LES MILIEUX GRANULAIRES. Entre uide et solide. Olivier Pouliquen, 2001.

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1 LES MILIEUX GRANULAIRES Entre uide et solide Olivier Pouliquen,

2 Ce manuscrit est issu d'un cours donn l'ensta, Ecole Nationale des Techniques Avanc es Paris, ainsi que d'un cours donn L'Institut Universitaire des Sysat mes Thermiques et Industriel dans le cadre de l' cole doctorale M canique, Physique et mod lisation de l'universit de Provence Marseille. Je remercie Maxime Nicolas pour sa patiente relecture et encourage les lecteurs me faire part de tout commentaire ou relev d'erreur 2

3 Table des mati res 1 Introduction D nition et exemples de milieux granulaires Sp cicit s et dicult s des milieux granulaires Interactions entre particules R le de l'air environnant Forces tangentielles : la friction Lois d'amontons-coulomb Coll -gliss ou Stick-slip Probl me d'ind termination Force normale : la loi de Hertz Collisions entre deux particules : le coecient d'in lasticit Autres interactions Statique des milieux granulaires Empilements de particules Fraction volumique Empilements de sph res monodisperses Empilement de sph res bidisperses Forces dans les empilements D nition des contraintes Distribution des contraintes dans un silo : mod le de Janssen Probl mes ouverts Plasticit Mat riau id al de Mohr-Coulomb D nition Cercle de Mohr tats limites de Rankine ou du bulldozer au mur de soutainement R le de la fraction volumique

4 4.2.1 Mod le microscopique de la friction macroscopique Dilatance de Reynolds Vers des mod les plus complexes Ecoulements rapides de grains Introduction Exemples d' coulements collisionnels Analogie et di rence avec un gaz Th orie cin tique des milieux granulaires: le mod le de Ha Hypoth ses et quations de base Calcul heuristique des coecients de transport La sp cicit du gaz granulaire: le couplage temp rature- coulement Application au cisaillement simple: exp rience de Bagnold Exemple de convection granulaire R le de la dissipation Le refroidissement homog ne instabilit d'amas L'eondrement in lastique Exemple: les milieux vibr s Conclusion sur la th orie cin tique Ecoulements denses Ecoulements sur une pente Equations moyenn es dans l' paisseur Loidefriction Applications en G ophysique Ecoulements sur un tas Notion d'angle maximum de stabilit et de repos Approches moyenn es dans l' paisseur S gr gation S gr gation sous vibrations S gr gation en coulement S gr gation en tambour

5 Chapitre 1 Introduction 1.1 D nition et exemples de milieux granulaires. Dans ce cours on appellera milieu granulaire un milieu form d'une collection de particules macroscopiques de taille sup rieure 100 m. Comme nous le verrons dans le chapitre 2, cette limitation sur la taille des particules corresponds une limitation quand aux types d'interactions existant entre les grains : nous nous int resserons des assembl es de grains non browniens qui interagissent par contact. Les mat riaux granulaires se retrouvent dans de nombreux secteurs industriels ainsi que dans de nombreux probl mes g ophysiques. Dans l'industrie les principaux secteurs manipulant des granulats sont les suivants: activit mini re (l'extraction des minerais, transport, broyage..) le b timent et le g nie civil (b ton, bitume, remblais... ) industrie chimique (les combustibles et catalyseurs sont souvent sous forme de grains pour maximiser les surfaces d' change) industrie pharmaceutique (manipulation des poudres pour la fabrication des m dicaments, manipulations des m dicaments) agroalimentaire (c r ales, aliments pour animaux... ). Dans tous ces secteurs se posent des probl mes de stockage (Fig. 1.1a), de transport, d' coulement, de m lange, de transformation (broyage) auxquels les industriels ont r pondus par des proc d s astucieux mais souvent empiriques. 5

6 Un autre domaine ou les milieux granulaires sont omnipr sents est la g ophysique, le sol tant principalement un milieu form de grains. Parmi les situations mettant en jeu des milieux divis s on trouve: les dunes les avalanches de roches, glissements de terrain les coulements pyroclastiques lors des ruptions volcaniques (Fig.1.1b) les avalanches de neige (la neige tant un milieu granulaire tr s particulier pouvant subir des changements de phase) les anneaux de Saturne qui sont form s de gros blocs de glace. La description de ces v nements et la pr diction de catastrophes comme les glissements de terrains n cessitent un bonne compr hension des propri t s d' coulements de ces milieux form s de particules. a) b) Fig. 1.1 Les milieux granulaires sont pr sents dans de nombreuses activit s industrielles ainsi qu'en g ophysique a) eondrement d'un silo. b) coulement pyroclastique, Montserrat (Antilles). 1.2 Sp cicit s et dicult s des milieux granulaires. Malgr leur pr sence dans tous ces domaines industriels et g ophysiques, les milieux granulaires r sistent encore pour bien des points notre compr hension et description et font l'objet d'intenses recherches [2, 3, 4, 5, 6]. 6

7 Nous ne poss dons pas l'heure actuelle de th orie ou quations constitutives qui permettraient de d crire l'ensemble des comportements observ s avec ces mat riaux. On peut essayer de dresser une liste des dicult s que pose une telle description : Le grand nombre departicules: une cuill re de sucre contient en gros 10 5 particules. Un des buts va donc tre de d crire les quantit s moyennes et de voir s'il est possible de d crire le milieu comme un milieu continu. Les uctuations thermiques sont n gligeables [3]: dans le cas des gaz ou liquides, c'est la pr sence de uctuations thermiques qui permet en physique statistique de passer de l' chelle microscopique des mol cules l' chelle macroscopique. Les uctuations permettent au syst me d'explorer di rentes congurations sur lesquelles on moyenne pour trouver les quantit s macroscopiques. Pour un milieu granulaire, les uctuations thermiques sont n gligeables. Les grains sont trop gros pour subir un mouvement Brownien. Pour s'en convaincre on peut comparer les ordres de grandeur des nergies typiques en jeu pour une bille de verre (densit =3g/cm 3 ) de diam tre d=1 mm, avan- ant une vitesse v=1cm/s une temp rature T =300K. Alors l' nergie thermique est E th = kt = 4:10 ;21 J. L' nergie potentielle typique est donn e par un d placement vertical de l'ordre de la taille de la particule E p = mgd =8:10 ;10 J. L' nergie cin tique typique est E c =1=2mv 2 =8:10 ;11 J. La taille partir de laquelle les uctuations thermiques jouent un r le est 1 m. La granularit est observable : en comparaison avec les gaz ou liquides mol culaires, la s paration des chelles entre microscopique et macroscopique est assez oue pour un milieu granulaire. Par exemple sur un tas de sable on observe des coulements sur des paisseurs de l'ordre de la dizaine de grains. Cette mince s paration d' chelles pose des questions pour la d nition d'un milieu continu et d'un volume l mentaire repr sentatif. Les interactions de contact sont complexes : l' chelle microscopique les contacts entre grains mettent en jeu des ph nom nes non triviaux comme la friction, l'in lasticit lors des chocs (voir Chap. 2). le milieu est fortement dissipatif : Un milieu granulaire est un milieu qui dissipe tr s facilement l' nergie. Une boule de p tanque l ch e dans un bac de sable ne rebondit pas, toute l' nergie cin tique est dissip e par collisions et friction entre tous les grains de sable. La pr sence de 7

8 processus dissipatifs l' chelle microscopique est une dicult suppl mentaire dans la description macroscopique. Les milieux granulaires existent sous plusieurs tats : Un milieu granulaire se comporte de fa ons tr s di rentes [7] selon le mode de sollicitation (Fig. 1.2). Un ensemble de grains pos s sur une table peut former un tas statique. Malgr des contraintes de cisaillement pr sentes dans le tas, le milieu reste sans mouvement et se comporte donc comme un solide. Dans ce r gime, le syst me est domin par les interactions de contact entre les grains. A l'autre extr me, si l'on secoue nergiquement un tas de billes, le milieu devient tr s agit avec des particules bougeant dans tous les sens et interagissant par collisions. Dans ce r gime que l'on appelle collisionnel, le milieu ressemble un gaz. Enn entre les deux on observe comme dans un sablier par exemple, des coulements denses, ou les particules interagissent la fois par collision et contacts frictionnels de longue dur e. solide liquide gaz Fig. 1.2 Les milieux granulaires peuvent se comporter comme un solide, un liquide ou un gaz selon le mode de sollicitation. Le plan du cours va suivre cette classication. Apr s une description des interactions entre deux particules (Chap. 2), la premi re partie du cours sera d di e au r gime solide des milieux granulaires. Les propri t s statiques seront discut es au chapitre 3, avant d'aborder la plasticit de ces milieux, c'est dire l' tude du moment o le mat riau se d forme sous l'eet des contraintes ext rieures impos es (Chap. 4). La seconde partie du cours concernera les coulements de grains. Nous commencerons par pr senter le r gime collisionel en se basant sur un mod le simple de th orie cin tique (Chap. 5). Puis un mod le hydrodynamique sera pr sent pour les coulements denses (Chap. 6). Enn les probl mes de s gr gation typiques des milieux granulaires seront discut s au chapitre 7. 8

9 Chapitre 2 Interactions entre particules 2.1 R le de l'air environnant. Dans tous le reste du cours nous allons n gliger l'inuence du uide interstitiel qui dans les situations tudi es est souvent de l'air. An de justier la pertinence de cette approximation, essayons d'estimer le r le de l'air sur le mouvement d'une particule [3]. Consid rons une particule de verre ( par =2:5 g/cm 3 ) de diam tre 1 mm projet dans l'air (densit air =1:210 ;3 g/cm 3, viscosit =1:710 ;5 kg m ;1 s ;1 ) une vitesse de 1 cm/s. On se demande au bout de quelle distance L la particule s'arr tera sous l'eet de la force de tra n e F due la pr sence d'air. L'ordre de grandeur de la distance L se trouve en crivant que le travail de la force de tra n e sur la distance L est gale l' nergie cin tique initiale de la bille: 1 2 mv2 = FL: Le nombre de Reynolds tant gal Re = air vd= air 1, la force de tra n e peut tre estim e par l'expression de la tra n e visqueuse: F =6RV.On trouve alors que L R = parrv 9 qui vaut approximativement 150. La particule parcours donc 150 diam tres avant d' tre frein e par l'air. On n gligera donc par la suite l'inuence de l'air. Il faut toutefois garder en t te, que dans certains cas et en pr sence d' tats m tastables, les forces li es l'air peuvent fortement aecter la dynamique du syst me. C'est le cas du sablier oscillant [8]. Lorsqu'une poudre ne s' coule dans un sablier ferm, la d pression induit par le vidage de la chambre du haut et la surpression pr sente dans la chambre du bas induit un faible coulement 9

10 d'air de haut en bas travers le milieu granulaire. Cet coulement, bien que faible, peut sure stabiliser la formation de vo tes au niveau du goulot qui bloque l' coulement. Lorsque la pression des chambres est quilibr e, l' coulement reprend. On observe ainsi un sablier s' coulant par intermittence. 2.2 Forces tangentielles: la friction. La friction solide est un vieux sujet qui conna t l'heure actuelle un regain d'int r t [9]. Pour un milieu granulaire la friction est une notion fondamentale que l'on retrouvera tout au long de ce cours autant au niveau microscopique que macroscopique. A l' chelle des grains, la friction intervient au contact entre deux grains Lois d'amontons-coulomb Les lois macroscopiques empiriques r gissant la friction entre deux solides ont t tablie l'aide d'exp riences de patin glissant sur un solide. Une premi re exp rience r alis e par L onard de Vinci est pr sent e sur la gure 2.1. Trois observations peuvent tre faites sur ce dispositif: 1) La force T s n cessaire pour mettre en mouvement les blocs est identique que les blocs soient pos s l'un cot de l'autre (Fig. 2.1a) ou l'un sur l'autre (Fig. 2.1b): T s est ind pendante de la surface de contact. 2) la force T s d pend lin airement de la force normale (ici le poids total des blocs) 3) La force de friction T d mesur e une fois que le patin glisse est inf rieure la force T s n cessaire pour initier le mouvement. Ces observations conduisent la formulation suivante pour la friction entre deux solides: 1) Partant du repos il faut une force jt s j = s N pour mettre en mouvement le patin. s est le coecient de friction statique, N la force normale. 2) Une fois en mouvement, la norme de la force de friction est gale jt d j = d N. d est le coecient de friction dynamique. 3) s et d sont des constantes ne d pendant que de la nature des mat riaux en contact avec typiquement 1 > s > d > 0:1. Cette description est bien souvent susante pour d crire nombre de ph nom nes. Il convient toutefois de noter que d s =constantes sont des approximations et des ph nom nes comme le vieillissement statique (augmentation de s avec l' ge du contact [11]) ou l'aaiblissement cin tique (diminution de d avec la vitesse de glissement) sont observ e. L'origine microscopique des 10

11 T 1 = T 2 T 1 a) T 2 b) Fig. 2.1 Exp rience de De Vinci. La force n cessaire faire glisser les masses est identique dans les deux situations. Elle est ind pendante de la surface decontact. lois de frictions macroscopiques somme toute assez simples est non triviale et fait l'objet de nombreuses recherches [9] Coll -gliss oustick-slip. En restant dans le cadre de l'approximation de coecients de friction constants il est possible de d crire succinctement un ph nom ne connu de tous ceux qui ont d j entendu un grincement de porte ou un crissement de craie sur le tableau : le ph nom ne de coll -gliss (Stick-slip en anglais) [10, 12]. Consid rons un patin solide pos sur un substrat reli un ressort de raideur k. At =0le ressort est au repos (allongement nul), le patin la position X = 0. On commence tirer l'extr mit du ressort la vitesse V (Fig. 2.2). On appelle T la tension du ressort, F la force de friction, et N = Mg la force normale. M k V x Fig. 2.2 Exp rience typique de coll -gliss. L'allongement est alors = Vt; X. La dynamique s' tablit en deux temps: 1) le patin est l'arr t et ne glissera pas tant que la tension T n'atteint pas la force critique T c = s N.onaalors = Vt jusqu' ce que la force T = k = s N. 11

12 2) Ensuite le patin glisse et la force de friction est alors gale F = d N. L' quation de la dynamique s' crit alors ce qui s' crit en terme d'allongement: m X = k ; d N + k m = d m N: L'allongement oscille donc la fr quence q k=m autour de la valeur d k N. Lors de cette oscillation le patin va repasser par la vitesse nulle (lorsque _ = V ), et on est alors renvoy l' tape 1. Le mouvement r sultant est donc une succession d' tapes coll es o le patin est l'arr t et le ressort s'allonge, et d' tapes gliss es o le patin glisse (Fig. 2.3). C'est ce mouvement p riodique qui est l'origine des grincements de portes et autres bruits d sagr ables g n r s dans les ph nom nes de friction. T=kε µs N glissé glissé collé collé collé µd N Fig. 2.3 Evolution de la tension au cours du temps dans une exp rience de patin frottant. t Probl me d'ind termination Lorsqu'il n'y a pas de mouvement relatif entre deux solides, nous avons vu que la force de friction n'est pas a priori connue. Nous connaissons uniquement une borne sup rieure ( s N). C'est l' quilibre des forces qui permet 12

13 alors de calculer la force de friction. Cependant il existe des situations o les relations d' quilibre ne susent pas d terminer les forces de friction [3]. Il existe alors une ind termination qui ne peut tre lev e que si l'on conna t l'historique du syst me. Un exemple est pr sent sur la gure 2.4. Une bille de rayon R est en quilibre dans un coin. Les forces normales et tangentielles au deux points de contact sont not es N 1, N 2 et T 1, T 2. L' quilibre des forces et moments nous donnent 3 quations: N cos = N 1 + T 2 N sin = N 2 + T 1 R(T 2 ; T 1 )=0: Les contacts tant non glissant on sait que jt 1 j < s N 1 et jt 2 j < s N 2.Ily a donc ind termination avec 3 quations pour 4 inconnues. Pour lever cette ind termination, il faudrait conna tre l'histoire de la bille, c'est dire savoir comment elle a t pos e sur son socle. Ce probl me qui se pose avec une bille va naturellement se poser pour un milieu granulaire. La r partition des forces entre les grains dans un tas de sable par exemple d pend de la fa on dont le tas a t construit. g N 1 N 2 T 1 N T θ 2 Fig. 2.4 L' criture de l' quilibre d'une bille dans un coin ne permet pas de d terminer les forces normales et tangentielles aux contacts. 2.3 Force normale : la loi de Hertz. Consid rons deux billes sph riques en contact sur lesquelles on impose une force F. Au niveau du contact, les deux sph res vont se d former l g rement. On se demande quelle est la relation entre la force exerc e F et l' crasement 13

14 . Sous l'hypoth se que les deux sph res sont lastiques, il est possible de calculer exactement l' tat de contraintes (calcul r alis par Hertz en 1880 alors qu'il avait 23 ans). Nous nous contenterons ici d'un raisonnement approch. Au niveau du contact nous connaissons la relation contrainte-d formation donn e par la loi de Hooke: contrainte= E d formation, o E est le module d'young. La contrainte est de l'ordre de F=a 2 o a est le rayon de surface de contact (Fig. 2.5). Pour estimer les d formations, nous avons besoin de conna tre la taille de la zone aect e par l' crasement. On peut se convaincre que la d formation s' tend autour du contact dans une r gion de rayon a (ce sont les propri t s des quations de l' lasticit qui permettent de justi- er ce raisonnement). L'ordre de grandeur de la d formation est donc =a. On trouve donc: F ' Ea. Or en consid rant le triangle rectangle OAB, on montre que pour de petites d formations, a ' p 2R. On trouve donc que F = k 3=2 p 2RE 3(1; 2 ) avec k ' E p 2R. Le calcul exact de Hertz donne k = o est le coecient de poisson. Bien que l'on ait consid r des mat riaux lastiques, la force ne d pend pas lin airement de l' crasement: plus on appuie, plus le milieu est dur (la raideur augmente). Cela provient du fait que la surface du contact volue au cours de l' crasement. Typiquement pour des sph res de verre de 2mm de rayon, on a k =1:410 9 kg m 1=2 s ;2. Ce qui signie qu'une masse de 1kg appuyant sur les billes corresponds une crasement =3m, donc tr s faible. δ F R O A B 2a F a) b) u 1 u 2 u 2 u 1 Fig. 2.5 a) D formations lastiques au contact entre deux sph res. b) collisions entre deux particules. 14

15 2.4 Collisions entre deux particules : le coecient d'in lasticit. Le raisonnement pr c dent est valide en statique, ou plus pr cis menttant que les vitesses de d formation sont faibles par rapport au vitesse de propagation des ondes lastiques dans le milieu. Lors d'une collision entre deux particules ce n'est souvent pas le cas, et la description des volutions contrainted formation devient un probl me tr s complexe. Nous nous contenterons dans ce cours d'introduire le concept de coecient d'in lasticit ou coecient de restitution e. Consid rons une bille rentrant en collision la vitesse v impact contre un plan. Alors la vitesse apr s rebond sera v rebond = ;ev impact. Cette di rence de vitesse provient de la dissipation d' nergie qui se produit lors du choc. L'origine de la perte d' nergie cin tique est multiple [13]: d formation plastique, rayonnement en ondes de surface, en modes de vibration propres de la bille...lecoecient de restitution est typiquement gal a 0.9 pour de l'acier, 0.6 pour de l'aluminium. Comme pour la d nition des coecient de friction, la propri t e =constante n'est qu'une approximation. Le coecient d pend l g rement de la vitesse d'impact. Mais l'approximation e =constante est suf- sante pour capturer de nombreux ph nom nes. L'existence de dissipation lors des collisions sera au coeur des propri t s des coulements granulaires rapides qui seront pr sent s au chapitre 5. Plus g n ralement lors de la collision entre deux particules comme sur la gure 2.5b, la r gle de collision reliant les vitesses apr s le choc et avant le choc s' crit en prenant en compte l'in lasticit : ~u 0 2 ; u ~ 0 1 = ;e ( ~u 2 ; ~u 1 ) 2.5 Autres interactions D'autres formes d'interactions existent entre les grains. L'humidit introduit de la coh sion entre les grains par la cr ation de ponts capillaires [14]. Des forces lectrostatiques peuvent aussi se rencontrer si les particules sont charg es ce qui est souvent le cas lorsqu'on les manipule en atmosph re s che. Nous ne traiterons pas de ces milieux dans ce cours. 15

16 Chapitre 3 Statique des milieux granulaires Nous avons vu au chapitre pr c dent les forces d'interactions qui existent entre deux particules. Dans ce chapitre nous nous int ressons une assembl e statique de grains. Dans un premier temps la g om trie des empilements sera discut e avant de s'int resser aux forces et contraintes qui se d veloppent dans l'empilement. 3.1 Empilements de particules Fraction volumique Un param tre important qui caract rise les empilements de particules est la fraction volumique d nie comme le rapport du volume occup par les grains sur le volume total occup par l'empilement. Suivantlemodedefabrication de l'empilement on peut obtenir des empilements l ches (faible ) ou denses. Il existe une continuit d'empilements stables sous gravit avec des fractions volumiques di rentes, qui sont comprises entre un minimum correspondant l'empilement le plus l che et un maximum correspondant l'empilement le plus dense. Un empilement peut voluer d'une conguration une autre si l'on l'excite, par des vibrations par exemple. La compaction sous vibration fait l'objet de nombreuses applications [15] mais aussi de nombreuses recherches fondamentales [16, 17] Empilements de sph res monodisperses Le cas des empilements de sph res de m me taille est certainement le syst me le plus tudi. Non seulement il repr sente le mod le le plus simple d'empilement, mais peut constituer aussi un mod le permettant de comprendre la structure des liquides [18]. Pour ce syst me mod le, on conna t 16

17 les empilements les plus denses qui correspondent aux organisations cristallines r guli res, par exemple cubique face centr e ou hexagonal, pour lesquels =0:74. C'est Kepler qui le premier avait conjectur que ces empilements taient les plus denses que l'on puisse r aliser en empilant des boulets de canon. La d monstration math matique est parvenue bien plus tard en 1998 [19]. Bien que les empilements r guliers correspondent au minimum d' nergie potentiel (les plus denses), ils sont tr s dicile r aliser. Par exemple, si on fait vibrer verticalement un ensemble de billes dans un r cipient pour compacter l'empilement, on atteint une fraction volumique critique =0 64 inf rieure la valeur maximum de 0,74. Cet empilement est appel empilement al atoire le plus dense ou random close packing en anglais [20, 21]. Sous vibrations, le syst me semble bloqu dans cet tat et n' volue pas vers l' tat cristallin qui serait le plus dense. D'autres m thodes de compaction bas es sur des vibrations horizontales permettent cependant de r aliser des empilements plus ordonn, sans avoir placer les billes une une [17]. Par opposition l'empilement al atoire le plus dense, on d nit l'empilement al atoire le plus l che random loose packing qui pour les sph res vaut environ, =0:55 [22]. La d nition de cette limite semble cependant bien moins pr cise que l'empilement al atoire le plus dense Empilement de sph res bidisperses On consid re un m lange de petites et grosses sph res de rayon respectif R p et R g de m me densit. On se demande qu'elle est la fraction volumique du m lange constitu par une masse M p de petites et M g de grosses. On appelle C la concentration massique de grosse billes: C = Mg.Onsuppose Mg+Mp pour pouvoir conduire le calcul que les billes sont de tailles tr s di rentes: R p << R g. On appelle 0 la fraction volumique de l'empilement lorsqu'il n'y a qu'une seule taille de billes ( 0 =0:64 si par exemple on consid re qu'il s'agit d'empilement al atoire de sph res). 1er cas: M p << M g. On consid re un peu de petites particules dans un empilement de grosses. La conguration est alors celle de la gure 3.1a: les petites billes se mettent dans les interstices laiss s par les grosses. La fraction volumique du m lange est gale : volume occupe par les billes = volume occupe par l 0 empilement or le volume occup par les billes est gale (M p + M g )=. Le volume total occup par l'empilement est donn par l'empilement des grosses 17

18 seules (que les petites soient l ou non, l'encombrement reste le m me) et vaut M g =( 0 ). La fraction volumique est donc gale = 0 C : 2 me cas : M p >> M g. On consid re un peu de grosses dans un empilement de petites. La conguration est alors celle de la gure 3.1b. on a alors : volume occup par les billes= (M p + M g )= volume occup par l'empilement= M p =( 0 )+M g = (les grosses ne cr ent pas de vide) On trouve: = 0 1 ; C(1 ; 0 ) : a) b) Fig. 3.1 Cas extr mes d'empilements bidisperses a)un peu de petites b)un peu de grosses. Les deux asymptotes calcul es pr c demment sont pr sent es par les courbes continues sur la gure 3.2a. La fraction volumique est report e en fonction de la concentration de grosse particules. Les points indiquent des mesures exp rimentales r alis es avec di rents rapport de tailles. On observe que lorsque la di rence de taille augmente, les point exp rimentaux se rapproche des courbes calcul es. le point important est qu'un m lange de particules de tailles di rentes permet d'obtenir des empilements de fractions volumiques plus lev es qu'en 18

19 3.2 Forces dans les empilements. On s'int resse maintenant aux forces qui se d veloppent entre les grains lorsque l'on soumet un empilement des contraintes ext rieures. Consid rons l'exp rience de la Fig. 3.3a. Un empilement r gulier de cylindres est contraint par une force F appliqu e sur la paroi sup rieure qui peut se d placer. Les autres parois sont xes. Pour observer les r partitions des contraintes dans le milieu on utilise la technique de photo lasticit. Les cylindres sont en pyrex ou plexiglas, et l'exp rience est plac e entre polariseurs crois s. Si rien ne change la polarisation de la lumi re entre les polariseurs, aucune lumi re ne traverse. Cependant le pyrex ou plexiglas sont des mat riaux bir fringents: leur indice varie avec la contrainte qu'ils subissent. Ils changent donc la polarisation de la lumi re en fonction des contraintes auxquelles ils sont soumis. Les cylindres sous contraintes apparaissent ainsi plus lumineux que les autres sur l'image 3.3b. Cette exp rience nous montre que les contraintes se r partissent de fa on inhomog ne bien que l'empilement soit r gulier. Il existe des lignes de forces, avec des grains supportant des forces importantes, et des grains qui ne sont pas contraints. Ce contraste entre d sordre des forces et ordre apparent de l'empilement s'explique par les imperfections des cylindres. Si tous les cylindres n'ont pas rigoureusement le m me diam tre, le r seau de contact sera d sordonn avec certains grains en contact et d'autres non. Lorsque l'on appuie sur l'empilement certains contact vont se fermer d'autres restant ouverts [23]. Ce d sordre dans la r partition des contraintes dans l'empilement seretrouve dans des empilements d sordonn s. On observe de nouveau des lignes de forces bien marqu es. La statistique de la r partition des forces fait l'objet de nombreux travaux de recherche [24, 25, 26, 27, 28]. 3.3 D nition des contraintes. Les images pr sent es posent la question de la d nition d'un milieu continu quivalent. Est -il possible de d nir un volume l mentaire repr sentatif dans un milieu comme celui de la gure 3.3 pour d nir un tenseur des contraintes partir des forces interparticules? Il est g n ralement admis que sur des volumes de quelques dizaines de particules cette d nition a un sens. On retrouve dans la litt rature [29] g n ralement deux expressions donnant le tenseur des contraintes ~ en fonction des forces entre particules. premi re expression: somme surfacique 20

20 M a) b) Fig. 3.3 Exp rience de photo lasticit [23]. On consid re un volume l mentaire V d limit par une surface passant par des points de contacts entre particules num rot es. Soit ~ x la position du contact et ~ f la force qui s'exerce de l'ext rieur sur l'int rieur du volume (Fig. 3.4a). Alors le tenseur des contraintes ~ est donn par:. ij = 1 V X 2 f i x j (3.1) expression volumique On consid re le volume V et l'ensemble des points de contact l'int rieur du volume (Fig. 3.4b). On d nit ~ l le vecteur reliant le centre des 2 particules en contact en ainsi que ~ f la force s'exer ant en ce point d'une particule sur l'autre (dans le sens de ~ l ). Le tenseur des contraintes est alors donn par la formule suivante: ij = 1 V X 2V f i l j : (3.2) Ces d nitions des contraintes ne sont valables qu'en statique. Lorsque les grains bougent, il faut tenir compte des transferts de quantit de mouvement travers la surface. 21

21 V Σ fβ lβ fβ Ο Xβ a) b) Fig. 3.4 D nition des contraintes partir des forces inter-particules par moyenne a) sur une surface b) dans un volume. 3.4 Distribution des contraintes dans un silo : mod le de Janssen. Janssen en 1895 s'est int ress aux contraintes qui se d veloppent dans un silo. Consid rons un tube cylindrique de diam tre D rempli d'un milieu granulaire de densit. On se demande quelle est la pression qui s'exerce au fond du r cipient en fonction de la hauteur de grains dans le silo. Pour eectuer son calcul, Janssen a r alis trois hypoth ses: (1)- On suppose la contrainte verticale zz uniforme dans la section du cylindre. (2)- Le milieu frotte sur les parois lat rales et se trouve sur le point de glisser: il existe alors une contrainte tangentielle dirig e vers le haut = xx ou est le coecient de friction paroi-grains, et xx est la contrainte normale horizontale au niveau des parois. (3)- La contrainte normale horizontale est proportionnelle la contrainte normale verticale: xx = K zz o K est une constante. Notons que pour un uide la pression est isotrope et on aurait K =1. Avec ces hypoth ses, on peut crire l' quilibre d'une tranche de mat riau d' paisseur dz qui est soumise aux pressions du dessus et du dessous, aux contraintes lat rales et la gravit (Fig. 3.5a): 22

22 D 2 D 2 zzjz ; zzjz+dz ; Ddz + gdz 4 4 qui en utilisant les hypoth ses 2 et 3 devient: d zz dz =0 4K = g ; D zz: (3.3) L' quation 3.3 s'int gre sachant que la contrainte est nulle la surface en z =0. On trouve ainsi la r partition de contrainte verticale: zz = g 1 ; e ;z= (3.4) D avec = est une longueur caract ristique. pour des valeurs typiques 4K de ' 0:5 et des valeurs de K ' 1: on a ' 2D. La solution 3.4 est repr sent e sur la Figure 3.5b: pour z << : la pression augmente lin airement comme zz correspondant au cas hydrostatique d'un uide classique. = gz pour z>>: la pression sature et devient constante zz = g Le r sultat important est la saturation observ e aux fortes profondeurs. Cela signie qu'une fois d pass la hauteur, tout ajout de mat riau dans le silo n'aectera pas la pression au fond: le surplus de poids n'est pas transmis au fond mais est support enti rement par la friction sur les parois. Les exp riences de mesures de pression montre bien la saturation pr vue par le simple mod le de Janssen. Si la saturation en pression est un ph nom ne robuste, il faut noter que de fortes uctuations peuvent tre exp rimentalement mesur es et qu'il existe une forte d pendance avec les conditions de remplissage [30]. Le simple mod le de Janssen permet de comprendre qualitativement les propri t s de vidange d'un silo ou d'un sablier. On observe en eet que la vitesse de vidange d'un sablier est ind pendante de la hauteur de sable et ne d pend que du diam tre du col d contrairement un coulement d'eau [1]. Cela s'explique simplement par le fait que la pression au niveau du trou qui contr le l' coulement est ind pendante de la hauteur de grains. Il est alors possible de raisonner par analyse dimensionnelle pour trouver la vitesse de vidange. La hauteur h de mat riau n'intervient pas, et si les grains sont petits devant l'ouverture, leur taille n'intervient pas non plus. La seule longueur pertinente restante est le diam tre d'ouverture D : il vient alors que la vitesse de vidange est de l'ordre de v = p gd. 23

23 D 0 0 λ ρgλ σ zz z a) b) z Fig. 3.5 Mod le de Janssen de contrainte dans un silo. 3.5 Probl mes ouverts. Dans certains cas et sous certaines hypoth ses comme les hypoth ses de Janssen il est donc possible d'avoir une id e de la r partition des contraintes dans un empilement statique. Dans d'autres situations on ne conna t pas la distribution des contraintes. La seule chose que l'on connaisse c'est la relation d' quilibre des contraintes : deux dimensions par exemple on =0 qui nous donne deux quations pour trois inconnues. Un cas qui a connu un int r t ces derniers temps est la conguration du tas de sable [31, 32]. Quelle est la r partition de contraintes la base d'un tas de sable? Contrairement l'intuition, la contrainte peut tre minimum sous le sommet du tas. Des exp riences r centes montrent qu'en fait la r partition des eorts d pend de l'histoire de la construction du tas [30]. Le trou sous le 24

24 tas s'observe si le tas est cr partir d'un point xe mais dispara t si on le construit en pluie (Fig. 3.6). σzz σzz Fig. 3.6 La contrainte sous un tas d pend du mode de construction. 25

25 Chapitre 4 Plasticit Dans ce chapitre nous abordons la question des contraintes maximum que peut supporter un milieu granulaire sans se d former. Peut on pr dire quand et comment un milieu granulaire sous contrainte va c der? Ces questions qui sont fondamentales par exemple pour qui veut construire un dice constitue l'essentiel des tudes en m canique des sols. Nous n'aborderons ici que le mod le le plus simple de plasticit : le mat riau de Mohr Coulomb [34]. 4.1 Mat riau id al de Mohr-Coulomb D nition Le mod le de Mohr Coulomb est un des premiers mod les introduit pour d crire le comportement des milieux granulaires sous contraintes. Il s'exprime par un crit re de rupture sur les contraintes uniquement etsebasesurle concept de friction: D nition: Le mat riau id al de Mohr-Coulomb est d ni par le crit re de rupture suivant: Le milieu va c der au point P, si il existe en ce point un plan rep r par sa normale ~n selon lequel on a jj = (4.1) o et sont les contraintes normale et tangentielle au plan ~n, et est le coecient de friction du mat riau. Le mat riau de Mohr Coulomb est donc d ni par une simple loi de friction. L'id e qu'un milieu granulaire se comporte comme un milieu frottant provient par exemple de l'observation d'un tas de grains. La pente du tas ne 26

26 peut tre sup rieure une valeur critique souvent nomm l'angle de talus. Une tranche de mat riau la surface se comporte donc un peu comme un patin frottant, s' coulant au dessus d'un angle critique, et restant immobile en dessous. La tangente de l'angle du talus donne une id e de la valeur du coecient de friction. La di rence entre le milieu granulaire et le patin frottant r side dans la non connaissance priori du plan de glissement. Le milieu granulaire sous contraintes peut c der dans toutes les directions. Pour savoir si le milieu va c der il faut donc tester en un point toutes les orientations possibles et voir si le crit re de rupture est atteint. Consid rons par exemple la conguration du test biaxial: un chantillon de milieu granulaire est contraint lat ralement par une contrainte xx et verticalement par une contrainte zz (Fig. 4.1a). Initialementona zz = xx.puis on augmente lentement la contrainte vertical zz. Quand le mat riau va-t-il c der? Ce test est couramment pratiqu en g nie civil en g om trie cylindrique. Une carotte de sol est pr lev e, plac e dans une membrane. l' chantillon est plac entre deux parois qui applique un pression verticale zz,le tout tant contenu dans un bain d'eau qui applique une pression radiale rr. Ce test permet de mesurer les propri t s du mat riau. Nous allons traiter le probl me biaxial (Fig. 4.1a) dans le cadre du mod le de Mohr Coulomb. On suppose que l' tat de contraintes est homog ne dans l' chantillon. La g om trie nous indique que Ox et Oz sont des directions principales du tenseur des contraintes dans le mat riau. Le tenseur des contraintes dans le rep re (Ox Oz) s' crit donc simplement:! ~ = xx 0 (4.2) 0 zz D'apr s le crit re de rupture, pour savoir si le mat riau c de il faut tester sur toutes les orientations possibles si la relation 4.1 est v ri e. Le cercle de Mohr nous donne la r ponse Cercle de Mohr Consid rons une surface unitaire dans le milieu indic e par la normale ~n et inclin e d'un angle par rapport l'horizontale (Fig. 4.1b). Pour tester la relation 4.1 il faut calculer la force tangentielle et la force normale qui s'exerce sur cette plaque, connaissant le tenseur des contraintes ~. La force ~f sur la plaquette unitaire est donn e par ~ f = ~ ~n soit: f x = xx sin (4.3) 27

27 σ zz σ xx σ xx τ θ σ f n σ zz a) b) Fig. 4.1 a) principe du test biaxial. b) calcul des contraintes sur une plaquette. f y = ; yy cos : (4.4) Pour trouver la contrainte normale et tangentielle la plaquette il sut de changer de rep re et projeter ~ f dans le rep re li la plaquette (Fig. 4.1b) Par convention est positif en compression, et est positif s'il fait tourner la plaquette dans le sens horaire. Alors on a simplement: = f x sin() ; f y cos() (4.5) = f x cos() +f y sin(): (4.6) En substituant les expressions de f x et f y (4.4) dans (4.6) on trouve nalement: = 0 + r cos(2) = ;r sin(2) (4.7) avec 0 = 1 2 ( xx + yy ) r = 1 2 ( yy ; xx ) Les quations 4.7 nous donnent l'expression de la force normale et tangentielle sur la plaquette unitaire. Lorsque l'on fait tourner la plaquette, 28

28 et d crivent un cercle de rayon r et de centre 0 : on l'appelle le cercle de Mohr (Fig. 4.2a). Pour trouver les forces sur la plaquette inclin e il sut de consid rer le point sur le cercle qui forme un angle de ;2 avec le point C. Ainsi par exemple, le point B correspond la plaquette orient e =4, le point D la plaquette orient e 3=4. Notons que la force tangentielle est maximum pour les deux plaquettes orient es 45 o des axes principaux. Nous avons raisonn e avec les axes Ox et Oz tant les axes principaux mais la g n ralisation est imm diate pour d'autres situations: le tenseur des contraintes est toujours repr sent par un cercle avec le point A (resp. C) ayant pour abscisse min (resp. maj ) la contrainte principale mineure (resp. majeure). Un point sur le cercle correspond aux forces sur une plaquette inclin e de par rapport l'axe principal mineur, ou 0 par rapport l'axe principal majeur. Connaissant maintenant les contraintes sur les plaquettes unitaires, nous pouvons tester les crit res de rupture de Mohr-Coulomb. Dans le plan de Mohr (, ) le crit re de rupture est simplement deux droites de pente o est le coecient de friction que nous crirons aussi dans la suite comme la tangente d'un angle de friction tel que = tan(). τ τ B C A σ min 2θ σ o D -2θ C σ maj θ θ σ O δ σ xx 2θ O σzz σ a) b) Fig. 4.2 a) Cercle de Mohr. b) Repr sentation du test biaxial par le cercle de Mohr Nous avons donc maintenant en main tous les outils pour tudier le test biaxial. Au tout d but de l'exp rience, l' tat de contrainte est xx = zz. Dans le plan de Mohr, l' tat de contrainte se r duit un point. Puis on augmente la contrainte verticale zz. Le cercle s'agrandit comme sur la gure 29

29 4.2b. Mais le cercle reste en dessous de la ligne de rupture, ce qui signie que quelque soit l'orientation de la plaquette dans l' chantillon, on aura, jj <. Le mat riau r siste donc. Il c dera lorsque le cercle de Mohr devient tangent la droite de rupture i.e. quand pour une orientation on a jj =. On peut alors calculer la valeur de la contrainte verticale la rupture en consid rant le triangle rectangle OO'C. On trouve alors: sin() = r 0 qui donne : yyc = 1 + sin() 1 ; sin()! xx : (4.8) On peut de plus d terminer les plans selon lesquels le milieu c de. Les deux points tangents forment un angle 2 0 = (=2 ; ) sur le cercle de Mohr avec le point A, ce qui signie, qu'ils correspondent des plaquettes orient es ( ; ) de l'axe verticale, c'est dire de l'axe principale majeur. 4 2 La gure 4.3 montre des exemples de rupture de sable sous essais triaxiaux. On observe clairement la rupture un angle inf rieur =4 par rapport la verticale. Le fait que la rupture soit localis e n'est en revanche pas pr dit par le mod le de Mohr Coulomb. La localisation des ruptures en bandes de cisaillement est l'objet de nombreuses tudes [35, 36]. a) b) Fig. 4.3 a) test triaxial. b) Image d'une bande de cisaillement par RMN. 30

30 4.1.3 tats limites de Rankine ou du bulldozer au mur de soutainement. Nous allons appliquer les r sultats pr c dents au probl me d'un mur de soutainement. Un mur est construit pour retenir un milieu granulaire sa gauche (Fig. 4.4a). On se demande quels sont les tats de contraintes sur le mur. Dans ce probl me les axes principaux sont Ox et Oz. La contrainte verticale est donn e par la gravit : zz = gz. On cherche quelles valeurs peut prendre xx qui appuie sur le mur une profondeur z. D'apr s les r sultats pr c dents il est facile de montrer que xx est compris entre deux limites qui correspondent au deux cas extr mes pour lesquels le milieu va c der. La repr sentation dans le plan de Mohr (, ) permet de trouver ces limites. On sait que le cercle repr sentant l' tat de contrainte doit passer par le point (gz,0). Or par ce point passent deux cercles limites tangents aux droites de ruptures, l'un droite l'autre gauche (Fig. 4.4b). Tous les cercles compris entre ces deux extr mes correspondent des tats de contraintes que le milieu peut supporter sans c der. On conclut donc que la contrainte xx est compris entre deux valeurs qui se calculent d'apr s 4.8: 1 ; sin() 1+sin()! zz < xx < 1+sin() 1 ; sin() Les deux tats extr mes appel s tats limites de Rankine sont appel s tat passif pour le cercle droit o xx > zz, et actif pour le cercle de gauche xx < zz. Le cas passif correspond au bulldozer : la paroi pousse sur le sable jusqu' rupture. L' tat limite actif est obtenu lorsque l'on recule la paroi. Le qualicatif de passif ou actif se r f re donc au sable: il est passif lorsqu'on pousse dessus (bulldozer), et actif lorsqu'il pousse (mur qui recule). Dans le cas passif l'axe principal majeur est Ox, les lignes de faille sont donc orient es de ( ; ) par rapport Ox, alors que dans le cas actif, les 4 2 failles sont orient es ( ; ) par rapport Oz (Fig. 4.5a). Un exemple de 4 2 fracture observ e lorsque l'on pousse sur le mat riau ( tat passif) est pr sent sur la Figure 4.5b. 4.2 R le de la fraction volumique Le mod le du mat riau id al de Mohr-Coulomb malgr sa simplicit est assez riche et permet de pr dire raisonnablement des seuils de contraintes et les directions de fractures pour des milieux granulaires. En revanche il ne permet pas de prendre en compte le r le de la fraction volumique de l'empilement qui peut avoir une inuence consid rable sur les propri t s de rupture du mat riau. 31! zz

31 x τ σ xx O σ zz σ xx actif σ xx passif σ z a) b) Fig. 4.4 a) Probl me du mur de sout nement b) Repr sentation dans le plan de Mohr des tats limites de Rankine. a) b) Fig. 4.5 a) Direction des plans de rupture dans les deux tats limites: passif en haut, actif en bas. b) Exp rience de Buldozer Mod le microscopique de la friction macroscopique An de mieux cerner le r le de la fraction volumique, essayons dans un premier temps de comprendre l'origine microscopique du coecient de friction macroscopique d'un empilement. Le mod le qui suit est d Rowe [37]. Consid rons une bille A reposant entre deux billes B et C. La particule A subit une force normale N et une force tangentielle T. On se demande quelle force T faut t-il imposer pour faire bouger la billes A, en supposant qu'il n'y 32

32 a pas de roulement mais seulement glissement entre les billes avec un coef- cient de friction tan(). Ce petit mod le peut tre vu comme l' tude de la r sistance d'un empilement r gulier triangulaire puisqu'il sut de reproduire la gure 4.6a pour cr er un empilement. Si est l'angle que forme le plan de contact entre la bille A et la bille C avec l'horizontale, le probl me est quivalent un coin pos sur un plan inclin un angle (Fig. 4.6b). En projetant les forces N et T dans un rep re li la surface de contact on trouve la force tangentielle F T et normale F N au plan: F T = T cos ;N sin et F N = N cos +T sin. Lors du glissement on a F T = tan()f N ce qui nous donne en terme de N et T : T = tan( + )N: On trouve donc que pour d loger la bille de son trou, il faut exercer une force tangentielle proportionnelle la force normale. Mais le coecient de friction que l'on obtient d pend la fois de la friction entre grains mais aussi de la g om trie de l'empilement. Si l'on reproduit la cellule de la Figure 4.6a pour raisonner sur un empilement r gulier triangulaire, on peut interpr ter tan( + ) comme le coecient de friction macroscopique de l'empilement. Une friction microscopique nulle =0n'implique donc pas une friction macroscopique nulle puisque pour d former le mat riau il reste vaincre l'enchev trement g om trique. Ce petit calcul montre bien que la friction dans un milieu granulaire provient la fois de la friction entre grains et de la g om trie de l'empilement Dilatance de Reynolds Lors de la d formation d'un empilement dense, les grains doivent donc se d senchev trer. Le mouvement relatif des grains va donc induire une diminution de la fraction volumique au cours de la d formation comme sch matis sur la gure 4.7a. Le premier mettre en vidence ce ph nom ne a t O.B Reynolds en 1885 [38]. Son exp rience consiste en une poche lastique pleine de sable surmont e d'un capillaire (Fig. 4.7b). Le tout est rempli d'eau. Lorsque l'on appuie sur la poche, le niveau de l'eau dans le capillaire descend contrairement l'intuition. En appuyant sur la poche on d forme le milieu granulaire. Le milieu se dilate donc et l'eau descend remplir les pores ainsi cr s. C'est le m me ph nom ne qui explique l'ass chement du sable autour des pieds lors que l'on marche sur le sable mouill d'une plage. La d formation produite par le pied induit une dilatation du milieu : l'eau descend remplir les pores nouvellement cr s. Le ph nom ne de la dilatance de Reynolds d pend bien entendu des conditions initiales. Partant d'un empilement l che, les grains n'ont pas 33

33 N F N N T B Α C β T F T β a) b) Fig. 4.6 Mod le de Rowe pour la friction d'un empilement r gulier. a) b) Fig. 4.7 a) Principe de la dilatance dereynolds. b) exp rience dereynolds. se d senchev trer et il n'y a pas de dilatance. Une contractance peut aussi tre observ e comme le montre les exp riences bidimensionelles delafig

34 une loi de plasticit et une r gle d' coulement. La premi re donne le crit re de rupture pour les contraintes fonction de la fraction volumique. La loi d' coulement renseigne sur les d formations qui vont avoir lieu lorsque le seuil de plasticit est atteint. T T N X V X X a) b) Fig. 4.9 a) test en cellule de cisaillement b) volution de la contrainte de cisaillement et de la variation de volume V fonction du d placement pour deux empilements initiaux di rents: trait plein: empilement dense pointill : empilement l che. 36

35 Chapitre 5 Ecoulements rapides de grains 5.1 Introduction Nous avons vu dans les chapitres pr c dents qu'un milieu granulaire peut se comporter comme un solide. Dans cette partie nous allons aborder le r gime gazeux pour lequel le milieu granulaire est tr s agit. Trouver les quations constitutives pour ce r gime a fait l'objet de nombreuses tudes ces 20 derni res ann es [40, 41, 42, 43] Exemples d' coulements collisionnels Deux exemples de milieux granulaires agit s sont pr sent s sur la Figure 5.1. Le premier est obtenu en vibrant verticalement une boite contenant des billes [44]. Le second est un coulement sur un plan inclin : des particules d valent une pente sous l'action de la gravit [45]. Dans les deux cas le milieu ressemble un gaz. Les particules sont tr s agit es, bougent ind pendamment les unes des autres sauf au moment des collisions. Pour d crire la dynamique de ces coulements nous allons donc raisonner sur les collisions entre particules. Nous comprendrons dans la suite que ce type d' coulement s'observe uniquement lorsque l' nergie fournie au syst me (l'intensit de la vibration ou la pente du plan inclin ) est susante pour vaincre la dissipation pr sente lors des collisions Analogie et di rence avec un gaz L'analogie avec un gaz est due Ogawa en 1978 [46]. Le premier il introduit la notion de temp rature granulaire que l'on d nit comme la moyenne 37

36 a) b) Fig. 5.1 exemples d' coulement granulaires collisionels:a) grains dans une boite fortement vibr e d'apr s [44] b) Ecoulement sur une pente fortement inclin e. [45] du carr des uctuations de vitesses. Si on d compose la vitesse instantan e d'une particule en une vitesse moyenne plus une partie uctuante: ~U inst = ~u moy + ~q, la temp rature granulaire est d nie comme T =< ~q 2 >. Cette analogie avec un gaz permet alors de s'inspirer de la th orie cin tique des gaz denses pour formuler des quations constitutives pour les coulements de milieux granulaires. La di rence fondamentale entre un gaz granulaire et un gaz mol culaire est la dissipation d' nergie lors des collisions. Nous avons vu au chapitre 2.4 que cette perte d' nergie peut tre d crite par un coecient de restitution ou d'in lasticit e. Pour exprimer pr cis ment la perte d' nergie, consid rons la collision de deux particules de m me masse m ayant des vitesses ~ U 1 et ~ U 2 avant le choc, ~ U 0 1 et ~ U 0 2 apr s le choc. Par conservation de la quantit de mouvement et la d nition du coecient de restitution on a: ~U ~ U 0 2 = ~ U 1 + ~ U 1 (5.1) ~U 0 2 ; ~ U 0 1 = ;e ~U2 ; ~ U 1 (5.2) On en d duit la perte d' nergie cin tique: E f ; E i = 1 2 m U ~ 02 + ~ 1 U 02 1 ; U ~ 2 1 ; U ~ 2 1 = ; m 4 1 ; e 2 ~U2 ; ~ U 1 2 : (5.3) 38

37 Il y a donc bien perte d' nergie (le terme de droite est toujours n gatif) qui est d'autant plus faible que le coecient d'in lasticit est proche de 1. Cette dissipation est la di rence fondamentale avec un gaz mol culaire. Pour rester dans un tat agit il va falloir injecter de l' nergie continuellement puisqu'elle est perdue l' chelle des grains. 5.2 Th orie cin tique des milieux granulaires: le mod le de Ha. L'obtention rigoureuse des quations constitutives pour un gaz granulaire dissipatif est complexe et fait encore aujourd'hui l'objet de d bats [43]. Nous pr sentons ici une approche heuristique propos e par Ha en 1983 [41]. Elle n'est valide que dans des situations denses mais permet de cerner l'origine microscopique des coecients de transports Hypoth ses et quations de base On consid re un ensemble de particules de diam tre d de densit p.une hypoth se de base pour la th orie cin tique est que les particules interagissent uniquement lors des collisions binaires et instantan es. Nous allons de plus nous restreindre ici au cas dense: on suppose que la fraction volumique occup e par les billes est proche de la fraction volumique maximale 0 quand les billes se touchent. Pour d crire la densit du milieu granulaire nous utiliserons dans la suite la distance moyenne interparticule s plut t que la fraction volumique. La relation entre s et se trouve en crivant simplement qu'une particule occupe un volume proportionnel (s + d) 3 et que pour s =0on a = 0.On trouve alors: 1 = (5.4) 0 (1 + s=d) 3 L'hypoth se de milieu dense en terme de distance interparticule signie s<<d. Elle nous permet de nous aranchir des eets de compressibilit et nous consid rerons donc par la suite que le gaz est incompressible. Nous allons donc nous int resser un gaz de particules proches les unes des autres, qui s'agitent et se cognent dans la cage form e par leurs voisines. Avec ces hypoth ses on peut crire les quations de conservation de la masse, de la quantit de mouvement et l' quation de l' nergie pour ce gaz en fonction des grandeurs moyennes que sont la densit du milieu: = p,la vitesse moyenne ~u et la temp rature granulaire T : 39

38 + i j = g i + i =2 ij i i (2 ij j i! ; : (5.7) avec P la pression, la viscosit, K la conductivit thermique et le taux de dissipation. Le tenseur ~ est le tenseur sym trique des taux de d formation ij = j i. L' quation (5.5) exprime la conservation de la masse sous l'hypoth se d'incompressibilit. L' quation de la quantit de mouvement (5.6) est une quation de type Navier-Stokes o l'acc l ration est gale la somme des forces de gravit, de gradient de la pression et des forces visqueuses (hypoth se de uide newtonien). Enn l' quation de l' nergie (5.7) indique que la variation d' nergie interne (ici l' nergie cin tique due au mouvement uctuant) est due l' quilibre de trois termes. Le premier est le travail des forces visqueuses, le second est le gradient de ux de chaleur, le troisi me repr sente la perte d' nergie due aux collisions in lastiques. Ces quations ainsi crites sont exactement celles d'un gaz dense auxquelles on a ajout le terme de dissipation qui est sp cique des milieux granulaires et va jouer un r le fondamental comme nous le verrons dans le paragraphe Pour fermer les quations il ne reste qu' d terminer la d pendance de la pression P, la viscosit, la conductivit K et le taux de dissipation fonction de la densit et de la temp rature T Calcul heuristique des coecients de transport Nous allons raisonner sur les transferts qui ont lieu lors des collisions pour d terminer la d pendance des coecients de transport avec la densit et la temp rature. Si q = p T est l'ordre de grandeur des uctuations de vitesse, alors le temps entre deux collisions pour une particule est gal au temps qu'il faut pour parcourir la distance interparticule s c'est dire s=q. Le nombre de collisions par unit de temps sera donc de l'ordre de q=s. Calcul de la pression Consid rons le milieu sans coulement moyen. Une particule s'agite dans la cage form e par ses voisine et transf re la quantit de mouvement mq par chaque collision. La pression est la contrainte qui r sulte de ces transferts: 40

39 transfert de qt de mvt lors d'1 collision taux de collisions P = surface typique d'une collision ce qui nous donne: qui nalement s' crit: P ' mq q=s d 2 d P ' p T: (5.8) s On retrouve la variation lin aire de la pression avec la temp rature du gaz mol culaire. Calcul de la viscosit Pour obtenir l'expression de la viscosit on consid re un cisaillement moyen du=dy comme sur la gure 5.2a. Une particule de la couche A poss de une vitesse relative u = d du=dy par rapport la couche B. Elle transfert sa quantit de mouvement mu lors de collision avec la couche B. La contrainte tangentielle = du=dy qu'exerce la couche A sur la couche B est donc: = transfert de qt de mvt lors d'1 collision taux de collisions surface typique d'une collision ce qui nous donne : qui nous donne pour la viscosit : mu q=s =' d 2 ' p d 2 p T s : (5.9) La d pendance avec la racine carr de la temp rature est celle des gaz. Calcul de la conductivit Pour calculer la conductivit thermique consid rons un gradient uniforme de temp rature dt=dy. Il nous faut calculer le transfert d' nergie cin tique lors des collisions. Consid rons une particule venant de la couche A avec une vitesse uctuante q + rencontrant une particule de la couche B avec une vitesse q ;. Si l'on n glige la dissipation, apr s le choc les vitesses sont chang es, celle du haut repart avec q ;, celle du bas avec q + (Fig. 5.2b). Au cours de la collision il y a donc eu transfert 41

40 d' nergie cin tique du haut vers le bas gale q 2 = q 2 + ;q2 ; = ddt=dy. Or le ux d' nergie tranf r e Q = KdT=dy est gal : Q = transfert d' nergie lors d'1 collision taux de collisions surface typique d'une collision ce qui nous donne : Q =' mq2 q=s qui nous donne pour la conductivit thermique : d 2 K ' p d 2 p T s : (5.10) Pour un gaz la conductivit a la m me expression que la viscosit. Calcul du taux de dissipation Le terme de dissipation dans l' quation 5.7 repr sente l' nergie dissip e par unit de temps et par unit de volume. Le calcul de l' nergie E perdue lors d'une collision a t fait au chapitre eq.5.3. On a donc: Energie perdue lors d'1 collision taux de collisions = volume typique d'une collision ce qui nous donne : E q=s =' : d 3 Avec l'expression pour E donn e par l' quation 5.3: ' p 4 (1 ; e2 ) T 3=2 s : (5.11) Les expressions pr c dentes sont exprim es en fonction de la distance interparticule s. Une criture plus commune est d'exprimer tout en fonction de la fraction volumique en utilisant la relation 5.4. On obtient alors: P = ^Pf() p T (5.12) =^f() p d p T (5.13) K = ^Kf() p d p T (5.14) =^f()(1 ; e 2 ) p d T 3=2 (5.15) 42

41 y u A B u+δu u y T A B q + q - q - q + a) b) Fig. 5.2 a) gradient de vitesse uniforme pour le calcul de la viscosit b) gradient de temp rature uniforme pour le calcul de la conductivit o ^P, ^, ^K et ^ sont des constantes sans dimension et f() = 0! 1=3 ;1 ; 11 A Les quations pr c dentes avec les quations de conservations (5.5) (5.7) forment un syst me ferm d' quations constitutives. Nous allons dans la suite l'appliquer di rentes congurations. Notons que si l'on rel che l'hypoth se de densit constante, des termes dus la compressibilit du milieu interviennent dans les quations. Dans le calcul des coecients de transport il faut alors en plus des collisions prendre en compte les transferts purement cin tique de quantit de mouvement ou de temp rature: les particules en voyageant sur une distance de l'ordre du libre parcours moyen emm nent avec elles leur quantit de mouvement et participent alors aux transferts. Nous avons ici adopt une approche heuristique de la th orie cin tique. La d rivation exacte de ces quations se fait partir des quations de Boltzmann [42, 43, 45] La sp cicit du gaz granulaire: le couplage temp rature- coulement. Pour comprendre la sp ci d'un gaz granulaire par rapport un gaz mol culaire, essayons de comprendre le r le du terme de dissipation dans l' quation de l' nergie 5.7. Ce terme de dissipation indique que l' nergie est perdue lors des collisions, et donc que la temp rature a tendance d cro tre. Ces pertes sont contrebalanc es par la source de temp rature que repr sente le travail des forces visqueuses. Pour un gaz granulaire, la temp rature r sulte 43 :

42 donc d'un quilibre entre dissipation due aux chocs et l'agitation induite par les cisaillements. Contrairement un gaz mol culaire, la temp rature pour un gaz granulaire n'est pas un champ que l'on peut imposer de l'ext rieur par un thermostat, mais elle est contr l e par l' coulement lui m me comme le montre les quelques exemples qui suivent Application au cisaillement simple: exp rience de Bagnold Consid rons un cisaillement simple comme celui de la Figure 5.2a. La vitesse est donc ~u = ;y~e _ x.oncherche une solution pour laquelle la temp rature est uniforme dans l' chantillon. Les quations 5.7 se r duisent alors l' quilibre entre travail des forces visqueuses et dissipation ce qui nous donne pour la temp rature: ^d 2 T = _; 2 : ^ (1 ; e 2 ) D'apr s 5.12 on en d duit alors la pression P et la contrainte de cissaillement = ;: _ ^P ^f() P = ^ (1 ; e 2 ) pd 2 ; _ 2 (5.16) = ^ 3=2 f() (^ (1 ; e 2 )) 1=2 pd 2 _ ; 2 : (5.17) Cette conguration simple met en vidence le couplage entre la temp rature et l' coulement. Plus on cisaille le milieu, plus la temp rature d' quilibre est grande, et donc plus la pression et la viscosit sont grande. L'exp rience a t r alis e en 1954 par Bagnold [47, 48] bien avant le d veloppement de la th orie cin tique. L'exp rience de Bagnold consiste en une cellule de cisaillement de type Couette (deux cylindres concentriques) remplie d'une suspension de particules dans un uide iso densit (ce qui permet d' viter la s dimentation des grains). Pour cr er le cisaillement on tourne l'un des deux cylindres. Des capteurs de contraintes en parois mesurent la contrainte tangentielle et la contrainte normale. A faible cisaillement le comportement est de type visqueux: ce sont les interactions hydrodynamiques qui dominent. Les mesures de pressions et contraintes de cisaillement donne alors: P = Cte = g() fluide _ ; 44

43 o fluide est la viscosit du uide et g() une fonction de la concentration en particules. A fort cisaillement les collisions entre grains deviennent pr pond rantes et Bagnold trouve alors un r gime collisionnel: les mesures de pression normale et de contrainte tangentielle donnent: P = f 1 () p d 2 _ ; 2 = f 2 () p d 2 _ ; 2 qui s'explique donc par la th orie collisionnelle que nous avons d velopp e plus haut. Notons que Bagnold a donn une interpr tation correcte de ces r sultats en raisonnant sur les collisions entre grains. La contribution de Bagnold a permis de plus de caract riser la transition entre le r gime visqueux et le r gime collisionel en terme du nombre sans dimension appel de nos jours nombre de Bagnold: Ba = pd 2 ; fluide : Ce nombre repr sente le rapport entre les contraintes collisionnelles et contraintes visqueuses. La transition entre les r gimes se situe aux alentours de Ba = Exemple de convection granulaire Un exemple moins trivial d' coulement granulaire mettant en jeu le couplage entre temp rature et coulement a t r cemment mis en vidence dans des exp riences d' coulements sur un plan inclin [49]. Un milieu granulaire s' coule sur un plan rugueux inclin de fortes pentes. Sous certaines conditions quand l' coulement devient rapide et collisionel, on observe la formation spontan e de rouleaux align s avec l' coulement (Fig. 5.3). Les grains ne tombent plus en ligne droite mais ont une trajectoire sous forme d'h lices. Cette instabilit s'explique comme suit. Sous l'eet de la gravit les grains s' coulent le long du plan. Pr s de la paroi rugueuse, le cissaillement est fort, et les grains sont donc tr s agit s en raison des collisions avec la rugosit. Cela signie que la temp rature granulaire proche de la paroi augmente. Une augmentation de la temp rature signie, comme pour un gaz mol culaire, une diminution de la densit. Le milieu peut alors se retrouver dans un tat o une couche peu dense pr s de la paroi est surmont e par une couche dense qui est une situation instable donnant lieu l'apparition de rouleaux. Cette instabilit est analogue la formation de rouleaux de convection observ s lorsque l'on chaue un uide par le bas (instabilit de Rayleigh-B nard). La di rence pour le milieu granulaire est que l' chauement est cr par l' coulement lui m me et non par un thermostat ext rieur. 45

44 x = 40cm y z hg 5cm x x = 70cm x y a. z y x θ x = 100cm h b. λ a) b) Fig. 5.3 Instabilit d'un coulement sur plan inclin. A forte inclinaison des rouleaux longitudinaux apparaissent (b) qui se manifestent par une modulation de la surface libre visible en lumi re rasante a). 5.3 R le de la dissipation Dans cette section nous allons aborder les limites de la th orie cin tique en tudiant plus en d tail le r le de la dissipation dans des congurations de refroidissement Le refroidissement homog ne Consid rons une bo te qui l'instant initial t =0contient des particules agit es une temp rature T o sans mouvement moyen ~u = 0. La fraction volumique de particules est o. Du fait de la dissipation lors des collisions on s'attend ce que la temp rature diminue au cours du temps. Les quations de la th orie cin tique nous permettent de pr dire cette d croissance. Sous l'hypoth se que la vitesse moyenne reste nulle partout et que la densit reste homog ne gale o, l' quation de l' nergie revient crire que la variation d' nergie interne est gale la dissipation: 3 2 dt p o dt = ;^f( o)(1 ; e 2 ) p d T 3=2 : Cette quation s'int gre ais ment et on trouve nalement que la temp rature d cro t comme: T = T o 1+ p T o t 2 (5.18) 46

45 o est une constante = ^f( o)(1 ; e 2 ) 3 o d Au temps long la temp rature d cro t donc comme T1=t instabilit d'amas Pour v rier ces pr dictions, il est possible de r aliser des simulations num riques [50]. Des particules avec des vitesses initiales al atoires sont dans une boite p riodique et interagissent uniquement par collisions in lastiques avec un coecient de restitution e. Ces simulations permettent de se rendre compte que le refroidissement homog ne n'est observ que pour des coecients de restitution voisin de 1 (Fig.5.4a). Pour des coecients inf rieurs a e = 0:98 pour 1024 particules, on observe la formation d'amas d'autant plus rapidement que les collisions sont in lastiques. Cette aptitude former des amas peut tre tudier par une analyse de stabilit lin aire du refroidissement homog ne [50]. Nous ne donnerons ici qu'une discussion qualitative du ph nom ne. Si localement la densit de particules augmente l g rement,cela signie que le nombre de collisions et donc l' nergie dissip e augmente. La temp rature va donc l g rement d cro tre, signiant une baisse de pression. La zone plus dense devient donc une zone de basse pression qui attire de nouvelle particules, augmentant ainsi la densit. Il s'agit donc d'un m canisme d'instabilit contr l par la dissipation. Un milieu granulaire dans lequel on n'injecte pas d' nergie a tendance spontan ment former des amas. Au sein de ces amas les collisions deviennent de plus en plus fr quentes. Il peut alors se passer un catastrophe que l'on nomme ondrement in lastique: le nombre de collisions devient inni en temps ni, et toute l' nergie se trouve dissip e dans un temps ni L'eondrement in lastique L'exemple le plus simple d'eondrement in lastique est le rebond d'une bille sur un plan sous gravit g [51]. On appelle u 0 la vitesse de la bille juste apr s le rebond z ro qui lieu t 0 = 0,etu n la vitesse apr s le n i me rebond (Fig. 5.5). On se demande quel instant t n alieulen i me rebond. On montre facilement que le temps qui s' coule entre le rebond n et n +1 est t n =2u n =g. Sachant que u n+1 = eu n on obtient: t n = n;1 X i=0 t i = 2u 0 g : 1 ; e n 1 ; e : 47

46 a) b) c) Fig. 5.4 refroidissement d'une boite de 1024 particules: a) e=0.99 b) e=0.97 c) e=0.72 d'apr s [50] En terme de fr quence de collisions on a donc: f = dn dt = ;1 ln(e)(t 1 ; t) : La bille fait donc un nombre inni de rebonds en un temps ni puisque que lorsque n!1, t n! t 1 = 2u 0 1 g 1;e et sa fr quence de collisions diverge. Toute l' nergie de la bille se trouve donc dissip e t 1. Pour un syst me r el, il existe bien entendu une coupure dans la fr quence de collisions lorsque le temps entre deux collisions devient de l'ordre de la dur e de la collision [51]. Mais le point important de cet exemple est qu'un raisonnement sur des collisions in lastiques instantan es conduit l'arr t complet du syst me. Pour tudier ce qu'il advient de ce ph nom ne lorsque plusieurs billes sont en jeu, on tudie une ligne de N billes comme sur la Fig On envoie les deux billes extr mes vers le centre et on se demande si au temps long le syst me va s'eondrer comme sur la Fig. 5.5b ou si les billes vont se disperser comme sur la Fig. 5.5c. Nous ne reportons ici que les r sultats principaux issus d' tudes num riques et th oriques [52, 53]. Il appara t que la dispersion ou l'eondrement d'un groupe de N billes est contr l par le coef- cient d'in lasticit e. En dessous d'une valeur critique e c (N) qui d pend du nombre de particules, on observe un eondrement in lastique o un nombre inni de collisions a lieu en un temps ni conduisant au regroupement de toutes les particules en un point. Pour des valeurs sup rieurs du coecient d'in lasticit le groupe se disperse. La Fig. 5.6 montre commentlavaleur de transition e c varie avec le nombre de particules N. On observe que e c tend 48

47 vers 1 lorsque le nombre de particules tends vers l'inni. Cela signie que les particules ont beau tre tr s peu in lastiques (e proche de 1), on observera toujours un eondrement in lastique si elles sont assez nombreuses. La limite e! 1 est donc singuli re. Une approximation aux grands N de la gure est donn e par le crit re suivant: Il y a eondrement in lastique si (1 ; e)n >. Le point retenir de ces tudes sur l'eondrement in lastique est le r le non trivial que peut jouer la dissipation lors des collisions. Si aucune nergie n'est fournie un syst me de particules in lastiques, le milieu dissipe spontan ment toute son nergie en un temps ni, et quitte donc le r gime de collisions binaires instantan es. z z z a) t t b) c) t Fig. 5.5 Eondrement in lastique: a) rebond d'une bille sous gravit b) eondrement d'une ligne de bille si e est assez faible. c) dispersion d'une ligne de bille si e est proche de Exemple: les milieux vibr s La tendance d'un milieu granulaire s'agglom rer sous l'eet de la dissipation d' nergie s'observe aussi lorsque que l'on fournit de l' nergie aux billes par exemple sous forme de vibrations. Une exp rience typique consiste 49

48 e 1 dispersion effondrement 0 2 N Fig. 5.6 coecient d'in lasticit critique e c (N) pour l' ondrement in lastique d'une ligne de N billes en une colonne verticale de billes contenues dans un tube pos sur un plateau vibrant dont le mouvement est A cos(!t) [54]. Un param tre important de ce syst me est l'acc l ration relative ;=A! 2 =g. Les billes commencent d coller du plateau pour ; > 1. On observe alors deux comportements diff rents selon le nombres de billes, le coecient d'in lasticit entre les billes et l'acc eration ;. Pour un mat riau donn, si les billes sont peu nombreuses et l'acc leration susemment importantes, les billes restent dans un tat de type gazeux o chaque particule bouge ind pendamment les unes des autres et interagit par collisions. Si l'on rajoute des billes ou que l'on diminue l'acc leration une transition a lieu, et les billes se rassemblent en un paquet qui oscille en bloc sur le plateau (Fig. 5.7). L' nergie fournie par la vibration est enti rement dissip e par les collisions. Il semble que cette situation soit observ e d s que (1 ; e)n > 3 ce qui correspond au crit re d'eondrement in lastique d'un ligne de bille. Dans le r gime de bloc, le syst me se comporte alors comme une seule particules compl tement in lastique (e =0) sur un plateau vibrant. La comp tition entre l' nergie dissip e et l' nergie que le syst me re oit par la vibration, peuvent donner lieu des ph nom nes complexes lorsque l'on fait vibrer de nes couches de grains 2 ou 3 dimensions [55, 56, 57, 58]. Des instabilit s se d veloppent et forment des motifs r guliers comme sur la Fig Dans certaines gammes des param tres des structures localis es sous forme de pics peuvent tre observ es. La richesse de ces comportements 50

49 z z a) b) A cos(ωt) z c) t t Fig. 5.7 Une colonne de bille sur un plateau vibrant se comporte a) comme un gaz b) comme un bloc in lastique suivant l'acc leration (N =10e =0:9 a); =8b); =1:7) des milieux granulaires soumis a des vibration en font l'objet de nombreuses recherches. 5.4 Conclusion sur la th orie cin tique La th orie cin tique des milieux granulaires fournit des quations constitutives pour les coulements pour lesquels les particules interagissent par collisions binaires. Le milieu se comporte alors comme un gaz avec dissipation d' nergie lors des collisions. Cependant nous avons vu au travers d'exemples simples que la pr sence de dissipation peut conduire une catastrophe in- lastique o le milieu quitte le r gime collisionel car la dissipation lors des collisions est trop importante compar e l' nergie inject e. On sort alors du cadre de la th orie cin tique. C'est malheureusement ce qui arrive dans un grand nombre de situations pratiques d' coulements sous gravit. Pour ces r gimes d' coulements denses nous ne poss dons pas encore d' quations constitutives. 51

50 a) b) Fig. 5.8 Exemples d'instabilit s observ es lorsque l'on fait vibrer une mince couche de grains a) vu de dessus de motifs observ s pour di rentes amplitudes et fr quences d'oscillation. b) structures localis es. d'apr s [56, 57] 52

51 Chapitre 6 Ecoulements denses Le r gime d' coulement dense fait l'objet l'heure actuelle de nombreuses recherches, et les quations constitutives ne sont pas encore tablies [59]. Des approches hydrodynamiques propos es r cemment permettent toutefois de d crire certaines congurations. Les deux congurations que nous allons discuter sont pr sent es sur la gure (6.1). La premi re est celle de l' coulement sur un plan inclin : le milieu s' coule sur une pente rigide plus ou moins rugueuse. La seconde est l' coulement sur un tas. Cette derni re est plus complexe puisque le milieu granulaire comporte un zone statique qui peut se mettre en mouvement sous l'action de la zone en coulement (ph nom ne d'avalanche sur un tas). Ces coulements pr gurent des situations g ophysiques d' boulements de terrain. a) b) Fig. 6.1 a) coulement granulaire dense sur un plan inclin b) coulement sur un tas 53

52 6.1 Ecoulements sur une pente Une approche hydrodynamique des coulements granulaires sur plan rigide a t propos e en 1989 par Savage et Hutter [60] s'inspirant des quations de St Venant pour les couches minces. Elle repose sur l'hypoth se que la couche qui coule est ne devant les longueurs caract ristiques de l' coulement. C'est le cas dans de nombreux coulements g ophysiques o une couche de mat riau de quelques dizaines de m tres s' coule sur des kilom tres. La conguration typique que nous allons tudier est celle de la Fig Une couche coule sur une pente inclin e un angle. L'id e des quations de St Venant est de tirer prot de l'hypoth se de couche mince pour oublier la direction z et essayer de d crire l' coulement par son paisseur locale h(x t) et sa vitesse moyenne selon x. z L H dx Pression x Pression x+dx Friction θ gravité x Fig. 6.2 Principe des quations moyenn es dans l' paisseur quand l' chelle d' paisseur H est petite devant L Equations moyenn es dans l' paisseur Pour obtenir les quations moyenn es dans l' paisseur ou quations de St Venant, la premi re hypoth se consiste consid rer le mat riau comme un milieu uide incompressible. L'incompr ssibilit est justi e pour les coulements granulaires denses car leur fraction volumique varie peu entre 0.5 et 0.6. Sous cette hypoth se, il est possible d' crire les quations de conservation de la masse et de la quantit de mouvement. Consid rons le cas de l' coulement sur une pente (Fig. 6.2) d'un mat riau de densit ayantune vitesse ~u = u(x z t) ~e x + v(x z t)~e z. La conservation de la masse s' @z =0: (6.1) 54

53 Les quations de la quantit de mouvement s' crivent en termes du tenseur des = g sin = ;g cos (6.2) (6.3) L'obtention des quations moyenn es s'eectue en deux tapes. La premi re tape consiste tirer partie de l'hypoth se de couche mince pour n gliger des termes dans les quations (6.1) (6.3). La seconde tape consiste int grer les quations le long de z. An de tester les ordres de grandeurs des di rents termes des quations pr c dentes, des variables adimensionn es not es avec un tilde sont introduites. L' chelle de grandeur des variations selon x est not e L, et l' chelle de l' paisseur de la couche est H. L'hypoth se de couche mince signie que le param tre = H=L est petit. L'adimensionnement est choisi comme suit: u =~u x =~xl z =~zh t = ~t q q g=l (6.4) gl v =~u p gl (6.5) xx =~ xx gh cos zz =~ zz gh cos xz =~ xz gh sin (6.6) Notons que le choix de l' chelle de temps est motiv par le fait qu'il n'y a pas d' chelle de temps intrins que au probl me. Ce n'est pas toujours le cas comme par exemple lorsqu'une vibration est impos e la couche mince. L'addimensionnement pr c dent permet d' crire les quations de conservation sous @ @~v +~u ~x ~u ~z = sin ; ~x! = ; cos ; ~z ; ~z ; ~z =0 (6.7) (6.8) (6.9) Consid rons maintenant la derni re quation (6.9). Lorsque est petit elle se r ~z = ;1: En couche mince la pression verticale est donc donn e par l' quilibre hydrostatique. Ce r sultat bien connu en hydrodynamique est l'hypoth se de 55

54 lubrication. L'int gration de cette quation avec comme condition que la pression est nulle l'interface nous donne pour la pression verticale dimension e: zz = g cos (h ; z): (6.10) Pour obtenir les quations nales, il faut ensuite int grer les quations en z. Ce calcul est fait en d tail dans l'article de Savage et Hutter [60] et nous ne le d taillerons pas. Nous pr sentons plut t une autre approche bas e sur des raisonnements de bilan dans une petite tranche dx de mat riau comme indiqu sur la Fig On note R h u =1=h 0 u(x z t)dz la vitesse moyenn e dans l' paisseur. La conservation de la masse nous indique que la variation de volume du petit l ment dx en un temps dt est gale au ux de mati re entrant moins le ux de mati re sortant ce qui s'exprime ainsi: dxdh = Z h 0 udtdz jx ; Z h 0 udtdz jx+dx : Nous obtenons alors par division par dx et dt l' quation de conservation de =0: Un raisonnement similaire nous permet d' crire la variation pendant un temps dt de la quantit de mouvement del' l ment dx soumis des forces ext rieures P F : dxd(hu) = {z } variation de la qdm en dt d'o Z h u 2 dtdz jx 0 {z } flux de qdm entrant ; Z h u 2 dtdz jx+dx 0 {z } u 2 X = + X Fdt {z } forces exterieures Nous avons not u R 2 h = 1=h 0 u2 (x z t)dz. Or notre but est d'obtenir des quations pour la vitesse moyenne u. Une hypoth se est ce stade n cessaire pour exprimer la moyenne du carr des vitesses u 2 fonction du carr de la moyenne. Une hypoth se est g n ralement faite en supposant le prol de vitesse tabli dans la verticale qui permet d' crire u 2 = u 2.Pourunprol de type bouchon avec une vitesse qui ne varie pas dans l' paisseur on montre facilement =1. Pour un prol lin aire resp. parabolique on trouve =4=3 resp. =5=6. Il nous reste exprimer les forces P F s'exer ant selon Ox sur l' l ment dx (Fig. 6.2): : 56

55 X F = ghdx sin {z } gravite + dx {z} + contrainte au fond Z h xx dz jx 0 {z } pression en x Z h ; xx dz jx+dx 0 {z } pression en x+dx o est la contrainte s'exer ant l'interface entre la couche en coulementet le fond. Toute la sp cicit de la rh ologie du mat riau qui coule est cach e dans ce terme que nous discuterons plus loin. Pour poursuivre il nous faut des informations sur la r partition des contraintes xx dans l' paisseur. D'apr s (6.10) nous connaissons les contraintes normales suivant la verticale zz. Nous supposons dans la suite qu'une relation de proportionalit existe entre les deux contraintes normales: xx = k zz. Cette hypoth se n'a rien d' vident pour un milieu granulaire. Pour un uide classique, nous savons que la pression est isotrope et k = 1. Pour un milieu granulaire id al de Mohr Coulomb d'angle de friction et qui serait sur le point de cisailler partout, on peut montrer qu'il y a proportionnalit et k = (1 + sin 2 )=(1 ; sin 2 ). Cependant en r gime d' coulement, les arguments quasistatiques ne s'appliquent pas. Des simulations r centes l'aide de dynamique mol culaire qui simulent le mouvement de tous les grains ont l'air de montrer que pour des coulement sur fond rugueux, la pression est peu pr s isotrope i.e. k =1. Nous garderons toutefois dans la suite le param tre k. Sous cette hypoth se, l'int grale des forces de pression peut se calculer l'aide de (6.10) et la somme des forces s' crit donc: X F = dx gh sin + ; Les quations de conservation de la masse et de quantit de mouvement moyenn es dans l' paisseur s' crivent donc:! @t = gh cos tan gh cos ; : Quelques remarques concernant ces quations. Premi rement ilfautgarder l'esprit les hypoth ses utilis es pour crire ces quations: l'hypoth se de couche mince << 1, l'hypoth se de prol de vitesse tabli dans l' paisseur et reli et la proportionalit entre le contraintes normales selon et Oz reli es par le param tre k. Il faut aussi noter que les variations temporelles doivent aussi tre lentes. Une seconde remarque concerne le terme de 57

56 gradient d' paisseur dans l' quation Si l'on revient aux quations addimensionn es, on s'aper oit que ce terme provient du terme d'ordre dans l' quation (6.8). Ce terme est donc a priori n gligeable. Nous le gardons pour d crire les coulements granulaires car il est le seul pouvoir r gulariser la surface. De plus il devient du m me ordre que les autres termes faible angle. Les quations obtenues s'interpr tent tr s facilement. Dans (6.13) l'acc l ration (terme de gauche) est compens e par une force de gravit, une force de friction au fond et une force d' talement. En crivant ces quations nous nous sommes aranchis de la description pr cise du comportement du mat riau dans la couche. Nous avons cach la rh ologie du mat riau dans un terme d'interface qui d crit la contrainte qui s'exerce l'interface entre la couche qui coule et le fond rigide. La question se pose de savoir quelle forme doit prendre ce terme Loi de friction Pour un uide visqueux newtonien, serait simplement donn e par l'expression de la contrainte visqueuse au fond qui est de l'ordre de u=h o est la viscosit. Pour un milieu granulaire en revanche, nous ne savons pas quelle est la rh ologie dans le r gime dense. Savage et Hutter [60] ont propos de choisir pour la contrainte interfaciale une loi de friction i.e. une contrainte tangentielle proportionnelle la contrainte normale: = gh cos (6.14) o est un coecient de friction. Ce choix est motiv par quelques exp riences en cellule de cisaillement qui montrent que le rapport force tangentielle sur force normale varie peu avec la vitesse de cisaillement [60]. Les premi res tentatives d'application du mod le ont donc t faites avec un coecient de friction constant. Les quations (6.12) et (6.13) avec l'expression (6.14) forme un syst me ferm qui peut servir mod liser des coulements. Les r sultats de Savage et Hutter sont pr sent s sur la Fig L'exp rience consiste l cher une masse de sable et a suivre son talement etsa propagation jusqu' l'arr t. Le mod le des quations moyenn es dans l' paisseur permet de rendre compte quantitativement de ce mouvement comme le montre la Fig. 6.3 b comparant les pr dictions et observations pour les fronts avant et arri re de l'avalanche. D'autres exp riences trois dimensions et sur des prols plus complexes ont t r alis es et montre la pertinence de cette approche Fig. 6.4 [61, 62]. Cependant le choix d'un coecient de friction constant dans la loi (6.14) reste une approximation grossi re. Elle semble susante pour d crire des 58

57 eet dans ces conditions, les exp riences montrent qu'il existe une gamme d'inclinaisons de l'ordre de 10;12 o pour lesquels on observe des coulements stationnaires uniformes. Or d'apr s (6.13) et (6.14) un coulement stationnaire et uniforme v rie la relation: tan =. Doncsi est constant, il n'existe qu'un seul angle o les coulements stationnaires uniformes sont observ s en contradiction avec les observations exp rimentales. Des tudes sont donc men es actuellement pour proposer des lois de friction plus r alistes et plus complexes o le coecient de friction devient une fonction de l' paisseur et de la vitesse locale (u h) [63, 64] Applications eng ophysique L'avantage de l'approche hydrodynamique des quations moyenn es dans l' paisseur est qu'elles peuvent sans trop de peine tre adapt es des g om tries plus complexes que le plan inclin pour prendre en compte des topographies r alistes. La gure 6.5 montre deux exemples d' tudes r alis es par cette approche. Le premier (Fig. 6.5 a) et b)) concerne un boulement rocheux s' tant d clench en 1987 Charmon tier dans l'is re [65]. La trajectoire de l' boulement est a peu pr s bien reproduite par le mod le. Dans cette simulation le coecient de friction est constant et gal 34 o.lesecond exemple (Fig. 6.6 c) concerne le volcan de l' le de Montserrat dans les Antilles anglaises. En d cembre 97 une avalanche de d bris due au gonement du volcan induit par la pouss e de la chambre magmatique s'est arr t juste avant la mer. Les simulations des quations moyenn es dans l' paisseur ont t r alis es avec plusieurs lois de friction [66] et entre autre avec un coecient de friction constant. Pour obtenir une concordance correcte il faut choisir un coecient de friction de tan 10 o. Une si faible valeur de friction eective n'est l'heure actuelle pas comprise. Ce probl me se retrouve dans tous les v nements g ophysiques de grandes tailles comme le montre la Fig Cette gure repr sente le rapport de la hauteur de d part H de l' coulement sur la longueur de propagation L fonction du volume de l' v nement. Ce rapport H=L appel longueur de Runout, est une estimation du coecient de friction eectif. En eet si l'on assimile l' boulement un patin frottant sur la pente avec un coecient de friction, on peut crire que l' nergie potentielle MgH a t dissip e par le travail des forces de friction MgL ce qui nous donne l' galit H=L =. Le graphe de la Fig. 6.6 nous montre que ce coecient de friction chute avec le volume de l' v nement pour atteindre des valeurs aussi petites que 0.1: le milieu coule sur une pente de 6 o. De nombreuses recherches portent actuellement sur ce probl me [67, 68]. Il faut garder en m moire que les mat riaux mobilis s dans les v nements g ophysiques sont tr s complexes, form s de 60

58 a) b) c) Fig. 6.5 Applications des quations moyenn es dans l' paisseur aux v nements naturels a) Trajectoire observ e de l'eondrement de Charmonetiers Is re 1987 b)simulation d'apr s [65] c) simulation du boxing day, Montserrat, antilles d'apr s [66] particules de tailles tr s variables, de m lange de uides, de gaz, qui ont une inuence consid rable sur la dynamique des coulements. 6.2 Ecoulements sur un tas Dans ce chapitre, nous allons aborder les probl mes qui se pose lors des coulements sur un tas. Contrairement au cas pr c dent d' coulements sur un fond rigide, toute la masse granulaire n'est pas mobilis e. Il existe une interface entre la zone liquide et la zone statique qui complique s rieusement la description. 61

59 H L Fig. 6.6 Longueur de Runout fonction du volume de l'avalanche pour des venements, sur terre, mars, lune. d'apr s.[67] Notion d'angle maximum de stabilit et de repos Les congurations exp rimentales tudi es sont celles du tambour tournant ou de l' coulements sur un tas (Fig. 6.7). De nombreuses tudes ont port sur le r gime d'avalanche: si la rotation du tambour est lente ou si le d bit d'injection sur le tas est faible, on observe un r gime d' coulement intermittent [69]. La pente du tas augmente continuement jusqu' un angle maximum s pour lequel une avalanche se produit. Apr s l'avalanche, la surface libre se retrouve avec un angle de repos r plus faible. La di rence entre les deux angles est typiquement de l'ordre de quelques degr s. h(x,t) u(x,t) ξ(x,t) θr x a) b) c) Fig. 6.7 coulements granulaires sur fond meuble a) sur un tas b) dans un tambour tournant. c) sch ma pour les quations moyenn es dans l' paisseur 62

60 6.2.2 Approches moyenn es dans l' paisseur Losqu'une avalanche se d clenche, on observe un coulement qui reste superciel et mobilise une paisseur de mat riau de l'ordre de tailles de grains. Il est alors tentant tout comme dans le chapitre pr c dent d'oublier le d tail de ce qui se passe dans la couche en crivant des quations moyenn es dans l' paisseur. Ces approches font l'objet de nombreuses recherches [70, 71, 72, 73] et nous donnons ici juste un aper u des di rents tentatives. Consid rons la conguration de la Fig. 6.7c o une couche de mat riau coule sur un tas. L'axe x est choisi avec un angle de r f rence qui est par exemple l'angle de repos r. Comme pr c demment, nous appelons h(x t) l' paisseur de la couche qui coule, u(x t) sa vitesse moyenne, et on introduit (x t) la position de la fronti re entre les grains xes et les grains mobiles. On peut de nouveau crire les quations de conservation de la masse et de la quantit de mouvement et = gh cos + @t gh cos =0 (6.15)! : (6.16) o = (on suppose << 1). On se retrouve donc quations tr s similaires celle du cas sur fond rigide. Cependant nous avons trois inconnues: h(x t), u(x t) et (x t) pour seulement deux quations. Nous sommes confront s deux probl mes. Le premier est le choix de l'expression de la contrainte entre la couche qui coule et le tas statique. Ce m me probl me se posait pour le cas du fond rigide. Le second probl me concerne l' quation manquante qui doit r gir l'interface entre grains statiques et grains mobiles. Plusieurs propositions ont t faites ces derni res ann es. La premi re approche a t d velopp e par Bouchaud et al [70] et Boutreux et al [71]. L'id e est d' crire que les grains se d posent si l'angle locale est plus grand que l'angle de repos, et se mettent en mouvement sinon. On obtient alors comme troisi = ;( ): Une autre approche propos e par Douady et Andreotti [72] consiste dire que le gradient de vitesse dans la couche est constant, ce qui revient imposer une relation univoque entre vitesse et paisseur. Enn r cemment, Khakhar [73] a propos d' crire la condition manquante en terme de la continuit de la contrainte s l'interface. Du cot de la couche qui coule la contrainte est 63

61 donn e par l'expression s = (u h), de l'autre cot, elle est donn e par le fait que les grains restent immobiles i.e. la contrainte qu'ils subissent est la limite de les faire couler: s = tan r ghcos(). L' galit des deux expressions donne une troisi me quation reliant u et h. Ces approches encore en d veloppement sont prometteuses et permettent d j de reproduire qualitativement des comportements non triviaux comme la propagation de fronts d'avalanches. 64

62 Chapitre 7 S gr gation Le probl me de la s gr gation se rencontre d s que l'on manipule des m langes de grains de propri t s di rentes. A la di rence des liquides qu'il est souvent facile de m langer, un m lange homog ne de grains est dicile obtenir d s qu'il existe des di rences de tailles, de masses, de propri t s m caniques (friction...). Parmis les di rents m canismes emp chant unbon m lange, la s gr gation due la di rence de taille est de loin le plus ecace. Malgr les probl mes industriels qu'elle pose, la s gr gation par taille est encore largement mal comprise. Nous pr sentons ici quelques congurations donnant lieu de la s gr gation et qui ont t tr s tudi es. 7.1 S gr gation sous vibrations Lorsque l'on fait vibrer un milieu granulaire polydisperse, les gros grains se retrouvent souvent la surface libre. C'est ce qui est observ par exemple lorsqu'au petit d jeuner on ouvre un paquet de c r ales neuf: les gros ocons sont la surface tandis que les raisins secs sont au fond. La s gr gation par vibrations a donn lieu de nombreuses exp riences qui ont exhib l'existence de plusieurs m canismes pouvant expliquer la remont e des grosses particules. Un premier m canisme invoqu est la percolation des petites sous les grosses lors de la vibration [74, 75]: dans la phase de vol libre de la vibration, des petits grains peuvent s'inltrer sous les gros les poussant ainsi vers la surface libre (Fig. 7.1a). Un autre m canisme a t mis en vidence faisant intervenir des mouvement collectif de convection dans le r cipient [76]. Lorsque l'on fait vibrer un r cipient rempli de grains, des rouleaux se forment, les grains remontant au centre et redescendant sur les cot s (Fig. 7.1b. La zone de redescente est petite, de l'ordre de quelque grains. Si une grosse particle se trouve dans le 65

63 a) b) Fig. 7.1 Les deux m canismes de s gr gation sous vibrations. a)inltration des petites sous les grosses b) mouvement de convection milieu, elle est remont e avec les autres au centre mais ne peut tre r inject e dans les nes couches de redescente et reste coinc e la surface. Les deux ph nom nes sont pr sents lors de la vibration d'un milieu granulaire ce qui rend l'interpr tation des exp riences de s gr gation en vibrations d licate. 7.2 S gr gation en coulement Consid rons un m lange homog ne de gros et petits grains que l'on fait s' couler sur un plan inclin rugueux. Tr s rapidement le long de la pente, les gros grains remontent la surface libre comme pr sent sur la Fig Le m canisme est assez simple. Lors de l' coulement les grains bougent continuellement les uns par rapport aux autres et des trous se forment entre eux dans lesquels des particules de la couche du dessus peuvent tomber. Les gros grains ne peuvent tomber que dans les gros trous, tandis que les petit grains peuvent tomber dans les petits et gros trous. Cette assym trie dans les mouvements uctuants d' changes de couches donne lieu la s gr gation. Un mod le quantitatif bas sur cette id e a te propos par Savage et Lun [77]. Pour les coulements g ophysiques cette s gr gation peut avoir une grande importance. Les gros blocs se retrouvent sur le dessus de l' coulement o la vitesse est la plus grande. Ils se rassemblent donc au front (Fig. 7.2) et peuvent modier la propagation de l'avalanche [78]. Un exemple de l'inuence de cette accumulation de gros blocs au front est la formation de digitation qui est observ e sur le terrain et en laboratoire [79, 80] (Fig. 7.3). 66

64 Fig. 7.2 Remont e la surface etaccumulation au front de grosses particules lors d'un coulement sur une pente. a) b) Fig. 7.3 Figures de digitation observ es au front d'un coulement contenant des grosses particles. a) en laboratoire: les grosses grains sont en noirs b) sur le terrain. 7.3 S gr gation en tambour Une conguration tr s tudi e o la s gr gation est observ e est la conguration du tambour tournant. Lorsqu'un m lange de grosses et petites par- 67

65 ticules est entrain dans un tambour bidimensionnel comme celui de la gure 7.4a, on retrouve tr s rapidement les petites particules au centre du tambour et les grosses la p riph rie [81]. Ceci s'explique par le fait que lors de l' coulement la surface, les petites voient une rugosit relative plus importante que les grosses, et ont donc une probabilit plus grande de se pi ger avant d'atteindre le bout du tambour. Il est noter que des exp riences r centes ont montr que cette s gr gation peut tre invers e suivant le rapport de taille de bille et de masse [82]. Lorsque le tambour devient tridimensionnel, des structures plus complexes apparaissent. On observe la formation spontan e de bandes altern es de grosses et petites comme sur la Fig. 7.4b [83]. a) b) Fig. 7.4 S gr gation en tambour tournant. a) a 2D b) 3D. 68

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