ACTIVITES JUSQU AU 30/11/2013 Les principaux résultats obtenus ont donné lieu à 10 articles publiés ou soumis en 2013 dans des revues

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1 1 P0110: Chaos quantique, interaction et désordre, ordinateur quantique: localisation d Anderson avec interaction, effets des imperfections sur le calcul quantique, simulation du chaos 30 novembre 2013 Ce projet s organise autour de l application des idées et méthodes du chaos quantique à la physique du solide et la physique atomique, mais aussi à l information quantique, et plus récemment à l étude des réseaux comme le World Wide Web. De nombreux systèmes physiques présentent des propriétés regroupées sous le terme de chaos quantique, correspondant à des fonctions d onde ergodiques et des statistiques des niveaux d énergie semblables a celles prévues par la théorie des matrices aléatoires. Ces effets peuvent apparaître dans des systèmes à une particule ( cavités chaotiques ) mais aussi de manière générique dans des systèmes de plusieurs particules en interaction et en présence de désordre. Notre groupe a contribué de manière importante ces dernières années à l application de ces techniques à la physique du solide et plus récemment au calcul quantique, à la physique atomique et à l étude des réseaux. Le chaos quantique présente des liens importants avec la physique du solide dans le contexte de la localisation d Anderson. Il est bien connu depuis les travaux de P. W. Anderson (1958) que la présence de désordre peut localiser les fonctions d onde d un système sans interaction grâce aux interférences quantiques. Ce phénomène est aussi présent dans le contexte du chaos quantique, où même sans désordre une dynamique chaotique peut conduire à la localisation des fonctions d onde ( localisation dynamique ). Ces questions se retrouvent dans le problème plus général des effets combinés de l interaction et du désordre dans les systèmes à plusieurs corps. L étude du chaos induit par l interaction a été également menée dans un cadre différent, mais riche d applications futures. Depuis quelques années, l idée de construire un ordinateur quantique a attiré un grand intérêt. En effet, grâce au parallélisme quantique certains problèmes peuvent être simulés exponentiellement plus vite que sur un ordinateur classique. Un ordinateur quantique est représenté par un ensemble de qubits (systèmes à deux niveaux). Des expériences récentes ont permis de construire des systèmes de quelques qubits sur lesquels les opérations essentielles du calcul quantique ont pu être effectuées. Un tel système en présence d imperfections (interaction résiduelle entre les qubits), est susceptible de devenir chaotique. Nous avons étudié dans un premier temps les conséquences de ce phénomène sur l opérabilité d un ordinateur quantique réaliste [1]. Ces études se sont poursuivies, en parallèle avec l étude en particulier numérique des effets d autres types d erreurs comme un bruit aléatoire dans les portes quantiques (correspondant à une imprécision lors de l implémentation expérimentale de ces portes) et des erreurs non unitaires correspondant à la décohérence. Ces différents travaux permettent d identifier l importance des différentes sources d erreur et leur effet sur le calcul quantique. Une autre direction de recherche récente liée à ce domaine est l élaboration et la simulation d algorithmes quantiques permettant de simuler des systèmes physiques. En particulier, des algorithmes quantiques ont été construits permettant de simuler des modèles extrêmement riches présentant du chaos quantique [2]. L étude de l effet des imperfections sur de tels algorithmes permet de préciser la fiabilité et l utilité des ordinateurs quantiques. Ces études nécessitent de travailler dans des espaces de Hilbert de large dimensionalité pour atteindre des tailles de système raisonnables et demandent de plus une moyenne sur le désordre. Les simulations numériques permettent également de déterminer la précision des résultats d un algorithme quantique donné. Les outils informatiques de CalMiP sont particulièrement bien adaptés à ce type de simulations. Les simulations numériques sont également utiles dans l étude de questions plus générales d information quantique liées aux algorithmes, comme l étude de l intrication, de l interférence ou de la mesure quantique. De tels travaux permettent d avoir une meilleure compréhension des sources de l efficacité et de l originalité du calcul quantique, permettant d en construire de nouvelles applications originales. Enfin, de nouvelles directions de recherche ont été initiées dernièrement. Elles concernent l étude du chaos quantique et de l information quantique dans un contexte de physique atomique, et également l application de ces techniques aux matrices décrivant un réseau dans l algorithme de Google. Dans ces deux domaines, des simulations numériques extensives sont importantes pour valider les résultats théoriques et atteindre une taille raisonnable de système.

2 ACTIVITES JUSQU AU 30/11/2013 Les principaux résultats obtenus ont donné lieu à 10 articles publiés ou soumis en 2013 dans des revues internationales. Nous présentons ci-dessous une sélection de ces résultats. Calcul quantique Un algorithme quantique spécifique avait été développé, permettant un gain de temps exponentiel sur la simulation du rotateur pulsé (un des modèles principaux du chaos quantique) [2]. Ce modèle est extrêmement riche, car non seulement il permet d étudier les phénomènes liés au chaos quantique, mais il modélise egalement la physique des atomes de Rydberg, permettant des comparaisons avec les résultats expérimentaux. De plus, il présente un phénomène de localisation similaire à la localisation d Anderson dans les solides, si bien que son étude permet de comprendre également la physique des électrons dans un système désordonné. Ce travail avait été remarqué par un article de presse dans la version internet de la revue Nature. Le groupe de D. Cory au MIT (Cambridge, USA) a récemment implémenté une application chaotique très voisine proposée également par notre groupe (application sawtooth ) sur trois qubits en utilisant les techniques de resonance magnétique nucléaire [3]. Dans ce domaine, nous nous sommes intéressés en 2013 à des ensembles universels de canaux quantiques. Il est bien connu qu il existe un ensemble de transformations élémentaires qui génère les transformations unitaires et est à la base du modèle des circuits quantiques pour le calcul quantique. Cependant, si on veut généraliser ce résultat à des transformations plus générales qui sont possibles dans les systèmes ouverts, cela devient bien plus difficile. Nous avons pu construire un ensemble universel pour le cas le plus simple-celui correspondant à un seul qubit, et avons pu montrer que notre ensemble est essentiellement minimal. Ces résultats sont exposés dans [13] Physique atomique Une nouvelle direction de recherche a été initiée récemment, qui étudie plus particulièrement les effets du chaos quantique et l information quantique dans des systèmes accessibles expérimentalement, en particulier en lien avec les progrès récents dans la manipulation d atomes froids et de condensats de Bose-Einstein. Nous avons entamé une collaboration avec des expérimentateurs toulousains (équipe de D. Guéry-Odelin au laboratoire CAR), sur les lasers à atomes. Ces expériences font se déplacer sur plusieurs millimètres des ondes de matière cohérentes et les font interagir avec des potentiels optiques. En 2013, nous avons étudié en détail un montage expérimental correspondant à un condensat de Bose-Einstein d atomes se propageant dans un réseau optique avec une enveloppe lisse. L enveloppe rend les lacunes dans le spectre ( gaps en anglais) dépendantes de la position, si bien qu il est possible de construire l équivalent de cavités par ce procédé, que nous appelons cavités de bragg par analogie avec la diffusion de Bragg sur un réseau. Le bord de la cavité correspond à un miroir de réflectivité finie et qui dépend de la vitesse. Guidés par les simulations numériques, nous avons pu observer expérimentalement les oscillations du paquet d onde dans la cavité et la sortie par effet tunnel d une partie du paquet d onde dans des fenêtres étroites de vitesse (voir la Figure). Cette technique peut générer des effets tunnel pour ondes de matière dont la probabilité de transmission est modulable. Ces travaux sont exposés dans [5]. Nous avons en parallèle réalisé expérimentalement un système d atomes froids équivalent aun modèle d Anderson 3D de physique du solide, où l anisotropie peut être contrôlée en ajustant un paramètre expérimentalement accessible. Cela permet d étudier expérimentalement le diagramme de phase désordre/anisotropie de la transition métal-isolant d Anderson. Les données numériques ont permis de guider et confirmer les résultats expérimentaux. Ces résultats sont exposés dans [6]. Etude d un cristal de Wigner dans des nanocanaux Le cristal de Wigner correspond à un état de la matière où de très fortes interactions mènent à une phase ayant des propriétés similaires à celles d un cristal. Nous avons étudié dans [14] la thermoélectricité dun cristal de Wigner, et avons montré qu elle dépend de la phase où se trouve le système. En effet, à basse température il existe deux phases différentes séparées par une transition, aux propriétés thermoélectriques différentes. Ces résultats pourraient permettre de déterminer des régimes optimaux pour la thermoélectricité. Etude des états quantiques multifractals Il a été montré dans le cadre de la théorie de la localisation d Anderson qu une transition existait en dimension trois entre une phase localisée (états localisés: le système est isolant) et une phase délocalisée (états étendus: les système est conducteur). A la transition, les états quantiques présentent des propriétés particulières: les statistiques de niveaux d énergie sont d un type original, et les fonctions d onde ont des fluctuations spécifiques, qui correspond à une distribution multifractale. De tels états ont été observés expérimentalement avec des atomes froids ou des ondes acoustiques très récemment, et sont aussi présents dans des systèmes pseudo-intégrables où des constantes du mouvement existent, mais où la dynamique a lieu sur des variétés plus complexes que les tores caractéristiques des systèmes intégrables. Ce nouveau type d états quantiques est encore mal compris et caractérisé. Dans [7] nous avons étudié en détail la propagation de paquets d onde dans des systèmes simples dont les états stationnaires sont multifractals. Ceci a permis de montrer que les paquets d onde, qui sont observables expérimentalement, ont une multifractalité propre reliée à celle des états stationnaires mais différente, et qui dépend du temps de propagation. Ce travail permet de se rapprocher plus étroitement des observables expérimentales.

3 Ò ØÝ Ö ºÙÒ Ø µ Ò ØÝ Ö ºÙÒ Ø µ tprop(ms) ¾ µ β α ½ º tprop(ms) ¾ µ ½ º ¹ x(µm) Figure 1: Exemple de simulations correspondant à l évolution d un paquet d onde au cours du temps dans un réseau optique (l axe vertical est le temps, l axe horizontal la position). En haut: expérience avec des atomes froids, en bas: simulation avec les mêmes paramètres. Tiré de [5].

4 Délocalisation pour les matrices de Google Très récemment, nous avons appliqué les méthodes de systèmes localisés de physique du solide à l étude du World Wide Web. En effet, l algorithme de Google qui permet de classer les sites par ordre de popularité correspond au calcul d un vecteur propre d une très grosse matrice représentant le réseau. Nous avons montré que l utilité de l algorithme exigeait que ces vecteurs aient des propriétés de localisation. Nous avons également montré que pour certains types de réseaux, ce vecteur pouvait devenir délocalisé, rendant l algorithme de Google inopérant [4]. Ces techniques ont aussi permis d appliquer l algorithme de Google à des systèmes dynamiques [11]. Nous avons également appliqué les techniques de classement de l information issues de l algorithme de Google à de nouveaux systèmes, comme le réseau des appels de procédure du noyau de LINUX ou le réseau des liens de Wikipedia. Ces travaux permettent de mieux comprendre comment ces réseaux sont structurés, et comment les algorithmes des moteurs de recherche peuvent être améliorés pour tenir compte des spécificités de chaque réseau. En , nous avons étudié de nouveaux types de réseaux dirigés. En premier, nous avons étudié les jeux de société du point de vue de la théorie des réseaux. Nous nous sommes concentrés sur l un des plus complexes d entre eux, le jeu de go, et avons construit un réseau décrivant les successions de coups en utilisant un regroupement adapté des positions par leur situation locale. Nous avons ensuite étudié ce réseau pour différentes bases de données de jeux entre amateurs et professionnels. Nous avons montré que ce réseau possède des spécificités, en particulier certaines symétries absentes de la plupart des autres réseaux dirigés. Les vecteurs propres de la matrice de Google semblent isoler des groupes de coups correspondant à certaines stratégies, et donnent donc accès à des informations importantes permettant d aider à la modélisation informatique de ce jeu. Ces résultats ont été exposés dans [8]; cette publication a été choisie par les éditeurs de Europhysics Letters comme Editor s Choice. Nous avons également construit le réseau correspondant à l encyclopédie en ligne Wikipedia. L algorithme du PageRank de Google appliqué à ce réseau permet de définir une matrice de Google, dont les valeurs propres et vecteurs propres permettent d identifier des communautés distinctes d articles correspondant à des thématiques bien définies [9]. Nous avons également étudié l évolution temporelle de ce réseau à partir d images archivées à différents moments. L étude a été conduite pour les éditions entre 2003 et 2011, et a montré que le réseau se stabilisait à partir de Les différentes alternatives au PageRank de Google pour hiérarchiser les sites d un réseau ont été également testées sur ce réseau, montrant que différentes quantités correspondent à différentes manières de comparer les sites. Nous avons également étudié le réseau des citations entre les articles publiés dans Physical Review entre 1893 et Les valeurs propres de la matrice Google ont été déterminées par des méthodes numériques raffinées fondées sur des calculs à très grande précision (jusqu à bits). Ce réseau est particulier en raison de l existence d une direction temporelle claire, les articles se citant très préférentiellement dans l ordre chronologique(à quelques exceptions près). Les propriétés mathématiques de la matrice google ont été étudiées et comparées aux résultats numériques, permettant de comprendre les propriétés originales de ce réseau. Un nouveau concept d impactrank a été défini, permettant d évaluer l impact d un article à partir des propriétés du réseau. Ces travaux sont exposés dans [12]. Nous avons enfin utilisé ces methodes pour étudier les systèmes dynamiques classiques. Nous avons décomposé l espace des phases d un tel système en petites cellules et construit un réseau en étudiant les trajectoires d une cellule vers une autre. Les méthodes numériques développés pour les réseaux permettent de jeter un jour nouveau sur des problèmes importants de dynamique classique comme la statistique des retours de poincaré. Ces travaux sont exposés dans [10]. Les résultats obtenus sont exposés plus en détail dans les publications [5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14]. Ce projet interdisciplinaire a produit des résultats importants, conduisant à 10 articles publiés ou soumis en 2013 dans des revues internationales. Les résultats obtenus ont été reconnus au niveau de l Europe (dans le cadre du programme EC FET Open, projet NADINE) et par l obtention d un projet du LABEX Next. Enfin, le projet OMASYC, qui étudie conjointement avec le groupe expérimental de David Guéry-Odelin les lasers à atomes interagissant avec des potentiels modulés, a été classé premier par l Université Paul Sabatier en 2011 parmi ses projets scientifiques prioritaires et a permis à deux étudiants en thèse d être recrutés en 2012 sur ces thèmes. Cependant, la complexité et l importance des problèmes abordés requièrent plusieurs années d étude. References [1] B. Georgeot et D. Shepelyansky, Quantum chaos border for quantum computing Phys. Rev. E v. 62 (2000) 3504; Emergence of quantum chaos in the quantum computer core and how to manage it Physical Review E v. 62 (2000) 6366; D.L.Shepelyansky, Quantum chaos and quantum computers Nobel Symposium on Quantum Chaos Y2K, June 2000, Sweden, Physica Scripta v. T90 (2001) p [2] B.Georgeot and D.L.Shepelyansky, Exponential gain in quantum computing of quantum chaos and localization, Phys. Rev. Lett. v. 86 (2001) p

5 [3] Michael K. Henry, Joseph Emerson, Rudy Martinez and David G. Cory, Study of localization in the quantum sawtooth map emulated on a quantum information processor, Physical Review A, 74, , (2006). [4] O.Giraud, B.Georgeot and D.L.Shepelyansky, Delocalization transition for the Google matrix, Phys. Rev. E v.80, p (2009) [5] Pierrick Cheiney, Franois Damon, Gabriel Condon, Bertrand Georgeot and David Guery-Odelin, Realization of tunnel barriers for matter waves using spatial gaps, Europhysics Letters 103, (2013) (arxiv: preprint ). [6] Matthias Lopez, Jean-Franois Clément, Gabriel Lemarié, Dominique Delande, Pascal Szriftgiser, Jean Claude Garreau, Phase diagram of the Anderson transition with atomic matter waves, New Journal of Physics 15 (2013) [7] Ignacio Garcia-Mata, John Martin, Olivier Giraud and Bertrand Georgeot Multifractality of quantum wave packets, Physical Review E 86, (2012) (arxiv: preprint ). [8] B.Georgeot and O.Giraud, The game of go as a complex network, Europhysics Letters 97, 68002(2012)(selected as editors choice). [9] L.Ermann, K.M.Frahm and D.L.Shepelyansky, Spectral properties of Google matrix of Wikipedia and other networks, Eur. Phys. J. B v.86, p.193 (2013) (arxiv: [cs.ir]). [10] K.M.Frahm and D.L.Shepelyansky, Poincare recurrences and Ulam method for the Chirikov standard map, Eur. Phys. J. B v.86, p.322 (2013) (submitted 12 Feb 2013) (arxiv: [nlin.cd]) [11] Y.-H.Eom, K.M.Frahm, A.Benczur and D.L.Shepelyansky, Time evolution of Wikipedia network ranking, submitted EPJB 24 April 2013 (arxiv: [physics.soc-ph]) [12] K.M.Frahm, Y.-H.Eom and D.L.Shepelyansky, Google matrix of the citation network of Physical Review, submitted to Phys. Rev. E 21 Oct 2013 (arxiv: [physics.soc-ph]) [13] Daniel Braun, Olivier Giraud, Ion Nechita, Clement Pellegrini, Marko Znidaric, A universal set of qubit quantum channels, submitted (2013). [14] O.V.Zhirov and D.L.Shepelyansky, Thermoelectricity of Wigner crystal in a periodic potential, Europhys. Lett. v.103, p (2013) (arxiv: [cond-mat.mtrl-sci]

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