2 q = 0 avec α = R 2L 1 LC. En régime propre peu amorti (R faible, tel que α < ω 0 ) les solutions sont pseudo-périodiques, de la

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1 RÉGIMES TRANSITOIRES - CIRCUIT RC - corrigé des exercices A. EXERCICE DE BASE I. Régime propre d'un circui RC. ʼéquaion différenielle qui décri le régime propre dʼun circui RC-série peu sʼécrire (loi des mailles) : R i + di d + q C ω = = avec i = dq d. Ceci correspond à : q + 2α q + ω 2 q = avec α = R 2 C. En régime propre peu amori (R faible, el que α < ω ) les soluions son pseudo-périodiques, de la forme : q = q e -α cos(ω + φ) avec ω = " 2 $ 2. a pseudo-période es donc : T = 2" = 2" 2 $ % 2 avec ω = 2" T e donc : T = T. " T 2 % ' ( * & 2$ ) remarque : on rerouve bien ainsi T T quand R (α ). $ En développan à lʼordre le plus bas : T T + 2 $ T "' ' & ) & % 2 % 2 e β = T " T 2 $ T "' & ). a limie ( T 2 % 2 ( β < -3 correspond alors à : α = R 2 < 2" T 2. "3 cʼes-à-dire : R < 8. "3 C = 2,83 Ω. 2. e faceur de qualié peu sʼécrire : Q = " R = " T. Si on uilise lʼapproximaion : β = T " T $ T "' & ) 2 % 2 ( 2 = 8Q 2, on obien alors pour la résonance aiguë : β,2.-3 ; on peu donc en conclure quʼun circui RC peu amori, e donc rès résonan, effecue des oscillaions libres rès semblables aux oscillaions forcées résonanes. Pour une résonance moyenne, lʼapproximaion : β = T " T T 8Q 2 T e donne : β,2 ; on peu donc en conclure quʼun circui RC moyennemen amori, e donc médiocremen résonan, effecue des pseudo-oscillaions libres à peu près semblables aux oscillaions forcées résonanes. Pour une résonance floue, lʼapproximaion : β = T " T T 8Q 2 donne : β 2 ; elle es donc visiblemen absurde. e calcul exac donne : T =, cʼes-à-dire quʼil nʼy a plus de pseudooscillaions pour Q,35. T 8Q 2 II. Réponse à un échelon de couran.a. a loi des nœuds impose : i c = i + iʼ + i. a loi des mailles impose : R iʼ = di d..b. a loi des mailles impose : R iʼ = q dq. a charge du condensaeur impose : i = C d.

2 2.c. a combinaison des équaions précédenes donne : d 2 i d 2 + RC di d + C i = C i c. 2.a. En posan α = 2RC e ω = C l'équaion précédene s'écri : d 2 i di + 2α 2 d d + ω 2 i = ω 2 i c. e discriminan rédui de l'équaion caracérisique correspondane es : Δʼ = α 2 - ω 2 <. Pour <, la soluion de l'équaion différenielle es de la forme : i = e -α [A cos(ω) + B sin(ω)] avec la pseudo-pulsaion ω = " 2 $ 2. a siuaion éan invariane pour ou <, la seule soluion possible es : i =. On en dédui par conséquen : iʼ = di d = e i = RC i " R d d =. Pour, la soluion de l'équaion différenielle es de la forme : i = I + e -α [A cos(ω) + B sin(ω)] e les condiions iniiales imposen : i = I - I e -α [cos(ω) + " sin(ω)]. On en dédui par suie : iʼ = di R d = = I e -α 2" d sin(ω) e i = RC i " d = I e-α [cos(ω) - " sin(ω)]. 2.b. es allures des variaions respecives des courans i, iʼ e i son les suivanes : 2,5 2,,5 i(),,5, -,

3 3,2,,8,6 i (),4,2, -,2 -,4 -, ,5,,5 i (), -,5 -, -, a. Avec les mêmes noaions, le discriminan rédui de l'équaion caracérisique es : Δʼ = α 2 - ω 2 >. Pour <, la soluion de l'équaion différenielle es de la forme : i = A e -λ + B e -µ en posan β = = " 2 2 $ ; λ = α - β e µ = α + β > λ. a siuaion éan invariane pour ou <, la seule soluion di d i " possible es : i =. On en dédui par conséquen : iʼ = = e i = RC R d d =. Pour, la soluion de l'équaion différenielle es de la forme : i = I + A e -λ + B e -µ e les condiions iniiales imposen : i = I - I µ " di " 2" [e-λ - µ e-µ ]. On en dédui : iʼ = = I R d [e-λ - e -µ ] e i = d i " µ " = RC = I d 2" [e-µ - µ e-λ ].

4 3.b. es allures des variaions respecives des courans i, iʼ e i son les suivanes :,2 4,,8,6 i(),4,2, -, ,5,,5 i (), -,5 -, -,

5 5,2,,8,6 i (),4,2, -, a. a loi des mailles modifiée s'écri mainenan : R iʼ = r i + di d. a combinaison des équaions donne : d 2 i d 2 + " RC + r % $ ' di & d + R + r R C i = C i c. 4.b. Pour rerouver la même équaion, il es nécessaire e suffisan d'imposer : R " C " = RC + r ; " C " = R + r R C ; " C " Iʼ = C I. Ce sysème de rois équaions à quare inconnues a en fai une infinié de soluions : on peu imposer une conraine supplémenaire. 4.c. En imposan Cʼ = C, on obien : Rʼ = + rrc R ; ʼ = R R + r ; Iʼ = R R + r I. remarque : cee renormalisaion des coefficiens perme de simplifier le calcul e de rerouver oues les quaniés souhaiées. 4.d. Pour, la soluion de l'équaion différenielle es de la forme : i = Iʼ + A e -λʼ + B e -µʼ avec les coefficiens : αʼ = 2 R " C = + rrc α ; ω = " C = R + r R ω ; βʼ = " 2 2 $ %" ; λʼ = αʼ - βʼ e µʼ = αʼ + βʼ. es condiions iniiales imposen ici encore la coninuié de i() dans la bobine (car dans l'inducance) e la coninuié de la dérivée di d r i + di d (coninuié de la ension aux bornes du condensaeur, donc de la ension aux bornes de la bobine, donc la coninuié de i impose celle de di d ). 4.e. e raisonnemen sur le régime apériodique nécessiai R > 2 ; l'applicaion au nouveau raisonnemen nécessie de même Rʼ > " 2 C ; ceci impose donc : + rrc > 2 On en dédui la condiion : r < R 3 C " 2R2 C& % $ ' r de la bobine n'es pas rop grande. C R R + r. ( ; c'es donc envisageable seulemen si la résisance

6 Qui plus es, la condiion R > 2 C 6 correspond à 2R 2 C > 2 ; il fau donc que le régime ne soi pas rop apériodique : 2 < 2R2 C < correspond à 2 C < R < (sinon les deux cas, avec ou 2C sans r, ne son pas du même ype, donc le raisonnemen ne peu pas s'appliquer). III. imie du régime criique. Pour α > ω, on peu écrire : u() = (E - Eʼ) e -2α µeµ " e + Eʼ. µ " a limie α ω correspond à µ α e λ α ; ainsi : " e u() (E - Eʼ) e-2α " + Eʼ = (E - Eʼ) e -2α (α + ) e α + Eʼ = (E - Eʼ) (α + ) e -α + Eʼ. 2. Pour α < ω, près du cas criique, la décroissance rapide de l'ampliude d'oscillaion fai que le comporemen général es semblable à celui au voisinage de =. On peu alors considérer cos(ω) e sin(ω) ω ; ceci donne : u() (E - Eʼ) e -α [ + α] + Eʼ. Des précisions son ouefois nécessaires. En posan λʼ = α - jω e µʼ = α + jω, on peu écrire : u() = (E - Eʼ) e -2α µ " e µ " $ " e $ " + Eʼ. a µ " $ " limie α ω correspond à µʼ α e λʼ α ; on obien ainsi le même résula que précédemmen. B. EXERCICES D APPROFONDISSEMENT IV. Propagaion le long d'un câble coaxial. e couran raversan la capacié es : i = i(x) - i(x + dx) = -δi = - "x dx. On en ire : "( u( x + dx) ) $ " q ' & ) % C( = = " " dx = - "u. Ceci peu s'écrire : " "x " enre u(x) e u(x + dx) es ici négligeable puisque d'ordre supérieur. = - " "x car la différence 2. es ensions aux bornes des inducances son : u AAʼ = δ " = " 2 On peu écrire : δu = u(x + dx) - u(x) = -λ dx " mais δu = "u "x dx " dx donc : "u "x e u BBʼ = - " 2 = -λ ". dx ". 3. En combinan les deux équaions enre u e i, on obien : soluion d'une équaion de la forme : 4. es foncions de la forme f( ± x c ) donnen : " 2 f "x 2 = c 2 précéden si : c = " = " µ. " 2 u "x 2 = -λ " 2 i "x" = γλ "2 u, donc u es 2 " " 2 f "x 2 - γλ "2 f =. On obien une équaion de la même forme pour i. 2 " " 2 f " 2 ; elles son soluion de l'équaion du ype Ce ype de soluions décri une propagaion. Propagaion à la célérié c vers les x > pour f " x & % (, $ c' " puisqu'on rerouve la même valeur de la foncion pour ʼ > à la posiion xʼ = x+c > x. De même, f 2 + x % $ ' c & décri une propagaion à la célérié c vers les x <.

7 7 En oure, c = " µ = 3. 8 m.s - es la célérié de la lumière dans le vide. V. Transformaion de aplace.a. Pourvu que les inégrales convergen (ce qui peu imposer des condiions resricives sur les foncions f auorisées), on peu inerverir lʼordre dʼinégraion en respecan le domaine (u, ) R +2 avec > u : ) & { " f( u)du} = " %" f( u)du( e *p % d = e "p ( d $ ' $ ' & $ * f( u)du u ) { " f( u)du} = $ e "pu f( u)du = p p {f(u)} = p F (p). remarque : {f(u)} = {f()} car la variable de f() es une variable muee, cʼes-à-dire qui disparaî (après inégraion) dans lʼécriure de F (p)..b. Dʼune façon analogue, à lʼaide dʼune inégraion par paries : { df " df } = d e $p d = fe "p d { " f( u)du} = f() + p fe "p [ ] - f $ d d d e "p $ d = p {f()} = p F (p)..c. En oure, par simple inégraion : {h()} = he "p $ d = $ e "p d = - [ ] p e"p = p. De même avec un changemen de variable : $ {h( - θ)} = h( " )e "p % % d = h ( ")e p.( " +$ ) % & d " = & h ( ")e p.( " +$ ) d " $ {h( - θ)} = e -pθ $ % h ( ")e p " d " = p e-pθ..d. Dʼune façon semblable : {h()e -a } = $ he "a e "p d = $ e "( p+a) d = 2.a. De même avec un changemen de variable : {h( - θ) e -a(-θ) } = e -pθ {h() e -a } = p + a e-pθ. p + a. remarque : il y a une symérie de comporemen : la muliplicaion de f() par e -a décale F (p) en F (p + a) ; le décalage de f() en f( - θ) muliplie F (p) par e -pθ. Pour le condensaeur es déchargé e la ension enre ses bornes es nulle ; le couran es donc nul e la ension aux bornes de la résisance es nulle : la ension E se rerouve aux bornes de lʼinerrupeur. ʼassemblage RC es alors soumis à une ension nulle, mais ceci nʼéquivau à un généraeur de f.e.m. nulle que si le couran es libre de circuler. Touefois, on considère le cas où le condensaeur es déchargé, ce qui implique un couran nul, donc le circui avec lʼinerrupeur qui empêche le couran de circuler (en supporan E) revien au même quʼun circui avec une f.e.m. nulle en lʼabsence dʼinerrupeur. Pour > le circui es soumis à la f.e.m. E, ce qui équivau au oal à : e() = E h(). 2.b. a loi des mailles sʼécri : e() = R i() + " C id.

8 2.c. Par sa définiion sous forme dʼinégrale, la ransformée de aplace es linéaire : (f + g} = {f} + {g} e {αf} = α {f}. Compe enu de la quesion précédene, on en dédui : E (p) = R I (p) + C 8 p I (p). Puisque : E (p) = {e()} = E {h()} = E E, on en dédui : I (p) = p R. p +. Dʼaprès la quesion " % $ ' RC& précédene, on obien : i() = E R h()e-/τ avec τ = RC. 3.a. 3.b. 3.c. a loi des mailles sʼécri : e() = di d On en dédui : E (p) = p I (p) + R I (p) + C + R i() + " C id. p I (p). Puisque : E (p) = {e()} = E {h()} = E, on en ire (en uilisan lʼhypohèse de facorisaion indi- p quée par lʼénoncé) : I (p) = E. p " $ ( p " $ ). Ceci peu se décomposer en fracions raionnelles simples : I (p) = E. " $ " % p " $ " ( ' *. & p " $ ) 3.d. Dʼaprès la quesion précédene, on obien : i() = E. " $ " h() (eωʼ - e ω ). Si les deux racines son réelles, elles son négaives (les coefficiens du polynôme caracérisique indiquen deux racines de même signe don la somme es négaive) ; on obien une somme de deux exponenielles décroissanes, ce qui correspond à un régime amori apériodique. Si les deux racines son complexes (conjuguées), leur parie réelle commune es négaive, e on obien le produi dʼune exponenielle décroissane par une sinusoïde, ce qui correspond à un régime amori pseudo-périodique.