M. XI - DYNAMIQUE ; PRINCIPE DE MOINDRE ACTION

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1 M. XI - DYNAMIQUE ; PRINCIPE DE MOINDRE ACTION 1 1. Coordoées gééralsées Pour décrre u po maérel, ou u sysème de N pos maérels, o peu ulser u sysème de k coordoées quelcoques {q } (o écessareme carésees avec k = 3N s les mouvemes des N pos e so pas resres par des coraes. L'expérece more que la coassace des coordoées {q } e des vesses correspodaes {q } à u sa al doé perme gééraleme d'ober les expressos des {q } (équaos du mouveme pus e prcpe d'e dédure le mouveme du sysème.. Prcpe de Hamlo e lagrage Le prcpe de Hamlo suppose que ou sysème mécaque peu êre caracérsé par ue foco lagrage L ({q }, {q },. Pour smplfer l'écrure, o écrra souve L (q, q, e sous-eeda les sommaos sur les dfféres ermes correspodas. E cosdéra qu'à deux sas e les posos du sysème correspode à q( e q( doées, alors o peu défr la quaé aco (de Hamlo : S = ( d! L q, q,. remarque : c q e q représee des focos q( e q ( cherchées. Le prcpe de Hamlo (prcpe de modre aco suppose que le mouveme ere les posos q( e q( es el que l'aco so mmum (ou au mos exremum : δs = 0.

2 Pour des pos maérels rès élogés, les mouvemes so dépedas ; le lagrage du sysème es smpleme la somme des lagrages de chaque po (as les varaos de chacu e focos des coordoées des aures pos so ulles. Par alleurs, o peu morer que l'ajou au lagrage de la dérvée oale par rappor au emps d'ue foco f(q, arbrare es sas effe (cec perme des smplfcaos. & exercce I. 3. Équaos du mouveme Pour ue varao δq( du mouveme éudé, dusa ue varao δq (, le calcul de la varao doe (sas erme e pusqu'o fa varer! q e q pour chaque pus qu'o ègre sur : δs = δ L ( q, q, d &! = q+!q!q q ( d. ' Pusque δ(q = (δq l'égrao par pares doe : δs =!q q & ( + '!q & &!q ( ( * q d. ' ( ' Pusque δq( = δq( = 0 la codo δs = 0 mpose les équaos (d'euler- Lagrage décrva le mouveme : & (!q '!q = Po maérel solé L'expérece more qu'e l'absece d'eracos l'espace semble homogèe e dépeda du emps, pourvu qu'o rasoe par rappor à u référeel gallée, doc le lagrage d'u po maérel M solé e déped que de sa vesse.

3 3 E oure l'espace semble sorope, doc ce lagrage de déped que de la orme de la vesse ; o peu oer L = L (v. L'expérece more que la mécaque semble varae par chageme de référeel gallée, e parculer pour u chageme fésmal : v! v!! = v!!!! +!v e!. ; L (v L (vʼ L (v +!v v!!v e Pour que les los soe chagées, l fau e l suff que le erme supplémeare so la dérvée oale par rappor au emps d'ue foco f(m,. C'es le cas pour la foco v!!!v e mas 'es pas ue foco de M, doc le!v erme!v v!!!!!v e es accepable s e seuleme s!v = Cse. O peu doc cosdérer : L = m v, où la cosae m es ue caracérsque du po maérel éudé. O peu alors vérfer que ce lagrage es plus gééraleme vara pour ou chageme de référeel gallée. Das ce cas o obe!q = 0 doc les équaos du mouveme doe :!q = Cse ; cec correspod à v!!!!!! = Cse (lo de l'ere. & exercce II.

4 4 5. Sysème de pos maérels Pour u sysème de pos maérels e eraco, o peu écrre le lagrage comme la somme des ermes assocés aux pos e d'u erme décrva! m l'eraco : L = v ' & - U({M } Les équaos du mouveme!!!!! m a = -! U. & (!q '!q = 0 coduse à la lo de Newo : remarque : le lagrage correspod à L = E c - E p. Cec perme de gééralser au cas d'u po maérel M e eraco avec u champ exéreur, forcéme causé par d'aures pos maérels do l'effe es décr globaleme. Das ce cas les aures pos e corbue pas à l'expresso de E c car o les éude pas, à l'expresso de E p : o suppose doé globaleme le champ exéreur par l'ermédare de U. Par core, ce erme peu dépedre du emps à cause des mouvemes des aures pos : L = m v - U(M,. & exercces III e IV. 6. Los de coservao Pour u sysème de k équaos, la résoluo fa erver k cosaes d'égrao {C j } : q = q (, {Cj} ; q = q (, {C j }. L'verso de ce sysème d'équaos fa apparare k - 1 cosaes du mouveme (l rese u arbrare de l'orge du emps : C j = C j ({q }, {q }.

5 5 Ue cosae du mouveme rès géérale découle du fa que, pour u sysème fermé ou das u champ exéreur cosa, le lagrage e déped pas explceme du emps ; as (e oaos smplfées : L =!q q +!q q = &!q q L( ' = 0.!q ' & q +!q q =!q q ' ; & Pour ou sysème do le lagrage e déped pas explceme du emps, cec correspod à ue éerge cosae : E =!q q ' L = Cse. & L'éerge es ue expresso léare du lagrage, doc es addve das les mêmes codos. remarque : d'après l'expresso de L, cee éerge es E = E c + E p. D'aures cosaes du mouveme rès géérales découle du fa que, pour u sysème fermé, le lagrage es vara par raslao ; as (e coordoées carésees : δx ( = δx (même déplaceme pour ous les pos ; δl L = ( =!x & x (!x ( ( '!x ' = ( &!x = 0. ' ( & & x ( = 0 ; ( ' Pour ou sysème do le lagrage es vara par raslao, cec correspod à u veceur mpulso cosa : p = ( = Cse.!x ' ( & O peu de même assocer ue mpulso gééralsée!q cosae pour oue coordoée q do le lagrage e déped pas explceme.

6 6 remarque : s les varables ulsées pour exprmer le lagrage so les coordoées des pos, o obe p!! =!( m v. D'aures cosaes du mouveme rès géérales découle du fa que, pour u sysème fermé, le lagrage es vara par roao. E oa!!! ue roao fésmale :!!!!!!!!!!!!!!!!!! δ OM =! OM ; δ v =! v ; δl = x ( + & x!x (!x ( ( = 0 ;, ( '!! p!!! OM!!!!!!! + p!!! v!! =!!!! OM!!!!!!!!!! p + v p = 0 ; (!!!!!!! ( OM! p = 0. ( Pour ou sysème do le lagrage es vara par roao, cec correspod à u veceur mome céque cosa :!!!!!!!!! = ( OM! p = Cse. 7. Équaos de Hamlo L'obeo des équaos d'euler-lagrage décrva le mouveme à l'ade d'u lagrage 'es pas la seule méhode. O peu cosdérer : dl = dq + dq!q!q ' + &! d ; p =!q (défo ; p = (équaos du mouveme ;!q dl =!( p dq + p dq + L d. O peu alors défr le hamloe, pour lequel les varables so les coordoées e les mpulsos (e le emps : H (q, p, =!( p q - L (q, q,.

7 Par exemple pour u po maérel das u champ exéreur : 1 H = m p + U(M,. Cec doe : dh = ( q dp! p dq 7 + H d ; o e dédu les équaos du mouveme sous la forme de k équaos du premer ordre (au leu de k équaos du secod ordre : q =!H!p ; p = -!H!q. O remarque alors que H =!H!, c'es-à-dre que s le hamloe e déped pas explceme du emps, l représee ue quaé cosae du mouveme : l'éerge. 8. Prcpe de modre aco e hamloe Pour ue varao δq( du mouveme éudé, dusa ue varao δp(, le calcul de la varao de l'aco doe (sas erme e!h! pusqu'o fa varer q e p pour chaque pus qu'o ègre sur : δs = δ ( p q! H ( q, p, d = δ p dq! H ( q, p, d ; δs =!p dq+ p!q d ( -!H (!q q+!h!p p & ( d ; ' Pusque δ(q = (δq l'égrao par pares doe : δs = [ p!q]!h 1 + (!p dq!q dp -!q q+!h!p p & ( d ; ' δs = [ p!q] 1 +!p. & dq H p d ' ( & (. ' * -!q. dp + H q d Pusque δq( = δq( = 0 la codo δs = 0 mpose les équaos (de Hamlo décrva le mouveme : q =!H!p ; p = -!H!q.