Module OMGL - UE ModDyn
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1 Module OMGL - UE ModDyn Modélisation de la dynamique / Réseaux de Petri J. Christian Attiogbé Février 2009, maj 2012 J. Christian Attiogbé (Février 2009, maj 2012) Module OMGL - UE ModDyn 1 / 34 Plan de la suite Plan 1 Définitions 2 Les bases 3 Fonctionnement d un réseau 4 Graphe de marquage : sémantique J. Christian Attiogbé (Février 2009, maj 2012) Module OMGL - UE ModDyn 2 / 34
2 Plan Introduction Carl Adam Petri, 1962 Une notation mathématique et graphique Fondée sur une bonne théorie Plusieurs extensions et outils logiciels pour les analyser Modélisation de systèmes asynchrones, concurrents, distribués, non-déterministes, Utilisable à différentes étapes de construction de logiciels : analyse, modélisation, simulation, développement (synthèse) Utilisation dans de nombreux domaines : protocoles, systèmes critiques, systèmes d exploitation,... J. Christian Attiogbé (Février 2009, maj 2012) Module OMGL - UE ModDyn 3 / 34 Introduction Plan Le réseau de Petri comme un outil de l ingénieur : modélisation et étude du fonctionnement d un système (avant sa construction). Exemple : modélisons le comportement de deux robots (dans une usine). Les deux robots usinent des pièces en se servant d outils communs. Plusieurs problèmes : accès concurrent, synchronisation, blocage,... J. Christian Attiogbé (Février 2009, maj 2012) Module OMGL - UE ModDyn 4 / 34
3 Plan Introduction : un exemple de concurrence J. Christian Attiogbé (Février 2009, maj 2012) Module OMGL - UE ModDyn 5 / 34 Plan Caractéristiques des réseaux de Petri Spécification et étude des systèmes concurrents (communication, synchronisation) Abstraction sur les comportements, et les états Mode de synchronisation : synchrone, asynchrone Mode de composition : via le partage de transitions, (pas de hiérarchie) Modèles sémantiques : opérationnelle, axiomatique (algébrique) J. Christian Attiogbé (Février 2009, maj 2012) Module OMGL - UE ModDyn 6 / 34
4 Concepts fondamentaux Plan Ensemble de Places : P Ensemble de transitions : T Arcs entrant/sortant des transitions et des places Jetons (dans des places) Marquage (des places) : M i Fonctionnement du réseau : franchissement des transitions et donc, changement de l état global (marquage). J. Christian Attiogbé (Février 2009, maj 2012) Module OMGL - UE ModDyn 7 / 34 Plan Etude empirique du fonctionnement des R. de Petri Exemples de base Modélisation d un système producteur/consommateur avec les RdP Modélisation d une chaîne d assemblage avec des robots... J. Christian Attiogbé (Février 2009, maj 2012) Module OMGL - UE ModDyn 8 / 34
5 Plan Exemple : Producteur/Consomateur Modélisation du comportement d un producteur : repos buffer produire reposer production P = {repos, production, buffer} T = {produire, reposer} J. Christian Attiogbé (Février 2009, maj 2012) Module OMGL - UE ModDyn 9 / 34 Plan Exemples : fonctionnement Modélisation de la composition producteur et consommateur : repos buffer reposc produire reposer prelever repsoserc production consommation J. Christian Attiogbé (Février 2009, maj 2012) Module OMGL - UE ModDyn 10 / 34
6 Définitions formelles Les bases Un réseau de Petri (R) est un quadruplet (P, T, Pre, Post) où : P est un ensemble fini de places (avec P P), = m, le cardinal de T un ensemble fini de transitions, disjoint de P, (avec T cardinal de T) Pre : P T IN une application d incidence avant (une matrice) : les places entrant dans une transition Post : P T IN une application d incidence arrière (une matrice) : les places sortant d une transition = n, le J. Christian Attiogbé (Février 2009, maj 2012) Module OMGL - UE ModDyn 11 / 34 Exemple Les bases Soit P = {1, 2, 3, 4, 5} et T = {a, b, c, d, e}. Soient Pre (places avant les transitions) et Post (places après les transitions) : Pre a b c d e Post a b c d e J. Christian Attiogbé (Février 2009, maj 2012) Module OMGL - UE ModDyn 12 / 34
7 Les bases Graphe du réseau 1. a 3 2 c b 5 4 e d J. Christian Attiogbé (Février 2009, maj 2012) Module OMGL - UE ModDyn 13 / 34 Marquage des réseaux Les bases Un réseau marqué est le couple N = (R, µ) formé de : un réseau R et une application (fonction totale) µ : P IN. µ(p) est le marquage de la place p, on dit aussi le nombre de marques contenues dans p. Jeton : indique le marquage de chaque place. J. Christian Attiogbé (Février 2009, maj 2012) Module OMGL - UE ModDyn 14 / 34
8 Marquage des places Les bases repos buffer produire reposer production µ(repos) = 1 µ(production) = 0 µ(buffer) = 0 (µ(repos), µ(production), µ(buffer)) (1, 0, 0) J. Christian Attiogbé (Février 2009, maj 2012) Module OMGL - UE ModDyn 15 / 34 Fonctionnement d un réseau Fonctionnement et propriétés des réseaux de Petri Franchissement des transitions (non-déterminisme, synchronisation) Franchissable? quel est le marquage résultant? J. Christian Attiogbé (Février 2009, maj 2012) Module OMGL - UE ModDyn 16 / 34
9 Fonctionnement d un réseau Fonctionnement des réseaux de Petri (règles sémantiques) Une transition est franchissable (ou tirable) (enabled) lorsqu il y a aumoins un jeton dans chacune de ses places en entrée. Une transition franchissable est franchie (instantanément) ou non franchie. Lorsque plusieurs transitions sont franchissables, une d entre elles (de façon non-déterministe) est franchie. Lorsqu une transition est franchie, on enlève un jeton de chacune de ses places en entrée et on ajoute un jeton dans chacune de ses places en sortie : modification du marquage. Chaque arc a un poids de 1 par défaut. J. Christian Attiogbé (Février 2009, maj 2012) Module OMGL - UE ModDyn 17 / 34 Fonctionnement d un réseau Fonctionnement du réseau : graphe et propriétés On étudie le modèle à partir du graphe de marquage (réseau borné). Marquage et vivacité : Transition vivace (vivante) = il y a toujours un chemin qui y passe ; Réseau vivace = tout noeud sans arc sortant contient au moins chaque transition Réseau sans blocage = à partir d un noeud il y a toujours un arc sortant. Interblocage : aucune action possible à partir d un noeud atteignable.... On peut avoir des réseaux non bornés. J. Christian Attiogbé (Février 2009, maj 2012) Module OMGL - UE ModDyn 18 / 34
10 Fonctionnement d un réseau Fonctionnement du réseau : graphe et propriétés Exemples de réseaux : Les philosophes (exo au tableau) Lecteurs/rédacteurs J. Christian Attiogbé (Février 2009, maj 2012) Module OMGL - UE ModDyn 19 / 34 Fonctionnement d un réseau Graphe associé à un réseau Le graphe (P, T, Γ, V) associé au réseau R = (P, T, Pre, Post) est défini par : p P Γ p (p) = {t T Pre(p, t) > 0} (transitions atteignables) t T Γ t (t) = {p P Post(p, t) > 0} (places atteignables) p P, t T, V(p, t) = Pre(p, t) et V(t, p) = Post(p, t). (valuation) J. Christian Attiogbé (Février 2009, maj 2012) Module OMGL - UE ModDyn 20 / 34
11 Exemple Fonctionnement d un réseau Soit P = {1, 2, 3, 4, 5} et T = {a, b, c, d, e}. Soient Pre et Post : Pre a b c d e Post a b c d e soit M 0 = ( ) le marquage initial. On construit le réseau suivant avec M 0 : J. Christian Attiogbé (Février 2009, maj 2012) Module OMGL - UE ModDyn 21 / 34 Graphe du réseau Fonctionnement d un réseau 1. a 3 2 c b 5 4 e d J. Christian Attiogbé (Février 2009, maj 2012) Module OMGL - UE ModDyn 22 / 34
12 Graphe de marquage : sémantique Graphe de marquage On construit le graphe sur l ensemble des marquages accessibles noté A(R, M) (ou espace d états) du réseau. Un état est un marquage. Si les places du réseau sont p 1, p 2,..., p P, un marquage est de la forme (µ(p 1 ), µ(p 2 ),..., µ(p P )). Le graphe des marquages est noté G(R, M). Ses sommets sont les éléments de A(R, M). Ses arcs sont etiquetés par t i tel que t i T. Soient M i des sommets, M 1 t M 2 ssi : M 1, M 2 t T, A(R, M), M 2 est accessible par t à partir de M 1 J. Christian Attiogbé (Février 2009, maj 2012) Module OMGL - UE ModDyn 23 / 34 Graphe de marquage : sémantique Entrée et sortie d une transition On appelle entrées d une transition t : les places Γ 1 (t) et On appelle sorties d une transition t : les places de Γ(t). On appelle entrées d une place p : les transitions Γ 1 (p) et sorties d une place p : les transitions de Γ(p). J. Christian Attiogbé (Février 2009, maj 2012) Module OMGL - UE ModDyn 24 / 34
13 Graphe de marquage : sémantique On donne Γ p et Γ t telles que : (on utilisera Γ t pour les transitions et Γ p pour les places et Γ abusivement pour les deux cas) Γ p (1) = {a} Γ p (2) = {b} Γ p (3) = {c} Γ p (4) = {d} Γ p (5) = {d, e} Γ t (a) = {2, 3} Γ t (b) = {4} Γ t (c) = {5} Γ t (d) = {1} Γ t (e) = {3} Construisez le graphe du réseau associé à cette description. J. Christian Attiogbé (Février 2009, maj 2012) Module OMGL - UE ModDyn 25 / 34 Graphe de marquage : sémantique Pondération des arcs, arcs inhibiteurs Arcs pondérés Arcs pondérés par défaut avec 1 Les arcs peuvent avoir un poids > 1 Exemple d utilisation : Lecteurs/rédacteur ; on veut autoriser n lectures ; mais exclusion entre un redacteur et les lecteurs ; rédaction en exclusion avec les lecteurs. J. Christian Attiogbé (Février 2009, maj 2012) Module OMGL - UE ModDyn 26 / 34
14 Graphe de marquage : sémantique Pondération des arcs Par défaut les arcs ont un poids de 1 repos buffer produire 1 1 reposer production J. Christian Attiogbé (Février 2009, maj 2012) Module OMGL - UE ModDyn 27 / 34 Graphe de marquage : sémantique Pondération des arcs : consommation 3 par 3 de ce qui est produit : repos buffer 3 produire 1 1 reposer 1 vider production J. Christian Attiogbé (Février 2009, maj 2012) Module OMGL - UE ModDyn 28 / 34
15 Graphe de marquage : sémantique Pondération des arcs : Modélisation de la composition des comportements des processus lecteurs/rédacteurs. N ressources sont disponibles pour la lecture ou la rédaction ; un seul processus rédacteur à la fois, 1 à N processus lecteurs peuvent lire simultanément, On veut assurer l exclusion entre lecture et rédaction. J. Christian Attiogbé (Février 2009, maj 2012) Module OMGL - UE ModDyn 29 / 34 Arcs inhibiteurs Graphe de marquage : sémantique Arcs inhibiteurs : permettent des franchissements spécifiques. Un RdP à arcs inhibiteur est une variante des RdP, où on un peut avoir une transition spécifique franchissable lorsque le marquage de la place entrante est 0. : patients/médecin (au tableau) J. Christian Attiogbé (Février 2009, maj 2012) Module OMGL - UE ModDyn 30 / 34
16 Arcs inhibiteurs Graphe de marquage : sémantique Modélisation de la détection de fin d un traitement... p1 n rscrc 1 prendre1 finir Traitement Terminaison FinTraiter J. Christian Attiogbé (Février 2009, maj 2012) Module OMGL - UE ModDyn 31 / 34 Graphe de marquage : sémantique Les limites des réseaux de Petri Manque de modularité pas de hiérarchisation pas de composition explicite Explosion du modèle (pour la modélisation de grands systèmes) Prise en compte de la modélisation des données... J. Christian Attiogbé (Février 2009, maj 2012) Module OMGL - UE ModDyn 32 / 34
17 Graphe de marquage : sémantique Les extensions des réseaux de Petri Il existe de nombreuses extensions pour les réseaux de Petri Réseaux de Petri avec des données (langage de données élaboré) HLPN (High-Level Petri Nets, réseaux de Petri avec prédicats, etc)... J. Christian Attiogbé (Février 2009, maj 2012) Module OMGL - UE ModDyn 33 / 34 Références Graphe de marquage : sémantique De nombreuses références existent : Génie logiciel, Réseaux de Petri, Racloz et Buchs Les réseaux de Petri, Un outil de modélisation, Annie Choquet-Geniet, Dunod... J. Christian Attiogbé (Février 2009, maj 2012) Module OMGL - UE ModDyn 34 / 34
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