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1 Suites numériques 1 Somme des termes d une suite Dans les applications, il est souvent nécessaire de calculer la somme de quelques premiers termes d une suite (ou même de tous les termes, mais on étudiera ce cas plus tard) : S N = u 0 + u u N = N u n. Le signe (lettre grecque sigma) est une notation pour écrire une somme de plusieurs termes de façon compacte. On lit la somme sur n de zéro à N de u n. Dans certains cas, on peut trouver des formules explicites pour S N. C est le cas notamment des suites arithmétiques et géométriques. n=0 1.1 Somme des termes d une suite arithmétique On écrit S N deux fois, dans l ordre direct et dans l ordre inverse : S N = u 0 + u u N. S N = u N + u N u 0. En faisant la somme des deux égalités, on obtient S N = (u 0 + u N ) + (u 1 + u N 1 ) + + (u N + u 0 ) = (u 0 + u 0 + rn) + (u 0 + r + u 0 + r(n 1)) + + (u 0 + rn + u 0 ) = (u 0 + rn) + (u 0 + rn) + + (u 0 + rn) = (N + 1)(u 0 + rn). Cela implique S N = (N + 1)(u 0 + rn ), (1) ou bien, en utilisant la relation u N = u 0 + rn, 1

2 S N = (N + 1)(u 0 + u N ). Autrement dit, S N = nombre de termes (premier terme + dernier terme). () (notez que le nombre de termes dans S N est égal à N+1 puisqu on part de u 0 ). Remarque La dernière formule est valable pour toute somme de quelques termes consécutifs de la suite (et non seulement en partant de u 0 ). La démonstration est exactement la même. Par exemple, si u n = 3 + 5n (suite arithmétique de raison 5), alors u 7 + u u 16 = 10 u 7 + u 16 ( ) + ( ) = 10 = 555. Exemple : Pour la somme des N premiers nombres naturels, on obtient N N = n = n=1 N(N + 1). 1. Somme des termes d une suite géométrique Ici, l astuce consiste à écrire S N et qs N et remarquer qu ils ont des termes en commun : S N = u 0 + u u N 1 + u N = u 0 + qu q N 1 u 0 + q N u 0. qs N = qu 0 + q u 0 + q N u 0 + q N+1 u 0. = u 0 + (u 0 + qu q N u 0 ) + q N+1 u 0 = S N + q N+1 u 0 u 0. Si q 0, on obtient 1 q N+1 S N = u 0. 1 q Notons que dans le cas q = 1, on obtient directement S N = (N +1)u 0 (ce qui concorde avec la formule (1) pour une suite arithmétique de raison r = 0). On peut écrire la dernière formule sous la forme suivante : 1 q(nombre de termes) S N = (premier terme). 1 q

3 Cette formule est également valable pour toute somme de termes consécutifs de la suite : par exemple, à partir de u 0. Exemple : Si (u n ) est une suite géométrique de raison q = 1 1+r, alors N n=0 u n = u 0 + u r + u 0 (1 + r) + + u 0 (1 + r) N = 1 1 (1+r) N r u 0 = 1 + r 1 (1+r) N u 0. r Actualisation et capitalisation Un des concepts fondamentaux de la finance est celui de valeur de l argent dans le temps. Deux sommes d argent de même nominal (par exemple, 100 euros) ne sont pas équivalentes si elles ne sont pas disponibles au même moment. Si on détient 100 euros aujourd hui, ces 100 euros valent plus pour nous que 100 euros qu on devrait toucher dans un an. On peut citer plusieurs raisons pour cela : avec une somme d argent immédiate, on peut placer, toucher des intérêts, et donc avoir plus d argent dans le futur; le pouvoir d achat d une somme d argent peut changer au fil du temps à cause de l inflation; généralement, la réception d une somme d argent dans le futur n est pas certaine. Nous allons maintenant considérer en détail la première raison : l intérêt. On introduit les notions de valeur actuelle (VA) et valeur future (VF) d une somme d argent. Typiquement, on parle d une somme d argent placée sur un compte qui rapporte un intérêt. La valeur actuelle est la somme d argent sur le compte aujourd hui. La valeur future, c est la somme d argent qu on aura à une date future, si on ne retire rien du compte avant cette date. Par exemple, si on place 1000 euros (la valeur actuelle) sur un compte qui rapporte 6% annuels, la somme d argent qu on aura au bout de cinq ans s appelle la valeur future de 1000 euros placés sur cinq ans à 6%. Nous avons déjà calculé cette valeur dans le cas des intérêts simples et des intérêts composés. Sauf mention contraire, on supposera que les intérêts sont composés. Dans ce cas, nous obtenons VF = 1000( )

4 Sous forme générale, si r est le taux d intérêt annuel et n le temps de placement en nombre d années, VF = VA(1 + r) n. (3) La démarche qui permet d obtenir la valeur future d une somme d argent à partir de sa valeur actuelle s appelle la capitalisation de cette somme d argent. Nous pourrions poser une question inverse : combien d argent nous devons placer sur un compte aujourd hui pour disposer de euros dans 10 ans? Notons cette somme x. Si le taux d intérêt annuel est de 5%, la valeur future de x est égale à VF = x( ) 10. Si on veut que cette valeur soit égale à 10000, on obtient x = ( ) 10 La valeur actuelle de euros disponibles dans 10 ans est donc euros. De manière générale, pour calculer la valeur actuelle à partir de la valeur future, on inverse la formule (3) et on obtient VA = VF (1 + r) n. (4) Cette démarche s appelle l actualisation d une somme d argent et le taux d intérêt r s appelle le taux d actualisation. 3 Méthodes de la VAN pour l évaluation des projets d investissement Il existe plusieurs méthodes pour décider si un projet d investissement est rentable. La plus utilisée est celle de la VAN : valeur actuelle nette. La VAN est définie comme la différence entre les valeurs actuelles des cashflows futurs du projet et des investissements nécessaires pour générer ces cash-flows : VAN(projet) = VA(cash-flows) VA(investissements). La règle est la suivante : il faut accepter le projet si la VAN est positive et rejeter si la VAN est négative. Cette règle est assez intuitive : on entreprend 4

5 un projet s il nous rapportera plus qu il nous coûtera. Le seul point délicat est qu on doit comparer des sommes d argent disponibles aux dates différentes (typiquement, on investit aujourd hui et on bénéficie des résultats plus tard). Pour que cette comparaison ait un sens, on compare les valeurs actuelles de toutes les sommes. Par exemple, vous avez la possibilité d investir euros aujourd hui pour monter une entreprise qui rapportera 7000 euros par an pendant 10 ans à partir de la deuxième année. On peut visualiser ces cash-flows en utilisant la droite de temps : Fig. 1 Exemple de visualisation des cash-flows à l aide de la droite de temps. La valeur actuelle des investissements est égale à euros. Supposons que le taux du marché est de 5% par an (vous avez donc une alternative de placer euros sur un compte rémunéré à 5% par an et bénéficier des intérêts). On utilise ce taux comme le taux d actualisation pour calculer la valeur actuelle des cash-flows futurs du projet : VA(cash-flows) = 7000 ( ) ( ) ( ) ( ) 11. Pour calculer cette somme, on remarque que c est une somme de 10 termes d une suite géométrique de raison et de premier terme. On obtient donc VA(cash-flows) = On peut maintenant calculer la valeur actuelle nette du projet : 1.05 VAN = = 1478 > 0. Puisque la VAN est positive, on conclut que le projet est rentable. Dans cet exemple, on investit tout l argent nécessaire en une seule fois. Souvent, les investissements sont aussi répartis dans le temps. Dans ce cas, 5

6 il faut calculer leurs valeurs actuelles de la même manière que pour les cashflows. Supposons qu on ne dispose pas de euros et qu une banque propose de nous les prêter sous les conditions suivantes : nous devrons restituer la somme de euros dans 5 ans et, en plus, on payera 8% d intérêts tous les ans pendant cinq ans. Dans ces conditions, le projet est-il toujours rentable? Pour répondre à cette question, nous allons calculer sa valeur actuelle nette. La valeur actuelle des cash-flows reste la même mais les investissements sont maintenant répartis sur cinq ans : Nous avons : Fig. Schéma de remboursement du crédit. VA(investissements) = En utilisant encore une fois la formule pour la somme des termes d une série géométrique, on obtient VA(investissements) = Par conséquent, la valeur actuelle nette du projet constitue maintenant VAN = = 5016 < 0. On conclut que le projet n est plus rentable. 4 Obligations Les obligations sont des contrats financiers émis par l état ou par des entreprises pour emprunter de l argent. Une obligation a une valeur nominale qui sera payée à l obligataire (acheteur de l obligation) à une date future convenue : l échéance. Par ailleurs, une obligation peut payer des intérêts à des intervalles réguliers pendant sa durée de vie. Les intérêts sont appelés des coupons et sont calculés en pourcentage de la valeur nominale. Ce pourcentage s appelle le taux nominal de l obligation. 6

7 Par exemple, une obligation de valeur nominale 100 euros avec échéance de 5 ans et de taux nominal 6% par an, rapportera à son détenteur 100 6% = 6 euros tous les ans pendant cinq ans et 100 euros à la fin de la cinquième année. La figure 3 représente les cash-flows de cette obligation Fig. 3 Les cash-flows générés par l obligation. Notez qu à l échéance, l obligation paye la valeur nominale plus le coupon. Les obligations de ce type s appellent des obligation à coupons ou obligations ordinaires. Il existe également des obligations à coupon zéro qui ne payent pas d intérêts. Pour calculer la valeur actuelle d une obligation, on calcule les valeurs actuelles de tous les coupons et de la valeur nominale et on fait une somme. Dans l exemple précédent, si le taux d actualisation est de 4% par an, cela nous donne VA = Cette valeur nous permet de décider s il est intéressant ou pas d acheter l obligation. Pour cela, on peut appliquer la méthode de la VAN en comparant le prix de l obligation avec la valeur actuelle de ces cash-flows futurs. Par exemple, si cette obligation est cotée sur la bourse à 110 euros, alors V AN = < 0. Dans ce cas, il vaut mieux placer les 110 euros sur un compte rémunéré au taux de 4%. En revanche, si le prix de l obligation est égal à 100 euros, alors V AN = > 0. Dans ce cas, il est plus profitable d investir 100 euros dans l obligation que de les placer sur le compte à 4%

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