce faire rien ne remplace le bon sens et la connaissance que l'on a du phenomene etudie. 15

13 Généralités Il existe donc trois groupes de methodes de discretisation : 1 Méthodes empiriques les methodes empiriques : basees sur l'experience et la connaissance du phenomene etudie, elles utilisent en plus l'allure de la distribution pour y deceler des ruptures naturelles et ainsi delimiter les bornes des classes a creer. Cette methode, pour partie visuelle, necessite une bonne connaissance du phenomene a traiter. 2 Méthodes par défaut les methodes par defaut qui ne necessitent ni une connaissance approfondie du phenomene ni une etude de la distribution. Leur simplicite est a la hauteur des approximations qu'elles generent et elles ont tendance, de fait, a lisser le phenomene etudie. Leur principe est simple: prenant en compte ou l'effectif total de la population etudiee ou l'amplitude totale de la distribution de la variable etudiee, ces methodes proposent, des lors qu'un nombre souhaite de classes est defini : soit une discretisation en classes d'egale amplitude, soit une discretisation en classes d'egal effectif. 3 Les méthodes statistiques les methodes statistiques basees sur les parametres de tendance centrale et de dispersion : Sur la base de la moyenne Sur la base de l'ecart-type f) Echelle i Échelle ordinale Une variable qualitative ordinale possede toutes les proprietes de la variable qualitative nominale (cf. Échelle nominale p 17) avec en plus la possibilite de positionner et de hierarchiser les individus entre eux selon la valeur attachee a leur caractere. En d'autres termes, il sera possible de ranger dans une gradation logique, selon une hierarchie naturelle, les individus de la population etudiee pour le caractere retenu. D'une facon generale, la forme qualitative ordinale fait reference a des caracteres non mesurables mais dont on sait que les modalites renferment une notion d'ordre, ou bien a des variables quantitatives ayant fait l'objet d'une classification. Les operations autorisees pour l'echelle qualitative ordinale sont, en plus du comptage par modalite (frequences absolues et frequences relatives et mode), la mediane. Exemple La variable «niveau de confort d'un logement» est de type qualitative ordinale, les valeurs pouvant etre prises par celle-ci etant bien de type nom (mediocre, moyen, bon, tres bon) et une hierarchie existe entre les modalites definies sans pour autant que l'on puisse mesurer de facon infaillible le niveau de confort : il n'existe pas de «conforometre» ni d'unite de mesure du parametre «confort» au demeurant tres subjectif. Le caractere ordinal de la variable permet cependant d'ecrire bon > mediocre ou moyen < tres bon. L'epoque de construction des logements est egalement une variable qualitative ordinale. 16

14 Généralités ii Échelle nominale Une variable est dite qualitative nominale quand ses valeurs sont des elements d'une categorie type nom non hierarchique. En d'autres termes, ses elements ne peuvent pas se ranger dans une gradation logique, selon une hierarchie naturelle. La donnee qualitative nominale ne peut donc etre apprehendee qu'a travers des modalites entre lesquelles il n'existe aucune relation d'ordre Exemple la variable «couleur» est de type qualitative nominale, les valeurs pouvant etre prises par celle-ci etant bien de type nom (vert, jaune, noir, rouge,...) sans qu'aucune hierarchie ne soit applicable entre les modalites recensees (on peut en aucun cas ecrire jaune > rouge ou vert = noir). iii Échelle d'intervalle Une variable appartenant a l'echelle d'intervalle a ceci de specifique que les valeurs qui la composent ne sont pas des multiples les unes de autres, et donc que les intervalles entre valeurs ne sont pas constants. Un exemple: on a releve le 12/06/2008 a Moscou une temperature de 11 C. Le lendemain, on mesure une temperature de 22 C a la meme heure. Il a donc fait plus chaud le 13/12/2008 que la veille mais on ne peut cependant pas affirmer qu'il y a fait deux fois plus chaud. L'echelle d'intervalles, en plus des operations arithmetique s classiques, autorise la plupart des calculs statistiques : moyenne arithmetique, ecart-type, coefficient de correlation, variance, covariance, etc. Par contre, elle ne permet pas le calcul de la moyenne geometrique ou du coefficient de variation. iv Échelle proportionnelle A la difference de l'echelle d'intervalle, l'echelle proportionnelle ou de rapport se caracterise par des proportions egales entre les valeurs mesurees de telle sorte qu'il existe entre ces valeurs une relation mathematique directe et constante. L'echelle proportionnelle possede en outre un zero unique et universel. Toutes les variables faisant reference au Systeme International d'unite (SI norme ISO 1000) appartiennent a l'echelle de mesure dite proportionnelle (ou de rapport): c'est le cas des longueurs, des surfaces, des poids et des comptages d'effectifs ainsi que la mesure du temps via le SI, et toutes les variables resultantes de la combinaison d'au moins deux des unites du SI telle que la vitesse (qui n'est qu'une expression de la distance par rapport au temps), la densite de population (effectif rapporte a une surface), etc. Le zero y est universel et signifie absence de mesure ou mesure nulle, et chaque valeur non nulle mesuree est necessairement le multiple de n'importe quelle autre valeur mesuree. Exemple: on pourra dire qu'une personne pesant 90 kg est deux fois plus lourde qu'une personne de 45 kg ou bien encore qu'un loyer de 337,50 /mois est 1,5 fois (ou 50 %) plus eleve qu'un loyer de 225 /mois. L'echelle de rapport (ou echelle proportionnelle) possede toutes les proprietes et tous les niveaux d'informations des autres echelles plus l'immense avantage de se preter a absolument toutes les operations arithmetiques et statistiques pouvant exister. g) Nature i Variable discrète 17

15 Généralités Une variable est dite discrete quand elle prendre un nombre fini ou denombrable de valeurs. En d'autres termes, le passage d'une modalite a une autre est «brutal», sans continuite, sans glissement progressif. C'est typiquement le cas des variables qualitatives nominales et ordinales pour lesquelles la transitions entre modalites se realise sans nuance, abruptement. Exemple la variable «categorie socioprofessionnelle» est une variable qualitative nominative discrete. En effet, le nombre de valeurs qu'elle peut prendre est fini (ou denombrable) et la transition entre modalite, par exemple de la modalite «employe» a la modalite «agriculteur», se fait sans nuance, sans continuite, mais nettement. Dans le meme ordre d'idee, la variable «niveau d'education» avec les modalites «Analphabete, Primaire, Secondaire, Universitaire» est de type qualitative ordinale discrete pour les memes raisons qu'evoquees dans le cas precedent. ii Variable continue Une variable continue peut, a l'inverse de la variable discrete, prendre un nombre infini ou non denombrable de valeurs. Il n'y a, de ce fait, plus de modalite ou plutot une infinite de modalites car entre deux valeurs donnees toutes les nuances de transitions sont possibles. Le cas «continu» ne concerne donc que les variables dites quantitatives pour lesquelles il peut y avoir autant de modalites qu'il y a d'individus. Exemple la variable «temperature» est une variable quantitative d'intervalle continue. Celle-ci peut en effet prendre une infinite de valeurs quelles que soient les limites retenues. Par exemple, entre 10 et 12 C, la variable peut prendre n'importe laquelle des innombrables valeurs existantes et mesurables : 10,007 C, 11,11 C ou bien encore 11,9999 C si tant que l'on soit capable d'atteindre cette precision dans la mesure. D'une facon generale, les valeurs que peut prendre une variable quantitative continue appartiennent a l'ensemble des nombres reels R alors que les valeurs caracterisant une appartiennent quant a elles a l'ensemble des nombres entiers N, comme par exemple le nombre d'habitants. 18

16 Statistique II - descriptive II Série statistique uni variée 25 A. Série statistique uni variée 1. Tendance centrale a) Mode Noté, il correspond à la valeur qui apparaît le plus souvent dans une distribution, autrement la valeur qui a la fréquence (absolue ou relative) la plus élevée. S'il s'agit de données non groupées, la valeur modale est clairement identifiable. Par contre, si l'on est en présence de données groupées en classes, le mode se rapportera à la classe comportant le plus grand nombre d'individus : on parlera alors de classe modale. Remarque Attention! Le mode est la seule mesure centrale qui peut être relevée et utilisée aussi bien pour des données qualitatives que quantitatives. Fondamental Le mode est donc l'effectif le plus important qu'il est possible de déterminer la fonction MAX() dans Excel. Dans le cas de classe modale, pour obtenir la valeur exacte du mode, il faut procéder une interpolation. 19

17 Classe modale Lorsque les variables sont groupées en classes il est parfois utile de remplacer la notion de classe modale par la notion de mode, pour cela on effectue une interpolation linéaire à l'intérieur de la classe modale ; la détermination se fait de la façon suivante : Afin de calculer le mode, nous prendrons l'hypothèse d'une répartition influencée par les valeurs h1et h2, le mode étant «attiré» du côté du rectangle voisin de plus grande densité. Il est supposé que la densité croît de la valeur h1, à son maximum h et décroît de h à h2 avec la même vitesse, ce qui donne, avec les taux d'accroissement : avec La formule est donnée par : et Remarque Le mode n'est évidemment pas suffisant pour caractériser et résumer une distribution. Il l'est encore moins pour comparer et différencier des distributions. Deux distribution peuvent en effet avoir le même mode avec cependant des allures, et donc des caractéristiques, totalement différentes. On a donc inventer d 'autres paramètres, d'autres mesures susceptibles de mieux caractériser et/ou différencier des distribution. C'est le cas de la médiane. b) Moyenne i Moyenne arithmétique C'est la plus simple et la communément utilisée et ce, pas toujours à bon escient. Elle se note la plupart du temps. Elle peut être simple ou pondérée. Attention! On ne peut pas calculer de moyenne arithmétique sur des données qualitatives. 1 Moyenne arithmétique simple Sa version simple correspond à une somme de résultats divisée par le nombre de résultats et s'écrit 20

18 n x= 1 x n i = i=1 n x i i=1 n =( x 1+ x x n ) n Attention La moyenne simple, dans son principe de calcul, ne permet de tenir compte de la structure de la population étudiée et du poids éventuellement différent que peuvent avoir chacun des individus ou classes d'individus la composant. 2 Moyenne arithmétique pondérée La moyenne arithmétique pondérée, autant le dire tout de suite, donne, dans son utilisation classique (c'est-à dire lorsque tous les individus ont le même poids), le même résultat que la moyenne arithmétique simple. Sa formule est cependant différente puisqu'elle introduit la notion de poids via un terme supplémentaire qui peut s'avérer utile dans certaines situations, notamment lorsque justement les individus composant une population n'ont pas le même poids ou coefficient : certains individus, pour diverses raisons, ont davantage d'influence dans ladite population que les autres. Ce peut être le cas par exemple lorsque l'on a affaire à une série de notes dont le coefficient n'est pas le même. Dans le cas d'une variable discrète, la moyenne arithmétique est donnée par : x= 1 p N i=1 p n i x i ou x= i =1 f i x i ni est l'effectif pour la modalité xi La moyenne arithmétique de données groupées Autant que faire se peut, ce type de calcul est à éviter car source d'imprécision et d'erreur trop importantes. Cependant, on peut être confronter à une situation où seules des données groupées sont disponibles. Dans ce cas, et seulement dans celui-là, on peut être autorisé à calculer une moyenne à partir de classes. On agit alors comme si tous les résultats d'une classe se trouvaient au centre de celle-ci. La moyenne de la distribution est alors calculée à partir des valeurs centrales des classes pondérées par leurs effectifs respectifs. x= 1 p N n i c i i=1 Le résultat est au final assez peu différent de celui obtenu par la moyenne arithmétique simple car la moyenne arithmétique simple, vu le nombre important de valeurs et compte tenu de la structure de l'échantillon, tient compte, de façon presque naturelle, du poids des individus en attribuant implicitement à chaque individus le poids de sa catégorie. 21

19 Remarque Indiquons que dans le cadre de cette démarche, la moyenne pondérée par les effectifs prendra le nom "d'espérance mathématique" dans le domaine d'étude des probabilités. ii Moyenne géométrique La moyenne géométrique est un instrument permettant de calculer des taux moyens, notamment des taux moyens annuels. Son utilisation n'a un sens que si les valeurs ont un caractère multiplicatif. 1 Moyenne géométrique simple La moyenne géométrique de n valeurs positives xi est la racine n ième du produit de ces valeurs. Notée, elle s'écrit : Exemple Les prix de l'immobilier ancien ont augmenté ces 10 dernières années de la façon suivante : Ann ée 1 9,2 2 12,7 3 8,8 4 7,7 5 3,9 6 1,7 7 0,9 8 2,2 9 4,7 10 3,3 Variation annuelle (%) En utilisant la moyenne arithmétique simple, on obtiendrait une évolution moyenne de (9,2+12,7+8,8+7,7+3,9+1,7+0,9+2,2+4,7+3,3)/10 = 55,1 / 10 = 5,51 % mais ce résultat est faux compte tenu de la relation entretenue par les taux d'une année sur l'autre. L'utilisation de la moyenne géométrique permet de solutionner ce problème : Soit une hausse moyenne annuelle de 4,18 % contre 5,51 % avec la moyenne arithmétique. 22

20 Méthode : Formule Excel MOYENNE.GEOMETRIQUE(nombre1;nombre2;...) nombre1,nombre2,... représentent les 1 à 30 arguments dont vous souhaitez calculer la moyenne. Vous pouvez aussi utiliser une matrice ou une référence à une matrice plutôt que des arguments séparés par des points-virgules. Notes Les arguments doivent être soit des nombres, soit des noms, des matrices ou des références contenant des nombres. Si une matrice ou une référence utilisée comme argument contient du texte, des valeurs logiques ou des cellules vides, ces valeurs ne sont pas prises en compte. En revanche, les cellules contenant la valeur 0 sont prises en compte. Si l'une des observations 0, la fonction MOYENNE.GEOMETRIQUE renvoie la valeur d'erreur #NOMBRE! 2 Moyenne géométrique pondérée Si on considère l'ensemble de données suivant : X = { x1, x2,..., xn} et les poids associés : W = { w1, w2,..., wn} La moyenne géométrique pondérée se calcule de la manière suivante : iii Moyenne quadratique Une moyenne qui trouve des applications lorsque l'on a affaire à des phénomène présentant un caractère sinusoïdal avec alternance de valeurs positives et de valeurs négatives. Elle est, de ce fait, très utilisée en électricité. Elle permet notamment de calculer la grandeur d'un ensemble de nombre. Elle s'écrit : Exemple Prenons un rapide exemple : considérons les nombre suivants {-2, 5, -8, 9, -4 } Nous pouvons en calculer la moyenne arithmétique avec l'inconvénient de voir se neutraliser les valeurs positives et négatives et d'aboutir à un résultat nul sans que cela ne nous apprenne quoi que ce soit. En effet,. Le calcul de la moyenne quadratique pour la même série donne. Remarque La formule de la moyenne quadratique sera utilisée dans le calcul de la variance. 23

21 iv Moyenne harmonique On utilise la moyenne harmonique lorsqu'on veut déterminer un rapport moyen dans des domaines ou ils existent des liens de proportionnalité inverse. Exemple Exemples : Pour une distance donnée, le temps de trajet est d'autant plus court que la vitesse est élevée. Un loyer dans le parc privé est d'autant plus élevé que la taille ou la surface du logement est petite. Dans certains cas, la moyenne harmonique donne la véritable notion de «moyenne». Par exemple, si pour la moitié de la distance d'un trajet vous voyagez à 40 kilomètres par heure, et que pour l'autre moitié vous voyagez à 60 kilomètres par heure, votre vitesse moyenne est alors donnée par la moyenne harmonique de 40 km/h et 60 km/h, ce qui donne 48 km/h. Votre temps de voyage total est donc le même que si vous aviez voyagé à 48 kilomètres par heure sur l'ensemble de la distance 1 Moyenne harmonique simple La moyenne harmonique de N valeurs est le nombre dont l'inverse est la moyenne arithmétique des inverses desdites valeurs. C'est un peu compliqué comme définition! Voilà ce que ça donne sous une forme mathématique : C'est donc l'inverse de la moyenne arithmétique de l'inverse des termes. La moyenne harmonique permet de calculer des moyennes sur des fractions si le dénominateur change. C'est le cas du calcul de la vitesse moyenne parcourue dans un trajet aller/retour, la vitesse étant la valeur représentée par distance / temps. 2 Moyenne harmonique pondérée En statistiques, si on considère le jeu de données suivant : X = { x1, x2,..., xn} et les poids associés : W = { w1, w2,..., wn} v Moyenne glissante ou moyenne mobile La moyenne glissante, ou moyenne mobile trouve son application dans l'analyse 24

22 des séries temporelles de données en permettant la suppression des fluctuations de façon à en souligner les tendances sur le long terme. Cette moyenne est dite mobile parce qu'elle est recalculée de façon perpétuelle, dès lors qu'une nouvelle donnée intègre la série en venant remplacer la plus ancienne, modifiant ainsi la date de référence. Cette façon de faire tend à lisser le phénomène étudié en noyant les valeurs extrêmes dans une masse de données davantage représentative d'une tendance moyenne. Exemple On dispose de données mensuelles concernant l'évolution des prix à la consommation (inflation) et on souhaite connaître pour chaque mois l'évolution mensuelle moyenne des prix sur un trimestre. La moyenne trimestrielle glissante calculée pour chaque mois tient compte tient de la valeur du mois de référence et des valeurs des 2 mois précédents. Ainsi, la moyenne trimestrielle calculée au mois de référence Mai donnera donc : (0,6 + 0,9 + 0,5) / 3 =2 / 3 = 0,67. Celle du mois de juin donnera (0,9+0,5+0,2) / 3 = 1,6 / 3 = 0,53. Remarque : on ne peut calculer la moyenne glissante pour les deux premiers mois de la série. Image 1 Moyenne glissante D'une façon générale, la moyenne glissante s'écrit : Où représente le nombre de valeurs successives à prendre en compte. Dans notre exemple N = 3 représente la valeur de référence. représente le rang. vi Relation entre les moyennes D'une façon générale, pour une même distribution, les résultats obtenus par les différentes moyennes décrites s'organisent de la façon suivante : Moyenne Harmonique Moyenne Géométrique Moyenne Arithmétique Moyenne Quadratique 25

23 c) Quantiles L'idée de partager une série statistique en groupes ayant exactement le même effectif est une autre approche descriptive. On suppose que les modalités de la série statistique sont rangées dans l'ordre croissant. Soit un réel tel que (, on lui associe la valeur de la série, notée, appelée quantile d'ordre p. est l aplus petite valeur de la série pour laquelle la proportion des observations inférieures ou égales à est au moins égale à p. i Médiane Étymologiquement «médiane» signifie milieu, et c'est bien de ça dont il s'agit car la médiane est réellement le milieu d'une distribution. Noté, la médiane correspond à la valeur de la distribution qui partage l'effectif total en deux souseffectifs de même taille de telle sorte que l'on puisse dire que 50 % des individus d'une population sont caractérisés par une valeur supérieure à celle de la médiane et que 50 % des individus de cette même population ont une valeur inférieure à la médiane. Exemple Exemple : la médiane des revenus pour une population donnée correspond à la valeur du revenu pour laquelle on a 50 % de ladite population dont le revenu est supérieur à cette valeur et 50 % dont le revenu est inférieur. On parle alors de revenu médian. Attention Contrairement au mode, la médiane est une mesure centrale qui ne peut être calculée et utilisée que pour des variables quantitatives, continues ou discrètes. Méthode : Comment calculer la médiane? Si le mode, pour être révélé, ne nécessite aucun calcul mais simplement de l 'observation, la médiane impose quant à elle, un certain nombre de manipulations voire de calcul pour sa mesure. Pour le calcul de la note médiane il faut : Même si Excel (fonction : MEDIANE() ) ou d'autres applications disposent de fonctions capables de calculer automatiquement la médiane, il est bon de savoir comment ce calcul se fait. 1. Classer les valeurs de la série par ordre croissant. Cette opération a pour but d'affecter un rang à chaque valeur et ainsi de déterminer plus facilement le milieu de la série donc la médiane. 2. Déterminer si la série comporte un nombre n pair ou impair de valeurs. Deux cas peuvent alors se présenter : - Si n est pair,il n'y a pas possibilité d'identifier simplement la valeur qui partage la population en deux effectifs égaux. Deux valeurs se situent au centre de la série et jouent ce rôle respectivement de rang (n/2) et [(n/2)+1]. La médiane est alors égale à la moyenne des valeurs encadrant le milieu de la série. - Si n est impair alors il est possible d'identifier simplement la valeur qui partage la population en deux effectifs égaux. Le rang central étant égal à [(n+1)/2]. 26

24 La médiane peut également être repérée graphiquement sur le courbe des fréquences cumulées comme suit : La médiane peut être lue dans le graphique des effectifs cumulés La médiane de données groupées est également calculable ou plutôt estimable par interpolation. La médiane est trouver et à estimer dans le classe où se situe le rang divisant en deux parties égales la population. Médiane dans le cas d'un distribution en classes / Histogramme des fréquences cumulées Dans cet exemple, la médiane est située dans la classe [15 ;20[. Pour déterminer sa valeur exacte, on utilisera le calcul du coefficient directeur de la droite AB. La formule : xm=((xa-xb)*(ym-ya))/(yb-ya)+xa 27

25 Rappel Une animation vous permettra de mieux comprendre la notion de coefficient directeur (ici (cf. Le coefficient Directeur)) ii Quartile Les quartiles partagent la population ou l'échantillon en quatre groupes comprenant chacun 25% des observations. Au nombre de trois, ils se notent et est le quartile d'ordre 0,25 : au moins 25% des observations sont inférieures ou égales à et au moins 75% supérieures ou égales à est le quartile d'ordre 0,50 : au moins 50% des observations sont inférieures ou égales à et au moins 50% supérieures ou égales à. est la médiane. est le quartile d'ordre 0,75 : au moins 75% des observations sont inférieures ou égales à et au moins 25% supérieures ou égales à Les quartiles Méthode : Calcul des quartiles La détermination des quartiles se fait comme pour la médiane, avec une interpolation linéaire dans le cas continu, les quartiles pouvant être déterminés grâce au polygone des fréquences ou des effectifs cumulés croissants. iii Décile Les déciles partagent la population ou l'échantillon en dix groupes comprenant chacun 10% des observations. Au nombre de neuf, ils se notent est le quartile d'ordre 0,10 : au moins 10% des observations sont inférieures ou égales à et au moins 90% supérieures ou égales à 28

26 est le quartile d'ordre 0,20 : au moins 20% des observations sont inférieures ou égales à et au moins 80% supérieures ou égales à et ainsi de suite jusqu'à La détermination des déciles est faite selon le même processus que celui utilisé pour les quartiles. iv Centile Les centiles partagent la population ou l'échantillon en cent groupes comprenant chacun 1% des observations. Au nombre de quatre-vingt dix neuf, ils se notent : est le quartile d'ordre 0,01 : au moins 1% des observations sont inférieures ou égales à et au moins 99% supérieures ou égales à La détermination des centiles est faite selon le même processus que celui utilisé pour les quartiles. 2. Dispersion a) Caractéristiques simples L'étendue, les intervalles interquantiles et l'écart absolu moyen sont qualifiés de simples, car ces caractéristiques restent limitées dans leur construction et leur utilisation au regard de la notion de variance. i Etendue L'étendue d'une série est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur observées. Elle est notée : Fondamental = Max(x) - Min(x) L'étendue est une approche aisée de la dispersion d'une variable mais sa signification reste très limitée, car elle ne prend en compte que les deux valeurs extrêmes de la série. Or ces valeurs extrêmes peuvent être mal connues, voire aberrantes ou erronées. Par ailleurs, l'étendue n'est pas indépendante de l'effectif observé et peut donner une vision fausse de la dispersion. ii Intervalles et écarts interquantiles Il existe trois intervalles et écarts interquantiles : L'intervalle interquartile [, ] représente la zone centrale de la population comprenant 50% de la série ; l'amplitude de l'intervalle est appelé écart interquartile et on note L'intervalle interdécile [, ] représente la zone centrale de la population comprenant 80% de la série ; l'amplitude de l'intervalle est appelé écart interdécile et on note 29

27 L'intervalle intercentile [, ] représente la zone centrale de la population comprenant 98% de la série ; l'amplitude de l'intervalle est appelé écart intercentile et on note Par rapport à l'étendue, l'écart interquartile présente l'avantage d'écarter les valeurs extrêmes, mais l'inconvénient de laisser de côté 50ù des données. iii La Boîte à moustaches Les quantiles permettent une représentation de la distribution statistique par le diagramme de Tuckey 1, ou Boîte à moustaches. Il s'agit d'une boîte délimitée par les quartiles et, coupée en deux parties par la médiane et prolongée de chaque côté par des moustaches. Le diagramme de Turkey ou Boîte à moustaches La boîte à moustaches permet une bonne visualisation de la zone centrale de la série et de la dispersion. Ce diagramme est extrêmement précieux pour comparer diverses séries statistiques. iv Écart absolu moyen L'écart absolu moyen de n observations est la moyenne arithmétique des valeurs absolues des écarts à la moyenne : L'écart absolue moyen est le paramètre de dispersion le plus simple qui mesure les fluctuations de la série par rapport à la moyenne

28 Considérons une valeur centrale : par exemple, la moyenne. La dispersion de la série statistique autour de est liée à l'amplitude des écarts des observations à cette valeur centrale : Dispersion d'une série statistique autour de la moyenne dans la figure de gauche, les observations sont peu dispersées (fort concentrées) autour de ; cela se traduit par des écarts de faibles amplitudes ; dans la figure de droite, les observations sont fort dispersées autour de ; il existe des écarts qui ont une grande amplitude. On voit donc qu'il est naturel de mesurer la dispersion d'une série statistique à partir des écarts. Mais comment les prendre en compte? La première idée qui vient à l'esprit consiste à considérer la moyenne de tous ces écarts. Mais cette idée ne mène à rien puisque cette moyenne est toujours nulle (cf. valeurs centrées des observations)! Il convient plutôt de considérer les amplitudes des écarts, c'est-à-dire de considérer les écarts sans leur signe ce qui nous intéresse est de quantifier dans quelle mesure est éloigné ou, au contraire, proche de, et non de mettre en évidence le fait que est plus petit ou, au contraire, plus grand que, ce qui peut se faire aisément en utilisant la valeur absolue des écarts, notée. Ceci conduit à la définition de l'écart moyen absolu. b) Variance et écart-type Le calcul de l'écart moyen absolu est simple lorsqu'on dispose d'une série observée de petite taille. Il devient beaucoup plus fastidieux quand est grand. En outre, l'outil utilisé (la valeur absolue) est peu maniable et ne possède que de maigres propriétés mathématiques. C'est pourquoi ces mesures de dispersion sont relativement peu employées. Une autre manière de considérer l'amplitude des écarts autrement dit, de considérer les écarts sans tenir compte de leurs signes consiste à élever ces écarts au carré. On obtient alors une mesure de dispersion aux propriétés plus riches : la variance La variance de la série statistique se note (ou encore ) et se définit comme suit : Elle correspond à la moyenne des carrés des différences entre les observations et leur moyenne. Dans le cas de n observations, ordonnées dans un tableau statistique, présentant r modalités. 31

29 La variance (ou fluctuation) est la moyenne arithmétique des carrés des écarts à la moyenne. L'écart-type, noté, est la racine carrée de la variance. ou Complément : Interprétation de la variance Malgré sa complexité apparente, la variance est très souvent calculée lorsqu'on étudie la dispersion d'une série statistique. Dans une série statistique peu dispersée, les observations sont proches les unes des autres, et donc de leur moyenne. Dans ce cas, les écarts seront de faibles amplitudes et dispersée, plus Remarque s'accroît. sera petit. Au contraire, plus une série statistique est Tout comme les écarts moyen et médian absolus, la variance ne se conçoit que si la variable étudiée est quantitative et mesurée sur une échelle d'intervalles ou de rapports. Une série statistique constituée de valeurs mesurées sur une échelle ordinale ne permet pas le calcul de et de. La variance est nulle si et seulement si toutes les observations ont la même valeur (aucune dispersion). L'unité dans laquelle s'exprime la variance vaut le carré de l'unité utilisée pour les valeurs observées. Ainsi, par exemple, une série de poids exprimés en kilos possède une variance qui, elle, doit s'interpréter en "kilos-carré". Ceci peut constituer une difficulté dans l'interprétation de la valeur de la variance qui a incité à compléter cette mesure de dispersion en calculant l'écart-type (voir la mesure de dispersion suivante). Comme la moyenne arithmétique, la variance est sensible à la présence de valeurs extrêmes, non seulement parce que celles-ci seront éloignées de, mais aussi parce que leur présence va éloigner des autres valeurs (celles qui ne sont pas extrêmes). Remarque : Autre notation de la variance La variance peut se calculer également ainsi : et si il y a pondération. 3. Forme a) La loi normale Que ce soit pour un caractère discret ou continue, une série statistique peut être 32

30 représentée par un diagramme en bâtons ou un histogramme des fréquences que l'on complète en général par le tracé du polygone des fréquences. L'histogramme des fréquences est un bon estimateur de la densité d'une série statistique et qu'en le lissant on peut représenter la série par une distribution continue. Fondamental la loi normale est le modèle fondamental des distributions continues De nombreux caractères quantitatifs du monde réel suivent une loi normale : les tailles des individus, les poids, les notes aux examens GOL. La loi normale est entièrement déterminée par deux paramètres : sa moyenne (m) et son écart-type. La loi normale centré réduite constitue le modèle de référence ; sa moyenne est 0 (centrée) et son écart-tpe 1 (réduite). Sa densité est donnée par Loi normale / Courbe en cloche Complément : La loi normale et la boîte à moustaches La boîte à moustaches d'une distribution statistique conforme à une distribution normale mettra en évidence la symétrie : et sont équidistants de la médiane qui est dans ce cas la moyenne arithmétique et le mode. 33

31 Boîte à moustaches et Loi normale b) Asymétrie i Asymétrie Une distribution est dite symétrique si les valeurs observées se répartissent de façon uniforme autour des trois valeurs centrales : la moyenne, le mode et la médiane. Le terme anglais est "skewness". Pour mesurer l'asymétrie d'une distribution, on dispose de différents coefficients. Le but est de comparer les formes de plusieurs distributions, ces comparaisons n'ayant de sens que si elles sont faites à partir des mêmes coefficients appliqués aux différentes distributions. Asymétrie de distribution On distingue trois types de distributions selon qu'elles sont dissymétriques (asymétriques) à gauche (graphique de gauche), symétriques (graphique du milieu) ou dissymétriques (asymétriques) à droite (graphique de droite). Souvent, l'analyse du diagramme en bâtons ou de l'histogramme permet de se rendre compte du caractère symétrique ou non d'une distribution. L'examen de la boîte à moustaches permet aussi de se faire une idée sur cette question selon que la boîte et les moustaches sont symétriques ou, au contraire, de plus petite 34

32 amplitude à gauche (asymétrie à gauche) ou à droite (asymétrie à droite). Distribution étalée à droite : Distribution symétrique : Distribution étalée à gauche : Méthode 1 Coefficient de Yule Le coefficient de Yule sert à mesurer l'asymétrie de la distribution en tenant compte des positions relatives des quartiles par rapport à la médiane. I est défini par ou de manière équivalente Ce coefficient permet de localiser la médiane dans la boîte à moustaches, par rapport au milieu du segment formé par et. Ce coefficient est indépendant de l'unité de mesure. En outre, il est toujours compris entre -1 et 1, car la médiane est située en et. Si, la distribution est symétrique. Si, la distribution est étalée à droite Si, la distribution est étalée à gauche 2 Les coefficients de Pearson Les coefficients de Pearson étudient l'étalement de la courbe à partir des valeurs de la moyenne, du mode et de l'écart-type. 1 Le coefficient S de Pearson Le coefficient S de Pearson mesure l'asymétrie d'une distribution par comparaison entre les valeurs de la moyenne et du mode. Il se note : Méthode Si S=0, la distribution est symétrique. Si S>0, la distribution est étalée à droite. Si S<0, la distribution est étalée à gauche. 2 Le coefficient B de Pearson Le coefficient d'asymétrie de Pearson est défini par où désigne le moment centré d'ordre 3, soit. 35

33 désigne le moment centré d'ordre 2, soit, c'est à dire la variance. Méthode L'interprétation de la valeur de de Pearson se fait comme suit : Si est proche de 0, la distribution est approximativement symétrique. Si >0, elle est étalée à droite pour. Si >0, elle est étalée à gauche pour. 3 Coefficient de Fisher Le coefficient d'asymétrie de Fisher est défini par. est le moment centré d'ordre 3 Méthode L'interprétation de la valeur du de Fischer se fait comme suit : Si est proche de 0, la distribution est approximativement symétrique. Si, la distribution est étalée à droite. Si, la distribution est étalée à gauche. ii Exercice Une enquête menée auprès de 1500 ménages d'une certaine région géographique rurale s'est intéressée à la variable correspondant à la taille du ménage, c'est-àdire au nombre de personnes constituant le ménage. Les données recueillies peuvent être présentées sous la forme du diagramme en bâtons suivant. Diagramme à bâtons. Télécharger le fichier Excel et créer les formules. 36

34 Q u e s t i o n 1 Calculer le coefficient de Yule Indice : Le coefficient de Yule est défini par Q u e s t i o n 2 Déterminer le coefficient d'asymétrie de Fisher Indice : est le moment centré d'ordre 3 Q u e s t i o n 3 Calculer le coefficient d'asymétrie Indice : de Pearson Le coefficient d'asymétrie de Pearson est défini par où désigne le moment centré d'ordre 3, soit. désigne le moment centré d'ordre 2, soit, c'est à dire la variance. c) Aplatissement i Aplatissement L aplatissement d'une distribution est un indicateur de dispersion autour des valeurs centrales. Plus la distribution est grande, plus la courbe sera plate. On utilisera deux coefficient ; Pearson et Ficher Aplatissement : kurtosis 37

35 1 Le coefficient de Pearson Le coefficient de Pearson Il est défini par : sert à mesurer l'aplatissement. Il s'agit d'un coefficient sans dimension. normale. et dans le cas d'une distribution Méthode : Interprétation si, la courbe est dite platicurtique, c'est à dire plus plate que la loi normale. si, la courbe est proche de la courbe normale. si, la courbe est leptocurtique, c'est à dire plus pointue que la loi normale. 2 Le coefficient de Ficher Le coefficient de Fischer sert à mesurer l'aplatissement. Il est défini par. De manière équivalent : Méthode : Interprétation si, la courbe est dite platicurtique. si, la courbe est proche de la courbe normale. si, la courbe est dite leptocurtique. 4. Concentration Attention a) Concentration La mesure de la concentration concerne les caractères statistiques quantitatives représentant une valeur positive cumulable. Il s'agit d'étudier la densité des données autour de la valeur centrale. Exemple Les données sont par exemple la concentration des salaires, des revenus, de l'emploi, des branches d'un secteur économique... Afin de mesurer la concentration, il convient de définir les valeurs globales, la médiale et l'indice de Gini et la courbe de concentration appelée Courbe de Lorentz. 38

36 i Les valeurs globales Étant donné une série statistique comportant n observations ordonnées dans un tableau statistique, représentant r modalités, on appelle : masse associée à la modalité d'effectif, la quantité définie par, masse relative associée à la modalité notée, la quantité définie par Généralement, les masses relatives totale. sont exprimées en pourcentage de la masse les masses relatives cumulées croissantes sont notées et définies par ii La médiale : la médiale La Médiale est la valeur du caractère qui partage en deux parties égales la masse totale du caractère. [Statistique descriptive. Applications avec Excel et calculatrices / Etienne Bressoud & Jean-Claude KAHANE / Ed. PEARSON] Notée Ml, la médiale s'exprime dans la même unité que la variable étudiée. Méthode La médiale se calcule un peu de la même façon qu'une médiane Dans le cas de variables discrètes, la médiale est la plus petite valeur du caractère dont la masse relative cumulée croissante est inférieure ou égale à 50% Dans le cas continu, soit on procède graphiquement à l'aide du polygone des masses relatives cumulées croissantes, soit algébriquement par interpolation linéaire. iii La courbe de concentration La courbe de concentration est réalisée à partir des calculs des fréquences cumulées croissantes et des masses cumulées croissantes. Les fréquences cumulées croissantes sont placées en abscisses et les masses cumulées croissantes sont placées en ordonnées. Dans Excel, on créé un graphique de type Nuage de points avec lignes. La distribution théorique d'égale répartition correspond à la bissectrice du repère. L'aire comprise entre la distribution théorique et la courbe de concentration s'appelle la surface de concentration. 39