MASTER SMIS. Mention Mathématiques et Applications. Spécialité : Ingénierie Mathématique

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1 UNIVERSITE PAUL SABATIER TOULOUSE III SCIENCES U.F.R. MATHEMATIQUE INFORMATIQUE GESTION Année Universitaire PRESENTATION DES ENSEIGNEMENTS Syllabus MASTER SMIS Mention Mathématiques et Applications Spécialité : Ingénierie Mathématique

2 Master SMIS Mention Mathématiques et Applications Spécialité : Ingénierie Mathématique Responsable administratif : Jean-Pierre DEDIEU Téléphone : dedieu@mip.ups-tlse.fr Secrétariat : Monique FOERSTER Bâtiment 1TP1 Bureau 10 Téléphone : foerster@adm.ups-tlse.fr Le M1IM a pour vocation de former des cadres compétents dans les domaines de la modélisation, du calcul scientifique et de la statistique. CONDITIONS D ADMISSION - Accès de plein droit pour les étudiants titulaires d une licence de mathématiques ou d une licence MASS, - Accès sur dossier pour les étudiants titulaires d une autre licence (Informatique, Mécanique, Automatique, Sciences Economiques, etc...), - Les étudiants n ayant pas totalement validé leur licence de Mathématiques peuvent s inscrire à certains modules du master selon les règles établies par le CEVU. DEBOUCHES Complété par une ou plusieurs années de formation, le M1IM offre de nombreuses possibilités. Le métier d ingénieur Le M1IM permet d accéder à une véritable carrière d ingénieur : - Master 2 dans les domaines des mathématiques appliquées, de la modélisation, du calcul scientifique, de l informatique numérique, de la statistique et de la statistique médicale, - Admission sur titre dans une école d ingénieurs. La recherche En dehors des possibilités (limitées mais réelles) de carrière d enseignant chercheur à l université, les besoins des centres de recherche et des entreprises en chercheurs en mathématiques appliquées, ayant une formation de haut niveau en modélisation, algorithmique numérique ou statistique sont prometteurs. Les étudiants chercheurs peuvent bénéficier d une bourse (1000 à 1500 euros par mois) pour préparer une thèse. 2

3 ORGANISATION DES ENSEIGNEMENTS Les enseignements se dérouleront sur une période de vingt-cinq semaines, de la troisième semaine de septembre à fin avril. La période de mai à juillet est consacrée à un stage en entreprise. Un tronc commun est constitué de sept modules : - 1M7MB1M Remise à niveau informatique (module facultatif) - 1M7MB2M Analyse et Théorie du Signal - 1M7MB3M Informatique - 1M7MB4M Langues et communication - 1M8MB1M Optimisation, Probabilités et Applications - 1M8MB2M Modélisation - 1M8MB6M Stage en entreprise. Les étudiants choisissent deux modules parmi les six suivants : Option Calcul Scientifique - 1M7MB5M Algorithmes, Automatique et Contrôle Optimal - 1M8MB3M Approximation des Equations aux Dérivées Partielles Option Statistique - 1M7MB6M Statistique Fondamentale - 1M8MB4M Statistique Appliquée Option Statistique Médicale (enseignement commun avec le master M1 «Méthodes d Analyse et de Gestion en Santé Publique», du domaine «Sciences de la Vie et de la Santé») - 1M7MB7M Statistique Médicale 1 : Méthodologie de la Recherche Clinique et Epidémiologique - 1M8MB5M Statistique Médicale 2 : Méthodologie de la Recherche Clinique et Epidémiologique Le stage en entreprise (1M8MB6M) Le stage en entreprise est un élément essentiel de la formation du M1. Il doit permettre une confrontation des acquis de l enseignement dispensé et du monde industriel et économique. Ce stage donne lieu à une soutenance et à la rédaction d un compte rendu. 3

4 MODULES DU PREMIER SEMESTRE 4

5 1M7MB1M Remise à niveau informatique Responsable : Christophe Besse (8h cours, 8h TD) Cette unité de valeur permet aux étudiants qui le souhaitent d acquérir les outils informatiques introduits en Licence d Ingénierie Mathématique. Cet enseignement est dispensé en début d année universitaire. Programme - Algorithmique - Langage C. 5

6 1M7MB2M Analyse et Théorie du Signal Responsable : Abdallah Chalabi I Analyse Fonctionnelle (32 heures) Distributions - Introduction - Fonctions-tests - L espace des distributions - Opérations - Structures locale de l espace des distributions - Convolution - Compléments. Distributions tempérées, transformation de Fourier - Fonctions à décroissance rapide - Distributions tempérées - Transformation de Fourier et de Fourier-Plancherel. Espaces de Hilbert - Définitions et exemples - Projection sur un convexe fermé - Théorème de Riez, dualité, topologie faible - Théorèmes d existence, problèmes bien posés. Espaces de Banach - Définition et exemples - Dual, théorème de Hahn-Banach, bidual - Opérateurs linéaires, théorèmes fondamentaux. Espaces de Sobolev et problèmes aux limites - Espaces de Sobolev - Problèmes aux limites. II Analyse complexe (32 heures) - Homolorphie ou dérivabilité au sens complexe - Intégration complexe - La théorie de Cauchy - Le théorème des résidus - La transformée de Fourier - La transformée de Laplace. III Théorie du signal (32 heures) - Théorie spectrale du signal - Théorie du filtrage, filtrage adapté, filtre de Kalman - Théorie de l échantillonnage : Shannon-Nyquist - Filtrage par les méthodes LMI, filtrage H_infini, H_2, notions de filtrage robuste - Eléments du traitement de l image - Apprentissage aux outils logiciels (Signal Processing Toolbox, LMI, Toolbox de Matlab). 6

7 1M7MB3M Informatique Responsable : Christine Régis L unité d enseignement est constituée de deux matières : Introduction à la programmation objet en C++ et introduction aux bases de données. 1 Introduction à la programmation objet en C++ (26 heures) - Conception de classes, - Objets, instances, - Composition, - Opérateurs, - Héritage, redéfinition, surcharge, polymorphisme, - Généricité, - Bibliothèques. 2 Introduction aux bases de données (22 heures) - Introduction aux bases de données et système de gestion de bases de données, - Conception d une base de données, - Le modèle relationnel, - L algèbre relationnelle, - Le langage SQL, - Mise en œuvre avec le SGBD ORACLE. 7

8 1M7MB4M Langues et Communication Responsable : Claude Plante-Jourdain Langues (24 heures) Entraînement à la compréhension orale et écrite de documents scientifiques (articles et vidéos) et à l expression orale dans un contexte scientifique, avec consolidation grammaticale et lexicale. L objectif étant, pour l étudiant, d atteindre la plus grande autonomie en toutes circonstances. Communication (24 heures) Problématiques, finalités, objectifs Favoriser l émergence et le développement de la capacité des étudiants à communiquer individuellement et en groupe pour améliorer leur efficience relationnelle en situation professionnelle. Etre capable de mettre en valeur leurs connaissances scientifiques par un apprentissage des moyens relationnels en situation professionnelle. Faire savoir leur savoir et leur savoir-faire en sachant être. Thématiques Les paradoxes de la communication : injonctions, manipulations ou influences. Les modèles de la communication : classique, systémique, constructiviste, situationnel. Psychologie des individus, des groupes et sociale : les acteurs, le cadre de référence, le système, les lois, les normes. Le corps, l inconscient, le conscient : la communication verbale et non verbale Le langage : la parole, la langue et l écrit, signes et symboles La question du sens : sémiologie et sémantique, approche linguistique. La communication en situation de travail : Individuelle : l écrit, l oral ; outils et méthodes Plurielle : conduite de réunion, résolutions de problèmes, travail en groupe Méthodes et outils de communication en situation professionnelle : Réalisation de CV, courrier administratifs, rédaction actes professionnels 8

9 1M7MB5M Algorithmes, Automatique et Contrôle Optimal Responsable : Luca Amodei I Contrôle (32 heures) - Principes de modélisation, - Equations différentielles ordinaires linéaires et non-linéaires, - Contrôle optimal, conditions d optimalité et principe de Pontryagin, - Contrôle de systèmes linéaires, observabilité, commandabilité, loi de feedback, - Aspects numériques, - Traitement de quelques exemples concrets. II Automatique (32 heures) - Notion de bouche ouverte et boucle fermée, - Systèmes dynamiques linéaires, - Stabilité des systèmes linéaires et non linéaires, - Synthèse de lois de contrôle, - Robustesse. III Calcul Numérique et Calcul Formel (32 heures) - Arithmétique et erreurs (arithmétique de précision infinie, arithmétique flottante, erreurs directes et inverses), - Méthodes formelles et numériques pour la résolution des équations et des systèmes non-linéaires (méthode de Sturm, bases de Gröbner, méthodes de points fixes, de Newton, d exclusion, méthodes de continuation), - Etude d exemples. 9

10 1M7MB6M Statistique Fondamentale Responsable : Philippe Vieu Statistique Mathématique (48 heures) I Quelques rappels - Notions de base en modélisation statistique (structure statistique, estimateurs, biais, variance, convergence d estimateurs). - Rappels de techniques usuelles de construction d estimateurs (méthode des moments, méthode du maximum de vraisemblance). - Généralités sur les tests (niveau, puissance, image) et construction de tests UPP par le lemme de Neymann-Pearson. II Quelques propriétés essentielles des structures statistiques - Notion d exhaustivité et utilisation de l amélioration d estimateurs sans biais. - Notion de complétion et utilisation de la construction d estimateurs sans biais optimaux en termes de moindre variance. - Notion d information de Fisher et liens avec l efficacité. III Quelques modèles paramétriques importants - Etude détaillée du cadre gaussien (tests et construction de statistique exhaustive et complète). - Introduction des familles exponentielles et construction de statistique exhaustive et complète. IV Introduction aux modèles non-paramétriques - Estimation de moyenne sous un modèle non paramétrique. - Introduction rapide des questions d estimation fonctionnelle à travers le problème d estimation de densité. Modèle Linéaire (48 heures) I Présentation générale du modèle linéaire II Estimation. Méthode des moindres carrés dans le modèle quelconque et méthode du maximum de vraisemblance dans le modèle gaussien. Intervalles de confiance. III Tests. Construction, dans le modèle gaussien, du test de Fisher pour toute hypothèse nulle, linéaire ou affine en les paramètres. IV Régression linéaire. Modèle de régression, estimation, valeurs prédites, résidus, tests, validation d un modèle, méthodes de choix des régresseurs. V Analyse de variance (ou plans factoriels). ANOVA à un facteur ; ANOVA à deux facteurs et notion d interaction ; ANOVA à trois facteurs ou plus ; choix d un modèle d ANOVA. VI Analyse de covariance. Modèle d analyse de covariance, estimation, tests et choix d un modèle. Cette partie est illustrée à l aide du logiciel statistique SAS. 10

11 1M7MB7M Statistique Médicale 1 Méthodologie de la Recherche Clinique et Epidémiologique Responsable : Gérard Tap (48 heures de cours, 48 heures de TD) L enseignement portera sur l application des méthodes statistiques au domaine médical, incluant les problèmes de gestion des données et de confidentialité. Il abordera le problème de la modélisation en pharmacocinétique et des modèles compartimentaux. 11

12 MODULES DU DEUXIEME SEMESTRE 12

13 1M8MB1M Optimisation, Probabilités et Applications Responsable : Dominique Noll I Optimisation (48 heures) Eléments de théorie - Rappels sur le calcul différentiel et la convexité, - Classification des problèmes d optimisation, - Conditions d optimalité en optimisation différentiable. Algorithmes - Pour les problèmes d optimisation sans contraintes principe des méthodes de descente, méthode de plus profonde descente, méthode du gradient conjugué, méthode de Newton, quasi-newton, méthode de Newton-Gauss, méthode de recherche des pas de descente, moindres carrés. - Pour les problèmes d optimisation avec contraintes : optimisation quadratique : méthode d ensemble de contraintes actives, programmation quadratique séquentielles (PQS ou SQP) introduction aux méthodes de points intérieurs. - TP sur ordinateur. II Probabilités et applications (48 heures) Programme du cours : - Révisions sur les variables et vecteurs aléatoires et leurs moments, - Théorèmes limites et applications, - Approximation d une intégrale par la méthode de Monte-Carlo, - Chaînes de Markov sur des espaces dénombrables, - Marches aléatoires, - Processus de branchement. Modèle dynamique des populations (Galton- Watson), - Processus de Poisson et de renouvellement. Applications à la fiabilité, - Première approche du mouvement brownien et des équations différentielles stochastiques. Programme des TP : - TP1 : Simulation de variables et vecteurs aléatoires, - TP2 : Exhibition de la LGN et du TLC, - TP3 : Méthode de Monte-Carlo, - TP4 : Simulation d une chaîne de Markov et étude de sa convergence, - TP5 : Processus de vie et de mort, de Galton-Watson, - TP6 : Processus de Poisson et de renouvellement, - TP7 : Quelques problèmes de fiabilité, - TP8 : Marches aléatoires, première approche du mouvement brownien et des équations différentielles stochastiques. 13

14 1M8MB2M Modélisation Responsable : Pierre Mazet Cette unité de valeur comporte une partie optionnelle (1M8MB21 ou 1M8MB23) et une partie obligatoire (1M8MB22). 1M8MB21 Equations aux dérivées partielles de la physique déterministe (64 heures) 1 Equations d évolutions de type thermo mécanique - Conservation d une mesure positive. - Equation de bilan d un système de mesures. - Lois physiques, lois phénoménologiques et principaux modèles. 2 Equations de type propagation d onde - Equations de l électromagnétisme. - Acoustique. - Propagation et front d ondes. 3 Notions sur les problèmes bien posés - Problème de Cauchy local. - Estimations de type «entropie-énergie» et problèmes bien posés. 4 Notions d approximation - Volumes finis. - Eléments finis. 1M8MB22 Etude d un modèle stochastique (32 heures) Partant d une situation concrète à modéliser, on introduira les outils probabilistes et statistiques permettant de mener à bien l analyse statistique du modèle retenu. Des T.P. sont prévus afin de manipuler les dits outils. Donnons un exemple d un tel travail dans un contexte biologique. Modéliser les déplacements des populations animales échantillonnées par capture-recapture ; ces derniers étant typiquement modélisés par une chaîne de Markov non homogène comportant des données manquantes. Puis faire une analyse statistique bayésienne du modèle via les méthodes de simulation de Monte-Carlo par chaînes de Markov. 1M8MB23 Méthodologie et pratique du traitement de données (64 heures) Ces deux thèmes qui sont complémentaires consistent à traiter des cas concrets réels émanant de contextes industriels et à en dégager les principes du traitement de données. Le contenu de chaque thème sera illustré par des applications concrètes et complété par un travail autonome de réflexion et de synthèse (Bureau d Etude). Dans ce B.E., les étudiants étudieront un problème précis sur lequel ils mettront en œuvre. 14

15 1M8MB3M Approximation des Equations aux Dérivées Partielles Responsable : Jean-Pierre Raymond I Approximation des équations différentielles partielles (48 heures) - Généralités. Classification des EDP - La méthode des éléments finis en dimension 1 - La méthode des éléments finis en dimension 2 II Approximation des EDP d évolution (48 heures) - Introduction - Equations hyperboliques - Equations paraboliques - Approximation par différences finies des équations linéaires - Compléments sur les schémas aux différences finies. 15

16 1M8MB4M Statistique Appliquée Responsable : Cécile Chouquet I Analyse Discriminante et Classification (32 heures) - Rappels rapides sur la statistique descriptive multidimensionnelle. - Aspects descriptifs et inférentiels de l Analyse Discriminante. - Règles d affectation bayésienne. - Principes généraux de la classification automatique - Méthodes de classification ascendante hiérarchique. - Méthodes d agrégation autour de centres mobiles. II Analyse des Séries Chronologiques (32 heures) - Description d une série chronologique. - Estimation de la tendance et de la saisonnalité. - Prédiction et analyse spectrale pour des processus stationnaires. - Processus ARMA. III Modèle linéaire généralisé (32 heures) - Généralités sur le Modèle Linéaire Généralisé. - Régression poissonnienne et binomiale. - Modèle log-linéaire pour les tables de contingence. 16

17 1M8MB5M Statistique Médicale 2 Méthodologie de la Recherche Clinique et Epidémiologique Responsable : Gérard Tap (48 heures de cours, 48 heures de TD L enseignement portera sur la méthodologie des essais cliniques et les principales méthodes statistiques utilisées dans la planification et l analyse des essais. Les notions de base en épidémiologie seront introduites, ainsi que les notions plus spécialisées telles les études castémoin. 17

18 1M8MB6M Stage en entreprise Responsable : Jean-Pierre Dedieu Il se déroule de mai à juillet dans une entreprise ou, éventuellement, dans un laboratoire de recherche. Ce stage donne lieu à la rédaction d un compte-rendu ainsi qu à une présentation orale. 18