CLASSE DE TECHNOLOGIE, PHYSIQUE ET CHIMIE (TPC) ALGÈBRE LINÉAIRE ET GÉOMÉTRIE

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1 CLASSE DE TECHNOLOGIE, PHYSIQUE ET CHIMIE (TPC) PROGRAMME (A partir de Septembre 2) MATHEMATIQUES Secode aée (Ce ouveau programme présete des modificatios par rapport à l'acie programme) ALGÈBRE LINÉAIRE ET GÉOMÉTRIE I. ALGÈBRE LINÉAIRE Das cette partie le corps de base est ou et les espaces vectoriels cosidérés sot de dimesio fiie. a) Base adaptée à u sous-espace vectoriel Défiitio d'ue base d'u espace vectoriel E de dimesio fiie adaptée à u sous-espace vectoriel de E, à ue décompositio E = E E 2. b) Image et oyau d'ue applicatio liéaire Relatio dim Im u + dim Ker u = dim E.. Espaces vectoriels ; applicatios liéaires c) Trace d'u edomorphisme Trace d'ue matrice carrée ; liéarité de la trace, relatios Tr AB = Tr BA, Tr PMP = Tr M. Trace d'u edomorphisme d'u espace vectoriel de dimesio fiie. Le rag d'u projecteur est égal à sa trace. a) Détermiat de vecteurs Formes -liaires alterées sur u espace vectoriel de dimesio. Détermiat de vecteurs das ue base d'u espace vectoriel de dimesio. Caractérisatio des bases. 2. Détermiats La démostratio de l'existece du détermiat est hors programme. Applicatio à l'expressio de la solutio d'u système de Cramer. b) Détermiat d'u edomorphisme Détermiat d'u edomorphisme, du composé de deux edomorphismes ; caractérisatio des automorphismes. c) Détermiat d'ue matrice carrée Détermiat d'ue matrice carrée. Détermiat du produit de deux matrices, de la trasposée d'ue matrice. Développemet par rapport à ue lige ou ue coloe ; cofacteurs. Applicatio à l'orietatio d'u espace vectoriel réel de dimesio 2 ou 3. La preuve de la relatio Det t M = Det M est hors programme. / 3

2 Exemples d'étude de l'idépedace liéaire d'ue famille de vecteurs. Exemples de costructio de bases et de sous-espaces vectoriels supplémetaires, et d'emploi de bases, de supplémetaires, de sommes directes et de chagemets de bases, otammet pour l'étude des équatios liéaires. Il coviet d'exploiter les espaces vectoriels d'edomorphismes, de matrices, de polyômes, de suites et de foctios. Exemples d'étude de systèmes d'équatios liéaires. Emploi des opératios élémetaires sur les liges et les coloes d'ue matrice à coefficiets umériques pour la résolutio des systèmes de Cramer par l'algorithme du pivot de Gauss, le calcul de détermiats, l'iversio de matrices. II. RÉDUCTION DES ENDOMORPHISMES Das cette partie le corps de base est ou et les espaces vectoriels cosidérés sot de dimesio fiie. a) Valeurs propres, vecteurs propres d'u edomorphisme Défiitio d'u sous-espace vectoriel stable par u edomorphisme u d'u espace vectoriel E. Défiitio des valeurs propres, des vecteurs propres (le vecteur ul 'est pas u vecteur propre), des sousespaces propres E λ (u) = Ker (u-λi E ) d'u edomorphisme u de E. Pour que λ soit ue valeur propre de u, il faut et il suffit que u-λi E e soit pas iversible ; l'esemble des valeurs propres de u est alors appelé spectre de u et oté Sp(u). Élémets propres des homothéties, des projecteurs, des symétries. Toute famille de p vecteurs propres associés à des valeurs propres distictes deux à deux est libre. b) Valeurs propres, vecteurs propres d'ue matrice carrée Défiitio des valeurs propres, des vecteurs propres, Les élémets propres de M sot défiis comme état des sous-espaces propres et du spectre d'u élémet M de M ( ). ceux de l'edomorphisme u de associé à M. caoiquemet U élémet M de M ( ) peut être cosidéré comme élémet de M ( ) ; le spectre de M das est coteu das le spectre de M das. Défiitio des matrices semblables. Spectre de deux matrices semblables. c) Polyôme caractéristique Polyôme caractéristique d'ue matrice, d'u edomorphisme ; ordre de multiplicité d'ue valeur propre. Lorsque ce polyôme est scidé, expressio de la trace et du détermiat e foctio des valeurs propres. 2 / 3

3 d) Réductio d'u edomorphisme e dimesio fiie Edomorphisme diagoalisable (par défiitio, Pour qu'u edomorphisme u soit diagoalisable, il u L(E) est diagoalisable s'il existe ue base de E faut et il suffit que la somme des dimesios des formée de vecteurs propres de u). sous-espaces propres de u soit égale à dim E. Tout edomorphisme dot le polyôme caractéristique est scidé et a toutes ses racies simples est diagoalisable, et ses sous-espaces propres sot de dimesio. Défiitio d'ue matrice carrée diagoalisable. Pour que M soit diagoalisable, il faut et il suffit que M soit semblable à ue matrice diagoale. Lorsque M est diagoalisable, M s'écrit sous la forme PDP, où D est diagoale et où P est ue matrice de passage de la base caoique de à ue base de vecteurs propres de M. Exemples d'étude de suites umériques satisfaisat à ue relatio de récurrece liéaire à coefficiets costats. Exemples de réductio à la forme diagoale de matrices carrées sur ou. Il coviet de doer quelques exemples de matrices o diagoalisables, mais aucue méthode géérale de réductio à la forme triagulaire 'est exigible des étudiats. Exemples d'études du comportemet des puissaces d'ue matrice diagoalisable. Pratique de la résolutio de l'équatio X' = A X, où A est ue matrice diagoalisable à élémets réels ou complexes. III. ESPACES EUCLIDIENS, GÉOMÉTRIE EUCLIDIENNE a) Produit scalaire Produit scalaire sur u -espace vectoriel ; défiitio d'u espace préhilbertie réel. Iégalité de Cauchy- Schwarz, iégalité triagulaire ; orme et distace associées. Relatio etre produit scalaire et orme, polarisatio.. Espaces préhilberties réels ou complexes L'étude de ces otios doit être illustrée par de ombreux exemples, otammet le produit scalaire caoique de et les produits scalaires usuels sur les espaces de foctios. Produit scalaire (x,y) a (x y) sur u -espace vectoriel (liéaire à droite, semi-liéaire à gauche) ; défiitio d'u espace vectoriel préhilbertie complexe. Iégalité de Cauchy-Schwarz, iégalité triagulaire ; orme et distaces associées. Relatio x + y ² = x ² + y ² + 2Re(x y). L'étude de ces otios doit être illustrée par de ombreux exemples, et otammet : - le produit scalaire caoique de ; - (f,g) a (f g) = das C ([a, b]) ; [a,b] fg - (f,g) a (f g) = fg das l'espace 2π [,2 π ] vectoriel C 2π des foctios cotiues 2π- 3 / 3

4 périodiques sur à valeurs complexes. b) Orthogoalité Vecteurs uitaires. Vecteurs orthogoaux, sousespaces vectoriels orthogoaux, orthogoal F o (ou F ) d'u sous-espace vectoriel F de E. Sous-espaces vectoriels supplémetaires orthogoaux. Familles orthogoales, familles orthoormales ; relatio de Pythagore pour ue famille orthogoale fiie. Projecteurs orthogoaux. Extesio des otios précédetes aux espaces préhilberties complexes. a) Bases orthoormales Défiitio d'u espace vectoriel euclidie : espace préhilbertie réel de dimesio fiie. 2. Espaces euclidies Existece de bases orthoormales, complétio d'ue famille orthoormale e ue base orthoormale. Toute forme liéaire f sur u espace vectoriel euclidie E s'écrit de maière uique sous la forme f(x) = (a x) où a est u vecteur de E. Expressio das ue base orthoormale des coordoées et de la orme d'u vecteur, du produit scalaire de deux vecteurs, de la distace etre deux poits. Extesio des otios précédetes au cas d'u espace vectoriel hermitie, c'est-à-dire d'u espace préhilbertie complexe de dimesio fiie. b) Projectios orthogoales Das u espace préhilbertie réel E (de dimesio fiie ou o), l'orthogoal F o d'u sous-espace vectoriel F de dimesio fiie est u supplémetaire de ce sous-espace vectoriel, appelé supplémetaire orthogoal de F ; défiitio de la projectio orthogoale p F (x) d'u vecteur x de E sur F. Lorsque F est de dimesio fiie, dim F o + dim F = dim E et (F o ) o = F. Défiitio de la distace d(x,f) d'u élémet x de E à F. Expressio de cette distace à l'aide de p F (x) ; la foctio qui à tout élémet z de F associe x z atteit so miimum e u poit et u seul, à savoir p F (x) ; relatio x ² = p F (x) ² + d(x,f)². Expressio de p F (x) lorsque F est mui d'ue base orthoormale (e, e 2,, e ) Iégalité de Bessel x e j. j= p F (x) = ( e j ) j= ( j ) e x ² x ². Extesio des otios précédetes au cas des espaces préhilberties complexes. c) Automorphismes orthogoaux Das ce paragraphe, les espaces cosidérés sot des espaces euclidies. Défiitio d'u automorphisme orthogoal d'u Caractérisatio d'u automorphisme orthogoal par 4 / 3

5 espace vectoriel euclidie E (c'est-à-dire d'u automorphisme de E coservat le produit scalaire). Caractérisatio à l'aide de la coservatio de la orme. Défiitio du groupe orthogoal O(E) ; symétries orthogoales ; réflexios. Défiitio des matrices orthogoales et du groupe orthogoal O(). Caractérisatio des matrices orthogoales par leurs vecteurs coloes. l'image d'ue (de toute) base orthoormale et par sa matrice das ue (toute) base orthoormale. Chagemet de base orthoormale. L'étude géérale du groupe orthogoal est hors programme, mais, e liaiso avec le programme de première aée, o décrira le groupe orthogoal e dimesio deux et trois (et seulemet das ces cas). Les matrices orthogoales sot défiies à partir de l'automorphisme de associé. Caractérisatio des matrices orthogoales par l'ue des relatios t M M = I ou M t M = I. Détermiat d'ue matrice orthogoale, d'u automorphisme orthogoal ; détermiat d'ue réflexio. La otio de rotatio e figure au programme qu'e dimesio 2 et 3. d) Edomorphismes autoadjoits Das ce paragraphe, les espaces cosidérés sot des espaces euclidies. Défiitio d'u edomorphisme autoadjoit (ou symétrique) par la relatio (u(x) y) = (x u(y)). Les edomorphismes autoadjoits costituet u sous-espace vectoriel de L(E). Caractérisatio d'u edomorphisme autoadjoit, à l'aide de la matrice associée das ue (toute) base orthoormale. Chagemet de base orthoormale. Soit u u edomorphisme autoadjoit d'u espace euclidie E, alors u est diagoalisable das ue base orthoormale. Diagoalisatio d'ue matrice symétrique au moye d'ue matrice orthogoale. Exemples de costructio et d'emploi de bases orthoormales et de supplémetaires orthogoaux. Exemples de calcul et d'emploi de la projectio orthogoale sur u sous-espace de dimesio fiie, de la distace à u tel sous-espace. Il coviet d'exploiter les espaces vectoriels et aisi que les espaces vectoriels de polyômes et de foctios. Il coviet otammet d'exploiter l'approximatio des foctios. Exemples de réductio d'edomorphismes et de matrices e base orthoormale. ANALYSE I. SUITES ET FONCTIONS Séries de ombres réels ou complexes 5 / 3

6 a) Suites et séries Série u associée à ue suite (u ) de ombres réels ou complexes, suite (s p ) des sommes partielles de cette série. Défiitio d'ue série covergete et de sa somme, otée = u covergetes.. Espace vectoriel des séries Il coviet de mettre e valeur et d'exploiter la correspodace bijective etre suites et séries. Si la série u coverge, alors u ted vers ; la réciproque est fausse. Caractérisatio de la covergece d'ue série de ombres complexes à l'aide des parties réelle et imagiaire. Covergece d'ue série alterée dot la valeur absolue du terme gééral décroît et ted vers ; majoratio du reste. b) Séries de ombres réels positifs Pour qu'ue série u de ombres positifs coverge, il faut et il suffit que la suite (s p ) des sommes partielles soit majorée. Théorème de comparaiso des séries de ombres réels positifs : comparaiso des covergeces de u et v das le cas où u v et das le cas où u ~ v. Aucue autre coaissace spécifique sur les séries semi-covergetes 'est exigible des étudiats. Comparaiso à ue série géométrique, à ue série de Riema, règle de d'alembert. La règle «α u» 'est pas à mémoriser. Développemet décimal d'u ombre réel positif. c) Série de ombres réels ou complexes Séries absolumet covergetes (c'est-à-dire telles que = u covergete est covergete. < + ). Toute série absolumet E outre, + u = u. = Série géométrique : la série z, où z appartiet à, est absolumet covergete si et seulemet si z <. Sa somme est alors égale à z. E outre, si z, cette série diverge. Série expoetielle : pour tout ombre complexe z, z Par défiitio, exp z la série! est absolumet covergete. = + z!. = Comparaiso d'ue série de ombres réels positifs à ue itégrale : état doée ue foctio f cotiue sur [, + [, à valeurs réelles positives, décroissate, la série f ( ) coverge si et seulemet si l'itégrale + f ( t )dt est covergete. Ecadremet du reste. 6 / 3

7 Exemples d'obtetio de majoratios et de mioratios d'expressios réelles ou du module d'expressios complexes ; exemples d'emploi pour l'étude de suites et de foctios. Exemples d'étude du comportemet global et asymptotique de suites de ombres réels, de ombres complexes. Il coviet d'etraîer les étudiats à exploiter la comparaiso aux suites de référece et à classer des ordres de gradeur. Exemples d'étude de séries de ombres réels ou complexes. Pour ue série de ombres réels positifs, exemples d'ecadremet du reste d'ue série covergete, des sommes partielles d'ue série divergete ; exemples de recherche de valeurs approchées de la somme d'ue série covergete. Il coviet otammet d'exploiter la comparaiso d'ue série à ue itégrale. II. FONCTIONS D'UNE VARIABLE RÉEELE Cette partie est l'occasio de cosolider les acquis de première aée cocerat la dérivatio et l'itégratio des foctios à valeurs réelles ou complexes. Les foctios étudiées sot défiies sur u itervalle I de et à valeurs réelles ou complexes. Cotiuité sous le sige : soit f ue foctio à valeurs réelles ou complexes cotiue sur A [a, b], où A est u itervalle de. Alors la foctio g défiie sur A par la relatio g(x) = f ( x,t )d t est a cotiue sur A.. Itégrales dépedat d'u paramètre b La démostratio des résultats de ce paragraphe est hors programme. Dérivatio sous le sige (formule de Leibiz) : lorsque f est cotiue sur A [a, b] et admet ue f dérivée partielle cotiue sur A [a, b], alors g x est de classe C b f sur A, et g'(x) = ( x,t)dt. a x Extesio aux foctios de classe C k. a) Défiitio d'ue itégrale covergete Si f est ue applicatio cotiue sur [a, b[ l'itégrale b f ( t )d t est covergete, par défiitio, si a x f ( t )d t a ue limite fiie lorsque x ted vers b, e a restat das [a, b[. Défiitio des itégrales divergetes. 2. Itégrales impropres O aura soi de distiguer, das la présetatio, le cas où f est ue foctio cotiue o borée sur u itervalle [a, b[ boré, et le cas où l'itervalle est o boré (du type [a, + [ par exemple). 7 / 3

8 Nature des itégrales + dt et t α dt, où α, t α + e α t dt l t dt et, où α + *. b) Itégrales des foctios positives Relatios etre la covergece ou la divergece des itégrales de f et de g, das le cas où f g, et das le cas où f ~ g. c) Itégrales absolumet covergetes Défiitio d'ue itégrale absolumet covergete. Comparaiso e module à des foctios réelles positives du type : f g ou f ~ g. Exemples d'emploi du calcul différetiel et itégral pour l'étude globale des foctios. Obtetio de majoratios et de mioratios de suites et de foctios, recherche d'extremums. Exemple de méthodes de calcul de valeurs approchées d'itégrales et de comparaiso de leurs performaces. La démarche cosiste à subdiviser l'itervalle d'itégratio et à approcher, sur chaque sousitervalle, la foctio à itégrer par ue foctio polyomiale. Exemples d'étude d'ue foctio défiie par ue itégrale dépedat d'u paramètre. III. SÉRIES ENTIÈRES, SÉRIES DE FOURIER. Séries etières Les séries etières cosidérées das ce paragraphe sot à coefficiets réels ou complexes. a) Covergece d'ue série etière Défiitio des séries etières d'ue variable complexe. Étude de la covergece : rayo de covergece, disque (ouvert) de covergece. b) Somme d'ue série etière d'ue variable réelle Itervalle de covergece. Propriétés (admises) de la foctio somme d'ue série etière sur l'itervalle (ouvert) de covergece : cotiuité, dérivatio et itégratio terme à terme (avec coservatio du rayo de covergece). La somme f d'ue série etière at d'ue variable réelle dot le rayo de covergece R est Das le cas où le rayo de covergece est u ombre R >, toute étude systématique de la covergece sur le cercle C(, R) est exclue. O admettra que si le rayo de covergece est u ombre R >, et si de plus la série + = a x coverge pour x = R (respectivemet pour x = R), la somme est cotiue sur [, R] (respectivemet sur [ R, ]). E particulier, pour tout etier k positif ou ul, a k = D f (). k! k 8 / 3

9 strictemet positif est ue foctio de classe C sur ] R, R[. E outre, pour tout k, D k f s'obtiet par dérivatio terme à terme. Défiitio d'ue foctio développable e série etière sur u itervalle ] r, r[, où r >. Défiitio de la série de Taylor d'ue foctio de classe C sur u itervalle ] r, r[, où r >. Développemet e série etière autour de de + x, l ( + x), ex, cosx, six, chx, shx et ( + x) α, où α est réel. 2. Séries de Fourier Das ce chapitre, les foctios cosidérées sot à valeurs complexes et 2π-périodiques et cotiues sur (le cas des foctios T-périodiques s'y ramèe par chagemet de variable). Il coviet d'effectuer ue brève extesio au cas des foctios cotiues par morceaux (la défiitio des foctios cotiues par morceaux, de classe C k par morceaux, sera doée à cette occasio) ; les démostratios cocerat cette extesio serot admises. a) Coefficiets de Fourier Espace vectoriel des foctios à valeurs complexes, 2π-périodiques et cotiues par morceaux sur. Défiitio d'ue foctio 2π-périodique cotiue par morceaux f à partir d'ue foctio g cotiue par morceaux sur u segmet de logueur 2π. Itégrale sur ue période d'ue foctio f à valeurs complexes, 2π-périodique et cotiue par morceaux sur. Défiitio des coefficiets de Fourier d'ue telle foctio π i ˆ( ) ( ) ( ) t f = c f = f t e d t 2π. π Expressio des coefficiets de Fourier sous forme de cosius et de sius. Pour tout etier aturel p, défiitio de la somme partielle p p = p ix S (f)(x) = c (f)e. b) Covergece e moyee quadratique π Produit scalaire (f g) a f ( t) g( t)dt 2π sur π l'espace vectoriel C 2π des foctios 2π-périodiques cotiues sur ; orme associée f a f 2. La projectio orthogoale d'u élémet f de C 2π sur le sous-espace vectoriel P p egedré par les e, où p, est la somme partielle S p (f). Coefficiets de Fourier de f ; cas d'ue foctio à valeurs réelles. Coefficiets de Fourier de t a f( t) ; cas d'ue foctio paire, d'ue foctio impaire. Effet d'ue traslatio : coefficiets de Fourier de t a f(t + a). Lorsqu'e u poit x de les sommes partielles S p (f) coverget, la série de Fourier est dite covergete au poit x et la somme de la série de Fourier est, par défiitio, la limite des sommes S p (f)(x). Les foctios t a e (t) = e it, où parcourt, formet ue famille orthoormale et, pour tout, c (f) = (e f). E particulier, l'applicatio qui à tout élémet P de P p associe f P 2 atteit so miimum e u poit et u seul, à savoir S p (f). Relatio f ² = ( S p (f) 2 )² + d(f,p p )². 9 / 3

10 Iégalité de Bessel p c ( f ) ² ( f )². 2 = p Covergece e moyee quadratique : pour tout élémet f de C 2π, les sommes partielles S p (f) coverget e moyee quadratique vers f. E particulier, c (f) et c (f) tedet vers. Formule de Parseval : expressio du carré de la orme et du produit scalaire à l'aide des coefficiets de Fourier. c) Covergece poctuelle Théorème de Dirichlet : soit f ue foctio 2πpériodique de classe C par morceaux sur, alors pour tout ombre réel x, la série de Fourier de f coverge e ce poit et sa somme est égale à lim f ( x + h ) + f ( x h ). E particulier, e tout 2 h + [ ] poit x où f est cotiue, la somme de la série de Fourier de f est égale à f(x). Exemples de recherche et d'emploi de développemets e série etière ou e série de Fourier de foctios d'ue variable réelle : exemples d'utilisatio de tels développemets pour l'approximatio d'ue foctio. Il coviet de mettre e valeur l'emploi de séries etières pour la recherche et l'étude de solutios d'équatios différetielles. IV. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. Équatios différetielles liéaires d'ordre ou 2 Équatio a(t)x' + b(t)x = c(t) où a, b et c sot cotiues sur I à valeurs réelles ou complexes. Structure de l'espace des solutios lorsque a e s'aule pas sur I. Équatio a(t)x" + b(t)x' + c(t)x = d(t) où a, b, c et d sot cotiues sur I à valeurs réelles ou complexes. Lorsque a e s'aule pas sur I, existece et uicité de la solutio sur I du problème de Cauchy. Structure de l'espace des solutios de l'équatio homogèe ; systèmes fodametaux de solutios. Résolutio de l'équatio par la méthode de variatio des costates. La démostratio de ce résultat est hors programme. Expressio des solutios das le cas où l'o coaît ue solutio de l'équatio homogèe associée e s'aulat pas sur I. 2. Notios sur les équatios différetielles o liéaires E vue de l'eseigemet des autres disciplies scietifiques, il coviet d'itroduire quelques otios sur les équatios différetielles o liéaires mais, e mathématiques, aucue coaissace sur ce poit 'est exigible des étudiats. Exemple d'étude de solutios d'équatios / 3

11 différetielles liéaires d'ordre et 2. V. FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES RÉELLES Les foctios cosidérées das ce chapitre sot défiies sur ue partie de p et à valeurs das. O se limitera aux cas où 3 et p 3. O e soulèvera aucue difficulté liée aux esembles de défiitio des foctios cosidérées.. Cotiuité Aucue difficulté théorique e peut être soulevée sur les otios étudiées das ce paragraphe et tous les résultats sot admis. E outre, ces otios e pourrot costituer le thème pricipal d'aucue questio d'écrit ou d'oral. a) Normes das m Norme et distace das m. Défiitio des boules, des parties ouvertes, des parties fermées, des parties borées. b) Cotiuité des foctios de plusieurs variables Limite et cotiuité e u poit a d'ue foctio défiie sur u ouvert U. Si f est à valeurs réelles, alors pour tout ombre réel α, l'esemble des poits x tels que f(x) α, ou tels que f(x) = α, est ue partie fermée de ; l'esemble des poits x tels que f(x) > α est ue partie ouverte de. O admettra que toutes les ormes sot équivaletes. Das la pratique, o utilisera les ormes "sup" ( x = max x i ) et euclidiee x 2 i m = 2 xi. i m Espace vectoriel C(U) des foctios cotiues sur U. Il coviet de souliger l'itérêt de ces résultats pour démotrer qu'ue partie est ouverte (ou fermée). L'image d'ue partie fermée borée par ue foctio cotiue est fermée et borée. a) Dérivées partielles premières Défiitio de la dérivée de f e u poit a de U selo u vecteur h, otée D h f(a). Défiitio des dérivées f partielles, otées D j f(a) ou ( a). x Défiitio d'ue foctio de classe C (ou cotiûmet dérivable) : les dérivées partielles D j f(a) sot cotiues sur U. Espace vectoriel C (U) des foctios de classe C sur U. j 2. Calcul différetiel Il existe u ombre réel δ > tel que, pour tout élémet t [ δ, δ], a + th appartiee à U : o pose alors ϕ h (t) = f(a + th). Si ϕ h est dérivable à l'origie, o dit que f admet ue dérivée au poit a de U selo le vecteur h, et l'o pose D h f(a) = ϕ' h (). Théorème fodametal : si f est de classe C sur U, La démostratio de ce résultat est hors programme. / 3

12 alors f admet, e tout poit a de U, ue dérivée selo tout vecteur h, et p D h f(a) = hjd j f(a). j= Das l'espace vectoriel euclidie p, le gradiet d'ue foctio à valeurs réelles f est défii par df(a)(h) = D h f(a) = (gradf(a) h). E particulier, l'applicatio h a D h f(a) est ue forme liéaire appelée différetielle de f au poit a et otée df(a). Coordoées du gradiet. Poits critiques d'ue foctio umérique de classe C. Coditio écessaire d'existece d'u extremum local. b) Matrice jacobiee Matrice jacobiee, jacobie. Matrice jacobiee d'ue applicatio composée ou d'ue applicatio réciproque (les applicatios cosidérées état de classe C ). c) Dérivées partielles d'ordre k 2 Théorème de Schwarz pour ue foctio de classe C 2 sur U. Applicatio aux chagemets de variables. La démostratio du théorème de Schwarz est hors programme. d) Coordoées polaires r r Repère polaire ( u, v) du pla euclidie 2 pour tout ombre réel θ, par r ur uur u( θ ) = cosθ e + siθ e2 r ur uur v( θ ) = siθ e + cosθ e2 r r ( e, e ) est la base caoique de 2. où 2 Coordoées polaires d'u poit de 2. défii, Relatios r r du r dv r = v, = u dθ dθ Expressio des coordoées du gradiet d'ue foctio à valeurs réelles f de classe C e foctio des dérivées partielles de la foctio (ρ, θ) a F(ρ, θ) = f(ρ cosθ, ρ siθ). 3. Calcul itégral a) Itégrales doubles E vue de l'eseigemet des autres disciplies scietifiques, il coviet de doer quelques otios sur les itégrales doubles et triples : - Itégrales doubles : liéarité, croissace, additivité par rapport au domaie d'itégratio, calcul par itégratios successives, exemples simples de chagemets de variables. - Brève extesio aux itégrales triples. - Exemples d'applicatios aux calculs d'aires plaes et de volumes. E mathématiques, aucue coaissace sur ces différets poits 'est exigible des étudiats. b) Champs de vecteurs du pla et de l'espace E vue de l'eseigemet des autres disciplies scietifiques, il coviet de doer quelques otios sur les champs de vecteurs du pla et de l'espace : divergece, rotatioel, circulatio, potetiel scalaire. E mathématiques, aucue coaissace sur ces différets poits 'est exigible des étudiats. Exemples d'emploi de coordoées polaires, cylidriques ou sphériques. 2 / 3

13 Exemples de recherches d'extremum locaux ou globaux. Exemples de recherche de solutios d'équatios aux dérivées partielles par séparatio ou chagemets de variables. 3 / 3